Тема урока: Функция y=aи её свойства.
Тип урока : Изучение нового материала.
Цели урока :
Задачи урока:
Формировать:
умение применять свойства квадратичной функции;
умение строить графики функции;
умения сформулировать свойства квадратичной функции;
умения высказывать свое мнение, делать выводы;
Развивать: мышление, память, умение осуществлять самостоятельную деятельность на уроке.
Методы обучения
по источнику знаний: беседа, упражнения;
по характеру познавательной деятельности: поисковый, объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.
Формы обучения : фронтальная.
Этапы урока :
Организационный момент (1 мин).
Актуализация опорных знаний и способов действий (5 мин).
Изучение нового материала (15 мин).
Первичное применение нового материала (20 мин).
Постановка домашнего задания (1 мин).
Подведение итогов урока (3 мин).
| Деятельность учителя | Деятельность ученика |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Организационный момент |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Здравствуйте ребята, присаживайтесь. | Учащиеся рассаживаются, слушают учителя. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Актуализация опорных знаний и способов действий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа. Сегодня на уроке мы будем изучать новый материал. Перед тем, как перейти к новой теме, ответьте на несколько вопросов. Учитель задаёт ученикам вопросы - Что такое функция? Что называют графиком функции? С какими видами функции вы знакомы? Что называется линейной функцией? Что называется квадратичной функцией? С каким видом квадратичной функции вы уже работали? Как это функция получилась и как она называется? Сегодня вы познакомитесь с новым видом квадратичной функции. Поэтому записываем новую тему: «Функция и её свойства». | Записывают в тетради число, классная работа. Отвечают на вопросы учителя - Функция – зависимость одной переменной величины от другой. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции. С линейной и квадратичной. Линейной функцией называется функция вида . - Квадратичная функция – это функция , где – заданные действительные числа, – действительная переменная. Это функция называется параболой. Так как квадратичная функция имеет вид , то парабола получилась при коэффициентах Записывают новую тему в тетрадь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Изучение нового материала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| При а=1 формула принимает вид . Мы уже сказали, что графиком этой функции является парабола. Поэтому построим график функции . Записываем задача №1: Построить график функции . Давайте вызовем кого - нибудь к доске.
Как для любой другой функции, мы составляем таблицу значений. Какой график у нас получился? Следующая задача: Построить график функции К доске пойдёт …. Учитель вызывает к доске ученика Решаем также по аналогии с предыдущим примером. Теперь по данным точкам построим график. Соединим точки плавной кривой. Если мы сравним графики функций Как вы считаете, какими будут графики Куда тогда будут направлены ветви параболы графика ? После всех решенных примеров, какой вывод мы можем сделать по функции ? Теперь поговорим о свойствах функции . На доске записаны графики функции, по ним учитель рассказывает свойства 1)Если a0, то функция принимает положительные значения при ; если a принимает отрицательные значения при ; значение функции равно 0 только при х=0. 2)Парабола симметрична относительно оси координат. 3) Если a0, то функции возрастает при и убывает при если a убывает при и возрастает при . | Слушают учителя
Задача №1: Построить график функции . Решают вместе с учителем.
У нас получилась парабола. Записывают первое задание в тетрадь Задача №2: Построить график функции Решают вместе с учителем. Один из учеников выходит к доске Они будут симметричными, так как график будет иметь противоположные значения графика . Ветви параболы будут направлены вниз. График функции также является параболой. При a0 ветви направлены вверх, при a Слушают учителя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Первичное применение нового материала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| А теперь попробуем на практике применить полученные знания. Открываем учебники на стр. 161 и записываем в тетради номера. Учитель вызывает учеников к доске для решения заданий Разберем устно №596. Определить направление ветвей параболы: Записываем в тетрадь №597 (1,3): На одной координатной плоскости построить графики функций Учитель вызывает ученика к доске | Открывают учебники и записывают номер в тетрадь Ученики у доски решают задания Устно проговаривают решение задачи 1) - вверх, т. к. a0 2) - вверх, т. к. a0 3) - вниз, т. к. a 4) -вниз, т. к. a Один из учеников выходит к доске |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Постановка домашнего задания |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Учитель сообщает домашнее задание. Наш урок подошел к концу. Запишите домашнее задание. Учитель записывает домашнее задание на доске. П 37 стр. 157. Выучить свойства. №595(2): На миллиметровой бумаге построить график функции . По графику приближенно найти значения х, если у=9; 6; 2; 8; 1,3. №597 (2,4): На одной координатной плоскости построить графики функций Используя графики, выяснить, какие из этих функций возрастают на промежутке . | Записывают домашнее задание. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Подведение итогов урока |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Что мы изучили на уроке? Все ли вам было понятно? На этом наш урок закончен. Ученики, которые выходили к доске, подойдите ко мне с дневниками. До свидания! | Учащиеся отвечают на вопросы: Мы изучили новый вид квадратичной функции и её свойства. Прощаются с учителем. Подходят с дневниками. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, то мы заметим, что при одном и том же х значение функции в 2 раза 
, то мы заметим, что каждую точку графика можно получить из точки графика функции с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается сжатием графика функции к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.
?Рассмотрим выражение вида ах 2 +вх+с, где а, в, с - действительные числа, а отлично от нуля. Это математическое выражение известно как квадратный трехчлен.
Напомним, что ах 2 - это старший член этого квадратного трехчлена, а - его старший коэффициент.
Но не всегда у квадратного трехчлена присутствуют все три слагаемые. Возьмем для примера выражение 3х 2 + 2х, где а=3, в=2, с=0.
Перейдем к квадратичной функции у=ах 2 +вх+с, где а, в, с - любые произвольные числа. Эта функция является квадратичной, так как содержит член второй степени, то есть х в квадрате.
Довольно легко построить график квадратичной функции, например, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата.
Рассмотрим пример построения графика функции у равно -3х 2 - 6х + 1.
Для этого первое, что вспомним, схему выделения полного квадрата в трехчлене -3х 2 - 6х + 1.
Вынесем -3 у первых двух слагаемых за скобки. Имеем -3 умножить на сумму х квадрат плюс 2х и прибавить 1. Добавив и отняв единицу в скобках, получаем формулу квадрата суммы, которую можно свернуть. Получим -3 умножить на сумму (х+1) в квадрате минус 1 прибавить 1. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, выходит выражение: -3 умноженное на квадрат суммы (х+1) прибавить 4.
Построим график полученной функции, перейдя к вспомогательной системе координат с началом в точке с координатами (-1; 4).
На рисунке из видео эта система обозначена пунктирными линиями. Привяжем функцию у равно -3х 2 к построенной системе координат. Для удобства возьмем контрольные точки. Например, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). При этом отложим их в построенной системе координат. Полученная при построении парабола является необходимым нам графиком. На рисунке это красная парабола.
Применяя метод выделения полного квадрата, мы имеем квадратичную функцию вида: у = а*(х+1) 2 + m.
График параболы у = ах 2 + bx + c легко получить из параболы у=ах 2 параллельным переносом. Это подтверждено теоремой, которую можно доказать, выделив полный квадрат двучлена. Выражение ах 2 + bx + c после последовательных преобразований превращается в выражение вида: а*(х+l) 2 + m. Начертим график. Выполним параллельное перемещение параболы у = ах 2 , совмещая вершину с точкой с координатами (-l;m). Важно то, что х= -l, а значит -b/2а. Значит эта прямая является осью параболы ах 2 + bx + c, ее вершина находится в точке с абсциссой х нулевое равно минус в, деленное на 2а, а ордината вычисляется по громоздкой формуле 4ас - b 2 /. Но эту формулу запоминать не обязательно. Так как, подставив значение абсциссы в функцию, получим ординату.
Для определения уравнения оси, направления ее ветвей и координат вершины параболы, рассмотрим следующий пример.
Возьмем функцию у = -3х 2 - 6х + 1. Составив уравнение оси параболы, имеем, что х=-1. А это значение является координатой х вершины параболы. Осталось найти только ординату. Подставив значение -1 в функцию, получим 4. Вершина параболы находится в точке (-1; 4).
График функции у = -3х 2 - 6х + 1 получен при параллельном переносе графика функции у = -3х 2 , значит, и ведет себя аналогично. Старший коэффициент отрицателен, поэтому ветви направлены вниз.
Мы видим, что для любой функции вида y = ах 2 + bx + c, самым легким является последний вопрос, то есть направление веток параболы. Если коэффициент а положительный, то ветви - вверх, а если отрицательный, то - вниз.
Следующим по сложности идет первый вопрос, потому что требует дополнительных вычислений.
И самый сложный второй, так как, кроме вычислений, еще необходимы знания формул, по которым находятся х нулевое и у нулевое.
Построим график функции у = 2х 2 - х + 1.
Определяем сразу - графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как старший коэффициент равен 2, а это положительное число. По формуле находим абсциссу х нулевое, она равна 1,5. Для нахождения ординаты вспомним, что у нулевое равно функции от 1,5, при вычислении получим -3,5.
Вершина - (1,5;-3,5). Ось - х=1,5. Возьмем точки х=0 и х=3. у=1. Отметим данные точки. По трем известным точкам строим искомый график.
Для построения графика функции ах 2 + bx + c необходимо:
Найти координаты вершины параболы и отметить их на рисунке, потом провести ось параболы;
На оси ох взять две симметричные, относительно оси, параболы точки, найти значение функции в этих точках и отметить их на координатной плоскости;
Через три точки построить параболу, при необходимости можно взять еще несколько точек и строить график по ним.
В следующем примере мы научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции -2х 2 + 8х - 5 на отрезке .
По алгоритму: а=-2, в=8, значит х нулевое равно 2, а у нулевое - 3, (2;3) - вершина параболы, а х=2 является осью.
Возьмем значения х=0 и х=4 и найдем ординаты этих точек. Это -5. Строим параболу и определяем, что наименьшее значение функции -5 при х=0, а наибольшее 3, при х=2.
Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
В данном случае а = 0,5
А теперь для а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В данном случае а = - 0,5
Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.
с > 0:
y = x 2 + 4x + 3
с < 0
y = x 2 + 4x - 3
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
y = x 2 + 4x
Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.
Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .
Рассмотрим пример:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.
