Теорема Чевы. Дан треугольник и точки
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Лемма. Если числа таковы, что

то

лишь бы знаменатель в ноль не обращался.

Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.

Обозначим общее значение дробей и
буквой
Тогда

что и требовалось доказать.

Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но помогающее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.

Доказательство теоремы.

1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке , тогда треугольник оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже. Рассмотрим первую дробь

Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников и с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
и , можно заменить числитель и знаменатель и на их площади.

Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:

Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:

что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.

2. Пусть не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения и
отрезок (точка расположена на стороне ).
По доказанному,

Если бы было выполнено

,

то

что невозможно при

(скажем, если точки на стороне
расположены в порядке
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).

На этом доказательство завершается.

Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:

Аналогично получаем

Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.

Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Примеры.

1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.

2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.

3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)

1. Введение;

2. Обобщение теоремы Фалеса;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

3. Теорема о пропорциональных отрезках;

4. Теорема Чевы;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

5. Теорема Менелая;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

6. Задачи и их решения;

7. Источники информации;

Введение.

Мой реферат посвящен применению подобия к доказательству теорем и решению задач, а именно глубоко изучить обобщение теоремы Фалеса, теоремы Чевы и Менелая, которые не изучаются в школьной программе. Теме подобия, которая проходится в восьмом классе, отведено всего лишь 19 часов, что недостаточно для изучения этой темы более углубленно. В тему подобия входят: определение подобных треугольников, признаки подобия, отношение площадей подобных треугольников, средняя линия треугольника, пропорциональные отрезки и т.д.

Напомню определение подобных треугольников :

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Оказывается, что у подобных треугольников не только отношение сходственных сторон, но и отношение любых других сходственных отрезков равно коэффициенту подобия. Например, отношение сходственных биссектрис AD и A 1 D 1 , т.е. биссектрис равных углов A и A 1 в подобных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 , равно коэффициенту подобия k, отношение сходственных медиан AM и A 1 M 1 равно k и точно так же отношение сходственных высот AH и A 1 H 1 равно k.

С помощью данного материала, который изучается в школьной программе, мы можем решать довольно узкий круг задач. При создании своего реферата я собираюсь углубить свои знания по данной теме, что позволит решать более широкий круг задач на пропорциональные отрезки. В этом и заключается актуальность моего реферата.

Одна из теорем – это обобщение теоремы Фалеса. Сама теорема Фалеса проходится в восьмом классе. Но главными теоремами являются теоремы Чевы и Менелая.

Обобщение теоремы Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Доказать:

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

1 случай

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – параллелограммы. Поэтому А1А2=В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что

2 случай

Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому

Отсюда по свойству пропорций получаем:

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2=В1В2, С2С3=В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2 на В1В2 и С2С3 на В2В3, приходим к равенству

что и требовалось доказать.

Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.

Доказать:

Доказательство:

Через точку М проведем прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса

Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то

Аналогично доказывается, что

Теорема Чевы.

Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 и В 1 , то отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказать:

2.отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке

Доказательство:

1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1 и В1 взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству

Муниципальная научно-практическая конференция

«ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ»

Теорема Чевы

МБОУ «СОШ №17».

Руководитель:

Учитель математики МБОУ СОШ №17.

I Аннотация

Данная работа может помочь ученикам различных образовательных учреждений расширить представление о свойствах треугольника с помощью теоремы Чевы. В работе систематизированы задачи на применение теоремы Чевы для доказательства свойств замечательных точек треугольника, для обоснования некоторых преобразований плоскости, для решения задач на отыскание набольших и наименьших значений величин, а также задач разного уровня сложности. Работа может быть использована для проведения занятий на элективных курсах, при подготовке к олимпиадам, ЕГЭ и вступительным экзаменам.

II Отзыв руководителя

В настоящее время в современной школе роль геометрии несколько занижена. Данная работа может оказать помощь в укреплении престижа школьного предмета геометрии, т. к. показывает, как всего лишь одна замечательная теорема позволяет открыть целый пласт интереснейших свойств треугольника, насладиться красотой и изяществом решаемых с её помощью задач.

В ходе работы автор, Панкова Вера, проявила большую степень самостоятельности. Используя метод анализа и сравнения имеющихся источников литературы, автор столкнулась с необходимостью использовать ещё один метод исследования – систематизация задач. В используемой литературе задачи предлагаются списком без системы по определённым темам. Тематическая же систематизация задач значительно упростила возможности отыскания приёмов решения задач. При этом большая часть задач решена Верой самостоятельно, что способствовало повышению уровня логической культуры и развитию пространственного воображения автора.

Работа может быть использована для занятий на спецкурсах, в профильном обучении, при подготовке к олимпиадам и ЕГЭ.

Руководитель

____________/

III Рецензия

Работа по теме «Теорема Чевы» посвящена исследованию возможностей применения теоремы Чевы, которая не входит в программу по геометрии средней школы . Тема является актуальной, так как при решении целого класса задач, теорема Чевы позволяет легко и изящно получать решения, тогда как, традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным доказательствам.

В центре внимания находится доказательство самой теоремы разными способами и в разных формах.

В практической части проведено сравнение традиционных способов доказательства того, что три прямые пересекаются в одной точке, и доказательств с помощью теоремы Чевы.

Главные усилия направлены на решение задач с применением теоремы и их тематическую систематизацию, позволяющую упростить поиск приёмов решения. При этом автор решает, по существу, одну задачу: показывает преимущества использования теоремы Чевы для облегчения решения задач.

Необходимо остановиться на том, что при исследовании возможностей применения теоремы Чевы, автору удалось углубить знания о замечательных точках треугольника и дополнить, известные в школьном курсе четыре замечательные точки, новыми точками и точками второго порядка, т. е. полученными в результате преобразований. Рассмотренные преобразования также являются углублением школьного курса.

Достоинством данной работы является научность, доказательность, логическая последовательность в изложении материала.

« »……………..2007 г. Руководитель

____________/

I Аннотация………………………………………………………………………..2

II Отзыв руководителя……………………………………………………………3

III Рецензия………………………………………………………………………...4

IV Тезисы…………………………………………………………………………..6

IV Введение…………………………………………………………………….….8

V Основная часть:

1)Теория………………………………………………………………………10

2)Практика……………………………………………………………………14

а) Теорема Чевы и замечательные точки треугольника.……………..14

б) Точки Жергона и Нагеля и теорема Чевы ………………………….17

в) Некоторые замечательные преобразования, связанные с теоремой Чевы …………………………………………………………………….19

г) Применение теоремы Чевы к решению разных задач …………….23

д) Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин, связанные с теоремой Чевы ……………………………………………26

VI Заключение……………………………………………………………..…….31

VIIСписок литературы……………………………………………………….…32

IV Тезисы

1) Первая часть работы – теоретическая. Здесь представлены различные способы доказательства прямой и обратной теоремы Чевы: доказательство с помощью подобных треугольников, два доказательства с использованием понятия площади и теорема Чевы в форме синусов. Также здесь даются определение чевиан, как отрезков, соединяющих вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне треугольника и понятие конкурентности.

2) Вторая часть работы – практическая. Здесь приведена тематическая систематизация задач на применение теоремы Чевы. Все задачи сопровождаются решениями.

а) Теорема Чевы и замечательные точки треугольника. В этой главе с помощью теоремы Чевы доказывается конкурентность замечательных линий треугольника: медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров.

б) Точки Жергона и Нагеля. С помощью теоремы Чевы здесь доказывается, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке (точке Жергонна), а также, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля).

в) Некоторые замечательные преобразования, связанные с теоремой Чевы. В этой главе доказывается с помощью теоремы Чевы существование изотомически сопряжённой, изогонально сопряжённой к точке пересечения чевиан относительно треугольника точки, изоциркулярного образа точки пересечения чевиан. А также приведены примеры замечательных точек 2-го порядка, т. е. полученных с помощью указанных преобразований плоскости.

г) Применение теоремы Чевы к решению разных задач. Здесь приведены задачи с решениями разного уровня сложности, которые могут использоваться для самоконтроля.

д) Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин, связанные с теоремой Чевы. В этой главе решены задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин элементарными методами, т. е. без применения производной.

V Введение.

Обладая литературой более обширной,

чем алгебра и арифметика вместе взятые,

и, по крайней мере, столь же обширной

как и анализ, геометрия в большей степени,

чем любой другой раздел математики,

является богатейшей сокровищницей

интереснейших, но полузабытых вещей,

которыми, спешащее поколение

не имеет времени насладиться.

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести к геометрии треугольника. Треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой-либо систематизации, не могут не восхищать.

Геометрия треугольника связана, как правило, с замечательными точками. Большинство же замечательных точек может быть получено следующим образом.

Пусть имеется некоторое правило, по которому можно выбрать точку А1 на стороне ВС треугольника АВС (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки В1, С1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере – еще две середины сторон). Если это правило «удачное», то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в некоторой точке Z. Ученым прошлого всегда хотелось иметь метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашел в 1678г. итальянский инженер Джованни Чева.

Замечательная теорема Чевы не входит в программу по геометрии для средней школы. Однако при решении целого класса задач эта теорема позволяет легко и изящно получать решения. Теорема Чевы открывает возможности для знакомства со многими новыми теоремами и свойствами треугольника, не изучаемыми по школьной программе.

Цель работы : расширить представление о свойствах треугольника с помощью теоремы Чевы.

Гипотеза : если теорема Чевы помогает расширить класс решаемых геометрических задач, то она является одной из фундаментальных теорем геометрии.

Задачи :

· исследовать возможности применения теоремы Чевы для доказательства свойств замечательных точек треугольника;

· научиться применять теорему Чевы для решения задач разного уровня сложности;

· тематически систематизировать задачи, решаемые с помощью теоремы Чевы.

Методы исследования : анализ и сравнение имеющихся источников литературы, систематизация задач.

V I Основная часть

1) Теория

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется ЧЕВИАНОЙ.

АХ, ВY, СZ – чевианы ∆ АВС.

Если все три чевианы пресекаются в одной точке Р, то будем говорить, что они КОНКУРЕНТНЫ.

1) Теорема Чевы. Если три чевианы АХ, ВY, СZ треугольника АВС конкурентны, то

Доказательство. Известно, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.

Составим отношение

.

Аналогично,

.

Перемножим, полученные равенства

.

Обратная теорема.

Если три чевианы АХ, ВY, СZ удовлетворяют соотношению , то они конкурентны.

Доказательство.

Предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке Р, как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку Р, будет СZ".

Тогда, по прямой теореме Чевы,

.

Но по условию ,

Следовательно, .

Точка совпадает с точкой Z, и мы доказали, что отрезки АХ, ВY и СZ конкурентны.

2) Рассмотрим способ доказательства теоремы Чевы с помощью подобных треугольников.

Пусть на сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1. Прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

(*)

прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в точке O (рис.2). Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную AB , и ее точки пересечения с прямыми AA 1, BB 1 обозначим соответственно A 2, B 2. Из подобия треугольников CB 2B 1 и ABB 1 имеем равенство

Аналогично, подобия треугольников BAA 1 и CA 2A 1 имеем равенство

Далее, из подобия треугольников BC 1O и B 2CO , AC 1O и A 2CO имеем Следовательно, имеет место равенство

Перемножая равенства (1), (2) и (3), получим требуемое равенство (*).

Докажем обратное. Пусть для точек A 1, B 1, C 1, взятых на соответствующих сторонах треугольника ABC выполняется равенство (*). Обозначим точку пересечения прямых AA 1 и BB 1 через O и точку пересечения прямых CO и AB через C " . Тогда, на основании доказанного, имеет место равенство

https://pandia.ru/text/79/202/images/image017.gif" width="100" height="52"> из которого следует совпадение точек C " и C 1 и, значит, прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке.

3) Ещё один способ доказательства теоремы Чевы, использующий понятие площади.

Предположим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О. (рис.3) Опустим из вершин А и В треугольника АВС перпендикуляры АА", ВВ" на прямую СС1. Треугольники АС1А" и ВС1В" подобны, следовательно,

66" height="30" bgcolor="white" style="border:.75pt solid white; vertical-align:top;background:white"> Умножив одно равенство на другое, получаем:

Аналогично

https://pandia.ru/text/79/202/images/image028.gif" width="187" height="56 src=">

Окончательно имеем: https://pandia.ru/text/79/202/images/image030.gif" width="260" height="47">

2) Практика

а) Теорема Чевы и замечательные точки треугольника.

Теорема Чевы дает возможность очень просто доказать утверждения о точке пересечения медиан, биссектрис, высот (или их продолжений) и средних линий треугольника.

Медианы – это чевианы, которые связывают вершины треугольника с серединами противоположных сторон.

Задача №1. Доказать, что медианы треугольника конкурентны.

Доказательство. Так как AB1 = B1C; СА1 = А1В (рис.5);

ВС1 = С1А, то

.

По теореме Чевы отсюда следует, что медианы конкурентны.

Высоты – это чевианы, перпендикулярные сторонам или продолжениям сторон треугольника.

Их общая точка называется ортоцентром.

Применение теоремы обратной теореме Чевы для доказательства того, что три прямые пересекаются в одной точке, существенно упрощает доказательство. Сравним доказательство конкурентности высот треугольника, проводимое с помощью теоремы Чевы и доказательство другим способом.

Задача №2. Доказать, что высоты остроугольного треугольника, конкурентны.

Доказательство. Пусть АА1, ВВ1 и СС1 – высоты треугольника. (рис.6) Прямоугольные ∆ АА1С и ∆ВВ1С подобны (так как имеют общий острый угол С), поэтому

Аналогично из подобия ∆ АА1В и ∆СС1В следует:

А из подобия ∆ ВВ1А и ∆СС1А – равенство.

* http://geometr. info/geometriia/treug/medvys. html

Мир Геометрии - Ученический Портал

Итак, точки K, L, M составляют треугольник. MA параллельно BC, и MB параллельно AC по построению. А значит, четырёхугольник MACB - параллелограмм. Следовательно, MA = BC, MB = AC. Аналогично AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL. Значит, AP и BQ - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM. Они пересекаются в точке O, а значит, CO - тоже срединный перпендикуляр. CO перпендикулярно KL, KL параллельно AB, а значит CO перпендикулярно AB. Пусть R - точка пересечения AB и CQ. Тогда CR перпендикулярно AB, то есть CR - это высота треугольника ABC. Точка O принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника ABC. Значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Очевидно, теорема Чевы облегчает доказательство.

Задача №3. Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, т. е. конкурентны.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image040.gif" width="272 height=53" height="53">

Перемножив эти равенства, получим:

Отсюда по теореме Чевы следует, что биссектрисы пересекаются в одной точке.

Четвертой замечательной точкой треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

преодолеть, рассмотрев серединный треугольник А1В1С1. Поскольку средние линии параллельны сторонам исходного треугольника, то серединные перпендикуляры являются высотами серединного треугольника, конкурентность которых была уже доказана с помощью теоремы Чевы. Это означает, что серединные перпендикуляры к сторонам ∆ АВС конкурентны. Теорема доказана.

б) Точки Жергона и Нагеля и теорема Чевы.

Воспользуемся теоремой Чевы для установления еще двух замечательных точек треугольника.

Задача№5 Доказать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона .

Доказательство.

Пусть окружность с центром О касается сторон ∆АВС в точках А1, В1, С1 (рис.11) тогда по свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

АВ1 = АС1; ВС1 = ВА1; СА1 = СВ1

Рис.11

,

Значит. Прямые АА1, ВВ1, СС1 конкурентны, т. е. пересекаются в одной точке G – точка Жергона.

Еще одна замечательная точка треугольника – точка Нагеля.

Определение. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон.

Задача№6 Доказать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля).

Доказательство .

Пусть АВ = с; ВС = а; АС = b; по свойству равенства отрезков касательных ВХb = BZb.(рис.12)

ВХb + BZb = ВС + СХb + ZbA + AB,

СХb + ZbA = b, https://pandia.ru/text/79/202/images/image045.gif" width="20" height="16"> ВХb + BZb = а +b +с = 2p (p – полупериметр треугольника),

ВХb = BZb.= p, аналогично, для отрезков касательных, проведенных из других двух вершин. Также СХb = ВХb – ВС = p-a; для всех отрезков касательных можно также записать

середины той стороны, на

которой она лежит. Полученные три точки обозначим через А2, В2, С2. Доказать, что тогда прямые АА2, ВВ2,СС2 также пересекаются в некоторой точке Zm.

Доказательство . По теореме Чевы т. к. АА1, ВВ1,СС1 пересекаются в одной точке, то

но А2 и А1, В2 и В1, С2 иС1 симметричны относительно середин сторон треугольника, => АС1=ВС2 ; С1В=АС2 ; ВА1=СА2 и т. д.

поэтому , => АА2, ВВ2,СС2

пересекаются в одной точке.

Эта точка называется изотомически сопряжённой точке Z, относительно треугольника АВС.

Задача№8

Доказательство . Здесь удобно воспользоваться теоремой Чевы в форме синусов.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image068.gif" width="261" height="45 src=">,=> т. к. прямые АА2, ВВ2,СС2, симметричны прямым АА1, ВВ1,СС1 относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, то равны углы =

= АСС 2 , и т. д.

прямые АА2, ВВ2, СС2 тоже пересекаются в одной точке.

Эта точка называется изогонально сопряжённой точке Z относительно треугольника АВС.

С помощью изотомического и изогонального сопряжений можно получать новые замечательные точки.

Hm – антиортоцентр – точка, изотомически сопряжённая ортоцентру, т. е. точка пересечения прямых, проходящих через точки, симметричные основаниям высот относительно середин сторон, и соответствующие вершины треугольника.(Рис.16)

Gl – точка, изогонально сопряжённая точке Жергонна.(Рис.18)

Докажем, что прямые АА2, ВВ2,СС2 пересекаются в одной точке с помощью теоремы Чевы сразу в двух формулировках – в форме отношений синусов и в форме отношений отрезков, а также с помощью леммы.

Лемма Архимеда . Если окружность вписана в сегмент и касается дуги в точке А1, а хорды ВС – в точке А2, то прямая А1А2 является биссектрисой угла ВА1С.(стр.15 )

Доказательство. Пусть ∟ВАА1=α1, ∟САА1=α2..gif" width="140" height="45 src="> Аналогично получаем, что ,

где β1=∟ СВВ1, β2=∟ АВВ1, γ1=∟ АСС1, γ2=∟ ВСС1. Условие Чевы для прямых АА2, ВВ2,СС2, таким образом, принимает вид

Правая часть этого равенства представляет собой выражение из условия Чевы в форме отношений синусов для прямых АА1, ВВ1,СС1, пересекающихся в точке Z. Следовательно,

Т. о. прямые АА2, ВВ2, СС2 пресекаются в одной точке Zc, которую и называют изоциркулярным образом точки Z.

г) Применение теоремы Чевы к решению разных задач

Задача№10 Точки С1 и А1 делят стороны АВ и ВС ∆ АВС в отношении 1:2.

прямые СС1 и АА1 пересекаются в точке О. Найдите отношение, в котором

прямая ВО делит сторону АС.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image090.gif" width="121" height="53 src=">

По теореме Чевы, если прямые конкурентны, то

https://pandia.ru/text/79/202/images/image092.gif" align="left" width="66" height="54 src=">90" height="30" bgcolor="white" style="border:.75pt solid white; vertical-align:top;background:white">

Задача№11 На сторонах ВС, СА и АВ ∆ АВС взяты точки А1, В1 и С1 так, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Прямые А1В1 и А1С1 пересекают прямую, проходящую через вершину А параллельно стороне ВС, в точках С2 и В2 соответственно. Докажите что АВ2 = АС2. [ 2]

∆АС2С1 ~ ∆ВА1С1,

Помню, в школе мы доказывали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. И что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Более того, высоты и серединные перпендикуляры треугольника тоже обладают тем же свойством.
Вот только доказывались эти теоремы.... как? Да в том-то и дело, что каждая из них доказывалась как-то по-своему, у каждой из них был свой способ.

Я хочу показать вам, дорогие читатели, единый способ доказательства этих теорем. Доказательства, использующего теорему Чевы.
Вот её формулировка:

Пусть точки A",B",C" лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA",BB",CC" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство .

Прямая теорема.

С одной стороны,
S AOB"/S COB" =AB"/B"C
С другой стороны, это же отношение площадей равно отношению высот треугольников AOB" и COB", проведенных к основанию OB", равно как и отношение площадей треугольников AOB и COB.

Таким образом, AB"/B"C = S AOB/S COB.

Записав аналогичные равенства для отношений CA"/A"B и AC"/C"B и затем перемножив их всех, получим требуемое утверждение.

Обратная теорема.

Итак, допустим, у нас выбраны точки A", B", C" на сторонах треугольника и выполняется равенство из условия.
Пусть AA" и BB" пересекаются в точке О. Проведем прямую СО и пусть она пересекает сторону AB в некоторой точке C"". Тогда, согласно прямой теореме, у нас будет выполняться то самое огромное равенство, в котором вместо точки C" будет точка C"". Исходя из выполнения этих двух равенств - с точкой C"", как мы показали, и с точкой C" из условия обратной теоремы, делаем вывод, что точки C"" и C" совпадают.

Можно записать условие Чевы в форме синусов :
Это условие легко получить, применив теорему синусов к треугольникам ABA" и ACA". Для них получаем A"B/AA"= sinBAA" /sinABA" и A"C/AA"=sinA"AC/sinA"CA. Разделив одно равенство на другое, получаем A"B/A"C=sinBAA" /sinA"AC * (sinBCA/sinABC)

Записав аналогичные равенство для остальных отрезков и перемножив их, получаем условие Чевы в форме синусов.

Согласно теореме Чевы, то, пересечение медиан треугольника в одной точке - доказывается в одну строчку.
Согласно теореме Чевы в форме синусов, пересечение биссектрис в одной точке доказывается в одну строчку.
А вот доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке - это, согласно теореме Чевы в форме синусов, доказывается в две строчки. В первой строчке доказательства нам следует написать известное тригонометрическое тождество -
sin(90 - a ) = cos a

мУНИЦИПАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЫ xxI ВЕКА»

Теорема Менелая и теорема Чевы и их применения

Попов Богдан Валерьевич

ученик 10 Б класса

МАОУ «Гимназия №2»

Руководитель:

Лысенко Надежда Анатольевна

Учитель высшей квалификационной категории

Г. Балаково. 2012г.

Введение 3 стр

Теорема Менелая 4 стр

Теорема Чевы 6 стр

Следствия теоремы Чевы 8 стр

Применение теорем Чевы и Менелая для решения 10 стр

геометрических задач

Заключение 14 стр

Список используемой литературы 15 стр

Введение

В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.

Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие.

Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.

Основная цель работы:

Анализ литературы по данной теме;

Теорема Менелая

Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики. Название она получила в честь своего автора – древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (примерно 100 г. н.э.). Во многих случаях эта теорема помогает очень легко и изящно решать достаточно сложные геометрические задачи.

Теорема: Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ABC взяты соответственно точки , и , не совпадающие с вершинами ABC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Доказательство:

Сначала докажем необходимость . Пусть точки лежат на прямой l и = , = , = - пер пендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С на прямую l (см. рисунок 1). Из подобия треугольников и получаем:

Аналогично, рассматривая другие пары подобных треугольников, полу-

Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству.

Достаточность . Пусть точки A1, В1, С1 (рис. 2), лежащие на прямых ВС, AC, AB, таковы, что

Докажем, что точки , , лежат на одной прямой.

Проведем прямую и докажем, что точка С ей принадлежит.

Предположим, что это не так. Сначала заметим, что прямая не па раллельна прямой AB. Пусть Т - точка пересечения прямых и AB (см. рисунок 2). Тогда

Теперь докажем, что точка совпадает с точкой С. Данное доказательство называют леммой к теореме Менелая.

Лемма . Пусть А и В - две различные точки. Тогда для любого k > 0, k≠1 на прямой AB существуют две и только две точки M и N такие, что , причем одна из этих точек принадлежит отрезку AB, а другая лежит вне отрезка AB.

Доказательство . Введем на прямой AB координаты, приняв точ¬ку А за начало координат (см. рисунок 3). Пусть для определенности k > 1. Координата искомой точки U, лежащей внутри отрезка AB, удовлетворяет уравнению: , откуда.

Теорема Чевы

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки (см рисунок 1)

При каком расположении этих точек прямые AA , BB и CC пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.).

Теорема : : Пусть точки лежат соответственно на сторонах ВС, АС и ВА треугольника АВС (рис. 2). Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство :

Доказательство . Пусть отрезки , и пе ресекаются в точке М внутри треугольника АВС. Обозначим через площади треугольни ков АМС, СМВ и АМВ, а через- расстояния соответственно от точек А и В до прямой МС.

Аналогично, .

Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в справедливости теоремы.

Теорема Чевы в форме синусов .

В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки O и в случае внешней точки O- условие . . =1 можно записать также в виде: . . =1

Доказательство : можно воспользоваться равенствами:

Перемножая (1), (2), (3), получаем . . =1

Пространственное обобщение теоремы Чевы.

Теорема . Пусть М-точка внутри тетраэдра ABCD, - точки пересечения плоскостей CMD, AMD, АМВ и СМВ с ребрами (см. рисунок 3) АВ, ВС, CD и DA соответственно. Тогда

Обратно, если для точек, лежащих на соответствующих р ебрах, выполнено соотношение, то плоскости , , и проходят через одну точку .

Доказательство необходимости легко получить, если заметить, что точки (см. рисунок 3) лежат в одной плоскости (это плоскость, проходящая через прямые и , пересекающиеся в точке М), и применить теорему Менелая.

Обратная теорема доказывается так же, как и обратная теорема Менелая в пространстве: нужно провести плоскость через точки A1, B1, С1 и доказать с помощью леммы, что эта плоскость пересечет ребро DA в точке D1.

Следствия теорем ы Чевы

Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство . Проведем доказательство, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA, BB,CC – медианы ABC (рис.20) . Так как AC=CB, BA=AC, AB=BC, то =1, = 1, = 1. Тогда . . , т.е. для точек A,B,C, лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие . . =1 ; по теореме Чевы AA, BB,CC пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).

Рассмотрим BBC, точки A,O,A лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB,BC и продолжение стороны BC (в дальнейшем будем называть ее секущей). A BC, O BB, ABC.

По теореме Менелая, =.

Следствие 2 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:

так как AA – биссектриса, то = ; так как BB- биссектриса, то ; так как СС – биссектриса, то . Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим . . = . . = 1, то есть для точек A, B, C выполняется равенство Чевы, значит, AA, BB,CC пересекаются в одной точке.

Следствие3 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Доказательство : Пусть AA, BB,CC – высоты ABC .

1) Если ABC остроугольный (рис. 22), то точки A, B, C лежат на его сторонах. ACC -прямоугольный, AC = AC cosA;

BCC- прямоугольный, BC = BC cosB; BAA – прямоугольный, BA= AB cosB;

AAC- прямоугольный, AC=AC cosC; CB=CB cosC; AB= AB cosA.

Тогда..== 1. А так как условие () выполняется, то

2) Пусть ABC – тупоугольный (рис.23). Это случай внешней точки O. Из ACC AC=ACcosA; изСBC CB=CB cos (180-B)= -CB cosB (угол B тупой) ;

из ABA BA=AB cos(180-B)=-AB cosB; аналогично,

AB=AB cosA; BC= BC cosC; AC= AC cosC; CB=CBcosC.

Так как условие Чевы выполняется, то AA, BB, CC пересекаются в одной точке или параллельны (глава1). Но если бы они были параллельны, то и перпендикулярные к ним прямые, то есть стороны треугольника ABC, были бы параллельны друг другу, но это не так. Значит, прямые AA,BB,CC пересекаются в одной точке.

3) Если ABC прямоугольный, С=90(рис.3) , то очевидно, что высоты BC,AC,CC пересекаются в точке С. Следствие 3 доказано.

Следствие4 . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим серединный MNK(вершины-середины сторон ABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK||AC, NM||BC, KM||AB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты MNK. А в MNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Таким образом, теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.

Рассмотрим еще одно следствие из теоремы Чевы.

Следствие 5 . Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).

Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB=AC=x, CB=BA=y, AC=BC=z.

, по теореме Чевы AA, BB, CC пересекаются в одной точке.

Применение теорем Чевы и Менелая для решения геометрических задач.

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач Задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью этих теорем.

Задача 1 . В треугольнике ABC , описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A и C – точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB . Q –точка пересечения отрезков AA и BH ,где BH - высота. Найдите отношение BQ : QH .

Решение :

Треугольник ABC – разносторонний, значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку касания, лежащую на стороне AC, буквой B.

1. Пусть CB = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):

BA=x, AC=BC=12-x, AC=AB=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, CB =BA= 8, AC=AB= 5, CA=CB=4.

2. По формуле Герона

S=, BH =, BH = .

3. Из треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора

4. В треугольнике CBH прямая AA пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

1, ..=1, ..=1, = .

Ответ : 162:53.

Задача 2 . Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые BM и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .

Решение : если MD=b , то AM=pb ; если NC = a , то DN = aq .

Пусть B – точка пересечения прямых BM и CD.

MBD ~ BBC, тогда;

; 1+ p = ; x = .

Прямая BB пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая

Задача 3 . Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами , и . Причем на продолжении ребра взята точка так, что . Через точки , и середину ребра проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?

Решение:

1) Построение сечения:

а) , соединяемMB, .

б) , соединяем, .

в) , соединяем.

г) четырехугольник – искомое сечение.

2) Пусть, – объемы нижней части, верхней части и всей призмы, – высота призмы, – сторона основания.

MLA ~ ;

Рассмотрим ABC , – секущая, .

По теореме Менелая.

– части приходится на. .

Ответ : 13:23

Заключение

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.

Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

Теоремы Чевы и Менелая помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

Список используемой литературы.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с.

2. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский дом «Первое сентября», 2004, – №13. – с.23-26

3. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека

«Математическое просвещение» – М.: Издательство Московского центра

непрерывного математического образования, 2002. – 32с.