Площадь: определение, разновидности, единицы измерения. Отрывок, характеризующий Единичный квадрат

До сих пор мы рассматривали поведение точек и линий для определения результатов простых матричных преобразований. Однако можно корректно рассматривать применение матрицы к любой точке плоскости. Как было показано ранее, единственная точка, остающаяся инвариантной при воздействии матричных преобразований, - это точка начала координат. Все другие точки плоскости подвержены преобразованию, которое можно представить как растяжение исходной плоскости, системы координат и перевод в новую форму. Формально принято считать, что преобразование вызывает переход от одного координатного пространства к другому.

Рассмотрим координатную сетку, состоящую из единичных квадратов на координатной плоскости (рис. 2-11). Четыре координатных вектора вершин единичного квадрата, проходящие под одним углом к началу координат, имеют следующий вид:

.

Такой единичный квадрат изображен на рис. 2-11а. Применяя к нему -матрицу общего преобразования, получаем

(2-38)

Результаты этого преобразования показаны на рис. 2-11b. Из выражения (2-38) следует, что начало координат не подвергается преобразованию, т.е. . Далее отметим, что координаты равны первой строке матрицы преобразования, а координаты - второй. Таким образом, матрица преобразования является определенной, если определены координаты и (преобразование единичных векторов , ). Поскольку стороны единичного квадрата первоначально параллельны и ранее было показано, что параллельные линии преобразуются снова в параллельные, то результирующая фигура является параллелограммом.

Влияние элементов , , и матрицы может быть установлено отдельно. Элементы и , как видно из рис. 2-11b, вызывают сдвиг (см. разд. 2-4) исходного квадрата в направлениях и соответственно. Как отмечалось ранее, элементы и играют роль масштабных множителей. Таким образом, -матрица задает комбинацию сдвига и масштабирования.

Несложно определить также площадь параллелограмма из рис. 2-11b, которую можно вычислить следующим образом:

Рис. 2-11 Общее преобразование единичного квадрата: а) до преобразования; b) после преобразования.

В результате получаем

. (2-39)

Можно показать, что площадь любого параллелограмма , образованного путем преобразования квадрата, есть функция от определителя матрицы преобразования и связана с площадью исходного квадрата простым отношением

Фактически, так как площадь всей фигуры равна сумме площадей единичных квадратов, то площадь любой преобразованной фигуры зависит от площади исходной фигуры

. (2-41)

Это полезный способ определения площадей произвольных фигур.

Определение.

Площадь (математический знак S)- величина, измеряющая размер поверхности. Наиболее распространенные единицы измерения площади это: квадратный метр (м2), квадратный сантиметр (см2), квадратный миллиметр (мм2), квадратный километр (км2), ар (а), гектар (га).

Площадь имеет следующие свойства:

1. положительность (число, получившееся в результате измерения площади не должно быть равно отрицательному числу);

2. нормировка (площадь измеряется в определенных единицах измерения);

3. равные фигуры имеют равную площадь;

4. площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Необходимость в измерении площади присутствует во всех сферах жизнедеятельности человека. Наиболее часто при этом пользуются понятиями: площадь фигуры и площадь поверхности.

Площадь фигуры (математический знак S)- геометрическое понятие, размер плоской фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество квадратов, со стороной, равной одной единице измерения площади, площадь равна числу квадратов.

Площадь поверхности - числовая характеристика поверхности. В простом случае сумма всех площадей плоских фигур, представляющих собой грани пространственной фигуры.

Для записи результатов измерения обычно используют следующие единицы измерения площади: квадратный метр (м2), квадратный сантиметр (с м2), квадратный миллиметр (мм2)

Одной из разновидностей измерения площади поверхности является площадь участка – числовая характеристика земельного участка . Для обозначения результатов ее измерения используются такие единицы, как ар (а) и гектар (га).

Способ измерения площади:

Основой для измерения площади является единичный квадрат.

Единичный квадрат – это квадрат, со стороной, равной 1 единице измерения. Площадь единичного квадрата равна одной единице измерения площади, возведенной в квадрат (вторую степень).

Например. Возьмем квадрат со стороной, равной единице измерения 1 метр (м) и измерим его площадь. Для этого вычислим произведение двух его сторон, образующих между собой угол. То есть умножить 1 метр на 1 метр (1м х 1м). Получаем 1 квадратный метр (м2). Таким образом, площадь квадрата со стороной 1 метр равна 1 квадратный метр. Также, можно это перевести и в прочие единицы измерения: сантиметры, миллиметры, километры. Тогда площадь будет равна квадратным сантиметрам (см2),квадратных миллиметров (мм2), 0, 000001 квадратным километрам (км2).

Площадь фигуры (поверхности, участка) равна сумме единичных квадратов и их частей. Для простых фигур она равна только сумме единичных квадратов. Единица измерения площади при записи в этом случае тоже возводится в квадрат.

Единицы измерения площади:

Наиболее распространенные единицы измерения площади это: квадратный метр (м2), квадратный сантиметр (см2), квадратный миллиметр (мм2), квадратный километр (км2), ар (а), гектар (га).

Квадратный метр (м²) - единица измерения площади. 1 м² равен площади квадрата со стороной в 1 метр. Также эта единица измерения равна 0,000 001 квадратных километров (км²),квадратных сантиметров (см²), 0,000 1 гектара, 0,01 ара

Квадратный метр – одна из единиц системы СИ. Эта система носит полное название Международной десятичной системы единиц, но наиболее известна как система СИ или Метрическая система единиц измерения. Она основана на использовании метра и грамма, и является международно-признанной системой. Метрические единицы измерения широко используются по всему миру, как в научных целях, так и в повседневной жизни.

Однако, помимо квадратного метра, широко распространены и другие единицы измерения площади. Такие как:

Квадратный сантиметр (см2) - единица измерения пощади, равная в системе СИ 0,0001 квадратного метра (м2). В школьной практике для объяснения величины сантиметра используют такие подручные приблизительные меры, как две тетрадных клеточки, потому квадратный сантиметр может быть с легкостью изображен как совокупность 4 тетрадных клеток.

Квадратный миллиметр (от милли… и метр, мм2) - единица измерения площади равная 0, 000001 квадратным метрам (м2) или 0, 0001 квадратному сантиметру (см2). Во многих странах на чертежах, в том числе и в России, миллиметр является единицей измерения длины по умолчанию: если размеры указаны без единиц измерения, то это размеры в миллиметрах.

Квадратный километр (км² ,) - единица измерения площади, кратная квадратному метру и равная 1.000.000 квадратным метрам (м2). Также он равен площади квадрата со стороной в 1 километр, 100 гектарам.

Ар (а, от лат. area - площадь, поверхность) - единица измерения площади в метрической системе (системе СИ), равная площади квадрата со стороной 10 м, то есть 100 квадратных метров (м2). Известна также как «сотка» или 0, 01 гектара. Ар – одна из основных единиц измерения площади небольших земельных участков.

Гектар (от лат. гекто и ар – «сто» и «поверхность», га) - единица измерения площади, равная 100 ар или 100 соток, или 10 000 квадратных метров (м2) .

В России гектар является основной единицей измерения площади сельскохозяйственной земли. На территории РСФСР (и впоследствии СССР) единица «гектар» была введена в практику после Октябрьской революции, вместо десятины . Для перевода использовалось соотношение 1 га = 11/12 десятины.

Версия 81646306 страницы «Единичный квадрат» не существует.

Напишите отзыв о статье "Единичный квадрат"

Отрывок, характеризующий Единичный квадрат

На другой день, по совету Марьи Дмитриевны, граф Илья Андреич поехал с Наташей к князю Николаю Андреичу. Граф с невеселым духом собирался на этот визит: в душе ему было страшно. Последнее свидание во время ополчения, когда граф в ответ на свое приглашение к обеду выслушал горячий выговор за недоставление людей, было памятно графу Илье Андреичу. Наташа, одевшись в свое лучшее платье, была напротив в самом веселом расположении духа. «Не может быть, чтобы они не полюбили меня, думала она: меня все всегда любили. И я так готова сделать для них всё, что они пожелают, так готова полюбить его – за то, что он отец, а ее за то, что она сестра, что не за что им не полюбить меня!»
Они подъехали к старому, мрачному дому на Вздвиженке и вошли в сени.
– Ну, Господи благослови, – проговорил граф, полу шутя, полу серьезно; но Наташа заметила, что отец ее заторопился, входя в переднюю, и робко, тихо спросил, дома ли князь и княжна. После доклада о их приезде между прислугой князя произошло смятение. Лакей, побежавший докладывать о них, был остановлен другим лакеем в зале и они шептали о чем то. В залу выбежала горничная девушка, и торопливо тоже говорила что то, упоминая о княжне. Наконец один старый, с сердитым видом лакей вышел и доложил Ростовым, что князь принять не может, а княжна просит к себе. Первая навстречу гостям вышла m lle Bourienne. Она особенно учтиво встретила отца с дочерью и проводила их к княжне. Княжна с взволнованным, испуганным и покрытым красными пятнами лицом выбежала, тяжело ступая, навстречу к гостям, и тщетно пытаясь казаться свободной и радушной. Наташа с первого взгляда не понравилась княжне Марье. Она ей показалась слишком нарядной, легкомысленно веселой и тщеславной. Княжна Марья не знала, что прежде, чем она увидала свою будущую невестку, она уже была дурно расположена к ней по невольной зависти к ее красоте, молодости и счастию и по ревности к любви своего брата. Кроме этого непреодолимого чувства антипатии к ней, княжна Марья в эту минуту была взволнована еще тем, что при докладе о приезде Ростовых, князь закричал, что ему их не нужно, что пусть княжна Марья принимает, если хочет, а чтоб к нему их не пускали. Княжна Марья решилась принять Ростовых, но всякую минуту боялась, как бы князь не сделал какую нибудь выходку, так как он казался очень взволнованным приездом Ростовых.
– Ну вот, я вам, княжна милая, привез мою певунью, – сказал граф, расшаркиваясь и беспокойно оглядываясь, как будто он боялся, не взойдет ли старый князь. – Уж как я рад, что вы познакомились… Жаль, жаль, что князь всё нездоров, – и сказав еще несколько общих фраз он встал. – Ежели позволите, княжна, на четверть часика вам прикинуть мою Наташу, я бы съездил, тут два шага, на Собачью Площадку, к Анне Семеновне, и заеду за ней.
Илья Андреич придумал эту дипломатическую хитрость для того, чтобы дать простор будущей золовке объясниться с своей невесткой (как он сказал это после дочери) и еще для того, чтобы избежать возможности встречи с князем, которого он боялся. Он не сказал этого дочери, но Наташа поняла этот страх и беспокойство своего отца и почувствовала себя оскорбленною. Она покраснела за своего отца, еще более рассердилась за то, что покраснела и смелым, вызывающим взглядом, говорившим про то, что она никого не боится, взглянула на княжну. Княжна сказала графу, что очень рада и просит его только пробыть подольше у Анны Семеновны, и Илья Андреич уехал.
M lle Bourienne, несмотря на беспокойные, бросаемые на нее взгляды княжны Марьи, желавшей с глазу на глаз поговорить с Наташей, не выходила из комнаты и держала твердо разговор о московских удовольствиях и театрах. Наташа была оскорблена замешательством, происшедшим в передней, беспокойством своего отца и неестественным тоном княжны, которая – ей казалось – делала милость, принимая ее. И потом всё ей было неприятно. Княжна Марья ей не нравилась. Она казалась ей очень дурной собою, притворной и сухою. Наташа вдруг нравственно съёжилась и приняла невольно такой небрежный тон, который еще более отталкивал от нее княжну Марью. После пяти минут тяжелого, притворного разговора, послышались приближающиеся быстрые шаги в туфлях. Лицо княжны Марьи выразило испуг, дверь комнаты отворилась и вошел князь в белом колпаке и халате.
– Ах, сударыня, – заговорил он, – сударыня, графиня… графиня Ростова, коли не ошибаюсь… прошу извинить, извинить… не знал, сударыня. Видит Бог не знал, что вы удостоили нас своим посещением, к дочери зашел в таком костюме. Извинить прошу… видит Бог не знал, – повторил он так не натурально, ударяя на слово Бог и так неприятно, что княжна Марья стояла, опустив глаза, не смея взглянуть ни на отца, ни на Наташу. Наташа, встав и присев, тоже не знала, что ей делать. Одна m lle Bourienne приятно улыбалась.
– Прошу извинить, прошу извинить! Видит Бог не знал, – пробурчал старик и, осмотрев с головы до ног Наташу, вышел. M lle Bourienne первая нашлась после этого появления и начала разговор про нездоровье князя. Наташа и княжна Марья молча смотрели друг на друга, и чем дольше они молча смотрели друг на друга, не высказывая того, что им нужно было высказать, тем недоброжелательнее они думали друг о друге.
Когда граф вернулся, Наташа неучтиво обрадовалась ему и заторопилась уезжать: она почти ненавидела в эту минуту эту старую сухую княжну, которая могла поставить ее в такое неловкое положение и провести с ней полчаса, ничего не сказав о князе Андрее. «Ведь я не могла же начать первая говорить о нем при этой француженке», думала Наташа. Княжна Марья между тем мучилась тем же самым. Она знала, что ей надо было сказать Наташе, но она не могла этого сделать и потому, что m lle Bourienne мешала ей, и потому, что она сама не знала, отчего ей так тяжело было начать говорить об этом браке. Когда уже граф выходил из комнаты, княжна Марья быстрыми шагами подошла к Наташе, взяла ее за руки и, тяжело вздохнув, сказала: «Постойте, мне надо…» Наташа насмешливо, сама не зная над чем, смотрела на княжну Марью.