Стационарное уравнение шредингера для атома водорода. Уравнение шредингера для атома водорода

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

Линейный гармонический осциллятор - система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, - является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории. Пружинный, физический и мате­матический маятники - примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна:

Где w 0 - собственная частота колебаний осциллятора, т - масса частицы.

Зависи­мость имеет вид параболы (рис. 300), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Гармонический осциллятор в квантовой механике -квантовый осциллятор - опи­сывается уравнением Шредингера:

(63.2)

где Е - полная энергия осциллятора.

В теории дифференциальных уравнений до­казывается, что уравнение (63.2) решается только при собственных значениях энергии

(63.3)

Формула (63.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения , т. е. квантуется .

Уравнение Шредингера, примененное к атому водорода, позволяет получить результаты боровской теории атома водорода без привлечения постулатов Бора и условия квантования. Квантование энергии возникает как естественное условие, появляющееся при решении уравнения Шредингера, в некотором смысле аналогичное причине квантования энергии для частицы в потенциальной яме. Применить стационарное уравнение Шредингера к атому водорода это значит:

а) подставить в это уравнение выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром

б) в качестве m подставить me - массу электрона

После этого получим уравнение Шредингера для атома водорода:

Так как потенциальная энергия зависит только от r, решение уравнения удобно искать в сферической системе координат: r, θ, φ.(рис. 8.1)

Волновая функция в этом случае будет функцией от r, θ и φ, т.е.

Оператор Лапласа необходимо записать в сферических координатах, т.е. выразить через производные по r, θ и φ. Мы не будем этого делать, поскольку получение решения уравнения Шредингера для атома водорода не входит в программу курса общей физики. Приведем лишь результаты.

Оказывается, что решение уравнения Шредингера для атома водорода существует при следующих условиях:

а) при любых положительных значениях полной энергии (E > 0). Это так называемыенесвязанные состояния электрона, когда он пролетает мимо ядра и уходит от него на бесконечность;

б) при дискретных отрицательных значениях энергии

Эта формула совпадает с полученной Бором формулой для энергии стационарных состояний атома водорода. Целое число n называют главным квантовым числом.

Самым замечательным успехом в истории квантовой механики было объяснение всех деталей спектров простейших атомов, а также периодичностей, обнаруженных в таблице химических элементов. В этой главе в нашем курсе квантовой механики мы наконец-то подойдем к этому важнейшему достижению и расскажем об объяснении спектра атомов водорода. Кроме того, здесь мы расскажем ио качественном объяснении таинственных свойств химических элементов. Для этого мы подробно изучим поведение электрона в атоме водорода: в первую очередь мы рассчитаем его распределения в пространстве, следуя тем представлениям, которые были развиты в гл. 14.

Для полного описания атома водорода следовало бы учесть движения обеих частиц — как протона, так иэлектрона. В квантовой механике в этой задаче следуют классической, идее об описании движения каждой из частиц по отношению к их центру тяжести. Однако мы не будем этого делать. Мы просто используем приближение, в котором протон считается очень тяжелым, настолько тяжелым, что он как бы закреплен в центре атома.

Мы сделаем еще идругое приближение: забудем, что у электрона имеется спин и что его надлежит описывать законами релятивистской механики. Это потребует внесения небольших поправок в наши выкладки, поскольку мы будем пользоваться нерелятивистским уравнением Шредингера и пренебрежем магнитными эффектами. Небольшие магнитные эффекты появляются из-за того, что протон с точки зрения электрона есть циркулирующий по кругу заряд, который создает магнитное поле. В этом поле энергия электрона будет различна, смотря по тому, направлен ли его спин вверх или вниз по полю. Энергия атома должна немного сдвинуться относительно той величины, которую мы вычислим. Но мы пренебрежем этим слабым сдвигом энергии, т. е. вообразим, что электрон в точности подобен волчку, движущемуся в пространстве по кругу и сохраняющему все время одинаковое направление спина. Поскольку речь будет идти о свободном атоме в пространстве, полный момент количества движения будет сохраняться. В нашем приближении будет считаться, что момент количества движения, вызываемый спином электрона, остается неизменным, так что оставшийся момент количества движения атома (то, что обычно называют «орбитальным» моментом количества движения) тоже не будет меняться. В очень хорошем приближении можно считать, что электрон движется в атоме водорода как частица без спина — его орбитальный момент количества движения постоянен.

В этих приближениях амплитуда того, что электрон будет обнаружен в том или ином месте пространства, может быть представлена как функция положения электрона в пространстве и времени. Обозначим амплитуду того, что электрон будет обнаружен в точке х, у, z в момент t через ψ (х, у, z , t ). Согласно квантовой механике, скорость изменения этой амплитуды со временем дается гамильтоновым оператором, действующим на ту же функцию. Из гл. 14 мы знаем, что

Здесь т — масса электрона, а V (r)— потенциальная энергия электрона в электростатическом поле протона. Считая на больших удалениях от протона V = 0, можно написать

Волновая функция ψ должна тогда удовлетворять уравнению

Мы хотим найти состояния с определенной энергией, поэтому попробуем поискать решения, которые бы имели вид

Тогда функция ψ (r) должна быть решением уравнения

где E— некоторое постоянное число (энергия атома).

Раз потенциальная энергия зависит только от радиуса, то это уравнение лучше решать в полярных координатах.

Лапласиан в прямоугольных координатах определялся так.

Уравнение Шредингер для атома водорода в классической механике - страница №1/1

Уравнение Шредингер для атома водорода

В классической механике атом представляет собой протон вокруг которого вращается электрон.

Потенциальная энергия

“-” показывает что система связана

Т.е электрон движется не симметричной гиперболической потенциальной яме

В квантовой

Уравнение на собственные функции собственные значения??????????

Перейдем в сферическую систему координат

Оператор Лапласа в сферической системе

Запишем в сферической системе координат оператор квадрата импульса

Гамильтониан

второе слагаемое - кинетическая энергия вращения

H r коммутируют так как L 2 и L z действуют только на углы и не действую на координаты.

поскольку коммутатор коммутирует с самим собой

Означает что одновременно могут быть измеримы соответствующие физические величины

Одновременно измеримы, и проекция импульса на заданное направления

Уравнение Шредингера для стационарного состояния для атома водорода

Ищем решение уравнения в виде

Каково бы ни было решение Шредингера, уравнение на собственный функции собственные значения

Получаем уравнение Шредингера для атома водорода

Решая это уравнение мы получаем значение энергии

Т.е решение уравнение Шредингера такое же как у Бора но при этом Бору пришлось вводить постулаты, а в квантовой механике это есть следствие общей теории. При решении уравнения Шредингера мы также получаем ограничения на квантовое число l, Для данного n, l = 1,2,3,.(n-1) . Т.е всего n значений

Таким образом из того что

n - главное квантовое число, определяет энергию E

l - характеризует величину моменту импульса

m l –х арактеризует проекцию импульса на заданное направление

Таким образом атом характеризуется тремя числам n,l m l .

Состояния двух электронов в атоме отличается если отличны хотя бы двух чисел

Отличающиеся

m l - характеризует направление этих облаков

Состояние с l=0 называет S состояние

P
m l =-1 0 1

m l = -2 -1 0 1 2

Переходы с одного состояния в другое только если подчиняются правилу отбора

Одному значению энергии соответствуют несколько состояние характеризующихся разными значениями квантовых числе l , m l . Такие состоянии с одним значением энергии но с разными l, m l называются вырожденными. Кратность выражений - характеризующиеся одним значением энергии(главного квант. числа n)

Сингретное значение

1 S состояни электрона в атоме водорода

Уравнение Шредингера для 1S

Ищем решение этого уравнения в виде

имеет решение при всех r , тогда и только тогда когда сомножители =0

Получилась энергия на первой Боровской орбите

Состояние характеризуется пси функцией.

C можно найти из условии нормировки.

Пси функция для 1 S состояния

Найдем самое вероятное место нахождение электрона

С наибольше вероятностью электрон находится на расстоянии первого Боровского радиуса

обладает моментом импульса и магнитным моментным импульса

движению электрона можно сопоставить Ток в обратном направлении

Это гиромагнитное отношение

В квантовой механике выполняются те же соотношения но для операторов.

Это соотношения такие же как и правила квантования для момента импульса. Т.е поскольку момент импульса характеризует определенным значением

Характеризуются??????????????

результате пучок раздваивался

то не должен был расчипиться

2) В однородном магнитном поле действует

А)в Кл. механике возможные значения значит сила должна быть уширяться. Не годится

б) квантовой механике

Значит если Pmz != 0 то

значит должно было расчипиться на нечетное число пучков

Уленбек и Гауцпи предположили что электрон обладает неуничтожимым собственным моментом импульса которое назвали спином. Первоначально предполагалось что спин связан с вращением электрона вокруг оси, но в этом случае отношение магнитного момента к спину

Но многие опыты показывают что

СПИН - собственный неуничтожимый момент электрона

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze(для атома водорода Z=1)

Где r-расстояние между электроном и ядром

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера , учитывающие значение U(r):

m-масса электрона, Е- полная энергия электрона в атоме.

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции ψ nlm ­(r,θ,φ), определяемые 3 квантовыми числами: главным n,орбитальным l и магнитным m l . Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения n=1,2,3….Орбитальное квантовое число l , при заданном n принимает значения l=0,1,…,(n-1) т.е. всего n значений и определяет момент импульса электрона в атоме. Магнитное квантовое число m l , при заданном l может принимать значения m l =0,±1,±2,…,±l, т.е. всего 2l+1 значений. Т.о. магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентаций. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

20.Собственный механический и магнитный момент электрона. Опыт Штерна и Герлаха.

Электрон обладает собственным механическим моментом импульса L s , называемым спином. Спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона соответствует собственный магнитный момент P s , пропорциональный L s и направленный в противоположную сторону: P s =g s L s , g s – гиромагнитное отношение спиновых моментов. Проекция собственного магнитного момента на направление вектора B: P sB =±e`h/2m=±m B , где`h=h/2p, m B =магнетон Бора. Общий магнитный момент атома p a = векторной сумме магнитных моментов входящих в атом электрона: P a =Sp m +Sp ms . Опыт Штерна и Герлаха. Проводя измерения магнитных моментов они обнаружили, что узкий пучек атомов водорода в неоднородном магнитном поле расщепляется на 2 пучка. Хотя в этом состоянии (Атомы находились в S состоянии) момент импульса электрона равен 0, а так же магнитный момент атома равен 0, поэтому магнитное поле не оказывает влияние на движение атома водорода, то есть расщепления быть не должно. Однако, дальнейшие исследования показали что спектральные линии атомов водорода обнаруживают такую структуру даже в отсутствие магнитного поля. В последствии было установлено, что такая структура спектральных линий объясняется тем, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом, названным спином.

21.Орбитальный, спиновый и полный угловой и магнитный момент электрона.

Электрон обладает собственным моментом импульса M S , который называется спином. Его величина определяется по общим законам квантовой механики: M S = ` hÖ= ` hÖ[(1/2)*(3/2)]=(1/2) ` hÖ3, M l = ` hÖ – орбитальный момент. Проекция может принимать квантовые значения, отличающиеся друг от друга на`h. M Sz =m S ` h, (m s =±S), M lz =m l ` h. Чтобы найти значение собственного магнитного момента умножим M s на отношение m s к M s , m s – собственный магнитный момент:

m s =-eM s /m e c=-(е ` h/m e c)Ö=-m Б Ö3, m Б – Магнетон Бора.

Знак (-) потому что M s и m s направлены в разные стороны. Момент Электрона слагается из 2-х: орбитального M l и спинового M s . Это сложение осуществляется по тем же квантовым законам, по которым складываются орбитальные моменты разных электронов: Мj= ` hÖ, j – квантовое число полного момента импульса.

22. Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана .

Эффектом Зеемана называется расщепление энергетических уровней при действии на атомы магнитного поля. Расщепление уровней приводит к расщеплению спектральных линий на несколько компонентов. Расщепление спектральных линий при действии на излучающие атомы магнитного поля так же называется эффектом Зеемана. Зеемановское расщепление уровней обьясняется тем, что атом, обладающий магнитным моментом m j , приобретает в магнитном поле дополнительную энергию DE=-m jB B, m jB - проекция магнитного момента на направление поля. m jB =-m Б gm j , DE=m Б gm j , (m j =0, ±1,…, ±J). Энергетический уровень расщепляется на подуровни, причем величина расщепления зависит от квантовых чисел L,S,J данного уровня.

8) Основные постулаты квантовой механики. Вероятностный характер результатов измерений в квантовой механике.

Первый постулат квантовой механики. Состояние частицы в квантовой механике описывается заданием волновой функции y(x,y,z,t), являющейся функцией пространственных координат и времени. Вероятностный смысл волновой функции. Квадрат модуля волновой функции y(x,y,z,t) определяет плотность вероятности w того, что в момент времени t³0 частица может быть обнаружена в точке пространства M=M(x,y,z) с координатами x , y и z .w=dP/dV=|y| 2 =y*y. Волновую функцию, удовлетворяющую условию нормировки F ® ¥ ò|y| 2 dV=1, называют нормированной волновой функцией. Условия регулярности волновой функции. 1. Условие конечности волновой функции (волновая функция была квадратично интегрируемой функцией). 2. Условие однозначности волновой функции (плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно). 3. Условие непрерывности волновой функции. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции, т.е. функция должна быть гладкой . Принцип суперпозиции. Если частица может находиться в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией y 1 , а также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией y 2 , и т.д. аналогично до y n , то эта частица может также находиться в состоянии, описываемом волновой функцией y=с 1 y 1 +с 2 y 2 +…+с n y n . В таком состоянии квадрат модуля коэффициента С n определяет вероятность того, что при измерении, проведенном над системой с такой волновой функцией, мы обнаружим ее в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией y n . Поэтому для нормированных волновых функций .

12) Частица в трехмерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Энергетический спектр частицы. Понятие о вырождении энергетических уровней.

Потенциальный ящик: G={(x,y,z):0(1/y 1 (x))(d 2 y 1 (x)/dx 2)+ (1/y 2 (y))(d 2 y 2 (y)/dy 2)+(1/y 3 (z)) (d 2 y 3 (z)/dz 2)=-2m 0 E/ħ 2 . Первое слагаемое в левой части зависит только от x, а второе - только отy. Поскольку их сумма равна постоянной величине, то это означает, что каждое из слагаемых также представляет собой постоянную величину. Получаем три одномерных уравнения: d 2 y 1 (x)/dx 2 +2m 0 E 1 y 1 (x)/ ħ 2 =0, d 2 y 2 (y)/dy 2 +2m 0 E 2 y 2 (y)/ ħ 2 =0, d 2 y 3 (z)/dz 2 +2m 0 E 3 y 3 (z)/ ħ 2 =0=> аналогично для y 2 (y) и y 3 (z)=>, а её энергетический спектр Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным уровнем , а число соответствующих ему состояний называется кратностью вырождения или степенью вырождения уровня.

13) Движение микрочастицы в области одномерного потенциального порога. Надбарьерное отражение частицы в случае низкого порога.

Потенциальный порог : U(x)={0: x<0; U 0 ,x>0}. Пусть E. Обозначив и получим ур-ние Шредингера в виде d 2 y 1 (x)/dx 2 +k 1 2 y 1 =0 и d 2 y 2 (x)/dx 2 -k 2 2 y 2 =0. Решением уравнения являются: y 1 (x)=A 1 exp{ik 1 x}+ B 1 exp{-ik 1 x} и y 2 (x)=A 2 exp{k 2 x}+ B 2 exp{-k 2 x}. Поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в волновой функции y 2 (x) при x, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастает, то необходимо потребовать A 2 =0 . Из условий сшивки y 1 (0)= y 2 (0) и y 1 ’(0)= y 2 ’(0)=> A 1­ +B 1 =B 2 и ik 1 A 1­ -ik 1 B 1 =-k 2 B 2 . A 1 =1 =>B 1 =(k 1 -ik 2)/(k 1 +ik 2) ; B 2 =2k 1 /(k 1 +ik 2) .=>y 1 (x)=exp{ik 1 x}+(k 1 -ik 2)/(k 1 +ik 2)exp{-ik 1 x} и y 2 (x)= 2k 1 /(k 1 +ik 2)exp{-k 2 x}. Коэф-т отражения R=|B 1 | 2 /|A 1 | 2 =1, коэф-т прохождения D=0. Пусть E>U 0 . Положим