Опорные формулы для доказательства неравенств. Методы доказательства неравенств

Ф. Ницше, 3. Фрейд, Э. Фромм, А. Камю, Ж. П. Сартр

Сумерки богов

Предисловие

В марксовой работе «К критике гегелевской философии права. Введение», написанной в конце 1843 - начале 1844 г., мы встречаем тезис, до сих пор, по-видимому, в полной мере не оцененный. Маркс пишет: «…критика религии - предпосылка всякой другой критики». Религия для Маркса, как и для многих революционно настроенных демократов того времени, представляла собой воплощение догматического, авторитарного, сковывающего мысли, чувства и действия духа. Преодолеть религию означало преодолеть догматизм, веру в безусловность тех или иных постулатов, выливающуюся в безусловное подчинение существующим социальным институтам или лицам, их представляющим. В этом свете ясны и его дальнейшие слова: «Критика религии освобождает человека от иллюзий, чтобы он мыслил, действовал, строил свою действительность как освободившийся от иллюзий, как ставший разумным человек; чтобы он вращался вокруг себя самого и своего действительного солнца. Религия есть лишь иллюзорное солнце, движущееся вокруг человека до тех пор, пака он не начинает двигаться вокруг себя самого». Логическим развитием этих представлений является классическое положение марксизма о том, что в основе превратного, рабского мышления лежит превратный мир государства, общества. Именно они порождают мировоззрение человека, который «или еще не обрел себя, или уже снова себя потерял».

Атеистическая мысль - хотелось бы подчеркнуть это особо - имеет исторические традиции, восходящие к древности, она возникла задолго до марксизма и продолжает существовать в немарксистских формах и сегодня. Отличительная черта марксистского подхода к религии состоит в том, что критика религии ставится в связь с критикой практики, то есть социальных установлений, институтов, отношений и т. д., более того, опосредуется критикой практики. Именно через преобразование общества можно воздействовать и на религиозное сознание. Немарксистская же критика религии направлена непосредственно на само религиозное сознание и не затрагивает вопроса о преобразовании социальной действительности, его порождающей и воспроизводящей.

Своего рода примерами такой критики являются публикуемые в сборнике произведения классиков философии конца XIX - середины XX века Ф. Ницше, 3. Фрейда, Э. Фромма, А. Камю и Ж. П. Сартра. Долгое время в нашей литературе подчеркивали прежде всего «недостаточность», «ограниченность» буржуазного атеизма и свободомыслия. Хотелось бы заметить, что классики марксизма-ленинизма рассматривали это явление более всесторонне, не столь однозначно. Так, Марксу принадлежит тезис (часто, впрочем, цитируемый вне контекста критики религии): «Оружие критики не может, конечно, заменить критики оружием, материальная сила должна быть опрокинута материальной же силой; но и теория (в данном случае имеется в виду атеистическая критика. Разр. моя. - А. Я.) становится материальной силой, как только она овладевает массами». Известно, какое значение Маркс придавал «теоретической эмансипации», неоднократно подчеркивая, что «политическая эмансипация не есть доведенный до конца, свободный от противоречий способ человеческой эмансипации». В. И. Ленин прямо настаивал на союзе с немарксистами в деле атеистической критики, подчеркивал позитивный смысл критики религии, скажем, со стороны французских просветителей XVIII века, называл их произведения образцами атеистической литературы. В работе «О значении воинствующего материализма» он указывал, что «союз» с ними в той или иной форме, в той или иной степени «для нас обязателен в борьбе с господствующими религиозными мракобесами».

Творчество знаменитого философа XIX века Фридриха Ницше, к сожалению, почти неизвестно современному читателю в нашей стране, хотя в начале века в России широко издавались его произведения (качество большинства переводов, впрочем, оставляло желать лучшего). Увлечение идеями и личностью Ницше во многом передалось и тем поколениям философов, мыслителей, литераторов, которые принадлежат второй половине XX столетия. На Западе основные работы Ницше регулярно переиздаются, предлагаются различные, иногда прямо противоположные, интерпретации его идей. Короче говоря, Ницше продолжает оставаться современным философом. Думается, что всестороннюю оценку его концепций с точки зрения марксизма еще предстоит дать после того, как они будут тщательно проанализированы, а основные произведения Ницше заново переведены и изданы. В «Антихристианине», одном из главных произведений позднего периода творчества Ницше, содержится множество идей, которые принято считать классическими для этого мыслителя. Рассмотрение всех его идей вышло бы за рамки задач данного предисловия, поэтому остановимся на одной, весьма важной и до сих пор вызывающей споры и частое осуждение - на известном положении Ницше: «Падающего - толкни».

В книгу включены произведения крупнейших западных мыслителей которые подвергают критике религиозные идеи. Некоторые из произведений публикуются на русском языке впервые.

Рассчитана на пропагандистов, преподавателей и студентов вузов, на всех интересующихся атеистической проблематикой.

Введение

Фридрих Ницше . Антихристианин (Опыт критики христианства)

Зигмунд Фрейд. Будущее одной иллюзии

Эрих Фромм . Психоанализ и религия

Альбер Камю. Миф о Сизифе. Эссе об абсурде

Жан Поль Сарт. Экзистенцианализм – это гуманизм

Введение

В марксовой работе «К критике гегелевской философии права. Введение», написанной в конце 1843 - начале 1844 г., мы встречаем тезис, до сих пор, по-видимому, в полной мере не оцененный. Маркс пишет: «...критика религии - предпосылка всякой другой критики». Религия для Маркса, как и для многих революционно настроенных демократов того времени, представляла собой воплощение догматического, авторитарного, сковывающего мысли, чувства и действия духа. Преодолеть религию означало преодолеть догматизм, веру в безусловность тех или иных постулатов, выливающуюся в безусловное подчинение существующим социальным институтам или лицам, их представляющим. В этом свете ясны и его дальнейшие слова: «Критика религии освобождает человека от иллюзий, чтобы он мыслил, действовал, строил свою действительность как освободившийся от иллюзий, как ставший разумным человек; чтобы он вращался вокруг себя самого и своего действительного солнца. Религия есть лишь иллюзорное солнце, движущееся вокруг человека до тех пор, пока он не начинает двигаться вокруг себя самого». Логическим развитием этих представлений является классическое положение марксизма о том, что в основе превратного, рабского мышления лежит превратный мир государства, общества. Именно они порождают мировоззрение человека, который «или еще не обрел себя, или уже снова себя потерял».

Атеистическая мысль - хотелось бы подчеркнуть это особо - имеет исторические традиции, восходящие к древности, она возникла задолго до марксизма и продолжает существовать в немарксистских формах и сегодня. Отличительная черта марксистского подхода к религии состоит в том, что критика религии ставится в связь с критикой практики, то есть социальных установлений, институтов, отношений и т. д., более того, опосредуется критикой практики. Именно через преобразование общества можно воздействовать и на религиозное сознание. Немарксистская же критика религии направлена непосредственно на само религиозное сознание и не затрагивает вопроса о преобразовании социальной действительности, его порождающей и воспроизводящей.

Своего рода примерами такой критики являются публикуемые в сборнике произведения классиков философии конца XIX - середины XX века Ф. Ницше, 3. Фрейда, Э. Фромма, А. Камю и Ж. П. Сартра **. Долгое время в нашей литературе подчеркивали прежде всего «недостаточность», «ограниченность» буржуазного атеизма и свободомыслия. Хотелось бы заметить, что классики марксизма-ленинизма рассматривали это явление более всесторонне, не столь однозначно. Так, Марксу принадлежит тезис (часто, впрочем, цитируемый вне контекста критики религии): «Оружие критики не может, конечно, заменить критики.оружием, материальная сила должна быть опрокинута материальной же силой; но и теория (в данном случае имеется в виду атеистическая критика. Разр. моя.- А. Я-) становится материальной силой, как только она овладевает массами» ***. Известно, какое значение Маркс придавал «теоретической эмансипации», неоднократно подчеркивая, что «политическая эмансипация не есть доведенный до конца, свободный от противоречий способ человеческой эмансипации» ****. В. И. Ленин прямо настаивал на союзе с немарксистами в деле атеистической критики, подчеркивал позитивный смысл критики религии, скажем, со стороны французских просветителей XVIII века, называл их произведения образцами атеистической литературы. В работе «О значении воинствующего материализма» он указывал, что «союз» с ними в той или иной форме, в той или иной степени «для нас обязателен в борьбе с господствующими религиозными мракобесами» *.

Творчество знаменитого философа XIX века Фридриха Ницше, к сожалению, почти неизвестно современному читателю в нашей стране, хотя в начале века в России широко издавались его произведения (качество большинства переводов, впрочем, оставляло желать лучшего). Увлечение идеями и личностью Ницше во многом передалось и тем поколениям философов, мыслителей, литераторов, которые принадлежат второй половине XX столетия. На Западе основные работы Ницше регулярно переиздаются, предлагаются различные, иногда прямо противоположные, интерпретации его идей. Короче говоря, Ницше продолжает оставаться современным философом. Думается, что всестороннюю оценку его концепций с точки зрения марксизма еще предстоит дать после того, как они будут тщательно проанализированы, а основные произведения Ницше заново переведены и изданы. В «Антихристианине», одном из главных произведений позднего периода творчества Ницше, содержится множество идей, которые принято считать классическими для этого мыслителя. Рассмотрение всех его идей вышло бы за рамки задач данного предисловия, поэтому остановимся на одной, весьма важной и до сих пор вызывающей споры и частое осуждение - на известном положении Ницше: «Падающего - толкни».

Какой смысл вкладывал немецкий философ в этот сам по себе неприглядный тезис? Ницше прежде всего имел в виду критику христианства, которое считал религией слабых, униженных, рабов. Христианская религия отрицает свободу мышления, самостоятельность действий человека. Больше того, христианский догматизм, как и всякий другой, нуждается в слое подавленных людей, на который он мог бы опираться. За несколько десятилетий до Ницше Маркс писал по этому поводу: «Слабость всегда спасалась верой в чудеса; она считала врага побежденным, если ей удавалось одолеть его в своем воображении посредством заклинаний, и утрачивала всякое чувство реальности из-за бездейственного превознесения до небес ожидающего ее будущего и подвигов, которые она намерена совершить, но сообщать о которых она считает пока преждевременным» *. Социальная база христианской религии - как раз люди внутренне несвободные, более того, превратившие собственную несвободу в идеал, смирение - в добродетель. Но человек - движется далее мысль Ницше - свободен, а смирение есть оковы, которые надевает на людей лицемерная каста жрецов ради достижения собственной власти. Вывод Ницше выглядит парадоксальным: не свержение строя, порождающего несвободу, а возрождение идеала сильной и свободной личности - идеала античности и Возрождения, отказ от культа слабости и униженности, покаяния, жертвы и самопожертвования, навязанного религией лицемерия.

Нацизм в свое время ухватился за эти рассуждения Ницше, истолковав их на свой лад и объявив войну «сла^ бым», а именно тем, кого следовало бы поработить или уничтожить ради процветания «высшей расы». Но фашистская интерпретация идей Ницше, разумеется, до крайности искажала его мысли, превращала мыслителя в шовиниста и человеконенавистника, каким он не был. Вины философа в такой интерпретации его трудов нет, читатель сможет убедиться в этом, внимательно прочитав перевод «Антихристианина».

Работы Зигмунда Фрейда, как известно, вызвали резко враждебное отношение в религиозных кругах. Как и предполагал основатель психоанализа, атака на это направление в психологии и психотерапии началась после того, как психологическому исследованию стали подвергать религиозные убеждения, этот последний бастион слепой веры. По-видимому, именно в лоне религиозной критики был рожден, вылеплен образ Фрейда как некоего интеллектуального чудовища, посягнувшего на святая святых - мир интимной жизни человека. Дело не ограничилось нападками теологов. В нацистской Германии все произведения мыслителя были сожжены публично. Геббельс, руководивший в 1933 г. сожжением книг, неугодных режиму, сопроводил акт уничтожения произведений Фрейда следующими словами: «За разрушающую душу переоценку сексуальной жизни и во имя благородства человеческого духа предаю пламени работы некоего Зигмунда Фрейда».

В нашей стране последние издания Фрейда датируются началом 30-х годов. После этого происходившие в обществе негативные процессы, связанные с культом личности Сталина, сделали невозможным не только развитие, но и само существование довольно сильной, с мировой известностью, советской психоаналитической школы. Вплоть до последнего времени идеи и методики психоанализа, как правило, объявлялись «иррационализмом», несмотря на всю необоснованность такого рода оценок. В статье «Будущее одной иллюзии» Фрейд предстает продолжателем как раз рационалистической, просветительской линии в философии.

Собственно психологические идеи Фрейда стали уже при его жизни предметом научной критики, методики его были во многом пересмотрены, а сама школа психоанализа претерпела значительную эволюцию. Поэтому с научной точки зрения концепцию Фрейда можно оценить лишь как этап - хотя и важный - в развитии современных представлений о феномене бессознательного и его роли в человеческом поведении. Однако выводы Фрейда, касающиеся места религии и религиозных заблуждений в культуре, обществе и сознании человека, сам подход к религии как к феномену психики и в контексте изучения неврозов представляются интересными и в определенных моментах плодотворными, продолжающими рационалистическую критику религиозного мировоззрения.

Эрих Фромм известен советскому читателю по книге «Иметь или быть?» *. Ученик Фрейда, один из классиков направления, получившего название «неофрейдизм», Фромм значительную часть своих работ посвятил популяризации идей учителя. Новое в его взглядах по сравнению со взглядами Фрейда состояло в большем внимании к социальным вопросам, что видно и по его книге «Психоанализ и религия», публикуемой в настоящем сборнике. Центральное место в ней занимает различение «авторитарного» и «гуманистического» моментов (сторон) в религии. Защищая гуманистические принципы, борясь против фетишизма, Фромм пытается найти союзников повсюду, в том числе и в религии. Заметим, однако, что принцип «не убивай» - безусловно, гуманистический принцип - вовсе не является исключительной собственностью христианской религии, он существовал с зарождения цивилизации и является древней общечеловеческой нормой. Христианство лишь подхватило его, как, впрочем, и другие простые общечеловеческие правила нравственности, возвело в ранг «заповеди», данной людям свыше и якобы потому стоящей над человеческими отношениями, и в таком христиански приукрашенном, назидательно-менторском виде внедрило в общественное сознание.

Такими же нормами человеческих отношений являются некоторые другие заповеди, например: «не прелюбодействуй», «не кради», «не произноси ложного свидетельства на ближнего твоего», «почитай отца твоего и матерь твою», «не желай жены ближнего твоего и не желай дома ближнего твоего». Марксизм в своем этическом учении вовсе не отрицает необходимости соблюдения этих правил человеческого общежития, наоборот, настаивает на безусловном их выполнении.

В то же время в «нравственном законе» христианства имеются и такие заповеди, которые не могут не вызвать у современного человека недоумения. Действительно, как согласуется с принципом самого христианского учения - принципом любви к ближнему - такая заповедь: «Не делай себе кумира и никакого изображения того, что на небе вверху и что на земле внизу, и что в водах ниже земли, не поклоняйся им и не служи им; ибо я господь, бог твой, бог ревнитель, за вину отцов наказывающий детей до третьего и четвертого рода, ненавидящих меня, и творящий милость до тысячи родов любящим меня и соблюдающим заповеди мои» (Втор. 5:8-10). Точно по. смыслу эту так называемую нравственную заповедь следовало бы сформулировать так: «Если не будешь меня любить - накажу и тебя, и детей твоих». Именно такого рода стороны в христианстве и других религиях Фромм называет авторитарными.

Среди идей, высказываемых Фроммом, можно встретить и марксистские по сути своей положения. Так, рассуждения о «проекции» и «отчуждении» перекликаются с отдельными мыслями из «Экономическо-философских рукописей 1844 года»: «Чем больше вкладывает человек в бога, тем меньше остается в нем самом»; «...В религии самодеятельность человеческой фантазии, человеческого мозга и человеческого сердца воздействует на индивидуума независимо от него самого, т. е. в качестве какой-то чужой деятельности, божественной или дьявольской...»

Выделяя гуманистические моменты в религии, ее позитивное содержание, Фромм пытается найти форму компромисса, которая позволила бы объединить как можно большее количество людей под знаменами общечеловеческих ценностей. И уже в этом отделении общих принципов религии от определенной формы их выражения налицо противоречие: ведь каждая религия полагает, что отличается от других своей особенной и единственно истинной сущностью.

Что касается позитивного содержания, заложенного в социальных принципах христианства, как таковых, взятых в отвлечении от общечеловеческих мотивов, то Маркс высказался на этот счет весьма недвусмысленно. «Социальные принципы христианства,- писал он,- оправдывали античное рабство, превозносили средневековое крепостничество и умеют также, в случае нужды, защищать, хотя и с жалкими ужимками, угнетение пролетариата.

Социальные принципы христианства проповедуют необходимость существования классов - господствующего и угнетенного, и для последнего у них находится лишь благочестивое пожелание, дабы первый ему благодетельствовал.

Социальные принципы христианства переносят на небо... компенсацию за все испытанные мерзости, оправдывая тем самым дальнейшее существование этих мерзостей на земле.

Социальные принципы христианства объявляют все гнусности, чинимые угнетателями по отношению к угнетенным, либо справедливым наказанием за первородный и другие грехи, либо испытанием, которое господь в своей бесконечной мудрости ниспосылает людям во искупление их грехов.

Социальные принципы христианства превозносят трусость, презрение к самому себе, самоунижение, смирение, покорность, словом - все качества черни, но для пролетариата, который не желает, чтобы с ним обращались, как с чернью, для пролетариата смелость, сознание собственного достоинства, чувство гордости и независимости - важнее хлеба.

На социальных принципах христианства лежит печать пронырливости и ханжества, пролетариат же - революционен.

Вот как обстоит дело с социальными принципами христианства».

Критика Марксом христианства относится не только к протестантизму и католицизму, но и к иудаизму, и к ряду восточных религий, она направлена на религию в целом.

В научном анализе религиозного сознания Фромм, очевидно, делает шаг назад по сравнению с Фрейдом, жертвуя научностью ради популярного, доходчивого изложения.

Работу Альбера Камю «Миф о Сизифе» иногда называют «манифестом атеистического экзистенциализма», хотя для читателя, не знакомого с католицизмом, его духом и догматами, будет не очень понятно, почему рассуждения мыслителя об абсурде, самоубийстве и «все дозволено» Достоевского вообще относятся к атеизму. Но во Франции 40-х годов это произведение Камю воспринималось как прямая атака на религию. Французский мыслитель стремится проанализировать сознание человека, лишившегося религии, веры в бога, а именно такова судьба современного человека, как считает Камю. Это сознание находится на той грани, когда веры у человека уже нет, а новой точки опоры еще нет. Человеку в таком состоянии очень трудно примириться с мыслью о бессмысленности поисков внешней опоры, с тем, что он должен рассчитывать только на себя. Это «разорванное» сознание - сознание абсурда - Камю и выразил в «Мифе о Сизифе». Если бога нет, стоит ли жизнь того, чтобы ее прожить?"" - задает мыслитель свой главный вопрос. Столкновение с бессмысленностью мира - делается вывод в книге - приводит нерелигиозного человека к единственному выходу, к надежде, которая заключена в нем самом, в творческой открытости его существования.

Хотелось бы только заметить, что подобно тому, как религиозное чувство «есть общественный продукт», так и иррелигиозное чувство имеет вполне определенные социальные истоки, а именно стремление освободиться от духовных оков, связывающих человека с целью сохранения существующего социального порядка. Не случайно протест против догматизма принимает особенно резкие формы именно в периоды революционных преобразований.

К очерку Камю примыкает небольшая работа Жана Поля Сартра - одного из крупнейших философов XX века. Сартр четко и недвусмысленно ставит по крайней мере два важнейших философских вопроса: существует ли «природа человека» и каково отношение «свободы человека» и «обстоятельств»? На первый вопрос мыслитель отвечает в духе экзистенциализма, доказывая принципиальное положение об открытости человека, о том, что человек - это не что иное, как тот проект, который им самим конструируется, это то, что каждый решается сделать со своей жизнью, это - самоопределение, а не предопределение. Нет никакой «природной» или «божественной» сущности, которая могла бы предрешать поведение и мышление, тем более неверно было бы приписывать человеку предопределение свыше. За этими рассуждениями Сартра лежит максима экзистенциалистской морали - человек совершенно свободен в своей внутренней жизни, и никакие обстоятельства не могут поколебать этой его изначальной свободы, от которой, как парадоксальным образом выразил это Сартр, человеку не спастись. Но парадокс заключен не только в способе выражения, но и в том, что Сартр, сам, видимо, того не желая, начинает строить совершенно определенную картину человеческого бытия, возвращаясь к концепции человека как существа, имеющего свое «естество», а именно естество внутренней свободы. Кроме того, человек - и это понятно не только марксистам - не может довольствоваться только внутренней свободой. Изменение внешних обстоятельств, создание достойного людей образа жизни - важнейший принцип гуманизма.

Думается, читатель с интересом познакомится с идеями крупнейших западных философов XX столетия.

Почему публикация этих произведений стала возможна только сегодня, а не пять или более лет назад? Процессы демократизации, расширяющейся гласности, все то, что мы называем движением за перестройку, обновление нашего общества, заставляет ставить по-новому и многие вопросы, связанные с отношением к мировому культурному, в частности философскому, наследию. Учет опыта критики религии, накопленного в развитии мировой философии в XIX-XX веках, без сомнения, продвинет наши представления о возможностях теоретического анализа религиозного сознания. Тот уровень обсуждения проблем религии, на который выходят современные ее критики, а именно философский уровень позволяет ставить вопрос о нетождественности религиозного сознания - религии. Первое гораздо шире и является определенной социально-психологической установкой, связанной с умонастроением довольно широких консервативно настроенных общественных слоев, страшащихся перемен, фетишизирующих определенные социальные институты и установления, превращающих в теоретические и практические догмы собственно охранительные лозунги. Не случайно нередко наблюдающееся смыкание консервативных групп с религиозными организациями, строящими свою деятельность на безусловном «поклонении» и «служении» культовым символам.

Всякая революция, в том числе и наша, происходящая в стране сегодня революция, неизбежно ломает привычные, устоявшиеся формы жизни и деятельности, поэтому содержащаяся в критике религиозного сознания критика догматизма и рабской установки на подчинение фетишизируемым иллюзиям, порождениям мещанской боязни нового, несомненно, внесет свой позитивный вклад в утверждение складывающегося в ходе перестройки революционного образа социализма.

Хотелось бы сформулировать в заключение принципиальную позицию марксизма по вопросу об атеизме и немарксистской критике религии. В письме Арнольду Руге от 30 ноября 1842 года Маркс высказывает следующую мысль: «...религия сама по себе лишена содержания, ее истоки находятся не на небе, а на земле, и с уничтожением той извращенной реальности, теоретическим выражением которой она является, она гибнет сама собой... Поменьше щеголять вывеской «атеизма» (что напоминает детей, уверяющих всякого, кто только желает их слушать, что они не боятся буки) и лучше пропагандировать содержание философии среди народа». Противопоставление религии как отсутствия содержания и философии как содержательного рассуждения встречается в работах Маркса «Различие между натурфилософией Демокрита и натурфилософией Эпикура», «Передовица в № 179 «Kolnische Zeitung», «К критике гегелевской философии права», «Экономическо-философские рукописи 1844 года» и др. Маркс специально указывал, что все без исключения философские учения прошлого, каждое в свое время, обвинялись теологами в отступничестве от религии. Это ли не доказательство их противоположности религии? Хотя, уточняет он, противоположности и неистинной, поскольку «философия постигает религию в ее иллюзорной действительности» *. Противоположность религии и философии, как критики религии, прекрасно выражена и в «Критике гегелевской философии права. Введении».

С другой стороны, Маркс проводил важное различие между атеизмом и коммунизмом, отмечал, что по отношению к коммунизму, как реальному гуманистическому действию, атеизм вращается преимущественно в абстрактном, философском гуманизме. Подобно тому как «атеизм, в качестве снятия бога, означает становление теоретического гуманизма... коммунизм, в качестве снятия частной собственности, означает требование действительно человеческой жизни, как неотъемлемой собственности человека, означает становление практического гуманизма; другими словами, атеизм есть гуманизм, опосредствованный с самим собой путем снятия религии, а коммунизм - гуманизм, опосредствованный с самим собой путем снятия частной собственности. Только путем снятия этого опосредствования,- являющегося, однако, необходимой предпосылкой,- возникает положительно начинающий с самого себя, положительный гуманизм»

Маркс подчеркивает, что атеизм есть теоретический, абстрактный гуманизм, поскольку его метод - просветительство. В отличие от него коммунистическое переустройство общества настаивает на необходимости утверждения гуманистических, общечеловеческих целей практическим путем, через уничтожение системы эксплуатации человека человеком.

Таким образом, вырисовывается четкая марксова позиция по отношению к атеизму и критике религии. Атеизм, по Марксу, принадлежит к числу общечеловеческих задач освобождения, эмансипации человеческой сущности путем непосредственной критики ложного, заблуждающегося сознания. Как таковой, атеизм не может достичь своих целей, последние достижимы лишь на путях общественного переустройства, создающего, в свою очередь, предпосылки для раскрытия сущностных сил человека, для положительного гуманизма, который не сводится ни к теоретическому отрицанию отчуждения - в конкретно-исторической форме атеизма, ни к практическому его отрицанию, а есть творческое созидание человеком своей собственной сущности.

Публикуемые в этой книге произведения дают, конечно, лишь теоретическую критику, но и это шаг на пути к освобождению человека.

Фридрих Ницше

Ваша цель: знать методы доказательства неравенств и уметь их применять.

Практическая часть

Понятие доказательства неравенства . Некоторые неравенства обращаются в верное числовое неравенство при всех допустимых значениях переменных или на некотором заданном множестве значений переменных. Например, неравенства а 2 ³0, (а –b ) 2 ³ 0, a 2 + b 2 + c 2 " ³ 0 верны при любых действительных значениях переменных, а неравенство ³ 0 – при любых действительных неотрицательных значениях а. Иногда возникает задача доказательства неравенства.

Доказать неравенство – значит показать, что данное неравенство обращается в верное числовое неравенство при всех допустимых значениях переменных или на заданном множестве значений этих переменных.

Методы доказательства неравенств. Заметим, что общего метода доказательства неравенств не существует. Однако некоторые из них можно указать.

1. Метод оценки знака разности между левой и правой частями неравенства. Составляется разность левой и правой частей неравенства и устанавливается, положительна или отрицательна эта разность при рассматриваемых значениях переменных (для нестрогих неравенств надо установить, неотрицательна или неположительна эта разность).

Пример 1. Для любых действительных чисел а и b имеет место неравенство

a 2 +b 2 ³ 2ab. (1)

Доказательство. Составим разность левой и правой частей неравенства:

a 2 +b 2 – 2ab = a 2 – 2ab + b 2 = (a – b ) 2 .

Так как квадрат любого действительного числа есть число неотрицательное, то (a – b ) 2 ³ 0, а, значит, a 2 +b 2 ³ 2ab для любых действительных чисел а и b. Равенство в (1) имеет место в том и только в том случае, когда а = b.

Пример 2. Доказать, что если а ³ 0 и b ³ 0, то ³ , т.е. среднее арифметическое неотрицательных действительных чисел а и b не меньше их среднего геометрического.

Доказательство. Если а ³ 0 и b ³ 0, то

³ 0. Значит, ³ .

2. Дедуктивный метод доказательства неравенств. Сущность этого метода заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство из некоторых известных (опорных) неравенств. В качестве опорных могут использоваться, например, неравенства: а 2 ³ 0 при любом a Î R ; (a – b ) 2 ³ 0 при любых а и b Î R ; (а 2 + b 2) ³ 2ab при любых a, b Î R ; ³ при а ³ 0, b ³ 0.

Пример 3. Доказать, что для любых действительных чисел а и b имеет место неравенство

а 2 + b 2 + с 2 ³ ab + bc + ac.

Доказательство. Из верных неравенств (a – b ) 2 ³ 0, (b – c ) 2 ³ 0 и (c – a ) 2 ³ 0 следует, что а 2 + b 2 ³ 2ab , b 2 + c 2 ³ 2bc , c 2 + a 2 ³ 2ac. Сложив почленно все три неравенства и разделив обе части нового на 2, получим требуемое неравенство.

Исходное неравенство можно доказать и первым методом. В самом деле, а 2 + b 2 + с 2 – ab – bc – ac = 0,5(2а 2 + 2b 2 + 2с 2 – 2ab – 2bc – 2ac ) = = 0,5((a – b ) 2 + (a – c ) 2 + (b – c ) 2)³ 0.

Разность между а 2 + b 2 + с 2 и ab + bc + ac больше или равна нулю, а это значит, что а 2 + b 2 + с 2 ³ ab + bc + ac (равенство справедливо тогда и только тогда, когда а = b = с).

3. Метод оценок при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать неравенство

+ + + … + >

Доказательство. Легко заметить, что левая часть неравенства содержит 100 слагаемых, каждое из которых не меньше. В таком случае говорят, что левую часть неравенства можно оценить снизу следующим образом:

+ + + … + > = 100 = .

4. Метод полной индукции. Сущность метода состоит в рассмотрении всех частных случаев, охватывающих условие задачи в целом.

Пример 5. Доказать, что если х > ïу ï, то х > у.

Доказательство. Возможны два случая:

а) у ³ 0; тогда ïу ï = у, а по условию х > ïу ï. Значит, х > у;

б) у < 0; тогда ïу ï > у и по условию х > ïу ï, значит, х > у.

Практическая часть

Задание 0. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы на все устные упражнения приведенные ниже. Затем свои ответы сверьте с ответами или краткими указания, помещенными в конце этого учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Сравните сумму квадратов двух неравных чисел и с их удвоенным произведением.

2. Докажите неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

3. Известно, что . Докажите, что .

4. Известно, что . Докажите, что .

Задание 1. Что больше:

а) 2 + 11 или 9; г) + или;

б) или + ; д) – или;

в) + или 2; е) + 2 или + ?

Задание 2. Докажите, что при любом действительном x имеет место неравенство:

а) 3(x + 1) + x – 4(2 + x ) < 0; г) 4x 2 + 1 ³ 4x ;

б) (x + 2)(x + 4) > (x + 1)(x + 5); д) ³ 2x;

в) (x – 2) 2 > x (x – 4); е) l + 2x 4 > x 2 + 2x 3 .

Задание 3. Докажите, что:

а) x 3 + 1 ³ x 2 + x, если x ³ –1;

б) x 3 + 1 £ x 2 + x, если x £ –1.

Задание 4. Докажите, что если a ³ 0, b ³ 0, с ³ 0, d ³ 0, то

(a 2 + b 2)(c 2 + d 2) ³ (ac + bd ) 2 .

Задание 5. Докажите неравенство, выделив полный квадрат:

а) x 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

б) x 2 + y 2 + 2³2(x + y );

в) 10x 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

г) x 2 – xy + y 2 ³ 0;

д) x 2 + y 2 + z 2 + 3³ 2(х + у + z );

e) (x + l)(x – 2y + l) + y 2 ³ 0.

Задание 6. Докажите, что:

а) x 2 + 2y 2 + 2xy + 6y + l0 > 0;

б) x 2 + y 2 – 2xy + 2x – 2у + 1 > 0;

в) 3x 2 + y 2 + 8x + 4y – 2xy + 22 ³ 0;

г) x 2 + 2xy + 3y 2 + 2x + 6y + 3 > 0.

Задание 7. Докажите, что если n ³ k ³ 1, то k (n – k + 1) ³ n.

Задание 8. Докажите, что если 4а + 2b = 1, то a 2 + b 2 ³ .

Определите значения а и b, при которых имеет место равенство.

Задание 9. Докажите неравенство:

а) х 3 + у 3 ³ х 2 у + ху 2 при x ³ 0 и y ³ 0;

б) х 4 + у 4 ³ х 3 у + ху 3 при любых x и у ;

в) х 5 + у 5 ³ х 4 у + ху 4 при x ³ 0 и y ³ 0;

г) х n + у n ³ х n -1 у + ху n -1 при x ³ 0 и y ³ 0.

Редкая олимпиада обходится без задач, в которых требуется доказать некоторое неравенство. Алгебраические неравенства доказываются с помощью различных методов, которые основываются на равносильных преобразованиях и свойствах числовых неравенств:

1) если a – b > 0, то a > b; если a – b

2) если a > b, то b a;

3) если a

4) если a

5) если a 0, то ac

6) если a bc; a / c > b / c ;

7) если a 1

8) если 0

Напомним некоторые опорные неравенства, которые часто используются для доказательства других неравенств:

1) а 2 > 0;

2) aх 2 + bx + c > 0, при а > 0, b 2 – 4ac

3) x + 1 / x > 2, при х > 0, и x + 1 / x –2, при х

4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| > |a| – |b|;

5) если a > b > 0, то 1 / a

6) если a > b > 0 и х > 0, то a x > b x , в частности, для натурального n > 2

a 2 > b 2 и n √ a > n √b ;

7) если a > b > 0 и х

8) если х > 0, то sin x

Многие задачи олимпиадного уровня, и это не только неравенства, эффективно решаются с помощью некоторых специальных неравенств, с которыми учащиеся школы часто не бывают знакомы. К ним, прежде всего, следует отнести:

• неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел (неравенство Коши):

• неравенство Бернулли:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, где α > -1, n – натуральное число;

• неравенство Коши – Буняковского:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2);

К наиболее «популярным» методам доказательства неравенств можно отнести:

• доказательство неравенств на основе определения;
• метод выделения квадратов;
• метод последовательных оценок;
• метод математической индукции;
• использование специальных и классических неравенств;
• использование элементов математического анализа;
• использование геометрических соображений;
• идея усиления и др.

Задачи с решениями

1. Доказать неравенство:

а) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 · (a + b + c);

б) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

в) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 при x > 0, y > 0.

а) Имеем

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,

что очевидно.

б) Доказываемое неравенство после умножения обеих частей на 2 принимает вид

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

или

(a 2 – 2ab + b 2) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,

или

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

что очевидно. Равенство имеет место лишь при a = b = 1.

в) Имеем

x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =

= (x – y) (x 4 – y 4) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2) > 0.

2. Доказать неравенство:

а) Имеем:

б ) Доказательство данного неравенства элементарно следует из следующей оценки:

Равенство достигается для равностороннего треугольника.

в) Имеем:

так как сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

3. Доказать, что если a + b = 1, то имеет место неравенство a 8 + b 8 > 1 / 128 .

Из условия, что a + b = 1, следует, что

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

Сложим это равенство с очевидным неравенством

a 2 – 2ab + b 2 > 0.

Получим:

2a 2 + 2b 2 > 1, или 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

получим:

8a 4 + 8b 4 > 1, откуда 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Сложив это неравенство с очевидным неравенством

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

получим:

128a 8 + 128 b 8 > 1 или a 8 + b 8 > 1 / 128 .

4. Что больше е е · π π или е 2 π ?

Рассмотрим функцию f(x) = x – π · ln x . Поскольку f’(x) = 1 – π / х , и слева от точки х = π f’(x) 0, а справа - f’(x) > 0, то f(x) имеет наименьшее значение в точке х = π . Таким образом f(е) > f(π) , то есть

е – π · ln е = е – π > π – π · ln π

или

е + π · ln π > 2π .

Отсюда получаем, что

е е + π · ln π > е 2 π ,

е е · е π · ln π > е 2 π ,

е е · π π > е 2 π .

5. Доказать, что

Используя свойства логарифмов, нетрудно свести данное неравенство к равносильному неравенству:

(n + 1) n > n!,

где n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n-факториал). Кроме того имеет место система очевидных неравенств:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n,

после почленного умножения которых, непосредственно получаем, что (n + 1) n > n!.

6. Доказать, что 2013 2015 · 2015 2013

Имеем:

2013 2015 · 2015 2013 = 2013 2 · 2013 2013 · 2015 2013 =

2013 2 · (2014 – 1) 2013 · (2014 + 1) 2013

Очевидно, так же можно получить общее утверждение: для любого натурального n выполняется неравенство

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1

7. Докажите, что для любого натурального числа n выполняется неравенство:

Оценим левую часть неравенства:

что и требовалось доказать.

8. Пусть а 1 2 , а 2 2 , а 3 2 , . . . , а n 2 – квадраты n различных натуральных чисел. Докажите, что

Пусть наибольшее из этих чисел равно m. Тогда

так как в правую часть добавлены множители, меньшие 1. Вычислим правую часть, разложив каждую скобку на множители:

Методы доказательства неравенств.

Решение неравенств. Равносильные неравенства.

Метод интервалов. Системы неравенств.

Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказатель ства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:

где a – положительное число.

1). Использование известного или ранее доказанного неравенства.

a , получим: a 2 + 1 < 2 a , т. e .

a 2 + 1 – 2 a < 0 , или ( a – 1 ) 2 < 0, что неверно. (Почему?) .

Полученное противоречие доказывает справедливость

Рассматриваемого неравенства.

4). Метод неопределённого неравенства.

Неравенство называется неопределённым , если у него знак \/ или /\ ,

т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак,

чтобы получить справедливое неравенство.

Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.

Рассмотрим неопределённое неравенство:

Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 \/ 2 a , т. e .

а 2 + 1 – 2 a \/ 0 , или ( a – 1) 2 \/ 0 , но здесь мы уже знаем, как повернуть

Знак \/ , чтобы получить верное неравенство (Как?). Поворачивая его

В нужном направлении по всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
получим требуемое неравенство.

Решение неравенств. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными , если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных . Такое же определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение неравенств - это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см. ). Кроме того, может быть использована замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть алгебраические ( содержащие только многочлены ) и трансцендентные (например, логарифмические или тригонометрические ). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод, используемый часто при решении алгебраических неравенств.

Метод интервалов. Решить неравенство: ( x – 3)( x – 5) < 2( x – 3). Здесь нельзя делить обе части неравенства на (x – 3), так как мы не знаем знака этого двучлена (он содержит неизвестное x ). Поэтому мы перенесём все члены неравенства в левую часть:

( x – 3)( x – 5) – 2( x – 3) < 0 ,

разложим её на множители:

( x – 3)( x – 5 – 2) < 0 ,

и получим: ( x – 3)( x – 7) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что x = 3 и x = 7 - корни этого выражения. Поэтому вся числовая ось разделится этими корнями на следующие три интервала:

В интервале I (x < 3 ) оба сомножителя отрицательны, следовательно , их произведение положительно ; в интервале II (3 < x < 7 ) первый множитель (x – 3 ) положителен, а второй (x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно ; в интервале III (x > 7 ) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно . Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно . Это интервал II , следовательно, решение неравенства: 3 < x < 7. Последнее выражение - так называемое двойное неравенство . Оно означает, что x должен быть одновременно больше 3 и меньше 7.

П р и м е р. Решить следующее неравенство методом интервалов:

( x – 1)(x – 2)(x – 3) … (x –100) > 0 .

Р е ш е н и е. Корни левой части неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.

Они разбивают числовую ось на 101 интервал:

Так как количество скобок в левой части чётно (равно 100), то

При x < 1, когда все множители отрицательны, их произведение

Положительно. При переходе через корень происходит смена

Знака произведения. Поэтому следующим интервалом, внутри

Которого произведение положительно, будет (2, 3), затем (4, 5),

Затем (6, 7), … , (98, 99) и наконец , x >100.

Таким образом, данное неравенство имеет решение:

x < 1, 2 < x < 3, 4 < x < 5 ,…, x >100.

Итак, чтобы решить алгебраическое неравенство, надо перенести все его члены в левую (или правую) часть и решить соответствующее уравнение. После этого найденные корни нанести на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком решаемого неравенства.

Заметим, что большинство трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём обратной замены найти решение для исходного неравенства.

Системы неравенств. Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет.

П р и м е р 1. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Решение первого неравенства: x < 4 ; а второго: x > 6.

Таким образом, эта система неравенств не имеет решения.

(Почему?)

П р и м е р 2. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Первое неравенство, как и прежде, даёт: x < 4; но решение

Второго неравенства в данном примере: x > 1.

Таким образом, решение системы неравенств: 1 < x < 4.