Решение алгебраических уравнений сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения

Рассмотрим задачу Коши: (14) (15) где - параметры. В дальнейшем мы рассмотрим функционалы, зависящие от параметров через решение задачи Коши (14),(15). Тогда градиентные уравнения будут зависеть от производных по решения задачи (14),(15)...

Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

Задачу Коши для уравнений Лотки (5) п.2 запишем, используя более стан-дартные математические обозначения: , (1) , (2) Задача Коши (17), (18) п.1 будет следующей: , , (3) , (4) Как видим, задача Коши (1), (2), (3), (4) полиномиальная...

Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания

Предположим, что существует стационарное распределение. Составим уравнение равновесия...

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции аргумента называется соотношение вида (1.10) где - заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает...

Иррациональные уравнения

Пример 1. Решить уравнение. Решение. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат.. О т в е т: {6}. Пример 2. Решить уравнение. Решение. В левой части исходного уравнения стоит арифметический квадратный корень - он по определению неотрицателен...

Иррациональные уравнения

Довольно часто при решении уравнений данного вида учащиеся используют следующую формулировку свойства произведения «Произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю». Заметим...

Иррациональные уравнения

Данные уравнения можно решить при помощи основного метода решения иррациональных уравнений (возведение в квадрат обеих частей уравнения), но иногда их можно решить и другими методами. Рассмотрим уравнение (1). Пусть - корень уравнения (1)...

Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый...

Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

Возвратное уравнение - алгебраическое уравнение а0хn + a1xn - 1 + … + an - 1x + an =0, в котором ак = an - k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а? 0...

Линейные и квадратичные зависимости, функция х и связанные с ними уравнения и неравенства

В некоторых задачах вступительного экзамена требуется не просто исследовать расположение корней квадратного трехчлена, а выяснить, при каких значениях параметра выполняется то или иное логическое высказывание...

Логарифмическая функция в задачах

Пример 1. Решите уравнение. Решение: Область допустимых значений - множество всех действительных чисел, так как при всех. По определению логарифма имеем. Получим показательное уравнение, которое решим методом приведения к алгебраическому...

Методика решения уравнений типа свертки

Пример 3.1. Нелинейные уравнения с ядром Гильберта: (3.12) (3.13) Имеют единственное решение в гильбертовом пространстве. В 1977 году Г.М. Магомедов рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида (3...

Приближенные методы решения краевых задач, для дифференциальных уравнений с частными производными

Напомним уравнение Пуассона (4) (4) На практике к построению конечноразностных схем применяют несколько шаблонов. 1. Конечноразностная схема "крест"...

Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений, т. е. соотношений между функциями и их производными. Задача интегрирования этих уравнений -- важнейшая задача математики...

Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач

Иррациональные уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, так как с их помощью легко диагностируется знание таких понятий, как равносильные преобразования, область определения и другие...

Предмет

алгебра

Класс

8

Тема и номер урока в теме

«Квадратные уравнения»; 14 урок

Базовый учебник

«Алгебра 8», под ред. Ш.А. Алимов и др., Москва: Просвещение, 2009 г.

5. Цель урока: закрепить алгоритмы решения биквадратного и дробно рационального уравнения.

6. Задачи:

- обучающие: знать вид биквадратного и дробно рационального уравнения; алгоритм решения биквадратного

и дробно рационального уравнения; уметь решать биквадратное и дробно рациональное уравнение;

-развивающие : формирование умения выделять главное, сравнивать, анализировать и делать выводы;

формирование умения формулировать познавательные задачи, планировать познавательную деятельность;

развивать качества личности – трудолюбие, аккуратность, настойчивость в достижении цели;

-воспитательные: выработка объективной оценки своих достижений; формирование ответственности;

развитие навыков коллективного труда.

7. Тип урока: у рок закрепления знаний .

8. Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная; групповая.

9. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, ИД.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Квадратным уравнением называется уравнение ax²+bx+c=0, где a, b, c – заданные числа, a0, x -неизвестное. Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a – первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, c – свободным членом. Например, в уравнении 3х²-х+2=0 старший (первый) коэффициент а=3, второй коэффициент b=-1, а свободный член c=2. Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению квадратных уравнений: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2x²+3x=x²+2x+2 после перенесения всех его членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению x²+x-2=0.

Рассмотрим уравнение общего вида: ax²+bx+c=0, где a0. Корни уравнения находят по формуле: Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D 0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D=0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих видов: Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Квадратное уравнение вида x 2 +px+q=0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице: a=1. Корни приведенного квадратного уравнения находятся по формуле: Этой формулой удобно пользоваться, когда p – четное число. Пример: Решить уравнение x 2 -14x-15=0. По формуле находим: Ответ: x 1 =15, x 2 =-1.

Франсуа Виет? Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену). Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Утверждение 1: Пусть х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 +pх+q=0. Тогда числа х 1, х 2, p, q связаны равенствами: x 1 +х 2 = - p, х 1 х 2 =q Утверждение 2: Пусть числа х 1, х 2, p, q связаны равенствами х 1 +х 2 = - p, х 1 х 2 =q. Тогда х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 +pх+q=0 Следствие: х 2 +pх+q=(х-х 1)(х-х 2). Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Биквадратные уравнения Биквадратным называется уравнение вида, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив, получим квадратное уравнение Пример: Решить уравнение x 4 +4x 2 -21=0 Положив x 2 =t, получим квадратное уравнение t 2 +4t -21=0, откуда находим t 1 = -7, t 2 =3. Теперь задача сводится к решению уравнений x 2 = -7, x 2 =3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим: которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью квадратных уравнений Задача 1: Автобус отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 40 км. Через 10 минут вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно. Скорость V (км/ч) Время t (ч) Путь S (км) Автобусx40 ТаксиX+2040 На 10 мин 10 мин =ч Составим и решим уравнение:

Умножим обе части уравнения на 6x(x+20), получим: Корни этого уравнения: При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому являются корнями уравнения. Так как скорость автобуса положительна, то условию задачи удовлетворяет только один корень: x=60. Поэтому скорость такси 80 км/ч. Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.

Задача 2: На перепечатку рукописи первая машинистка тратит на 3 ч меньше, чем вторая. Работая одновременно, они закончили перепечатку всей рукописи за 6ч 40 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой из них на перепечатку всей рукописи? Количество работы в час Время t (ч) Объем работы Первая машинистка x1 Вторая машинистка x+31 Вместе за 6ч 40мин 6 ч 40 мин = 6 ч Составим и решим уравнение:

Это уравнение можно записать следующим образом: Умножая обе части уравнения на 20x(x+3), получаем: Корни этого уравнения: При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому - корни уравнения. Так как время положительно, то x=12ч. Следовательно Первая машинистка затрачивает на работу 12 ч, вторая – 12 ч + 3 ч = 15 ч Ответ:12 ч и 15 ч. 15

Франсуа Виет Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году. Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.

В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.

Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.

У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.

Итак, начнем.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:

В этом месте замена переменной становится очевидной:

Получаем уравнение

Ответ:

2 .

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Получим уравнение:

Ответ:

3 .

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

4 .

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Теперь мы вводим замену переменной:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:

Ответ: или

7 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение: