Способы построения многогранников. Построение сечений и разрезов на чертежах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК «ИСКАТЕЛЬ»

Отделение: математика

Секция: математика

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Работу выполнил:

_______________

ученик класса

Научный руководитель:

Тезисы

Методы построения сечений многогранников

Отделение: математика

Секция: математика

Научный руководитель:

Целью исследования является изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого и зучен теоретический материал по данной теме , систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода, рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

РАЗДЕЛ 1. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ………………………………………4

РАЗДЕЛ 2. МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………10

РАЗДЕЛ 3. МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………14

РАЗДЕЛ 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ

МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………17

РАЗДЕЛ 5. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………………………….19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………26

ВВЕДЕНИЕ

Выпускникам предстоит сдавать экзамен по математике , а знание и умение решать стереометрические задачи необходимо для того , чтобы написать данный экзамен на максимальное количество баллов . Актуальность данной работы состоит в необходимости самостоятельно готовиться к экзамену, а рассматриваемая тема является одной из важнейших.

А нализ демонстрационных , диагностических и тренировочных вариантов ЕГЭ с 2009-2014 гг. показал , что 70% геометрических задач составляют задачи на построение сечений и вычисление их элементов – углов, площадей.

В учебном плане задачам на построение сечений многогранников отводится 2 академических часа , что недостаточно для изучения данной темы . В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Объект исследования: методы построения сечений многогранников.

Цель исследования: изучить различные методы построения сечений многогранников.

Задачи исследования:

1) Изучить теоретический материал по данной теме .

2) Систематизировать методы решения задач на построение сечений.

3) Привести примеры задач на применение каждого метода.

4) Рассмотреть примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.

РАЗДЕЛ 1

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ

Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки.

Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного многогранника. Например, на рис.1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ;

Рис.1

Задача. В параллелепипеде АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 постройте сечение плоскостью , проходящей через вершины C и D 1 и точку K отрезка B 1 C 1 (рис.2, а).

Решение. 1. Т . к . С ∈ DD 1 C 1 , D 1 ∈ DD 1 C 1 , то по аксиоме (через две точки , принадлежащие плоскости , проходит прямая , притом только одна ) построим след CD 1 в плоскости DD 1 C 1 (рис.2, б).

2. Аналогично в плоскости А 1 В 1 С 1 построим след DK, в плоскости BB 1 C 1 построим след CK.

3. D 1 KC – искомое сечение (рис .2, в)

а) б) в)

Рис.2

Задача. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н - внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 3, а).

Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК - одна из сторон искомого сечения (рис.3, б).

2-й шаг. Аналогично, отрезок КН - другая сторона искомого сечения (рис.3, в).

3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 3, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 3, д).

4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение - четырехугольник MKHR (рис.3,е).

Рис.3

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача . Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью

α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 4, а).

Решение . Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T 1 , (рис. 4,б), при этом T 1 є α, так как QК є α .

Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис.4, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т 2 (рис. 4, г), при этом Т 2 є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т 1 Т 2 лежит в секущей плоскости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 4, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.

Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н - еще одной вершине искомого сечения (рис.4, е).

Далее, построим точку Т 3 - Т 1 Т 2 ∩ АВ (рис. 4, ж), которая, как точка прямой Т 1 Т 2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т 3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т 3 К - прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т 3 К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 4, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1. Т 1 = QK ∩ АС ; 2. F = PR ∩ DE;

3. Т 2 = KR ∩ AF; 4. М = Т 1 Т 2 ∩ DE;

5. N = Т 1 Т 2 ∩ АЕ ; 6. Н = MR ∩ PD;

7. T 3 = Т 1 Т 2 ∩ АВ ; 8. L = T 3 K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.

Рис.4

Сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, куб параллелепипед), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.

Задача . Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда. Пользуясь свойствами параллельных прямых и плоскостей, построить сечение данного параллелепипеда плоскостью MPR.

Решение. Пусть точки M, P и R расположены на ребрах соответственно DD 1 , ВВ 1 и СС 1 параллелепипеда АВСВА 1 В 1 С 1 В 1 (рис. 5, а).

Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 5, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С данного параллелепипеда. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

Так как грань АА 1 В 1 В параллельна грани СС 1 D 1 D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА 1 В 1 В должна быть параллельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 5, в); отрезок РQ - следующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА 1 D 1 D параллельна грани СС 1 В 1 В, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА 1 D 1 D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 5, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD грани АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH и получаем пятиугольник MRPQH - искомое сечение параллелепипеда.

а) б) в)

Рис. 5

РАЗДЕЛ 2

МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Определение. Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. При этом в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).

Задача. Построить сечение призмы АВСВЕА 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD 1 (рис.7,а).

Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 6). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) - точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС 1 , ВB 1 , АА 1 , ЕЕ 1 данной призмы.

Рис. 6

Для построения точки N = α ∩ СС 1 достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD 1 C 1 . Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD 1 C 1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD 1 ) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD 1 ) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС 1 достаточно построить точку X = l ∩ СD. Аналогично, для построения точек Р = α ∩ ВВ 1 , Q = α ∩ АА 1 и R = α ∩ ЕЕ 1 достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и Т = l ∩ АЕ. Отсюда

Построение.

X = l ∩ СD (рис. 7, б);

N = МХ ∩ СС 1 (рис. 7, б);

У = l ∩ ВС (рис. 7, в);

Р = NY ∩ ВВ 1 (рис. 7, в);

Z = l ∩ АВ (рис. 7, в);

Q= РZ ∩ АА 1 (рис. 7, г);

T= l ∩ АЕ (рис. 6);

R= QT ∩ ЕЕ 1 (рис. 6).

Пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 6).

Доказательство . Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем:

М є α , X є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС 1 = N є α , значит, N = α ∩ СС 1 ;

N є α, Y є α => NY є α, тогда NY ∩ ВВ 1 = Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ 1 ;

Р є α, Z є α => РZ є α, тогда PZ ∩ AА 1 = Q є α, значит, Q = α ∩ АA 1 ;

Q є α, T є α => QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ 1 =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ 1 .

Следовательно, MNPQR - искомое сечение.

а) б)

в) г)

Рис. 7

Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD 1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l , то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет единственное решение.

Задача. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой К ребра РЕ.

Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис.8): T 1 → Q → Т 2 → R → Т 3 → М → Т 4 → N.

Пятиугольник MNKQR - искомое сечение.

«Цепочка» последовательности построения вершин сечения такова:

1. Т 1 = l ∩ АЕ; 2. Q = Т 1 К ∩ РА;

3. Т 2 = l ∩ АВ; 4. R = Т 2 Q ∩ РВ;

5. Т 3 = l ∩ ВС; 6. М = T 3 R ∩ РС;

7. Т 4 = l ∩ СD; 8. N = Т 4 М ∩ РD.

Рис. 8

Секущая плоскость часто задается тремя точками, принадлежащими многограннику. В таком случае для построения искомого сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости основания данного многогранника.

РАЗДЕЛ 3

МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Метод внутреннего проектирования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Задача . Построить сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 9, а).

Решение . Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 9, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К 1 : К 1 = РК ∩ FR (рис. 9, г), при этом К 1 є α. Тогда: М є α, К 1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК 1 ∩ РD (рис. 9, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q- вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 9, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н 1 (рис. 9, ж). Тогда прямая RН 1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ - вершине сечения (рис. 9, з).

1. К = АD ∩ ЕС; 2. К 1 = РК ∩ RF;

3. Q = МК 1 ∩ Р D; 4. H = BE ∩ А D;

5. Н 1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН 1 ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR - искомое сечение (рис. 9, и).

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

Рис. 9

Задача . Постройте сечение призмы АВСDEА 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 , плоскостью α, заданной точками М є ВВ 1 , Р є DD 1 , Q є ЕЕ 1 (рис.10).

Решение. Обозначим: β - плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.

Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА 1 .

Плоскости А 1 АD и ВЕЕ 1 пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Так как плоскости А 1 АD и ВЕЕ 1 проходят через параллельные ребра АА 1 и ВВ 1 призмы и имеют общую точку К, то прямая КК 1 их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру ВВ 1 . Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К 1 = КК 1 ∩ QМ, КК 1 ║ ВВ 1 . Так как QM є α, то К 1 є α.

Рис. 10

Получили: Р є α , К 1 є α => прямая РК 1 є α, при этом РК 1 ∩ АА 1 = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА 1 (R = α ∩ АА 1 ), поэтому является вершиной искомого сечения. Аналогично строим точку N = α ∩ СС 1 .

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

К = АD ∩ ВЕ; 2. К 1 = КК 1 ∩ MQ, КК 1 || ВВ 1 ;

R = РК 1 ∩ АА 1 ; 4. Н = ЕС ∩АD;

H 1 – HH 1 ∩ РR, НН 1 || СС 1 ; 6.N = QН 1 ∩ СС 1 .

Пятиугольник MNPQR- искомое сечение.

Цель работы:
Развитие пространственных представлений.
Задачи:
1. Познакомить с правилами построения сечений.
2. Выработать навыки построения сечений
тетраэдра и параллелепипеда при различных
случаях задания секущей плоскости.
3. Сформировать умение применять правила
построения сечений при решении задач по
темам «Многогранники».

Понятие секущей плоскости

Понятие сечения многогранника

Работа по рисункам

Правила построения сечений

Правила построения сечений

10. Построение сечений тетраэдра

11.

12.

13. проходящей через точку М параллельно АВС.

14.

15.

16.

17.

18. Построение сечений параллелепипеда

19.

20. Построить сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через точку Х параллельно плоскости (ОСВ)

21.

22. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, К, Т

23. Выполните задания самостоятельно

24. Использованные ресурсы

Цели урока: рассмотреть решение задач на построение сечений, если две точки сечения принадлежат одной грани.

Ход урока

Изучение новых понятий
Определение 1. Секущая плоскость многогранника - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Определение 2. Сечение многогранника - это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
Задание. Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда (рис. 1). Назовите сечение параллелепипеда.

Основные действия при построении сечений

Решение задач

Задача 1. Какой из четырехугольников, EFKM или EFKL, может быть сечением данного многогранника (рис. 2)? Почему?

Задача 2. Ученик изобразил сечение тетраэдра (рис. 3). Возможно ли такое сечение?

Решение . Нужно доказать, что N, M и H, L лежат в одной плоскости. Пусть точки N и M принадлежат задней грани, H и L - нижней грани, то есть точка пересечения NM и HL должна лежать на прямой, принадлежащей обеим граням, то есть AC. Продлим прямые NM и HL и найдем точку их пересечения. Эта точка не будет принадлежать прямой AC. Значит, точки N, M, L, H не образуют плоский многоугольник. Невозможно.

Задача 3. Построить сечение тетраэдра ABCS плоскостью, проходящей через точки K, L, N, где K и N - середины ребер SA и SB соответственно (рис. 4).

1. В какой грани можно построить стороны сечения?

2. Выбираем одну из точек, на которой оборвалось сечение.
Решение. Способ I. Выбираем точку L.
Определяем грань, в которой лежит выбранная точка и в которой надо построить сечение.

Определяем грань, в которой лежит прямая KN, не проходящая через выбранную точку L.

Находим линию пересечения граней ABC и ASB.

Каково взаимное расположения прямых KN и AB (рис. 5)?
[Параллельны.]

Что нужно построить, если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную линии пересечения плоскостей?
[Через точку L провести прямую, параллельную AB. Эта прямая пересекает ребро CB в точке P.]
Соединяем точки, принадлежащие одной грани. KLPN - искомое сечение.
Способ II . Выбираем точку N (рис. 6).

Определяем грани, в которых лежат точка N и прямая KL.

Линией пересечения этих плоскостей будет прямая SC. Находим точку пересечения прямых KL и SC. Обозначим ее Y.
Соединяем точки N и Y. Прямая NY пересекает ребро CB в точке P.
Соединяем точки, принадлежащие одной грани.
KLNP - искомое сечение.
Объясните данное решение.
Один учащийся работает у доски, остальные в тетрадях.

Задача 4 . Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки M, P и H, H ` (A1B1C1) (рис. 7).

Решение. 1. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
2. Какую прямую и точку выбираем для построения сечения?
3. Что определяем дальше?
4. Каково взаимное расположение выбранной прямой и линии пересечения граней (рис. 8)?

5. Как построить след секущей плоскости на грани B1C1D1A1, проходящий через точку H?
6. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
7. Какую прямую и точку нужно выбрать для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
8. Каково взаимное расположение граней BB1C1C и AA1D1D?
9. Каким свойством необходимо воспользоваться для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
10. Назовите искомое сечение.

Задача 5. Построить сечение пирамиды SABCD, проходящее через точки M, P и H,
H` (ABC) (рис. 9).

Ответ: см. рисунок 10.

Задание на дом

Задача . Как изменятся построения, если точ-
ка H изменит свое положение? Построить сечения, используя разные варианты (рис. 11).

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости (ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

Само же задание обычно звучит так: "построить натуральный вид фигуры сечения" . Конечно же, мы решили не оставлять этот вопрос в стороне и постараться по возможности объяснить, как происходит построение наклонного сечения.

Для того, чтобы объяснить, как строится наклонное сечение, я приведу несколько примеров. Начну конечно же с элементарного, постепенно наращивая сложность примеров. Надеюсь, что проанализировав эти примеры чертежей сечений, вы разберетесь в том, как это делается, и сможете сами выполнить свое учебное задание.

Рассмотрим "кирпичика" с размерами 40х60х80 мм произвольной наклонной плоскостью. Секущая плоскость разрезает его по точкам 1-2-3-4. Думаю, тут все понятно.

Перейдем к построению натурального вида фигуры сечения.
1. Первым делом проведем ось сечения. Ось следует чертить параллельно плоскости сечения - параллельно линии, в которую проецируется плоскость на главном виде - обычно именно на главном виде задают задание на построение наклонного сечения (Далее я всегда буду упоминать про главный вид, имея в виду что так бывает почти всегда в учебных чертежах).
2. На оси откладываем длину сечения. На моем чертеже она обозначена как L. Размер L определяется на главном виде и равен расстоянию от точки вхождения сечения в деталь до точки выхода из нее.
3. Из получившихся двух точек на оси перпендикулярно ей откладываем ширины сечения в этих точках. Ширину сечения в точке вхождения в деталь и в точке выхода из детали можно определить на виде сверху. В данном случае оба отрезка 1-4 и 2-3 равны 60 мм. Как видно из рисунка выше, края сечения прямые, поэтому просто соединяем два наших получившихся отрезка, получив прямоугольник 1-2-3-4. Это и есть - натуральный вид фигуры сечения нашего кирпичика наклонной плоскостью.

Теперь давайте усложним нашу деталь. Поставим кирпичик на основание 120х80х20 мм и дополним фигуру ребрами жесткости. Проведем секущую плоскость так, чтобы она проходила через все четыре элемента фигуры (через основание, кирпичик и два ребра жесткости). На рисунке ниже вы можете увидеть три вида и реалистичое изображение этой детали

Попробуем построить натуральный вид этого наклонного сечения. Начнем опять с оси сечения: проведем ее параллельно плоскости сечения обозначенного на главном виде. На ней отложим длину сечения равную А-Е. Точка А является точкой входа сечения в деталь, а в частном случае - точкой входа сечения в основание. Точкой выхода из основания является точка В. Отметим точку В на оси сечения. Аналогичным образом отметим и точки входа-выхода в ребро, в "кирпичик" и во второе ребро. Из точек А и В перпендикулярно оси отложим отрезки равные ширине основания (в каждую сторону от оси по 40, всего 80мм). Соединим крайние точки - получим прямоугольник, являющийся натуральным видом сечения основания детали.

Теперь настал черед построить кусочек сечения, являющийся сечением ребра детали. Из точек В и С отложим перпендикуляры по 5 мм в каждую сторону - получатся отрезки по 10 мм. Соединим крайние точки и получим сечение ребра.

Из точек С и D откладывем перпендикулярные отрезки равные ширине "кирпичика" - полностью аналогично первому примеру этого урока.

Отложив перпендикуляры из точек D и Е равные ширине второго ребра и соединив крайние точки получим натуральный вид его сечения.

Остается стереть перемычки между отдельными элементами получившегося сечения и нанести штриховку. Должно получиться что-то вроде этого:

Если же по заданному сечению произвести разделение фигуры, то мы увидим следующий вид:

Я надеюсь, что вас не запугали нудные абзацы описания алгоритма. Если вы прочли все вышенаписанное и еще не до конца поняли, как начертить наклонное сечение , я очень советую вам взять в руки лист бумаги и карандаш и попытаться повторить все шаги за мной - это почти 100% поможет вам усвоить материал.

Когда-то я пообещал продолжение данной статьи. Наконец-то я готов представить вам пошагового построения наклонного сечения детали, более приближенной к уровню домашних заданий. Более того, наклонное сечение задано на третьем виде (наклонное сечение задано на виде слева)

или запишите наш телефон и расскажите о нас своим друзьям - кто-то наверняка ищет способ выполнить чертежи

или создайте у себя на страничке или в блоге заметку про наши уроки - и кто-то еще сможет освоить черчение.

Да всё хорошо, только хотелось бы увидеть как делаеться тоже самое на более сложной детали, с фасками и конусовидным отверстием например.

Спасибо. А разве на разрезах ребра жесткости не штрихуются?
Именно. Именно они и не штрихуются. Потому что таковы общие правила выполнения разрезов. Однако их обычно штрихуют при выполнении разрезов в аксонометрических проекциях - изометрии, диметрии и т.д. При выполнении наклонных сечений, область относящаяся к ребру жесткости так же заштриховывается.

Спасибо,очень доступно.Скажите,а наклонное сечение можно выполнить на виде с верху,или на виде слева?Если да,то хотелось бы увидеть простейший пример.Пожалуйста.

Выполнить такие сечения можно. Но к сожалению у меня сейчас нет под рукой примера. И есть еще один интересный момент: с одной стороны, там ничего нового, а с другой стороны на практике такие сечения чертить реально сложнее. Почему-то в голове все начинает путаться и у большинства студентов возникают сложности. Но вы не сдавайтесь!

Да всё хорошо, только хотелось бы увидеть как делаеться тоже самое, но с отверстиями (сквозными и несквозными), а то в элипс они в голове так и не превращаются

помогите мне по комплексной задаче

Жаль, что вы именно тут написали. Написали бы в почту - может мы смогли бы успеть все обсудить.

Хорошо объясняете. Как быть если одна из сторон детали полукруглая? А также в детали есть отверстия.

Илья, используйте урок из раздела по начертательной геометрии "Сечение цилиндра наклонной плоскостью". С его помощью сможете разобраться, что делать с отверстиями (они же по сути тоже цилиндры) и с полукруглой стороной.

благодарю автора за статью!кратко и доступно пониманию.лет 20 назад сам грыз гранит науки,теперь сыну помогаю. многое забыл,но Ваша статья вернула фундаментальное понимание темы.Пойду с наклонным сечением цилиндра разбираться)

Добавьте свой комментарий.