УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 13 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° - б, где б - градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 14).

Рис. 13

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 15). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Рис. 15

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 16 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.

Теорема 5 . Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 17, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы A и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 17, б, в). В случае, представленном на рисунке 17, б, АВС= CBD+ ABD= Ѕ COD + Ѕ АОD= Ѕ АОС.

В случае, представленном на рисунке 17, в,

CBD - ABD = Ѕ COD - Ѕ AOD = Ѕ AOC.

Теорема доказана полностью.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S

То AS?BS=CS?DS.

Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 19). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 5. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASZ и CSB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

AS?BS = CS?DS, что и требовалось доказать

Рис.19

Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то

Пусть точки А и С -- ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 20). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда PA?PB=PC?PD, что и требовалось доказать.

Урок геометрии в 8 классе по теме

«Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих»

Цели урока:

выявить закономерности между отрезками хорд, касательных и секущих; определить меру угла (не являющимся ни центральным, ни вписанным) между касательной и хордой, проведенной в точку касания;

обеспечить восприятие нового материала по средствам геометрической иллюстрации и записи формул;

подвести учащихся к самостоятельному открытию доказательства теорем через наводящие вопросы по раннее пройденному материалу; формирование навыков доказательства;

обучение алгоритмизации поставленной задачи и использование накопленного знания для ее решения;

воспитание грамотности оформления геометрического доказательства;

формирование суждений и умозаключений путем методов анализа, синтеза, индукции;

формирование у учащихся таких черт, как аккуратность, четкость и логичность в формировании и оформлении мыслей;

развитие абстрактного мышления, активизация мыслительных процессов, развитие зрительной и слуховой памяти, речевых навыков у учащихся.

Тип урока: изучение нового материала.

План урока.

Подготовка к изучению нового теоретического материала по средствам опроса учащихся по основным теоретическим положениям об окружности и элементах, связанных с ней (касательных, секущих, хордах, углах).

Изложение теоретического материала.

1. Пропорциональности отрезков диаметра и хорды; пропорциональность отрезков хорд.

   Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания.

   Пропорциональность отрезков секущей и касательной, пропорциональность отрезков секущих.

Подведение итогов урока: опрос учащихся по формулировкам теорем, идеи доказательства теорем, запись домашнего задания с комментариями учителя.

Подготовка к изучению нового материала.

Напоминание основных положений тем «Взаимное расположение окружности и прямой», «Касательная к окружности», «Свойства отрезков касательных», «Центральный угол», «Вписанный угол. Измерение вписанного угла через центральный угол». Следует осветить следующие вопросы:

Подобные треугольники; признаки подобия треугольников.

Взаимное расположение прямой и окружности: определение секущей, хорды как отрезка секущей, лежащего внутри круга; касательной.

Определение центрального угла; определение вписанного угла; градусная мера центрального угла; измерение вписанного угла через центральный; следствия из теоремы о вписанном угле.

Изучение и конспектирование нового теоретического материала.

2.1. Пропорциональность отрезков хорд.

В эту теоретическую часть входит теорема о пропорциональности отрезков хорды и диаметра, имеющих одну общую точку, следствие для случая для двух хорд, обобщение на случай любого количества хорд, проходящих через одну общую точку.

Теорема 1: Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диаметр (CD ), то произведение отрезков хорды () равно произведению отрезков диаметра (
)(Рис. 1.).

Дано: Окр(О; ОА ),
− диаметр, АВ − хорда,
.

Доказать: = .

Доказательство: Чтобы доказать равенство, достаточно сравнить отношения
и
. Пропорциональные отрезки- это сходственные стороны в подобных треугольниках. Рассмотрим треугольники
и
. Эти треугольники будут подобны по первому признаку подобия треугольников: как вертикальные; как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AND . Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, т. е.

, или
, или = .

Следствие 2: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (Рис.2.).

Дано: Окр(О; ОА ), АВ, EF − хорды,
.

Доказать: =
.

Доказательство: Проведем диаметр CD через точку М . Тогда, по теореме 1, для хорды АВ : = ;

для хорды EF :
= .

Т. к. равные правые части равенств, то равны и левые части, т. е.

Следствие 3 (обобщение следствия 1): Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодного хорд (AB , EF , KL ,…), то произведение отрезков каждой хорды есть число, постоянное для всех хорд (т. к. для каждой хорды это произведение равно произведению отрезков диаметра, проходящего через взятую точку).

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания.

Данный пункт позволяет определить меру угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания (не являющегося ни центральным, ни вписанным в окружность углом). Так же, позволяет доказать теорему о пропорциональности отрезков касательной и секущей.

Теорема 4: Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, измеряется половиной дуги, стягивающей эту хорду (Рис. 3.).

Дано: Окр(О, ОА ), АС – касательная, А – точка касания,

АВ – хорда.

Доказать:
.

Доказательство: Обозначим искомый
через . Т. к. АС – касательная, то
. Рассмотрим
- равнобедренный (АО, ВО – радиусы), тогда

Найдем ,

с другой стороны
, следовательно,
, или
.

Пропорциональность отрезков касательной и секущих.

Данная часть позволяет определить пропорциональные отрезки для касательной и секущей, проведенной из одной точки, для двух и более секущих, проведенных из одной точки к данной окружности.

Теорема 5: Если из точки (М), взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей (МА) на ее внешнюю часть (МВ) равно квадрату касательной (МС) (Рис. 4.).

Дано: Окр(О, ОА ), МС – касательная, МА – секущая,

МВ – внешняя часть секущей МА .

Доказать:
.

Доказательство: Чтобы доказать равенство достаточно сравнить отношения
и
, т. е. рассмотреть
и
. Покажем что они подобные. В самом деле,
- общий,
как вписанный, а
по теореме 4 (как угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания), т.е. .

Итак, подобен (по 1 ому признаку подобия треугольников), а, следовательно, = , или .

Следствие 6: Если из точки, взятой вне круга, проведено к нему сколько угодно секущих, то произведение каждой секущей на ее внешнюю часть есть число постоянное для всех этих секущих (т. к. для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной, проведенной через взятую точку).

Подведение итогов.

Первичное закрепление теоретического материала через проговаривание формулировок теорем и следствий, идей их доказательства.

В качестве домашнего задания было предложено:

теоретическая задача: Диаметр АВ данной окружности продолжен за точку В . Через какую-нибудь точку С этого продолжения проведена прямая
. Если произвольную точку М этого перпендикуляра соединим с точкой А , то (обозначив через вторую точку пересечения с окружностью этой прямой) произведение
есть величина постоянная для всякой точки М.

задачи № 666 и № 671 (учебник Л. С. Атанасяна) на применение формул для пропорциональных отрезков хорд, касательных и секущих;

задача № 660 на повторение темы «Вписанный угол»;

учить начитанный теоретический материал (т. к. следующее занятие предполагается начать с проверочной работы по данной теории).

Результативность. В ходе урока учащимися были выявлены закономерности между отрезками хорд, касательных и секущих; определена мера угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания; было обеспечено восприятие учащимися нового материала по средствам геометрической иллюстрации и записи формул; осуществлялось воспитание у учащихся грамотности оформления геометрического доказательства.

Для доказательства теорем следует обратиться к пройденному материалу по теме «Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности. Центральный и вписанный углы». Вспомнить понятие пропорциональности отрезков как сторон подобных треугольников.

Следует выделить отдельно пропорциональность отрезков двух хорд. Доказательство можно провести как письменно, так и устно в зависимости от конкретно взятого класса и темпа урока.

Запись теоретического материала (формулировки – под запись) на доске лучше осуществлять самому учителю в целях экономии времени, качества оформления, а учащихся максимально привлекать к открытию доказательства теорем.

При высоком темпе работы можно рассмотреть теоретическую задачу, предложенную в домашнем задании, выдвинуть идею доказательства, а оформление оставить на дом.

Для контроля изученного материала на следующем уроке следует провести фронтальный опрос теории в виде письменной работы, в которую можно включить простую задачу на основные формулы пропорциональности в круге.

Литература.

пропор­циональность отрезков ? Очевидно, из подобия... например, уроку геометрии в VI классе на тему «Построение треугольника по двум углам... , образованные хордой и касательными к ду­ге в точках, служащих концами хорды , равны» ...

Пропорциональность отрезков хорд и секущей.

Свойство отрезков касательной.

Теорема о геометрическом месте точек.

Серединный перпендикуляр.

Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность.

Окружность, вписанная в треугольник.

По всем понятиям и утверждениям предложены задачи.

Презентация рассчитана на серию уроков. Может использоваться при дистанционном обучении.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ТЕМА: ” ОКРУЖНОСТЬ ” .

Окружность. Радиус. Хорда. Диаметр. Центральный угол. Центральный угол. Вписанный угол. Задача. Свойство вписанного угла. Задача. Теорема о полусумме дуг. Задача. Теорема о полуразности дуг. Задача. Произведение отрезков пересекающихся хорд. Пропорциональность отрезков хорд и секущей. Свойство отрезков касательной. Задача. Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек. Серединный перпендикуляр. Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность. Задача. Задача. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в треугольник. Задача. Окружность, описанная около четырехугольника. Задача. Окружность, вписанная в четырехугольник. Задача.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности. Расстояние от центра О окружности до лежащей на ней точки А равно 5 см. Докажите, что расстояние от точки О до точки В этой окружности равно 5 см, а расстояние от О до точек С и D , не лежащих на ней, не равно 5 см. Окружность. О C D А В назад

РАДИУС. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Точки X,Y,Z лежат на окружности с центром М. Является ли радиусом этой окружности Отрезок MX; Отрезок YZ ? Y X Z назад

ХОРДА. Что такое хорда окружности? Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. назад О А В

ДИАМЕТР. Что такое диаметр окружности? Диаметром называется хорда, проходящая через центр. назад О А В

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера центрального угла соответствует градусной мере дуги, на которую он опирается (если дуга меньше полуокружности). Назовите по рисунку все центральные углы. О С А В m назад

Если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны. Сформулируйте обратное утверждение. А О С В D назад

ВПИСАННЫЙ УГОЛ. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Какие из углов являются вписанными в окружность? назад А В С

Угол ABC- вписанный в окружность. АС – диаметр. Докажите, что угол ABC - прямой. Задача. назад О А С В

СВОЙСТВО ВПИСАННОГО УГЛА. Докажите, что равны все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки. назад

ЗАДАЧА. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О,  АВС = 50  ,  АВ:  СВ = 5: 8. Найдите эти дуги и  АОС. назад

ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол ( АВС), вершина которого лежит внутри окружности, измеряется полусуммой двух дуг (АС и D Е), одна из которых заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон.  АВС = 0,5 ( D Е +  АС). D Е А С назад

ЗАДАЧА. Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ: КА = 3: 4. назад

ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол ( АВС), вершина которого лежит вне окружности и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг (АС и D Е), заключенных между его сторонами.  АВС = 0,5 ( D Е +  АС). В D Е А С назад

ЗАДАЧА. Расстояние от точки А до центра окружности радиуса 5 см равно 10 см. Через точку А проведена секущая, которая пересекает окружность в точках В и С. Найти АС, если точка В делит отрезок АС пополам. назад

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД. Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны. Сформулируй эту теорему со словами «если», «то». Проверь себя: «Если хорды АВ и С D пересекаются в точке М, то АМ  ВМ = СМ  D М С В м А D назад

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩЕЙ. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной. Если через точку М проведена секущая к окружности и касательная, причем точки А и В – точки пересечения окружности с секущей, а С – точка касания, то АМ  ВМ = СМ. М С В А назад

СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ КАСАТЕЛЬНОЙ. Отрезки двух касательных, проведенных к окружности из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром. Докажите теорему самостоятельно. А О С В назад

ЗАДАЧА. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найти периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120  . назад

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Объясните, почему окружность является геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки. назад О А В

ТЕОРЕМА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину. Дано: а; АВ  а; АО = ОВ. Доказать: а - геометрическое место точек, равноудалённых от А и В. Будет ли теорема доказана, если установить, что любая точка прямой а равноудалена от А и В. назад А В О М а

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему. Докажите, что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде этой окружности. назад

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность. Докажите, что стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности. Где лежит центр окружности, описанной около треугольника? назад

Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Задача. назад О А С В

ЗАДАЧА. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12, и 10 см. назад

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности Общая точка окружности и касательной называется точкой касания. Что можно сказать о сторонах треугольника С D Е по отношению к окружности? назад

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности. Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник? Треугольник ABC- описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA- равные? назад

ЗАДАЧА. В прямоугольном треугольнике один из углов 30  . Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см. назад

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. Если около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равны двум прямым углам. Докажите:  А +  С = 180  . Сформулируйте обратное утверждение. Около каких четырехугольников можно описать окружность? Почему? В С D A назад

ЗАДАЧА. Диагональ трапеции составляет с большим основанием угол 30  , а центр окружности, описанной возле трапеции, принадлежит этому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 2 см. назад

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма длин его противоположных сторон равны. Докажите: АВ+С D = ВС+А D . Сформулируйте обратное утверждение. В какие четырехугольники можно вписать окружность? В С D А N P K M назад

ЗАДАЧА. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, если ее основания равны 2 см и 8 см. назад

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.

Ход занятия

Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?

Окружность - это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр - точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius - “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.

Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.

Задание для команд.

• Изобразить и записать свойство пересекающихся в точке Р хорд КМ и NF.
• Изобразить и записать свойство касательной КМ и секущей КF.
• Изобразить и записать свойство секущих КМ и МF.

Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6

Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.

Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.

(Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)

2. Практикум по решению задач

а) Пересекающиеся хорды

1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.

Решение:

2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.

Решение:

3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.

Решение:

4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

Решение:

б) Касательная и секущая

5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.

Решение:

6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.

Решение:

7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.

Решение:

8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.

Решение:

9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.

Решение:

в) Две секущие

10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Решение:

11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.

Решение:

12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

Решение:

13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

Решение:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Закрепление знаний

Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:

• Соображай-ка!
• Решай-ка!
• Отвечай-ка!

На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.

Командам вручаются маршрутные листы:

Маршрутный лист

Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:

Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?

Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:

“Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).

А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.

Решение:

V. Итог урока

У. Назоваите все получившиеся вписанные углы (рис. 30).

Д. САВ; АВС; ВС.

У. Назовите все углы между касательной и хордами.

Д. NAB; NBA; KBC; KCB; MCA; MAC.

У. Какие из них будут равны и почему?

Д. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. У каждой пары этих углов между касательной и хордой заключена одна и таже дуга, поэтому они численно равны половине, то есть равны между собой.

У. Какой их углов треугольника равен каждой из этих трех пар и почему?

Д. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Так как угол между касательной и хордой равен вписанном углу,опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.

У. Что можно сказать про вид треугольников ANB; BKC; CMA?

Д. они равнобедренные, так как в каждом из этих треугольников есть по два равных угла.

V I. Домашнее задание

№656, 663 по учебнику Атанасян.

Выучить теорию (подготовка к тесту).

Урок 6 – 7

Тема. Пропорциональность отрезков хорд и секущих.

Цели урока. Проверить знания учащихся и понимание темы: «Вписанный угол»; рассмотреть теоретический материал (о хордах и секущих); закрепить навыки решения задач.

I. Вопросы по домашнему заданию

II. Проверка знаний

Проверка теории, проверка знаний учащихся по теме «Вписанный угол» носит характер теста. Тест проверяет не только фактическое зна­ние определений, свойств, но и понимание связей между понятиями. Поэтому некоторые вопросы сформированы не строго в соответствии с учебником. На выполнение отводится 5-7 минут. Работы необходимо оценить. Если ученик не справился, то рекомендуется проверить его на знание формулировок из учебника.

Тест проводится в конце темы, так как необходимо отработать все связи между дугой, центральным и вписанным углами.

Учащимся при выполнении теста нужно написать только соответству­ющие номера. Мы экономим время и заставляем учащихся размышлять.

После проведения теста можно ответить на вопрос, вызвавший инте­рес у большинства учащихся.

Тест (по учебнику Л. С. Атанасян)

Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.

Вариант 1

Вариант 2

Ответы: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.

Вариант 1

Ответы: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

Вариант 2

Ответы. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Объяснение нового материала

У. Запишем тему урока и раз­берем задачу по готовому черте­жу устно,(рис. 31)

У. В окружности проведены ди­аметр АС , хорды BD , СВ и AD и касательная CN , которая образует с продолжением хорды AD угол 30°.

Найти DBC .

Рассуждения по задаче:

1) Как называется угол DBC , на какую дугу он опирается?

2) Что можно сказать об угле CAN ?

3) Свойство касательной CN.

4) Как можно вычеслить величину угла CAN и почему?

Вывод: DBC = 60°

Во время рассуждений отмечаем на чертеже равные углы, а также ACN = 90 °. Далее предлагаем рассмотреть треугольники ВСМ и AMD. Эти треугольники подобны (можно подсказать, если не увидят сами).

Для доказательства подобия треугольников надо вспомнить призна­ки подобия.

На чертеже уже отмечены равные углы CBM = CAD (опираются на одну дугу). Остается только заметить вертикальные углы:

ВМС = AMD , ВСМ ~ ∆ AMD (по двум углам).

Что нужно сказать про соответственные стороны подобных треугольников? Составьте пропорцию:

BMAM = CMDM = BCAD.

У. . Чем являются в окружности отрезки, которые вошли в пропорцию?

Д. Части хорд и диаметра.

У. То есть можно предположить, что есть связь между пере­секающимися хордами в окружности.

Сформулируем теорему: если две хорды окружности пересе­каются, то произведение отрезков одной хорды равно произве­дению отрезков другой хорды.

Доказательство проводится по учебнику Атанасян, учащиеся подготов­лены к восприятию теоремы, и ее запись не должна занять много времени.

Считаем, что необходимо рассмотреть теорему о секущих.

Готовим чертеж для теоремы и выясняем, что понимаем под секу­щей к окружности: прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Записываем формулировку теоремы : если из точки, лежащей

вне окруж­ности, проведены две секущие, то произведения секущей на свои внешние части равны. (Или: если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно,

то АР BP = = CP - DP .)

Дано: BP и DP - секущие (рис. 32).

Доказать: BP АР = PD PC.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное постро­ение: ВС nAD .

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

Продолжим рассмотрение взаимного рас­положения секущих и окружности. Если из­менить данный чертеж таим образом, что секущая РВ займет положение касательной, то наша теорема будет формулироваться так: если из одной точки вне окружности проведены секущая и касательная к этой окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

P Итак, надо доказать, что BP 2 = PD PC.

Проведем хорды ВС и BD.

BDC = ½ u ВС (как вписанный);

СВР = ½ u ВС (угол между касательной и хордой), следовательно

BDC = CBP .

∆BPD ~ ∆ CPB по двум углам.

Запишем пропорцию:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, значит BP 2= PC PD.

Можно, записав формулировку теоремы, решить задачу № 670 (Ата- насян) и таким образом провести доказательство теоремы. Так как прин­цип доказательства повторяется, во всех трех теоремах он основан на подобии, то можно попросить провести доказательство у доски одного из учащихся.

Задача 1

KL и MN- секущие (рис. №34). Какое свойство можно сформулировать? (Обсуждаем и готовим чертеж, решаем задачу по этому чертежу.)

Хорды MN и КL пересекаются в точке С. Определите длину отрезка CL , если KC = 3см, МС = 3 см; Сн = 9 см. теме "Центральные и вписанные углы ". Обобщить и... . Сегодня у нас заключительный урок по теме : "Центральные и вписанные углы ". Повторяем, обобщаем, приводим...