Системы уравнений с параметром. Решение типовых задач

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

:
,

а плоскость – общим уравнением

:.

1. Угол между прямой и плоскостью равен углу между направляющим вектором
прямой и нормальным вектором
плоскости и вычисляется по формуле

. (3.1)

2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

Оно равносильно условию ортогональности векторов и

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид

.

Оно равносильно условию коллинеарности векторов и
.

4. Условие принадлежности прямой плоскостизаписывается в виде

(3.2)

где
координаты точки
, принадлежащей прямой.

3.2. Решение типовых задач

Задача 3.1. Найти острый угол между прямой
и плоскостью.

Решение. Направляющий вектор прямой равен
. Нормальный вектор плоскости равен
. По формуле (3.1)

,.

Ответ:

Задача 3.2. При каком значении прямая:
параллельна плоскости:?

Решение. Согласно условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости равен
, нормальный вектор второй плоскости равен
. Направляющий вектор прямой равен
(см. формулу (2.6)):

.

Условие параллельности прямой и плоскостиэто условие ортогональности направляющего вектора прямой
и нормального вектора плоскости
, т. е.
. Умножая, получаем

.

Таким образом, уравнение плоскости будет
.

Ответ:

Задача 3.3. При каких значенияхи
прямая
лежит в плоскости?

Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор
будет ортогонален нормальному вектору плоскости
, т. е.
. Запишем это условие:

Прямая будет принадлежать плоскости, если координаты точки
, через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению плоскости:
. Отсюда получаем, что

При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).

Ответ:

Задача 3.4. Найти точку пересечения прямой:
и плоскости:

Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде

Подставляя выражения для
в уравнение плоскости, получим

Теперь следует подставить значение параметра
в параметрические уравнения прямой. Находим.

Ответ:

Полезная формула. Если прямая
пересекается с плоскостью
, то точке пересечения
отвечает значение параметра

. (3.3)

Задача 3.5. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую:
перпендикулярно плоскости:

Решение. Плоскость имеет два направляющих вектора
и
и проходит через точку
(рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение будет иметь вид

,

Окончательно:
.

Ответ:
.

Задача 3.6. Известны координаты вершин тетраэдра:



Найти уравнение и длину его высоты
.

Р

:
.

Высоту можно найти по формуле (1.5), определяющей расстояние от точки
до грани
:.

(Напомним, что
– это коэффициенты в общем уравнении плоскости, и они равны
,
,
,
.)

Ответ:
:
;
.

Задача 3.7. Даны прямые:
и:
. Найти уравнение плоскостипроходящей через прямуюпараллельно прямой

Решение. Векторы
и
являются направляющими векторами плоскости(рис. 3.3). Точка
принадлежит плоскости. Решаем задачу, используя формулу (1.9):

,

Окончательно: .

Ответ: .

Задача 3.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую:
и точку
.

Решение. Прямаяпроходит через точку
и ее направляющий вектор равен
. Произвольная точка
будет принадлежать искомой плоскости, если векторы

икомпланарны:
(рис. 3.4), т. е.

.

Это и есть уравнение плоскости . Подставляем координаты:

,

Окончательно: .

Ответ: .

Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через прямую :
и точку
, не лежащую на этой прямой, имеет вид

(3.4)

Задача 3.9. Доказать, что прямые

:
:

лежат в одной плоскости и найти уравнение этой плоскости.

Решение. Первая прямая проходит через точку
и ее направляющий вектор
. Вторая прямая проходит через точку
и ее направляющим вектором является
. Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы
,икомпланарны:
(рис. 3.5), т. е.

.

Подставим заданные координаты:

.

Это означает, что прямые илежат в одной плоскости. Векторыине коллинеарны. Следовательно, эти прямые пересекаются.

Найдем уравнение плоскости , в которой лежат прямыеи. Очевидно, что произвольная точка
будет принадлежать плоскости, если векторы
,,компланарны:
(рис. 3.6), т. е.

.

Это и есть уравнение искомой плоскости. Подставляем координаты и вычисляем определитель разложением по элементам первой строки. Получаем

,

Окончательно:
.

Ответ:
.

Полезные формулы. Две прямые

:
:

лежат в одной плоскости, если

. (3.5)

Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет

. (3.6)

Замечание. Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда
и равенство (3.5) несправедливо.

З
адача 3.10. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

:
:
.

Р

.

Подставляя заданные координаты, находим уравнение плоскости

,

Окончательно: .

Ответ: .

Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые (,
)

:
:
,

имеет вид

. (3.7)

Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 без труда можно указать два направляющих вектора искомых плоскостей. Поэтому решение этих задач аналогично решению задачи 1.2. Если эти направляющие векторы явно не обозначены в ходе решения, то найдите их самостоятельно. Подумайте, что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).

Задача 3.11. Найти координаты проекции
точки
на плоскость:.

Решение. Находим параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
перпендикулярно плоскости. В качестве направляющего векторапрямойможно выбрать нормальный векторплоскости, т. е. положить
(рис. 3.8). Параметрические уравнения прямойбудут (см. формулу (2.2)):

По формуле (3.3) находим значение параметра
, при котором прямая пересекает плоскость. Получим
. Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и вычислим координаты точки

Ответ:

Задача 3.12. Найти координаты точки
, симметричной точке
относительно плоскости:.

Решение. Воспользуемся результатом решения предыдущей задачи. Точка
– проекция точки
на плоскость. Координаты точки

(рис. 3.9). Следовательно,

Ответ:

Задача 3.13. Найти координаты проекции
точки
на прямую:
.

Решение. Найдем уравнение плоскости , перпендикулярной прямойи проходящей через точку
. В качестве нормального вектораплоскостиможно выбрать направляющий векторпрямой, т. е. положить
(рис. 3.10). Тогда уравнение плоскости

:

Параметрические уравнения прямой имеют вид

Далее решаем аналогично задаче 3.11. Координаты точки
находим с помощью формулы (3.3). Получаем
,

Ответ:

Задача 3.14. Найти координаты точки
, симметричной точке
относительно прямой

:

Решение. Воспользуемся результатом задачи 3.13. Точка
проекция точки
на прямую.

Координаты точки
можно найти, используя соотношения:

(рис. 3.11). Следовательно,

Ответ:

Задача 3.15. Найти расстояние между параллельными прямыми

.

Решение. Нужно вычислить длину перпендикуляра , опущенного из точки
, через которую проходит прямая, на прямую. Для этого построим параллелограмм со сторонами
и(рис. 3.12). Здесь
– точка, через которую проходит прямая, а
направляющий вектор прямых (так как прямые параллельны, то). Площадьпараллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения векторов
и
:

Расстояние получим, разделив площадь параллелограммана длину его стороны
:

Ответ:

Полезная формула. Если заданы две параллельные прямые

;

,

то расстояние между ними вычисляется по формуле

,

где
и
точки, через которые проходят прямыеисоответственно,
их направляющий вектор.

Задача 3.16. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:

Решение. Прямая проходит через точку
и ее направляющий вектор
. Прямаяпроходит через точку
и ее направляющий вектор
. Известно, что если прямые скрещиваются, то существуют две параллельные плоскостиитакие, что прямаялежит в плоскости, а прямая
в плоскости . Направляющие векторыибудут направляющими векторами этих плоскостей.

Построим параллелепипед, сторонами которого являются векторы
(рис. 3.13). Найдем его объем. Для этого вычислим смешанное произведение

Таким образом, объем

Теперь найдем площадь основания параллелепипеда (см. решение задачи 3.15):

,

Расстояние между скрещивающимися прямыми будет равно

Ответ:

Полезная формула. Если заданы две скрещивающиеся прямые

,

то расстояние между ними вычисляется по формуле

Здесь
и
– точки, через которые проходят прямые исоответственно,и– их направляющие векторы.

Замечание. Кратко опишем другой способ решения задачи 3.16. Сначаланайдем уравнение плоскости (проделайте это самостоятельно). Оно будет

.

Расстояние равно расстоянию от точки
до плоскости. Теперь все следует из формулы (1.5).

Цели: показать применение графических методов решения уравнений с параметрами и определить удобство и эффективность использования каждого из них.

обучающая - расширить знания учащихся по применению графиков для решения уравнений с параметрами;

развивающая - развить нестандартное мышление через умение находить рациональные пути решения, научить переключаться с одного способа на другой, развить культуру соблюдения всех этапов аргументации при решении уравнений;

воспитательная - воспитать терпение, упорство в достижении цели, умение работать в коллективе.

научить :

1. Пользоваться координатно-параметрическим методом решения уравнений с параметрами, уметь отличать его от графического способа.

2. Делать правильный выбор способа решения уравнения, исходя из условия данной задачи.

3. Организовывать работу в группах.

1. Введение в урок, организационный этап (слайды 1, 2, 3 приложения 1).

2. Повторение теоретического материала.

Учитель. Что значит решить уравнение с параметром?

Предполагаемый ответ. Решить уравнение с параметром – это, значит, установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.

Учитель. В зависимости от того, какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная, или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приёма: первый – построение графического образа на координатной плоскости (x; y), второй – на (х; а).

Схематично структура первого метода выглядит следующим образом. На плоскости (х; y) функция y=f(х; а) задаёт семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определёнными свойствам, но основным является осуществление перехода от одной кривой семейства к другой.

Что касается второго способа, то он основан на нахождении множества всех точек координатно-параметрической плоскости, значения координат х и параметра а каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи соотношению. Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра а=const поставить в соответствие координатных точек этого множества, дающие искомое значение задачи. Этому способу мы посвятим сегодняшний урок.

Для простоты дальнейшего общения назовём первый способ графическим, а второй координатно-параметрическим и продемонстрируем их использование на примерах.

3. Основная часть.

а) Учащимся предлагается задача, которая решена каждым из предложенных способов. Решения представлены на слайдах (4 и 5 приложения 1) и разбираются подробнейшим образом.

№1. При каких значениях параметра а уравнение имеет более двух корней.

Решение. I способ (координатно-параметрический):

Если подставить х=0 в исходное уравнение, то получим 6=6, это означает, что х=0 является решением уравнения при любом а. Пусть теперь х, тогда можно записать а=. Выясним знаки выражений 2х+3 и 2х-3.

Рис. 1

Рис. 2

а=

В плоскости построим множество точек (х;а), координаты которых удовлетворяют соотношению.

Если а=0, то уравнение имеет бесконечно множество решений на промежутке , при других значениях а количество решений уравнения не превышает двух.

Ответ: а=0

Решение. II способ (графический):

Построим графики функций y= и y=ах+6 и найдём количество точек их пересечения в зависимости от параметра а.

Рис. 3

Значит, если а=0, тогда х. Если а, то уравнение имеет два решения, но при а существует одно решение данного уравнения. То есть уравнение имеет более двух корней при а=0.

Ответ: а=0.

Учитель: Какой способ вам импонирует в данном случае?

Предполагаемый ответ. Графический. Он требует меньше вычислений, хотя определенную трудность вызывает вычисление параметра на граничных положениях прямой.

б) Cамостоятельная работа по группам.

Класс разбивается на группы, часть из которых решает следующую задачу графическим способом, а часть - координатно-параметрическим. По истечении времени решения проверяются посредством мультимедийной доски (слайды № 6, №7 приложения 1).

№2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение. I способ (графический):

Построим график функций y= и y=

Рис. 4

А(-4; 0), В(-2; 0) координаты этих точек удовлетворяют уравнению.

Рис. 5

Ответ: а=-8; а=-4.

Решение. II способ (координатно-параметрический).

Используя определение абсолютной величины, преобразуем уравнение, в каждой из “частичных областей”, на которые делят прямые х=-3, х= КП-плоскость, рассмотрев случаи a< -6 и a>-6, заменив его равносильной совокупностью.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Также как и в первый раз, заменим уравнение совокупностью.

Рис. 9

Изображённое ниже множество точек (х; а) – координаты х и параметра а, которые удовлетворяют уравнению, даёт возможность ответить на вопрос о единственности решения.

Учитель. Чем отличается постановка последней задачи от предыдущих?

Предполагаемый ответ: в начальных задачах основным являлся поиск количества корней, а в последней - сами корни. И в этом случае координатно-параметрический способ выдает готовые решения без дополнительных вычислений.

4. Подведение итогов урока.

Учитель с помощью учеников делает выводы о новом методе и возможностях его использования.

1. При решении уравнений с параметрами нельзя говорить о предпочтении одного способа перед другим.

2. Выбор метода решения зависит от постановки задачи, т.е. когда нам требуется определить количество корней уравнения, то удобнее использовать графический способ, а если нам необходимо найти корни уравнения в зависимости от параметра, то эффективнее координатно-параметрический способ.

5. Домашнее задание.

Решить КП – методом следующие уравнения.

1. ¦Х + 2¦ +¦ Х – 4¦ + ¦Х – 1¦ = a.

2. ¦ X + a – 1¦ = ¦X – a + 1¦.