Решение модульных уравнений. Внеклассный урок - теорема виета

Сразу перейдем к рассмотрению системы ставок, когда, единственным верным вариантом исхода игры вместо двух станет три таких как:
Х - ничья;
П1 - победа первой команды;
П2 - победа второй команды.

Как уже можно было догадаться, основным применением такой стратегии приходятся ставки на футбол. Вот несколько примеров системы Ставок 1-Х-2, при помощи которой вы можете избежать проигрыша ваших ставок, в случае, если вам не удалось угадать исход матчей.

Пример первый. Допустим, есть несколько хороших матчей, с неплохим коэффициентом от 1.75 до 2.1, в большинстве исходов всех матчей за которые вы будете уверенны. Сделав ставки на несколько таких матчей, само собой появляется риск, при котором как минимум одна из футбольных команд сыграет вничью, в итоге вы можете потерять все.

А вот для того чтобы этого избежать, вам просто нужно использовать систему Ставок 1-Х-2, само собой выигрыш при этом будет меньше, но даже если одна из выбранных команд не сыграет вашу ставку, то вы сможете отыграть поставленные деньги. Но, как правило, это не весьма интересно, так как вы можете учесть все возможные ничьи в матчах и быть в весьма неплохом плюсе.

Допустим, есть три футбольных матча, с коэффициентом от 1.8 до 2.0, где, по вашему мнению, должна победить первая команда. Тогда вам будет необходимо делать ставки на 4 экспресса (Рис.1):

Рис.1 - Пример ставки

Допустим на все ставки, в общем, мы потратили всего 400 $ примерно по 10 на каждый экспресс. После выигрыша всех команд рассчитываем прибыль по таком принципу: 1.8*1.8*1.8*100 у.е. = 580,30$, но при раскладе, когда одна, из игр закончилась в ничью, то рассчитываем по схеме 1.8*1.8*2.7*100 у.е. = 870 у.е. Выигрыш неплохой согласитесь?

Но риски есть всегда, и не стоит забывать о то, что если ваши ставки не сыграют или же будет более одной ничьи, то деньги вы свои потеряете. Также нужно отметить, что вы можете модифицировать данную систему, что в свою очередь увеличит шансы выигрыша ваших ставок. Рассмотрим небольшой пример, который приведен чуть-чуть ниже, с учетом возможностей победы второй команды, но только для одной футбольной пары. В таком случае будет иметь весьма актуальное место следующий набор (Рис.2):

Рис.2 - Пример ставки

Таким образом, во всех из пяти поставленных нами экспрессов коэффициент просто обязан быть не меньше 5.

Система ставок 1-Х-2 вариант второй. От части, напоминает первую систему, ряд особенностей этого варианта в том, что данная система позволит вам очень результативно разделить все ставки, именно нате команды, которые лучше играют на выезде. Допустим, всего есть три команды, которые лучше чем остальные играют на выезде, тоесть ставки делать будем таким образом (Рис.3):

Рис.3 - Пример ставки

ничья - «Х»
победа выездной команды -«2»

Если учитывать, что все коэффициенты, для команд, как правило, очень высокие, то достичь рентабельности системы для каждого экспресса будет не сложно.

Также нужно отметить, что на практике данная система, очень часто применяется именно к матчам с большими коэффициентами, так как первая, описанная нами система, позволяет получать неплохие результаты.

Но стоит отметить, что эффективность самой системы очень часто находится под вопросом, так как, поставив три матча ставки по ординарам, вы сможете получить не плохой, а быть может и очень хороший результат, чем ставки на экспрессы по первой из приведённых систем.

А вот уже вторая система, так сказать, более эффективна для совершения ставок непосредственно на команды, которые реже проигрывают на выезде, чем остальные. Но как правило, здесь будет также как и в первой системе, зачастую выходить случаи, когда вами будет намного выгоднее сделать ставку на всю сумму, на один экспресс в место того чтобы играть по второй системе.

Именно поэтому, эффективность этой стратегии ставок 1-Х-2, следует высчитывать для каждой конкретной из всех имеющихся ваших ставок.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).

Пояснение :

Пусть квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Тогда по теореме Виета:

Пример 1 :

Приведенное уравнение x 2 – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.

Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.

А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.

Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.

Пример 2 . Решить квадратное уравнение х 2 – 2х – 24 = 0.

Решение .

Применяем теорему Виета и записываем два тождества:

х 1 · х 2 = –24

х 1 + х 2 = 2

Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.

Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.

Ответ: х 1 = 6, х 2 = –4.

Пример 3 . Решим квадратное уравнение 3х 2 + 2х – 5 = 0.

Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.

Решение .

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:

3 + (–5) = –2.

В соответствии с теоремой Виета

х 1 + х 2 = –2/3
х 1 · х 2 = –5/3.

Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.

Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание:
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень?
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х 1 = 3/3, то:

3/3 + х 2 = –2/3.

Решаем простое уравнение:

х 2 = –2/3 – 3/3.

Ответ: х 1 = 1; х 2 = –5/3

Пример 4 : Решить квадратное уравнение 7x 2 – 6x – 1 = 0.

Решение :

Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х 1 = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:
7 + (– 1) = 6.

В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):

х 1 · х 2 = –1/7
х 1 + х 2 = 6/7

Подставляем значение х 1 в любое из этих двух выражений и находим х 2:

х 2 = –1/7: 1 = –1/7

Ответ : х 1 = 1; х 2 = –1/7

Дискриминант приведенного квадратного уравнения.

Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:

При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Ставка 1х2 (ставка на исход, head -to -head , трёхисходная ставка ) – одна из базовых ставок в букмекерских конторах. Не нужно подсчитывать предполагаемые очки, считать угловые, кто первый забьет и т.п. Достаточно просто быть уверенным в том, выиграет первая команда, вторая, или будет ничья.

Производить эту ставку можно как в режим лайв так и в прематчевом периоде. Чаще всего она актуальна для футбола и хоккея , но также возможна и в других видах спорта. Стоит сказать, что ставка head-to-head в ее типичной интерпретации не характерна для тенниса, волейбола, бейсбола и других видов спорта , где возможна победа только одного человека/команды (ведь нету того самого Х). В данном случае используют одиночную ставку.

Так же ставки этого рода можно производить как на итоговый результат матча (победа команды в конце игры) или же на итог игры в первом тайме (к примеру победа Ливерпуля по очкам после 45 минут игры).

Фактически ставка на исход прогнозирует итоговый результат окончания матча. А 1Х2 она иногда называется из-за сокращения: 1 в этом случае является победой хозяев, Х ничья, а 2 победа гостей (некоторые любят сокращение Хозяева-Ничья-Гостьи).

Одним из недостатков данного вида ставки является иногда широкая вилка между коэффициентами. Так, на фаворита матча кэф может быть 1.0, тогда как у противоположной стороны 12 и выше.

Выигрыш ставки head-to-head рассчитывается путем умножения суммы ставки на коэффициент, который был в момент осуществления ставки. Соответственно, при победе гостей с коэффициентом 10 при сумме ставки в 1000 р. ваша прибыль составит 10.000 рублей.

Все еще непонятно что значит 1х2 в ставках? Давайте приведем пример. Возьмем матч Россия – Германия. Обозначим Россию цифрой 1, Германию цифрой 2. Ничью возьмем за условный Х. Коэффициент букмекера на победу России (5,3), Германии (1,9), на ничью (2,4). Ваша ставка на победу России 500 рублей. В случае победы ставки (1) вы получите обратно на свой счет 500х5,3=2650 рублей. В случае победы (2) или Х вы не получите ничего и потеряете сумму ставки.

Выше представлен пример отображения ставки у букмекерской конторы.

Одной из модификаций трехисходной ставки являются ставки «Двойной шанс» , которые понижают степень риска и повышают процент победы. Существуют варианты 1Х, 2Х и 12. Что же значат эти обозначения? Возьмем тот же матч Россия – Германия. Ставка 1Х говорит о том, что вы ставите на победу первой команды (России) или же на ничью в матче (Х).

Соответственно, при счете 1:1 вы получите выигрыш ставки. 2Х говорит о вашей предрасположенности к Германии или ничьей. Ну а ставка 12 говорит о выигрыше либо России либо Германии, при ничьей ставка будет проиграна. Минусы в ставках по этому типу очевидны: так как по-факту вы прогнозируете не 1 события, а 2 возможных букмекерские конторы понижают коэффициенты. Так, например, при кэфе на победу России – 5.3, если вы решите еще добавить ничью 1Х, кэф вероятно упадет до 3,2 или ниже.

Надеюсь мы помогли вам разобраться с вопросом значения ставки 1Х2. Дерзайте и будьте победителями.

Алгоритм решения уравнения ах 3 +bx 2 +cx+d=0:

1.Найти подбором корень уравнения (среди делителей свободного члена);

2.Разделить многочлен ах 3 + bx 2 + cx + d на х-х 1 , где х 1 - корень уравнения ах 3 + bx 2 + cx + d =0;

3.Частное приравнять к нулю и решить получившееся уравнение;

4.Записать ответ.

Решить уравнение-6х 3 -х 2 +5х+2=0

1. Находим делители свободного члена: ±1,±2,±3,±6.

2. х=1 является корнем уравнения.

3. Многочлен -6х 3 -х 2 +5х+2 делим на двучлен

х-1 (по следствию 1 из теоремы Безу).

3.Решим уравнение: -6х 2 -7х-2=0,

6х 2 -7х-2+0, х 1 = -, х 2 = -.

4. Ответ. х=1, х = -, х = -.

Этот способ решения уравнений – универсальный. Его можно применить для решения уравнений четвёртой, пятой и т.д. степеней, постепенно понижая их степени до второй.

Пример1.

Решить уравнение х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30=0.

1.Среди делителей свободного члена находим корни уравнения. Это 2 и -5.

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30 делится на х-2 и на х+5, а значит делится на (х-2)(х+5)=х 2 +3х-10.

3. Выполним деление многочленов: х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30 на х 2 +3х-10.

4.Решим уравнение х 2 -3=0, х 1,2 =
.

Ответ. х =
, х =-, х=-5,х=2.

Решить уравнение 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4=0.

1.Среди делителей свободного члена находим корни уравнения. Это 1, -1, 2 и -2

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4 делится на х-1,х+1, х-2 и на х+2, а значит делится на (х-1)(х+1)(х-2)(х+2)=

(х 2 -1)(х 2 -4)=х 4 -5х 2 +4.

3. Выполним деление многочленов: 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4 на х 4 -5х 2 +4.

4. Решим уравнение 3х+1 =0, х=-.

5. Ответ. х=-2,х=-1,х=-, х=1,х=2.

Решить уравнение

(2х 2 -1) 2 +х(2х-1) 2 =(х+1) 2 +16х 2 -6

Перенесём все члены в левую часть, раскроем скобки и приведём подобные члены.

4х 4 -4х 2 +1+4х 3 -4х 2 +х-х 2 -2х-1-16х 2 +6+0, 4х 4 +4х 3 -25х 2 –х+6=0.(1)

Делители свободного члена: ±1;±2;±3;±6. Если уравнение имеет целые корни, то это один из делителей. Подстановка показала, что это 2. По теореме Безу многочлен 4х 4 +4х 3 -25х 2 –х+6 делится на х-2 без остатка. В частном получим: 4х 3 +12х 2 –х – 3.

Уравнение (1) перепишем в виде: (х-2)(4х 3 +12х 2 –х – 3)=0.

Решим уравнение 4х 3 +12х 2 –х – 3=0. -3 является корнем этого уравнения, так как при подстановке его вместо х уравнение обращается в верное числовое равенство. Разделим многочлен 4х 3 +12х 2 –х – 3 на х+3, получим 4х 2 -1. Квадратное уравнение 4х 2 -1=0 имеет корни х= ±.

Ответ. х = 2, х = -3, х = ± .

Если среди делителей свободного члена нет корней уравнения, то используй зависимость между коэффициентами и корнями уравнения.

Если корень уравнения а 0 х n + a 1 x n -1 + a 2 x n -2 ...+ a n -1 x + a n =0 , то m – делитель свободного члена, а с-делитель старшего коэффициента.

Алгоритм решения таких уравнений:

1.Найди делители свободного члена и старшего коэффициента;

2.Составь различные дроби ,где m –делители свободного члена, а с-делители старшего коэффициента;

3. С помощью подстановки, определи, какая из дробей является корнем уравнения;

4. Выполни деление многочлена на многочлен;

5.Реши уравнение, приравняв частное к нулю;

6. Запиши ответ.

Решить уравнение 6х 3 -3х 2 -5х - 1=0.

1.Делители свободного члена: ±1. Эти числа не являются корнями уравнения. Находим делители старшего коэффициента: ±1, ±2,±3,±6.

2. Составим различные дроби:

3. - является корнем уравнения.

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен 6х 3 -3х 2 -5х – 1 делится на х+.

3. Выполним деление многочленов:

4. Решим уравнение 6х 2 -6х-2=0, 3х 2 -3х-1=0, D = 21, х 1,2 =
,

5. Ответ. х 1,2 =, х= -.

Деление многочлена на многочлен
можно выполнять другим способом.

Пусть =
∙(х- а)+ R . Пусть

Чтобы найти коэффициенты многочлена и число , раскроем скобки в правой части равенств: и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Получим при
. Отсюда следует, что при
.[ 4]

Вычисление коэффициентов многочлена и остатка производится с помощью следующей таблицы:

Эта таблица называется схемой Горнера .

Пример1.

Выполнить деление 2х 3 -3х+5 на х-4.

воспользуемся схемой Горнера для вычисления коэффициентов частного и остатка.

Следовательно,

Схема Горнера дает общий метод разложения на множители любого многочлена.

3.2 Для уравнений с целыми коэффициентами, не имеющих рациональных корней, эффективен метод неопределённых коэффициентов.

3.3 Метод неопределённых коэффициентов.

Многочлен левой части уравнения представляется в виде произведения двух многочленов с неизвестными коэффициентами:

1.Для кубического уравнения: х 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 , х 3 +bx 2 +cx+d=(х 2 +рх+g)(x+t)=х 3 +х 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Получим систему уравнений:

2.Для уравнения четвёртой степени: х 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d=0, а≠0

х 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Получим систему уравнений:
Решая систему, находим неизвестные коэффициенты.

Решить уравнение х 4 -2x 2 - 8х - 3=0.

представим многочлен х 4 -2x 2 - 8х -3 в виде произведения двух трёхчленов с неизвестными коэффициентами: х 4 -2x 2 - 8х -3=

(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Получим систему уравнений:
Из уравнения nt=-3 следует, что надо рассмотреть случаи: 1 .n=3,t=-1; 2. n=-3,t=1; 3. n=1,t=-3; 4 . n=-1,t=3.

Подстановкой этих пар в остальные уравнения системы получим, что при n=3,t=-1 х 4 -2x 2 - 8х -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1)=0. Решим уравнения x 2 +2x+3=0 и x 2 -2x-1=0. Дискриминант первого уравнения отрицательный, значит, оно не имеет действительных корней. Дискриминант второго уравнения равен 8, х 1,2 =1±
.

Ответ. х 1,2 =1±.

3.4. Для решения биквадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным часто используется метод введения новых переменных. Можно его использовать и для уравнений высших степеней.

Решить уравнение х 4 +2х 3 – 22х 2 +2х+1=0.

Так как х=0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения можно разделить на х 2 без потери корней. Получим уравнение

х 2 +2х-22++=0, сгруппируем слагаемые

(х 2 +)+2(х+ )-22=0.

Сделаем замену х +=t, тогда (х +) 2 =t 2 . х 2 +2+= t 2 , х 2 += t 2 -2.Исходное уравнение сводится к уравнению t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =-6, t 2 =4 Вернёмся к исходной переменной: 1). х +=-6, 2). х +=4.

Решим каждое уравнение. 1). х +=-6, х 2 +6х+1=0, D=32, x 1,2 =
, x 1 =-3+2, x 2 = -3-2.

Ответ. x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

Уравнение вида:

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = E;

Пример1.

Решить уравнение(х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40.

Сгруппируем множители ((х+1)(х+5))∙((х+4)(х+2))=40, выполним умножение в скобках (х 2 +6х+5)(х 2 +6х+8)=40, Применим замену: х 2 +6х=t, тогда (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0, t 2 (t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 не имеет действительных корней.

Вернёмся к исходной переменной х 2 +6х=0, х(х+6)=0, х=0, х= -6.

Ответ. х=0, х= -6.

Пример1.

Решить уравнение

(х 2 -3х+ 1)(х 2 +3х+2)(х 2 -9х+20)=-30.

разложим второй и третий трёхчлены на множители, для этого найдём корни многочленов, решив три уравнения:

х 2 +3х+2=0, х 1 = -1, х 2 = -2.

х 2 -9х+20=0, х 1 = 4, х 2 = 5. Получим уравнение

(х 2 -3х+ 1)(х+1)(х+2)(х-4)(х-5)=-30,

(х 2 -3х+ 1)((х+1)∙(х-4))((х+2)∙(х -_5))=-30,

(х 2 -3х+ 1)(х 2 -3х-4)(х 2 -3х-10)=-30, Введём новую переменную. Пусть

х 2 -3х+ 1=t, тогда t(t-5)(t-11)=-30, t=6 является корнем этого уравнения. Раскроем скобки и получим t 3 -16t 2 +55t+30=0,

Разделим многочлен t 3 -16t 2 +55t+30 на t-6, в частном получим t 2 -10t-5.

Решим уравнение t 2 -10t-5=0, t 1 =5+
, t 2 =5-.

Вернёмся к исходно переменной, для этого решим три уравнения:

Ответ. х 1,2 =, х 3,4 =
, х 5,6 =
.

Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;

Решить уравнение:

(х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2

разложим на множители х 2 + 15 + 50.

х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид:

(х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2 ,

(х 2 + х – 20)(х 2 + 8х – 20) = 18х 2 . Так как х=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части уравнения на х 2 , получим

(х+1-)(х+8-)=18.

Введём новую переменную. Пусть t= x-, тогда (t+1)(t+8)=18,

t 2 +9t-10=0,t 1 =10, t 2 =-1.Вернёмся к исходной переменной:

Ответ. x=-5, x = 4, x= -5 -3
, x= -5 +3.

Уравнение вида ах 4 +bх 3 +cх 2 +bх+a=0, ax 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +cx 2 +bx+a=0 и т.д. Такие уравнения называют возвратными .Они обладают своеобразной «симметрией»: коэффициент при х 6 равен свободному члену, коэффициент при х 5 и х, при х 4 и х 2 равны. Возвратные уравнения решаются с помощью замены х +=t.

Уравнение х 4 +2х 3 – 22х 2 +2х+1=0 не имеет целых корней (делители свободного члена ±1 не являются корнями уравнения).

Так как х=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части уравнения на х 2 , получим (х 2 +) -2(х+)-22=0.

Введём новую переменную. Пусть t= x+, тогда х 2 +2+ =t 2 , получим уравнение t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4. Вернёмся к исходной переменной:

Ответ. x 1,2 = 3 ±2, x 3,4 = -2 ±.

3.5.. Для решения квадратных уравнений применяется способ выделения полного квадрата. Для решения уравнений третьей и четвёртой степени также можно применять формулы двучлена.

Знакомые вам формулы сокращённого умножения:

(х±а) 2 =х 2 ±2х+а 2 ;

(х±а) 3 =х 3 ±3х 2 а+3ха 2 ±а 3 ;

(х+а)(х-а)=х 2 -а 2 ;

(х+а)(х 2 -х+а 2)= х 3 +а 3 ;

(х-а)(х 2 +х+а 2)= х 3 -а 3 ;

(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/

Формулу (х+а) 4 можно получить следующим образом: (х+а) 4 =(х+а) 3 (х+3)= (х 3 +3х 2 а+3ха 2 +а 3) (х+а)= х 4 +4х 3 а+6х 2 а 2 +4ха 3 +а 4 .

Коэффициенты разложения можно находить, используя треугольник Паскаля

(по имени французского математика Блеза Паскаля):

В каждой строке этого треугольника коэффициенты степени, кроме первого и последнего, получаются по парным сложением ближайших коэффициентов предыдущей строки.

Пример.1.

Для (х+а) 7: показатель степени равен числу 7, значит, его коэффициенты находятся в восьмой строке, это 1,7,21,35,35,21,7,1, которые получаются из предыдущей строки так:

7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.

Получим:(х+а) 7 =х 7 +7х 6 а+21х 5 а 2 +35х 4 а 3 +35х 3 а 4 +21х 2 а 5 +7ха 6 +а 7 .

При написании формул сокращённого умножения старших степеней существуют следующие закономерности:

Число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени;

Показатель степени х у каждого следующего слагаемого на единицу меньше, а показатель степени a − на единицу больше;

Сумма показателей степеней х и а постоянна и равна показателю степени многочлена;

Коэффициенты многочлена, равноотстоящие от начала и конца, равны.

Решить уравнение х 3 +6х 2 +12х-16=0.

Решение: используем формулу (х+а) 3 = 1∙х 3 +3х 2 а+3ха 2 +1∙а 3 .

х 3 +6х 2 +12х+16=0, (х 3 +3∙2х 2 +3∙2 2 х+2 3) +8=0, (х+2) 3 +2 3 =0, (х+2+2)((х+2) 2 -2 (х+2)+4)=0, 1. х=-4, 2. (х+2) 2 -2 (х+2)+ 4=0,

х 2 +2х +4=0, D=-12, действительных корней нет.

Ответ. х = -4.

Решить уравнение х 4 -12х 3 +54х 2 -108х+48=0, х 4 -12х 3 +54х 2 -108х+48= (х 4 -4х 3 ∙3+6х 2 3 2 -4х3 3 + 4 4)-4 4 +48= (х-3) 4 -64+48=0, (х-3) 4 - 16=0. Применим разность квадратов (х-3-4)(х-3+4)=0, (х-7)(х+1)=0, х=7,х=-1.

Ответ: х=-1, х=7.

3.6. Применение теоремы Виета.

1.Теорема Виета для кубического уравнения :

если х 1 , х 2 , х 3 ─ корни уравнения х 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 , то

х 1 + х 2 + х 3 =- b ,

x 1 х 2 + x 2 х 3 + x 1 x 3 = c ,

х 1 х 2 х 3 = - d .

2. Теорема Виета для уравнения четвёртой степени :

если х 1 , х 2 , х 3, х 4 ─ корни уравнения х 4 + b х 3 +cx 2 +x+dх+е=0, то

х 1 + х 2 + х 3 +х 4 =- b ,

x 1 х 2 + x 1 х 3 + x 1 х 4 + x 2 х 3 + x 2 x 4 +х 3 х 4 = c ,

х 1 х 2 х 3 х 4 = е,

x 1 х 2 х 3 + x 1 х 2 х 4 + x 1 х 3 х 4 + x 2 х 3 x 4 = - d .

Решить уравнение х 3 -4 x 2 +x+6=0.

пусть х 1 , х 2 , х 3, х 4 ─ корни уравнения, тогда х 1 + х 2 + х 3 =4, x 1 х 2 +x 2 х 3 +x 1 x 3 =1, х 1 х 2 х 3 = -6. Проверим, какие из чисел ±1, ±2, ±3,±6 удовлетворяют условиям: х 1 + х 2 + х 3 =4, x 1 х 2 +x 2 х 3 +x 1 x 3 =1, х 1 х 2 х 3 = -6. Это х=-1, х=2 и х=3.

Применение формул сокращённого умножения.

Литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.

2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.

3. Ю.М. Колягин. Алгебра и начала анализа: учебник(профильного и базового уровня) для 10 класса общеобразовательных учреждений-М.: Мнемозина 2006.

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996.

5. К.С. Муравин. Алгебра 8: учебник для общеобразовательных учреждений-М:Дрофа, 2008

6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 2007.

7. /spr/algebra/ferrary.htm

КОНТАКТЫ:

347611,Ростовская область, Сальский район, х. Маяк, ул. Центральная,4

С одним неизвестным, то есть уравнений вида (*) Pn(х)= ...