Microsoft .NET Framework 4.7.2

Microsoft .NET Framework 4.5 для Windows 7, скачать.NET Framework 4.0.30319

Платформа Microsoft .NET Framework создана для разработки и запуска многих программ и приложений. Основная задача данной программной платформы - обеспечивать совместимость частей программ, написанных на разных языках. Это комплекс специальных сервисов и приложений, состоящий из общеязыковой среды исполнения Common Language Runtime (CLR) и библиотеки классов.NET Framework Class Library, которая содержит готовые компоненты для работы с базами данных, файлами, сетью и т.д. Скачать Microsoft .NET Framework можно на нашем сайте по ссылке внизу страницы.

Большое количество популярных компьютерных программ требуют установки этой платформы, иначе они просто не будут работать. Получается, что.NET Framework значительно расширяет возможности ОС Windows и позволяет приложениям, которые предназначались для других ОС, работать на базе Windows. Начиная с 7 версии Виндовс, пакет Microsoft .NET Framework встраивается в операционную систему. Однако желательно обновлять устаревшие ресурсы, и установить финальную версию .NET Framework 4.7.1 для Windows 7 и Windows 10 .

Преимущества использования.NET Framework:

• управляет памятью;
• превращает все типы данных в универсальные компоненты для всех приложений;
• располагает большой базой готовых функций для различных операций;
• содержит библиотеки для сервисных и веб-приложений, баз данных, графических интерфейсов и другие компоненты;
• обеспечивает совместимость разных языков программирования.

Следует уточнить, что Windows XP не поддерживает новую версию, и в этом случае надо скачать .NET Framework 4.0.30319 . Программная платформа.NET Framework - очень ценное изобретение специалистов компании Microsoft, которое позволяет простым пользователям без проблем и технических «конфликтов» запускать разнообразный софт, а программистам облегчает работу. Как правило, программы, написанные под ранние версии данной платформы, функционируют и на более новых пакетах, поэтому .NET Framework последняя версия обеспечит правильную работу всего установленного ПО.

Microsoft .NET Framework скачать бесплатно

Скачайте NET Framework бесплатно русскую версию с официального сайта Microsoft. Мы отслеживаем все обновления программы для того, чтобы у Вас была последняя версия.NET Framework.

Пусть D - односвязная область в (т. е. для любой кусочно гладкой замкнутой кривой С, расположенной в D, можно указать ориентируемую кусочно гладкую поверхность расположенную в D, имеющую границей С), граница, удовлетворяющая двум условиям:

1) поверхность - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек;

2) прямоугольную декартову систему координат в можно выбрать так, что для каждой из осей координат любая прямая, параллельная этой оси, будет пересекать поверхность не более чем в двух точках.

Пусть - единичный вектор внешней нормали к Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.2 (формула Остроградского-Гаусса). Пусть а - векторное поле, дифференцируемое в области D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что производная по любому направлению непрерывна в Тогда справедлива формула

Интеграл справа в формуле (6.26) называется потоком векторного поля а через поверхность а интеграл слева в этой формуле - это объемный интеграл от дивергенции вектора по области D. Поэтому теорема 6.2 допускает такую формулировку:

Объемный интеграл от дивергенции вектора по области D равен потоку векторного поля а через поверхность - границу этой области.

Доказательство. Все входящие в формулу (6.26) функции непрерывны, поэтому интегралы слева и справа существуют.

Заметим, что формула (6.26) инвариантна относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку все входящие в нее величины - инварианты. Поэтому достаточно доказать формулу (6.26) при каком-то одном выборе декартовой системы. Выберем

берем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы выполнялось условие 2); пусть Тогда, учитывая, что

Докажем, что справедливы следующие три равенства:

Ограничимся доказательством равенства для интеграла так как равенства для доказываются аналогично. Обозначим через D проекцию области D на плоскость Через граничные гочки области D проведем прямые, параллельные . Каждая из этих прямых пересекается с лишь в одной точке. Множество этих точек разделяет 5 на две части: (см. рис. 6.2). Если мы проведем прямую из внутренней точки области D, параллельную оси то она пересечет поверхность в двух точках: Заметим, что кусочно и непрерывно дифференцируемые функции в D. По формуле сведения тройного интеграла к повторному интегралу получим

Здесь мы воспользовались тем, что и соотношением

справедливым в силу того, что внешняя нормаль к поверхности образует тупой угол с осью (поэтому Теорема доказана.

Замечание 1. Формула Остроградского-Гаусса (6.26) может быть доказана и в случае областей D более общего вида, чем указано, а именно для таких, у которых существует конечное разбиение на области рассмотренного вида. Для этого достаточно формулу (6.26) написать для каждой области и полученные результаты сложить. При этом получится искомая формула. Действительно, в силу аддитивности интеграла в левой части получится интеграл по D. В правой части поверхностные интегралы по соответствующим частям границ областей в сумме дадут ноль, так как внешние нормали в точках границ областей принадлежащих границам двух таких областей, направлены в разные стороны. Таким образом, останутся только интегралы по частям границ составляющим в совокупности границу области D.

Замечание 2. В формулировке теоремы 6.2 от условия 2) можно избавиться и считать, что - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек. Однако в этом случае доказательство теоремы усложняется.

Замечание 4. Формула Остроградского-Гаусса (6.26) может быть записана, как это следует из доказательства, в виде

Заметим, что интегралы слева и справа имеют инвариантный

характер, т. е. их значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Для этого достаточно провести рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 5 после доказательства теоремы 6.1.

К.Ф. Гаусс (1777–1855) выдающийся немецкий математик, астроном и физик в 1839г. предложил теорему, которая устанавливает связь потока вектора напряженности электрического поля череззамкнутую поверхность со значением зарядаq , находящегося внутри этой поверхности.Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю – К.Гауссом.

Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса): поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

.

Докажем эту теорему. Пусть поле создается точечным зарядом q . Окружим заряд замкнутой поверхностьюS произвольной формы. Разобьем замкнутую поверхность на элементарные площадкиdS , к каждой из которых проведем вектор нормали.

Элементарный поток вектора напряженности через площадкуdS (рис. 2.8) определится соотношением:

где
–проекция
на направление нормали. Тогда
, где
- элементарный телесный угол, под которым элемент
виден из места положения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через замкнутую поверхностьS от точечного зарядаq , находящегося внутри этой поверхности.

,

так как
, то

.

Как видно, поток вектора напряженности выходящий из поверхности не зависит от формы поверхности, охватывающей заряд и пропорционален величине заряда.

Если заряд находится вне замкнутой поверхности, то суммарный поток через любые элементарные площадки dS 1 иdS 2 , находящиеся внутри телесного углаd Ω(рис. 2.9) равен сумме потоков напряженности выходящего из этой поверхности (положительный поток) и входящего в нее (отрицательный поток).

Тогда , следовательно, поток напряженности электрического поля через любую поверхностьS , не охватывающую заряды равен нулю, т.е.Ф Е =0.

Пусть внутри замкнутой поверхности имеется зарядов, тогда алгебраическим суммированием (согласно принципу суперпозиции) находим, что общий поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен
.

Теорема доказана.

Таким образом теорему Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

(1),

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то теорема Гаусса имеет вид:

(2)

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностьюS .

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в то время как само поле зависит от конфигурации всех зарядов, поток
сквозь произвольную замкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхностиS . Это значит, чтоесли передвинуть заряды внутри замкнутой поверхности , тоизменится всюду , и на поверхностиS , апоток вектора через эту поверхность останется прежним .

Таким образом, чтобы рассчитать поле, созданное какой-то конфигурацией зарядов в данной точке, нужно через эту точку провести замкнутую поверхность произвольной формы и рассчитать поток вектора напряженности через эту поверхность. Так как по т еореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на , то, зная величину заряда, находящегося внутри замкнутой поверхности можно найти напряженность поля в интересующей нас точке пространства.

Рассмотрим примеры применения теоремы Гаусса.