Определенный интеграл как функция верхнего предела. Метод замены переменной

Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число ,

определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точкеx при приращении аргумента Dx :

DI (x ) = I (x + Dx ) – I (x ) =

.

Как показано на Рис. 4, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными, и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )Dx . Отсюда получаем соотношение

.

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx .

Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):

.

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x . Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f (x ), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

. (1)

Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:

,

которая называется формулойНьютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом , т.е. .

Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Пример 19. Вычислить

Положим t=2-х 2 . Тогда dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=- dt. Если х=0, то t=2-0 2 =2, и если х=1, то t=2-1 2 =1. Следовательно:

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.

Формула интегрирования по частям следующая .

То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) наd(v(x)) - дифференциал функции v(x) . Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x) . Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ существует интеграл

Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):

. (5)

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).

Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке .

Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство

.

Следствие

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).

Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить связь между неопределенным и определенным интегралами:

,

где С – произвольная постоянная.

Вопрос 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральных сумм, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на установленной связи между неопределенным и определенным интегралами.

Т.4.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - любая первообразная для функции f(x) на , то справедлива формула

. (6)

Формула (6) называется формулой Ньютона – Лейбница .

Если ввести обозначение то формулу Ньютона-Лейбница (6) можно переписать в виде

.

Формула Ньютона – Лейбница дает удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти любую первообразную функцию F(x) для f(x) и взять разность F(b) ‒ F(a) на концах отрезка .

Пример

Вопрос 5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Метод замены переменной

При вычислении определенных интегралов широко используется метод подстановки или метод замены переменной.

Т.5.1. (замена переменной в определенном интеграле)

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке . Тогда, если:

1) функция x = j(t) и ее производная x′ = j′(t) непрерывны на отрезке ;

2) множеством значений функции x = j(t) является отрезок ;

3) j(a) = a, j(b) = b,

то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле :

.

Замечание

1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.

2. Часто вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x).

3. При использовании формулы необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

Пример . Вычислить

Интегрирование по частям

Т.5.2. (интегрирование по частям в определенном интеграле)

Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле :

.

Пример . Вычислить интеграл

На сегодняшней лекции мы продолжим изучение определенного интеграла и получим формулу для его вычисления. Как мы увидим позже, определенный интеграл равен приращению первообразной, и представляет собой постоянное число, равное площади криволинейной трапеции. Поэтому все методы вычисления неопределенного интеграла справедливы и для определенного интеграла.

Вопрос 1. Основные свойства определенного интеграла

Интеграл

был введен для случая a < b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Свойство 1. .

Эта формула получается из (1) при условии, что все Δx i = 0.

Свойство 2. .

Эта формула получается из (1) при условии, что отрезок пробегается в обратном направлении (от b к а), т.е. все Δx i < 0.

Свойство 3. (свойство аддитивности)

Если функция f(x) интегрируема на отрезке и a < c < b, то

. (2)

Равенство (2) справедливо при любом расположении точек а, b и с (считаем, что функция f(x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Свойство 4.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

,

где k = const.

Свойство 5.

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.

.

Замечание

1. Свойство 5 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
2. Свойства 4 и 5 в совокупности представляют собой свойство линейности определенного интеграла.

Вопрос 2. Оценки интеграла. Теорема о среднем

1. Если всюду на отрезке функция f(x) ≥ 0, то .

2. Если всюду на отрезке f(x) ≥ g(x), то .

3. Для функции f(x), определенной на отрезке , имеет место неравенство .

В частности, если всюду на отрезке то и .

4. Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке , то .

Т.2.1. (теорема о среднем )

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка с, такая, что

. (3)

Равенство (3) называется формулой среднего значения , а величина f(c) - называется средним значением функции f(x) на отрезке .

Вопрос 3. Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ существует интеграл

Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):

. (5)

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).

Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке .

Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство

.

Следствие

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).

Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить

Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

I (x ) = I (x + x ) – I (x ) =

Как показано на рисунке 23, величина последнего интеграла в формуле для приращения I (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )x . Отсюда получаем соотношение

.

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина x .

Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):

.

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x . Отсюда следует, что функция
является первообразной для функцииf (x ), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

. (9)

Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (9) принимает вид

I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (10)

Из формул (9) и (10) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:

,

которая называется формулой Ньютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом .

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1.
.

2.
.

Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f (x ) = xe x . Используя метод интегрирования по частям, получаем:
. В качестве первообразной функцииf (x ) выберем функцию e x (x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I = e x (x – 1)= 1.

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле :

.

Здесь  и  определяются, соответственно, из уравнений  ( ) = a ;  ( ) = b , а функции f ,  ,  должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример:
.

Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:

.

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

HTML-версии работы пока нет.

Подобные документы

Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.

презентация , добавлен 18.09.2013


Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.

презентация , добавлен 11.04.2013


Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования.

презентация , добавлен 18.09.2013


Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.

реферат , добавлен 30.10.2010


Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.

презентация , добавлен 11.09.2011


Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.

курсовая работа , добавлен 21.10.2011


Понятие и свойства отражающей функции. Первый интеграл дифференциальной системы и условия существования. Условия возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. Определение связи между первым интегралом и эквивалентными системами.

курсовая работа , добавлен 21.08.2009


Понятие и исследование функции четной, нечетной и симметричной относительной оси. Понятие интервалов знакопостоянства. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Наименьшее и наибольшее значения функции и интеграла.

практическая работа , добавлен 25.03.2011


Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.

конспект урока , добавлен 23.10.2013


Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.