Фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $$ функции $f(x)$ и прямыми $y=0, \ x=a$ и $x=b$, называется криволинейной трапецией.
Площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
$S=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}.$ (*)
Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции мы будем условно делить на $4$ типа. Рассмотрим каждый тип подробнее.
I тип: криволинейная трапеция задана явно. Тогда сразу применяем формулу (*).
Например, найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=4-(x-2)^{2}$, и прямыми $y=0, \ x=1$ и $x=3$.
Нарисуем эту криволинейную трапецию.
Применяя формулу (*), найдём площадь этой криволинейной трапеции.
$S=\int\limits_{1}^{3}{\left(4-(x-2)^{2}\right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{4dx}-\int\limits_{1}^{3}{(x-2)^{2}dx}=4x|_{1}^{3} – \left.\frac{(x-2)^{3}}{3}\right|_{1}^{3}=$
$=4(3-1)-\frac{1}{3}\left((3-2)^{3}-(1-2)^{3}\right)=4 \cdot 2 – \frac{1}{3}\left((1)^{3}-(-1)^{3}\right) = 8 – \frac{1}{3}(1+1) =$
$=8-\frac{2}{3}=7\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
II тип: криволинейная трапеция задана неявно. У этого случая обычно не задаются или задаются частично прямые $x=a, \ x=b$. В этом случае нужно найти точки пересечения функций $y=f(x)$ и $y=0$. Эти точки и будут точками $a$ и $b$.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=1-x^{2}$ и $y=0$.
Найдём точки пересечения. Для этого приравняем правые части функций.
Таким образом, $a=-1$, а $b=1$. Нарисуем эту криволинейную трапецию.
Найдём площадь этой криволинейной трапеции.
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{1dx}-\int\limits_{-1}^{1}{x^{2}dx}=x|_{-1}^{1} – \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-1}^{1}=$
$=(1-(-1))-\frac{1}{3}\left(1^{3}-(-1)^{3}\right)=2 – \frac{1}{3}\left(1+1\right) = 2 – \frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
III тип: площадь фигуры, ограниченной пересечением двух непрерывных неотрицательных функций. Эта фигура не будет криволинейной трапецией, а значит с помощью формулы (*) её площадь не вычислишь. Как же быть? Оказывается, площадь этой фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных верхней функцией и $y=0$ ($S_{uf}$), и нижней функцией и $y=0$ ($S_{lf}$), где в роли $x=a, \ x=b$ выступают координаты по $x$ точек пересечения данных функций, т.е.
$S=S_{uf}-S_{lf}$. (**)
Самое главное при вычислении таких площадей – не “промахнуться” с выбором верхней и нижней функции.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной функциями $y=x^{2}$ и $y=x+6$.
Найдём точки пересечения этих графиков:
По теореме Виета,
$x_{1}=-2, \ x_{2}=3.$
То есть, $a=-2, \ b=3$. Изобразим фигуру:
Таким образом, верхняя функция – $y=x+6$, а нижняя – $y=x^{2}$. Далее, найдём $S_{uf}$ и $S_{lf}$ по формуле (*).
$S_{uf}=\int\limits_{-2}^{3}{(x+6)dx}=\int\limits_{-2}^{3}{xdx}+\int\limits_{-2}^{3}{6dx}=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-2}^{3} + 6x|_{-2}^{3}= 32,5$ (ед.$^{2}$).
$S_{lf}=\int\limits_{-2}^{3}{x^{2}dx}=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-2}^{3} = \frac{35}{3}$ (ед.$^{2}$).
Подставим найденное в (**) и получим:
$S=32,5-\frac{35}{3}= \frac{125}{6}$ (ед.$^{2}$).
IV тип: площадь фигуры, ограниченной функцией (-ями), не удовлетворяющей(-ими) условию неотрицательности. Для того, чтобы найти площадь такой фигуры нужно симметрично относительно оси $Ox$ (иными словами, поставить “минусы” перед функциями) отобразить область и с помощью способов, изложенных в типах I – III, найти площадь отображённой области. Эта площадь и будет искомой площадью. Предварительно, возможно, вам придётся найти точки пересечения графиков функций.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^{2}-1$ и $y=0$.
Найдём точки пересечения графиков функций:
т.е. $a=-1$, а $b=1$. Начертим область.
Симметрично отобразим область:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^{2}-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^{2}-1) = 1-x^{2}$.
Получится криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y=1-x^{2}$ и $y=0$. Это задача на нахождение криволинейной трапеции второго типа. Мы её уже решали. Ответ был такой: $S= 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$). Значит, площадь искомой криволинейной трапеции равна:
$S=1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
Тема: Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла
Задачи: выучить определение и формулы нахождения площади криволинейной трапеции;
рассмотреть различные случаи нахождения площади криволинейной трапеции;
Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции.
План:
Криволинейная трапеция.
Формулы вычисления площади криволинейной трапеции.
Криволинейной трапецией называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной, неотрицательной функции f(x) на промежутке , отрезками прямых x=a и x=b, а также отрезком оси абсцисс между точками a и b.
Изображения криволинейных трапеций:
Теперь перейдём к возможным вариантам расположения фигур, площадь которых надо вычислить на координатной плоскости.
Первым
будет самый простой вариант (первый рисунок), обычная криволинейная трапеция
, как в определении. Здесь ничего не надо придумывать просто берём интеграл от a
до b
от функции f(x)
. Найдём интеграл - будем знать и площадь данной трапеции.
Во втором
варианте наша фигура будет ограничена не осью абсцисс, а другой функцией g(x)
. Поэтому, что бы найти площадь CEFD
, нам надо сначала найти площадь AEFB
(с помощью интеграла от f(x)
), потом найти площадь ACDB
(с помощью интеграла от g(x)
). И искомая площадь фигуры CEFD
, будет разница между первой и второй площадями криволинейной трапеции. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.
Третий
очень похож к первому, но только наша трапеция размещена, не над осью абсцисс
, а под ней. Поэтому здесь надо брать такой же интеграл, только со знаком минус, потому что значение интеграла будет отрицательным, а значение площади должно быть положительное. Если вместо функции f(x)
взять функцию –f(x)
, то её график будет такой же просто симметрически отображен относительно оси абсцисс.
И четвёртый
вариант, когда часть нашей фигуры находится над осью абсцисс, а часть под ней. Поэтому нам надо сначала найти площадь фигуры AEFB
, как в первом варианте, а потом площадь фигуры ABCD
, как в третьем варианте и потом сложить их. В итоге мы получим площадь фигуры DEFC
. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.
Вопросы для самопроверки:
Какая фигура называется криволинейной трапецией?
Как найти площадь криволинейной трапеции?
Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2
Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим
S = = [-0,25=11,25 кв. ед
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.
Решение. Выполним построение фигуры.
Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).
Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).
Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
х = 2, у = 3; М(2; 3).
Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой, а при изменении х от N до С - прямой
Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.
Для треугольника NМС имеем: y = - x + 5, т. е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:
кв. ед.
кв. ед.
9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции
= = 6кв. ед.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x 2 + 4 и у = 0
Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = - x 2 + 4 и осью Ох.
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)
По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = (= кв. ед.
Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).
Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.
Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).
Следовательно, её площадь находим по формуле (3)
= =
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4)
Пример 9 .
х 2 + у 2 = r 2 .
Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0
доr; имеем: 1 = = [
Следовательно, 1 =
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х
Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2
Используя для нахождения площади формулу (5), получим
= = 
[замена:
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .
