Нечеткое множество - это множество пар , где x принимает некоторое информативное значение, а m(x) отображает x в единичный отрезок, принимая значения от 0 до 1. При этом m(x) представляет собой степень принадлежности x к чему-либо (0 - не принадлежит, 1 - принадлежит на все 100%).

Так, на пример, можно задать для числа 7 множество:

<0/1>,<0.4/3>,<1/7> Это множество говорит о том, что 7 - это на 0% единица, на 40% тройка и на 100% семерка.

Нечеткая переменная определяется как .

A - наименование переменной,

X={x} - область определения переменной, набор возможных значений x,

Ca={} - нечеткое множество, описывающее ограничения на возможные значения переменной A (семантику).

Пример: <"Семь",{1,3,7},{<0/1>,<0.4/3>,<1/7>}>. Этой записью мы определили соответствия между словом и некоторыми цифрами. Причем, как в названии переменной, так и в значениях x можно было использовать любые записи, несущие какую-либо информацию.

Лингвистическая переменная определяется как .

B - наименование переменной.

T - множество её значений (базовое терм-множество), состоит из наименований нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X.

G - синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности - генерировать новые осмысленные термы. T`=T U G(T) задает расширенное терм-множество (U - знак объединения).

M - семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению лингвистической переменной нечеткую семантику, путем формирования нового нечеткого множества.

Нечеткое множество (или нечеткое число), описывает некотоpые понятия в фyнкциональном виде, т. е. такие понятия как "пpимеpно pавно 5", "скоpость чyть больше 300 км/ч" и т. д., как видно эти понятия невозможно пpедставить одним числом, хотя в pеальности люди очень часто пользyются ими.

Hечеткая пеpеменная это тоже самое, что и нечеткое число, только с добавлением имени, котоpым фоpмализyется понятие описуемое этим числом.

Лингвистическая пеpеменная это множество нечетких пеpеменных, она использyется для того чтобы дать словесное описание некотоpомy нечеткомy числy, полyченномy в pезyльтате некотоpых опеpаций. Т. е. пyтем некотоpых опеpаций подбиpается ближайшее по значению из лингвистической пеpеменной.

Хочy дать несколько советов для твоей пpоги. Hечеткие числа лyчше хpанить как отсоpтиpованное множество паp (соpтиpyется по носителям), за счет этого можно yскоpить выполнения всех логических и математических опеpаций. Когда pеализyешь аpифметические опеpации, то нyжно yчитывать погpешность вычислений, т. е. 2/4 <> 1/2 для компьютеpа, когда я с этим столкнyлся, мне пpишлось несколько yсложнить сpавнение паp, а сpавнений пpиходится делать много. Hосители в нечетких числах должны быть кpатными какому-нибуть числy, иначе pезyльтаты аpиф. опеpаций бyдyт "некpасивыми", т. е. pезyльтат бyдет неточным, особенно это видно пpи yмножении.

За счет хpанения нечетких чисел в отсоpтиpованном виде, я добился того что аpифметические опеpации y меня выполняются по почти линейной зависимости (во вpемени), т. е. пpи yвеличении количества паpа, скоpость вычислений падала линейно. Я пpидyмал и pеализовал точные аpиф. опеpации пpи котоpых не имеет значение кол-во и кpатность носителей, pезyльтат всегда бyдет точным и "кpасивым", т. е. если пеpвоначальные числа были похожи на пеpевеpнyтyю параболу, то и pезyльтат бyдет похожим, а пpи обычных опеpациях он полyчается стyпенчатым. Я так же ввел понятие "обpатные нечеткие числа" (хотя не до конца pеализовал), для чего они нyжны? Как ты знаешь пpи вычитании или делении число из котоpого вычитается дpyгое должно быть шиpе, а это большая пpоблема пpи pешении сложных ypавнений, вот "обpатные нечеткие числа" позволяют это делать.

Базовые операции над нечеткими множествами.

ОБЪЕДИНЕНИЕ: создается новое множество из элементов исходных множеств, причем для одинаковых элементов принадлежность берется максимальной.

A U B = {} Maub(x) = max {Ma(x), Mb(x)} ПЕРЕСЕЧЕНИЕ: создается новое множество из одинаковых элементов исходных множеств, принадлежность которых берется минимальной. A П B = {} Maпb(x) = min {Ma(x), Mb(x)} ДОПОЛНЕНИЕ: инвертируется принадлежность каждого элемента. C = ~A = {} Mc(x) = 1-Ma(x) СТЕПЕНЬ: принадлежность каждого элемента возводится в степень. CON - концентрация, степень=2 (уменьшает степень нечеткости) DIN - растяжение, степень=1/2 (увеличивает степень нечеткости) РАЗНОСТЬ: новое множество состоит из одинаковых элементов исходных множеств. A - B = {} Ma-b(x) = Ma(x)-Mb(a), если Ma(x)>Mb(x) иначе 0 НОСИТЕЛЬ: состоит из элементов исходного множества, принадлежности которых больше нуля. Supp(A) = {x|x?X /\ Ma(x)>0} УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО: принадлежности элементов домножаются на число. q*A = {} СУПРЕМУМ: Sup - точная верхняя грань (максимальное значение принадлежности, присутствующее в множестве).

НОРМАЛИЗАЦИЯ: нечеткое множество нормально если супремум множества равен единице. Для нормализации перечитывают принадлежности элементов:

M"a(x) = Ma(x)/(Sup Ma(x)) АЛЬФА-СРЕЗ: множество альфа уровня - те элементы исходного множества, принадлежность которых выше или равна заданного порога. Порог, равный 1/2, называют точкой перехода. Aq = {x|x?X /\ Ma(x)>q} НЕЧЕТКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ: степень включения нечеткого множества V(A1,A2) = (Ma1(x0)->Ma2(x0))&(Ma1(x1)->Ma2(x1))&.. По Лукасевичу: Ma1(x)->Ma2(x) = 1&(1-Ma1(x)+Ma2(x)) По Заде: Ma1(x)->Ma2(x) = (1-Ma1(x)) \/ Ma2(x) НЕЧЕТКОЕ РАВЕНСТВО: степень нечеткого равенства R(A1,A2) = V(A1,A2) & V(A2,A1)

Словарь

АДАПТАЦИЯ - Любое изменение в структуре или функции организма, которое позволяет ему выживать во внешней среде.

АЛЛЕЛИ - Возможные значения генов.

ГА - Генетический алгоритм. Интеллектуальное исследование произвольного поиска. . Представлен Holland 1975.

ГА МОДЕЛЬ ОСТРОВА (IMGA) - Популяция ГА разделена в несколько подсовокупностей, каждая из которых беспорядочно инициализирована и выполняет независимый последовательный ГА на собственной подпопуляции. Иногда, пригодные ветви решений мигрируют между подсовокупностями. [Например. Levine 1994].

ГЕНЫ - Переменные в хромосоме.

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ - Члены популяции сходятся к некоторой отметке пространства решения вне оптимума из-за накопления стохастических ошибок.

ГЕНОТИП - Фактическая структура. Кодированная хромосома.

ГП - Генетическое программирование. Прикладные программы использующие принципы эволюционной адаптации к конструкции процедурного кода.

ДИПЛОИД - В каждом участке хромосомы имеется пара генов. Это позволяет сохраняться долгосрочной памяти.

КГА - Компактный ГА (CGA). В CGA, две или больше совокупности ген постоянно взаимодействуют и взаимно развиваются.

КРОССИНГОВЕР - Обмен отрезками хромосом родителей. В диапазоне от 75 до 95% появляются самые лучшие особи.

ЛОКУС - Позиция гена в хромосоме.

МУТАЦИЯ - Произвольная модификация хромосомы.

СИНАПС - Вход нейрона.

СХЕМА (шемма) - Подмножество подобных хромосом, содержащих модель значений гена.

СХОДИМОСТЬ - Прогрессия к увеличивающейся однородности. Ген, как считают, сходится когда 95% популяции имеет то же самое значение .

УНС - Унифицированная нейронная сеть.

ФИТНЕС-ФУНКЦИЯ - Значение являющееся целевым функциональным значением решения. Оно также называется функцией оценки или функцией цели в проблемах оптимизации.

ФЕНОТИП - Физическое выражение структуры. Декодированный набор ген.

ХРОМОСОМА - Составляющий вектор, строка, или решение.

• Д. -Э. Бэстенс, В. .М. Ван Ден Берг, Д. Вуд. .Hейронные сети и финансовые рынки.., Москва, научное издательство.ТВП., 1997.
• Галушкин А. И. .Hейрокомпьютеры и их применение. Книга 1. Теория нейронных сетей.. Москва, Издательское предприятие редакции журнала.Радиотехника.,2000.
• Тейво Кохонен, Гвидо Дебок.Анализ финансовых данных с помощью самоорганизующихся карт., Москва, издательский дом.Альпина., 2001.
• Ф. Уоссерман. .Hейрокомпьютерная техника., Москва, издательство.Мир., 1992.
• Шумский C. A. .Hейрокомпьютинг и его применение в экономике и бизнесе., Москва, издательство МИФИ, 1998.
• А. И. Змитрович Интеллектуальные информационные системы. - Минск.: HТООО "Тетра Системс", 1997. - 368с.
• В. В. Корнеев, А. Ф. Гарев, С. В. Васютин, В. В. Райх Базы данных. Интеллектуальная обработка информации. - М.: "Hолидж", 2000. - 352с.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Понятие и основные характеристики нечеткого множества

Определение 1.1. ПустьX – универсальное множество.Нечетким множеством A на множествеX (нечетким подмножествомA множестваX ) называется совокупность пар

A = {<μ A (x ),x >}, (1.1)

где x X ,μ A (x ) .X называетсяобластью определения нечеткого множестваA , аμ A –функцией принадлежности этого множества. Значение функции принадлежностиμ A (x ) для конкретного элементаx X называетсястепенью принадлежности этого элемента нечеткому множествуA .

Интерпретацией функции принадлежности является субъективная мера того, насколько элемент x X соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множествомA . При этом значение, равное 1, означает полное (абсолютное) соответствие, значение, равное 0 – полное (абсолютное) несоответствие.

Определение 1.2. Нечеткие множества с дискретной областью определения называютдискретными нечеткими множествами , не-

четкие множества с непрерывной областью определения – непрерыв-

ными нечеткими множествами.

Обычные (четкие) множества можно также рассматривать в нечетком контексте. Функция принадлежности обычного множества может принимать только два значения: 0, если элемент не принадлежит множеству, и 1, если элемент ему принадлежит.

В литературе можно встретить различные формы записи нечетких множеств. Для дискретной области определения X ={x 1 ,x 2 , …,x n } (возможен также случайn = ∞) существуют следующие формы:

j = 1

где знак интеграла имеет смысл поточечного объединения наX . Кроме того, как для дискретного, так и для непрерывного случаев применяется обобщенная форма записи:

B = {x x ≈ 2} – множество вещественных чисел,приблизительно равных 2, иC = {x x >> 1} – множество вещественных чисел,на-

много бóльших 1. Возможные формы функций принадлежности этих множеств схематически представлены на рис.1.1 и рис.1.2 соответственно.

В качестве примера дискретного нечеткого множества можно рассмотреть D = {n n ≈ 1} – множество целых чисел,близких к 1,

возможная форма задания которого следующая:

N = {0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5} (остальные точки имеют нулевую степень принадлежности).

Конкретный вид функции принадлежности зависит от смысла, вкладываемого в формализуемое понятие в условиях конкретной задачи, и часто имеет субъективную природу. Большинство методов построения функций принадлежности в той или иной мере основано на обработке информации, получаемой экспертным путем.

Примечание 1. Здесь sup (супремум) – точная верхняя грань функции принадлежности. Если множествоX (область определения) является замкнутым, то супремум функции совпадает с ее максимумом.

Определение 1.5. Еслиh A = 1, то нечеткое множествоA называ-

ется нормальным, иначе (hA < 1) – субнормальным.

Определение 1.6. Носителем нечеткого множестваA называется множество

элементы области определения, хоть в какой-то степени соответствующие формализуемому понятию.

Примечание 2. Не следует путать обозначения sup и Supp. Первое является сокращением отsupremum , второе – отsupport .

Определение 1.7. Множеством уровняα (α -срезом) нечеткого

Ядро нечеткого множества, тем самым, содержит все элементы области определения, полностью соответствующие формализуемому понятию.

откуда следует, что элемент, принадлежащий множеству уровня α , принадлежит также всем множествам меньших уровнейβ ≤α .

Определение 1.9. ПустьA иB – нечеткие множества на множествеX с функциями принадлежностиμ A иμ B соответственно. Гово-

рят, что Aявляется нечетким подмножеством B(B включает в себя

A ), если выполнено следующее условие:

Среди нечетких множеств с числовой областью определения выделяют также класс нечетких чисел инечетких интервалов . Для определения этого класса вводится понятие выпуклости нечетких множеств.

Определение 1.11. Нечеткое подмножествоA вещественной оси называетсявыпуклым , если выполняется следующее условие:

На рис. 1.3 показаны примеры выпуклого (слева) и невыпуклого (справа) нечетких множеств.

Рис. 1.3. К определению выпуклости нечеткого множества

Определение 1.12. Нечетким интерваломназывается выпуклое нормальное нечеткое множество на числовой области определения, имеющее непрерывную функцию принадлежности и непустое ядро. Нечетким числомназывается нечеткий интервал, ядро которого содержит в точности один элемент.

Для нечетких интервалов и чисел существует теорема представления, согласно которой нечеткое подмножество A вещественной оси является нечетким интервалом тогда и только тогда, когда его функция принадлежности представима в виде:

Функции L A иR A называются соответственно левой и правой ветвью функции принадлежности нечеткого числа. Эти функции непрерывны, при этомL A на отрезке возрастает отL A (a 0 ) = 0 до

L A (a 1 ) = 1, аR A на отрезке убывает отR A (b 1 ) = 1 доR A (b 0 ) = 0 (рис. 1.4).

Рис. 1.4. К определению нечеткого интервала

Определение 1.13. ПустьA = {A 1 ,A 2 ,… ,A n } – семейство нечетких множеств, заданных на области определенияX .Ã называетсянечетким разбиением X с параметромα (0 <α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(т.е. любой элемент области определения принадлежит хотя бы одному из множеств семейства Ã со степенью, не меньшейα – рис. 1.5).

Нечёткое (или размытое, расплывчатое) множество - понятие, введённое Л. Заде, который расширил классическое (канторовское) понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале , а не только значения 0 или 1.

Определение : нечеткое множество (a fuzzy set)

Пусть C есть некоторое универсальное множество (универсум). Тогда нечеткое множество A в C определяется как упорядоченное множество пар

где называется функцией принадлежности (ФП) элемента х к нечеткому множеству A .

ФП приписывает каждому элементу из C значение из интервала , которое называется степенью принадлежности х к A или нечеткой мерой.

Нечеткая мера может быть рассмотрена как степень истинности того, что элемент х принадлежит A .

Определение : основа нечеткого множества (a support of a fuzzyset)

Основой нечеткого множества A является множество всех точек таких, что .

Таким образом, определение нечеткого множества является расширением определения классического множества, в котором характеристическая функция может принимать непрерывные значения между 0 и 1. Универсум C может быть дискретным или непрерывным множеством.

Для представления ФП обычно используется несколько типов параметрических функций.

Типовые представления ФП

Треугольные ФП (рис. 2.2, а) описываются тремя параметрами {a, b, c }, которые определяют x координаты трех углов треугольника следующим образом:

Трапециидальные ФП (рис. 2.2, в) описываются четырьмя параметрами {a,b,c,d }, которые определяют x координаты четырех углов трапеции следующим образом:

Рис. 2.2. Треугольная и трапецеидальная ФП

Гауссовские ФП (рис. 2.3) специфицируются двумя параметрами и представляют собой следующую функцию: .

Рис. 2.3. Гауссовская ФП

Лингвистические переменные

Одним из фундаментальных понятий, введенных также Л.Заде, является понятие лингвистической переменной.

Определение : лингвистическая переменная (ЛП) представляет собой следующую пятерку , где – имя переменной, – терм-множество, задающее множество значений ЛП, являющихся языковыми выражениями (синтагмами), X – универсум, G – синтаксическое правило, используя которое мы можем формировать синтагмы , M – семантическое правило, используя которое каждой синтагме приписывается ее значение, являющееся нечетким множеством в универсуме X .

Примером ЛП может служить, например, переменная = «возраст». Ее терм-множество может быть, например, следующим:

(возраст) = {очень молодой , молодой , более или менее молодой , средних лет , старый , очень старый }.

Универсумом для данной ЛП может служить некоторое множество действительных чисел, например, интервал . Семантическое правило М приписывает термам из T (возраст) значения, являющиеся различными модификациями нечетких множеств.

Вернемся к нашему примеру управления движением автомобиля и опишем лингвистические значения в выше приведенных правилах с помощью нечетких множеств. Рассмотрим следующие лингвистические переменные:

x – расстояние между машинами;

y – скорость впереди едущей машины;

z – ускорение управляемого автомобиля.

ФП должны быть определены в соответствии с рассматриваемой ситуацией управления. Так, например, скорость равная 70 км/час является «большой» в ситуации движения по городской дороге и может рассматриваться как «небольшая» в ситуации движения по скоростному шоссе.

Определим для нашего примера следующие универсумы:

[м], [км/час],

[км/час 2 ].

На рис. 2.4 показаны ФП для описания лингвистических значений «небольшая» (slow) и «большая» (fast) для скорости и «близкое» (short) и «большое» (long) для расстояния.

Рис. 2.4. Нечеткие множества для задачи управления простейшим движением автомобиля

Различия между классическим и нечетким представлением множества

Обсудим эти различия с использованием следующего примера. Рассмотрим классическое и нечеткое представления множества для описания лингвистического значения «короткий» (для расстояния).

На рис. 2.5 показаны различия между классическим и нечетким представлением множества A для данного примера.

Рис. 2.5. Классическое и нечеткое представления множества A

Определим классическое представление множества A так, как показано на рис. 2.5 слева. В этом случае характеристическая функция будет:

Нечеткое представление множества A показано на рис. 2.5 справа. В этом случае функция принадлежности ФП выглядит следующим образом:

Зададим теперь следующий вопрос : принадлежит ли точка м или точка м множествуA ?

С точки зрения классического представления ответ «нет». С точки зрения человеческого восприятия ответ скорее «да», чем «нет». С точки зрения нечеткого представления ответ «да».

Таким образом, данный простой пример наглядно показывает, что нечеткий подход более близок к естественному, человеческому, и обладает большей гибкостью, нежели классический подход.

С помощью нечетких множеств мы можем описывать нечеткие границы.

Основные операции в теории нечетких множеств

Определим основные нечеткие операции следующим образом.

Определение : нечеткое подмножество (Fuzzy Containment или Fuzzy Subset). Нечеткое множество A содержится в нечетком множестве B (или, эквивалентно, A является подмножеством B ) тогда и только тогда, когда для всех . В символьной форме:

Определение :эквивалентность нечетких множеств (Equality of Fuzzy Sets). Эквивалентность (равенство) нечетких множеств A и B определяется следующим образом:

Для каждого .

Определение :нечеткое объединение или нечеткая дизъюнкция (Fuzzy Union).Объединение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме пишется как или A OR B или A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:

Определение :нечеткое пересечение (Fuzzy Intersection).Пересечение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме записывается как , или C = A AND B , или C = A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:

Определение :нечеткое дополнение. Дополнение A (в символьной форме пишется как или ) есть нечеткое, ФП которого определяется следующим образом:

На рис 2.6 показаны примеры нечетких операций над нечеткими множествами.

Рис. 2.6. Примеры нечетких операций над нечеткими множествами

Особенности нечетких множеств

Отметим важные особенности теории нечетких множеств.

1) Закон исключенного третьего и закон контрадикции , где - пустое множество верны в классической теории множеств, однако в теории нечетких множеств в общем случае они не выполняются .

Закон исключенного третьего и закон контрадикции в нечеткой теории выглядят следующим образом: и .

2) В классической теории множеств точка из множества A может иметь одну из двух возможностей: or . В нечеткой теории точка может принадлежать множеству A и одновременно не принадлежать A (т.е. принадлежать множеству ) с различными значениями функций принадлежности и , как показано на рис. 2.7.

Лекция 4. Моделирование и принятие решений в ГИС.

1. Нечеткие множества

2. Методы оптимизации

Нечеткие множества

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важных задач развития ГИС, особенно по применению их в различных сферах управления.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад про- ром Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде. Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, №8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятиемножества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0,1)), а не как в классической теории только значения 0 либо 1. Такие множества были названынечеткими(fuzzy).

Им были также определены операции над нечеткими множествами и предложены обобщения известных методов логического вывода.

Рассмотрим некоторые основные положения теории нечетких множеств.

Пусть Е - универсальное множество, х - элементЕ, аК - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножествоА универсального множестваЕ, элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция , принимающая значение 1 , если х удов­летворяет свойству R , и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да - нет» относительно свойства R . В связи с этим не­четкое подмножество А универсального множестваЕ определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А . Множество М назы­вают множеством принадлежностей . Если М = {0,1} , то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М .

Величина называется высотой нечеткого множества А . Нечеткое множество А нормально , если его высота равна 1 , т. е. верхняя граница его функ­ции принадлежности равна 1 ( =1 ). При < 1 нечеткое множест­во называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто , если Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, дав­ление, температура и т. д., или когда выделяются полярные значения.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности использу­ются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые опре­деляется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попар­ных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например то попарные сравнения можно представить мат­рицей отношений , где (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, =1/ , т. е. если один элемент оценивается в а раз выше чем другой, то этот последний должен быть в 1/ раз сильнее. В общем случае задача сводится к поиску вектора , удовлетворяющего уравнению вида , где - наибольшее собственное значение матрицы А .

Введение понятия лингвистической переменной, и допущение, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Поскольку матрица А положительно-определенная по построению, решение данной задачи существует при принятом значении () и является положительным. С(Т), где С(Т) - множество сгенерированных термов, называется расширен­ным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значе­ние лингвистической переменной, образуемое процедурой С, в нечеткую перемен­ную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Введя понятие лингвистической переменной и допуская, что в качестве ее зна­чений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Нечеткое множество - ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ-сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) —характеристическая функция, принимающая значе-ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль-ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

А = { μ A (x ) / x },

где μ А (х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) , принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы-вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть Е = {x 1 , x 2 , х з, x 4 , x 5 }, М = ; А — нечеткое множество, для которого μ A (x 1 )= 0,3; μ A (х 2 )= 0; μ A (х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A (х 5 )= 0,9.

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 },

или

А ={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

или

Замечание . Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = и А — нечеткое множество с элементами из универсаль-ного множества Е и множеством принадлежностей М.

Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав-на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (= 1). При < 1нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μ A (x ) = 0. Непу-стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Нечеткое множество унимодально, если μ A (x ) = 1 только на одном х из Е.

. Носителем нечеткого множества А является обычное под-множество со свойством μ A (x )>0, т.е. носитель А = {x /x ϵ E, μ A (x )>0}.

Элементы x ϵ E , для которых μ A (x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = . Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода — {3, 8}.

2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n ,… }. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

3. Пусть Е = {1, 2, 3, . . ., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е" = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции при-надлежности μ Молодой (x ) на Е = {1, 2, 3, . . ., 100} (возраст), называемой по отношению к Е" функцией совместимости, при этом:

где х — возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… } - множе-ство марок автомобилей, а Е" = — универсальное множество «Сто-имость», тогда на Е" мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при-надлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е" нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни-версальном множестве Е = { ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...}, выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е — множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

О методах построения функций принадлежности нечет-ких множеств

В приведенных выше примерах использованы пря-мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μ А (х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис-пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде-лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка-лы, задает μ A (х) ϵ , формируя векторную функцию принад-лежности { μ A (х 1 ) , μ A (х 2 ),…, μ A (х 9) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет-ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че-ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ лысый (данного лица). (В этом примере можно действо-вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принад-лежности используются в случаях, когда нет элементарных из-меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне-ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из-вестны, например, μ A (х- i ) = ω i , i = 1, 2, ..., n ,то попарные срав-нения можно представить матрицей отношений А = { a ij }, где a ij = ω i / ω j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом пред-полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен-тов симметричных относительно диагонали a ij = 1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по-следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw = λ max w , где λ max — наибольшее собствен-ное значение матрицы А . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло-жительным.

Можно отметить еще два подхода:

• использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа - см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
• использование относительных частот по данным экспе-римента в качестве значений принадлежности.