Решение уравнений с модулем. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение - алгебраическое уравнение общего вида

где x - свободная переменная,

a, b, c, - коэффициенты, причём

Выражение называют квадратным трёхчленом.

Способы решения квадратных уравнений.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4ac = 0 , то уравнение

ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4ac < 0 , уравнение

ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.

Например,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 - 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х 2 + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р - четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 =7±

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

5. СПОСОБ: Решение уравнений графически.

Пример. Решить уравнение х2 - 2х - 3 = 0.

Построим график функции у = х2 - 2х - 3

1) Имеем: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы - прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х1 = - 1, х2 - 3.

Для того, чтобы научиться решать уравнения с модулем, надо вспомнить и выучить определение модуля.

Из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Кроме того, определение показывает как можно избавляться от знака модуля в уравнении.

На практике это делается так:

1) Находят значения переменной, при которых выражения стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

2) Отмечают все нули на числовой прямой. Они разобьют эту прямую на лучи и промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

3) Определяем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и раскрываем все модули (заменяя их подмодульными выражениями со знаком плюс или со знаком минус в зависимости от знака подмодульного выражения).

4) Решаем получившиеся уравнения на каждом промежутке (сколько промежутков, столько и уравнений).Обратите внимание, что обязательно выбираем только те решения, которые находятся в данном промежуток (полученные решения могут и не принадлежать промежутку).

Хватит уже теории, пора на примерах посмотреть как решаются уравнения с модулем. Начнем с более простого.

Решение уравнений с модулями

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .

Отсюда получаем .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Из уравнения следует, что .

Поэтому , , , и уравнение принимает вид или .

Так как , то исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде .

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Известно, что уравнение такого типа равносильно неравенству . Следовательно, здесь имеем или .

Ответ: .

Думаю, как решать такого вида уравнения с модулем вы уже разобрались. Попробуем разобраться с более сложным уравнением .

Пример 4 . Решить уравнение: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|

Находим нули подмодульных выражений:

х 2 + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х = ‒ 2. При этом парабола у = х 2 + 2х положительна на промежутках (–∞; –2) и (0; +∞), а на промежутке (–2; 0) она отрицательна (см. рисунок).

х 2 ‒ х = 0, х(х – 1) =0, х = 0 или х = 1. Эта парабола у = х 2 ‒ х положительна на промежутках (–∞; 0) и (1; +∞), а на промежутке (0; 1) она отрицательна (см. рисунок).

2 – х = 0, х = 2, модуль положителен на промежутке (–∞; 0) и принимает отрицательные значения на промежутке (2; +∞) (см. рисунок).

Теперь решаем уравнения на промежутках:

1) х ≤ ‒2: х = 1/2

2) –2 ≤ x <0: ‒(х 2 + 2х) – (2 – х) = х 2 ‒ х, ‒х 2 ‒ 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, ‒2 х 2 = 2, х 2 = ‒1 , решений нет.

3) 0 ≤ x <1: х 2 + 2х ‒ (2 – х) = ‒ (х 2 ‒ х), х 2 + 2х ‒ 2 + х = ‒х 2 + х, 2х 2 + 2х – 2 = 0, х 2 + х – 1 = 0, √D = √5,
х 1 = (‒1 ‒ √5)/2 и х 2 = (‒1 + √5)/2.

Так как первый корень отрицательный, то он не принадлежит нашему промежутку, а второй корень больше нуля и меньше единицы это и есть наше решение на данном промежутке.

4) 1 ≤ x <2: х 2 + 2х – (2 – х) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, 4х = 2, х= 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

5) х ≥ 2: х 2 + 2х –(‒(2 – х)) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х + 2 ‒ х = х 2 ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: (‒1 + √5)/2 .

Вы заметили, что решается это уравнение также как и предыдущие, отличие в количестве промежутков. Так как под модулем стоят квадратные выражения то корней получилось больше, а соответственно и больше промежутков.

А как же решать уравнение в котором модуль стоит под модулем? Давайте посмотрим на примере.

Пример 5 . Решите уравнение |3 – |x – 2|| = 1

Подмодульное выражение может принимать значение либо 1 либо – 1. Получаем два уравнения:

3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1 или 3 ‒ |х ‒ 2|= 1

Решаем каждое уравнение отдельно.

1) 3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 или х ‒ 2= ‒ 4, откуда получаем х 1 = 6, х 2 = ‒2 .

2) 3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 или х – 2 = ‒2,
х 3 = 4 , х 4 = 0.

Надеюсь, после изучения данной статьи вы будете успешно решать уравнения с модулем. Если остались вопросы, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Ставка 1х2 (ставка на исход, head -to -head , трёхисходная ставка ) – одна из базовых ставок в букмекерских конторах. Не нужно подсчитывать предполагаемые очки, считать угловые, кто первый забьет и т.п. Достаточно просто быть уверенным в том, выиграет первая команда, вторая, или будет ничья.

Производить эту ставку можно как в режим лайв так и в прематчевом периоде. Чаще всего она актуальна для футбола и хоккея , но также возможна и в других видах спорта. Стоит сказать, что ставка head-to-head в ее типичной интерпретации не характерна для тенниса, волейбола, бейсбола и других видов спорта , где возможна победа только одного человека/команды (ведь нету того самого Х). В данном случае используют одиночную ставку.

Так же ставки этого рода можно производить как на итоговый результат матча (победа команды в конце игры) или же на итог игры в первом тайме (к примеру победа Ливерпуля по очкам после 45 минут игры).

Фактически ставка на исход прогнозирует итоговый результат окончания матча. А 1Х2 она иногда называется из-за сокращения: 1 в этом случае является победой хозяев, Х ничья, а 2 победа гостей (некоторые любят сокращение Хозяева-Ничья-Гостьи).

Одним из недостатков данного вида ставки является иногда широкая вилка между коэффициентами. Так, на фаворита матча кэф может быть 1.0, тогда как у противоположной стороны 12 и выше.

Выигрыш ставки head-to-head рассчитывается путем умножения суммы ставки на коэффициент, который был в момент осуществления ставки. Соответственно, при победе гостей с коэффициентом 10 при сумме ставки в 1000 р. ваша прибыль составит 10.000 рублей.

Все еще непонятно что значит 1х2 в ставках? Давайте приведем пример. Возьмем матч Россия – Германия. Обозначим Россию цифрой 1, Германию цифрой 2. Ничью возьмем за условный Х. Коэффициент букмекера на победу России (5,3), Германии (1,9), на ничью (2,4). Ваша ставка на победу России 500 рублей. В случае победы ставки (1) вы получите обратно на свой счет 500х5,3=2650 рублей. В случае победы (2) или Х вы не получите ничего и потеряете сумму ставки.

Выше представлен пример отображения ставки у букмекерской конторы.

Одной из модификаций трехисходной ставки являются ставки «Двойной шанс» , которые понижают степень риска и повышают процент победы. Существуют варианты 1Х, 2Х и 12. Что же значат эти обозначения? Возьмем тот же матч Россия – Германия. Ставка 1Х говорит о том, что вы ставите на победу первой команды (России) или же на ничью в матче (Х).

Соответственно, при счете 1:1 вы получите выигрыш ставки. 2Х говорит о вашей предрасположенности к Германии или ничьей. Ну а ставка 12 говорит о выигрыше либо России либо Германии, при ничьей ставка будет проиграна. Минусы в ставках по этому типу очевидны: так как по-факту вы прогнозируете не 1 события, а 2 возможных букмекерские конторы понижают коэффициенты. Так, например, при кэфе на победу России – 5.3, если вы решите еще добавить ничью 1Х, кэф вероятно упадет до 3,2 или ниже.

Надеюсь мы помогли вам разобраться с вопросом значения ставки 1Х2. Дерзайте и будьте победителями.

Сразу перейдем к рассмотрению системы ставок, когда, единственным верным вариантом исхода игры вместо двух станет три таких как:
Х - ничья;
П1 - победа первой команды;
П2 - победа второй команды.

Как уже можно было догадаться, основным применением такой стратегии приходятся ставки на футбол. Вот несколько примеров системы Ставок 1-Х-2, при помощи которой вы можете избежать проигрыша ваших ставок, в случае, если вам не удалось угадать исход матчей.

Пример первый. Допустим, есть несколько хороших матчей, с неплохим коэффициентом от 1.75 до 2.1, в большинстве исходов всех матчей за которые вы будете уверенны. Сделав ставки на несколько таких матчей, само собой появляется риск, при котором как минимум одна из футбольных команд сыграет вничью, в итоге вы можете потерять все.

А вот для того чтобы этого избежать, вам просто нужно использовать систему Ставок 1-Х-2, само собой выигрыш при этом будет меньше, но даже если одна из выбранных команд не сыграет вашу ставку, то вы сможете отыграть поставленные деньги. Но, как правило, это не весьма интересно, так как вы можете учесть все возможные ничьи в матчах и быть в весьма неплохом плюсе.

Допустим, есть три футбольных матча, с коэффициентом от 1.8 до 2.0, где, по вашему мнению, должна победить первая команда. Тогда вам будет необходимо делать ставки на 4 экспресса (Рис.1):

Рис.1 - Пример ставки

Допустим на все ставки, в общем, мы потратили всего 400 $ примерно по 10 на каждый экспресс. После выигрыша всех команд рассчитываем прибыль по таком принципу: 1.8*1.8*1.8*100 у.е. = 580,30$, но при раскладе, когда одна, из игр закончилась в ничью, то рассчитываем по схеме 1.8*1.8*2.7*100 у.е. = 870 у.е. Выигрыш неплохой согласитесь?

Но риски есть всегда, и не стоит забывать о то, что если ваши ставки не сыграют или же будет более одной ничьи, то деньги вы свои потеряете. Также нужно отметить, что вы можете модифицировать данную систему, что в свою очередь увеличит шансы выигрыша ваших ставок. Рассмотрим небольшой пример, который приведен чуть-чуть ниже, с учетом возможностей победы второй команды, но только для одной футбольной пары. В таком случае будет иметь весьма актуальное место следующий набор (Рис.2):

Рис.2 - Пример ставки

Таким образом, во всех из пяти поставленных нами экспрессов коэффициент просто обязан быть не меньше 5.

Система ставок 1-Х-2 вариант второй. От части, напоминает первую систему, ряд особенностей этого варианта в том, что данная система позволит вам очень результативно разделить все ставки, именно нате команды, которые лучше играют на выезде. Допустим, всего есть три команды, которые лучше чем остальные играют на выезде, тоесть ставки делать будем таким образом (Рис.3):

Рис.3 - Пример ставки

ничья - «Х»
победа выездной команды -«2»

Если учитывать, что все коэффициенты, для команд, как правило, очень высокие, то достичь рентабельности системы для каждого экспресса будет не сложно.

Также нужно отметить, что на практике данная система, очень часто применяется именно к матчам с большими коэффициентами, так как первая, описанная нами система, позволяет получать неплохие результаты.

Но стоит отметить, что эффективность самой системы очень часто находится под вопросом, так как, поставив три матча ставки по ординарам, вы сможете получить не плохой, а быть может и очень хороший результат, чем ставки на экспрессы по первой из приведённых систем.

А вот уже вторая система, так сказать, более эффективна для совершения ставок непосредственно на команды, которые реже проигрывают на выезде, чем остальные. Но как правило, здесь будет также как и в первой системе, зачастую выходить случаи, когда вами будет намного выгоднее сделать ставку на всю сумму, на один экспресс в место того чтобы играть по второй системе.

Именно поэтому, эффективность этой стратегии ставок 1-Х-2, следует высчитывать для каждой конкретной из всех имеющихся ваших ставок.

В наших каталогах вы найдете провод ПТПЖ 2х1,2 по доступным ценам. Мы гарантируем высокое качество всей предлагаемой продукции. Торговый Дом «Кабель Ресурс» дает возможность приобрести провод ПТПЖ 2х1,2 как оптом, так и минимальными партиями. Оперативная отмотка на складе в Москве. Вы сможете купить весь ассортимент электротехники, светотехники и кабельно-проводниковой продукции в одном месте.

Назначение провода ПТПЖ 2х1,2

Провод ПТПЖ 2х1,2, который реализуется со склада ТД «Кабель-Ресурс», имеет двойное назначение:

• он может использоваться при развертывании проводных сетей радиовещания. В этом случае провод должен эксплуатироваться при температуре окружающего воздуха не ниже -40°С и не выше +60°С;
• его можно применять на стройплощадках для прогрева бетона. При выполнении этой операции учитываются условия прогрева, принимается во внимание температура окружающей среды. По специальным таблицам подбирается строго определенная длина провода ПТПЖ 2х1,2, после чего последний закрепляется на арматурном каркасе. Важно помнить, что при прогреве бетона воздух не должен иметь температуру ниже -30°С.

Конструкция провода ПТПЖ 2х1,2

Провод, о котором идет речь в этом обзоре, состоит из:

• двух (см. число 2 в маркировке) токопроводящих жил, изготовленных из стали. Имеют однопроволочное исполнение, круглую форму, диаметр, равный 1,2 мм (см. соответствующее число в маркировке), и сопротивление, не превышающее 140 Ом на 1 км длины;
• изоляционных оболочек жил, изготовленных из ПВД (полиэтилена высокого давления). Основным преимуществом этих компонент является их чрезвычайно высокое электрическое сопротивление (оно равняется как минимум 5000 МОм на 1 км длины). Благодаря этому качеству электрический контакт – не только между жилами провода ПТПЖ 2х1,2, но и между этими элементами и внешними предметами (в том числе людьми) полностью исключен.

Изолированные проводящие жилы расположены параллельно друг другу, вследствие чего провод ПТПЖ 2х1,2 имеет плоскую форму. Изоляционные оболочки соединены разделительным основанием, материалом которого является тот же ПВД.

Вне зависимости от того, для каких целей используется провод ПТПЖ 2х1,2, при его прокладке необходимо соблюдать правило: радиус каждого монтажного изгиба, формируемого на изделии, должен быть больше 10 его внешних диаметров.