Уравнения максвелла для электромагнитных волн. Волновое уравнение

Используем формулу Стокса , согласно которой циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся на этот контур. Тогда:

Пусть S — произвольная неизменная во времени поверхность, ограниченная контуром L. Тогда система уравнений (1.2.7) перепишется так:

Поскольку контур интегрирования в полученных интегралах произволен, равенство нулю интегралов возможно только при равенстве нулю подынтегральных выражений. Тогда:

Уравнения (1.3.2) и есть уравнения Максвелла.

В большей части курса мы будем рассматривать поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону:

Для которых принята комплексная форма записи:

Где — комплексная амплитуда. При комплексной форме записи гармонических полей производная по времени заменяется умножением на .

Тогда уравнения Максвелла (1.3.2) для полей, изменяющихся по гармоническому закону, принимают вид:

Найдем решение уравнений Масквелла для простейшего случая распространения электромагнитной волны в вакууме.

В вакууме , . Поэтому для вакуума уравнения Максвелла (1.3.4) принимают вид:

Исключим Из (1.3.5). Для этого применим операцию Rot К обеим частям первого уравнения: . Теперь подставим значение из второго уравнения. В результате получим:

Используем известное соотношение векторной алгебры

Вспомним, что в соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского

И учтем, что в вакууме свободных зарядов нет (т. е. ). Подставим (1.3.8) и (1.3.7) в (1.3.6). В результате получаем:

Полученное уравнение носит название Волновое уравнение . Аналогичным образом можно получить волновое уравнение относительно вектора магнитного поля .

Наиболее наглядным решением волнового уравнения является сферическая волна, распространяющаяся вокруг точечного излучателя. Чтобы получить решение для сферической волны, нужно представить оператор Лапласа в уравнении (1.3.9) в сферической системе координат, что приведет к достаточно громоздким математическим выражениям. С целью упрощения математических процедур мы рассмотрим решение волнового уравнения для плоской волны, являющейся функцией одной координаты.

Рис.1.3.1. показана схема расположения силовых линий сферической электромагнитной волны. Рисунок иллюстрирует тот факт, что на больших расстояниях от излучателя электромагнитное поле можно рассматривать как плоскую волну, распространяющуюся вдоль направления, перпендикулярного плоскости постоянной фазы, причем характеристики волны зависят только от одной координаты вдоль направления распространения. Несмотря на то, что в общем случае волна имеет сферическую симметрию, в ограниченной области, обозначенной квадратом, можно говорить о плоской волне, характеристики которой зависят только от одной координаты.

Примем во внимание, что одномерный оператор Лапласа имеет следующий вид:

И получим одномерное волновое уравнение для плоской волны:

Рис.1.3.1. Схема силовых линий напряженности электрического и магнитного полей сферической электромагнитной волны.

Любое дифференциальное уравнение приобретает физический смысл, если заданы граничные условия для его решения. Решение уравнения (1.3.11) получается в виде двух волн, распространяющихся вдоль положительного и отрицательного направлений оси z. Примем в качестве граничных условий утверждение, что в рассматриваемой среде плоская волна может распространяться только в одном направлении. Итак, мы имеем решение уравнения (1.3.11) для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси z:

Фаза волны:

Где K — волновое число (в общем случае волновой вектор).

Фиксированная ориентация вектора напряженности поля вдоль заданной координатной оси носит название Поляризации волны . Соотношение (1.3.12) задает поляризацию напряженности электрического поля вдоль оси Х .

На рис.1.3.2. показано положение плоскости постоянной фазы для двух моментов времени.

Рис.1.3.2. Движение плоскости постоянной фазы.

Для плоскости постоянной фазы (φ = const), которая движется вдоль оси z, ее производная по времени равна нулю:

В соответствии с (1.1.26) получаем:

Где - скорость движения поверхности неизменной фазы или Фазовая скорость.

Подставив (1.3.12) в (1.3.11) получим

И, сократив , получим Дисперсионное уравнение для плоской волны в свободном пространстве :

Или (1.3.16)

Разные знаки в выражении для K соответствуют волнам, распространяющимся вдоль оси Z в разных направлениях. В соответствии с (1.3.14):

В свободном пространстве , где C — скорость света.

Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что скорость света в свободном пространстве определяется диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума:

Диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума – это характеристики пространства, связанные со статическими полями. Первая из них характеризует только диэлектрические свойства среды. А вторая – только магнитные свойства. Результат решения уравнений Масквелла, представленный формулой (1.3.18), связывает воедино электростатику, магнитостатику и динамический процесс распространения света.

Действительно, диэлектрическую проницаемость можно получить экспериментально путем измерения силы взаимодействия двух известных зарядов Q1 и Q2 расположенных на расстоянии R друг от друга:

(закон Кулона).

.

Магнитную проницаемость можно получить, измерив силу взаимодействия двух проводников длиной и с током и соответственно, расположенных на расстоянии R друг от друга:

(закон Био-Савара-Лапласа)

Таким образом, из статического эксперимента можно получить численное значение .

Следовательно, уравнения Максвелла позволяют выразить скорость света через характеристики, полученные с помощью статических измерений.

Уравнения Максвелла связывают воедино электрическое поле, магнитное поле и электромагнитные волны (свет). Создание концепции электромагнитного поля и формулировка уравнений, его описывающих, послужили одной из важнейших отправных точек физики XX века.

Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда. 3. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отчета. 4. Уравнения Максвелла симметричны.

6.3.4. Электромагнитные волны

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать самостоятельно, без электрических зарядов и токов. Изменяющееся электромагнитное поле имеет волновой характер и распространяется в вакууме в виде электромагнитных волн со скоростью света.

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла, которые описываются волновыми уравнениями для векторов исоответственно:

, (5.19)

Изменение во времени магнитного поля возбуждает переменное электрическое поле и, наоборот, изменение во времени электрического поля возбуждает переменное магнитное поле. Вихревое электрическое поле, индуцированное переменным магнитным полем , образует с векторомлевовинтовую систему (рис. 7.2), а вихревое магнитное поле, индуцированное электрическим полем, образует с векторомправовинтовую систему (рис. 5.2).

Происходит непрерывное их взаимопревращение, что и дает возможность

существовать и распространяться им в пространстве и времени при отсутствии зарядов и токов.

Таким образом, теория Максвелла не только предсказала существование электромагнитных волн, но и установила их важнейшие свойства:

Скорость распространения электромагнитной волны в нейтральной непроводящей и неферромагнитной среде

(5.20)

где c  скорость света в вакууме.

Рис. 5.3 Рис. 5.4

существует связь, а именно: Е = vB или
. (5.21)

Существование электромагнитных волн позволило Максвеллу объяснить волновую природу света. Свет  это электромагнитные волны.

6.3.5. Поток энергии электромагнитного поля

При распространении электромагнитных волн в пространстве и времени они несут с собой энергию. Она заключена во взаимно превращающихся электрическом и магнитном полях.

Объемная плотность энергии электрического поля

, (5.22)

где Е  напряженность электрического поля.

Объемная плотность энергии магнитного поля

, (5.23)

где В  индукция магнитного поля.

Следовательно, объемная плотность энергии электромагнитного поля в той области пространства, где находится в произвольный момент времени электромагнитная волна,

W = w э + w м =
. (5.24)

Или с учетом того, что Е = сВ и
, имеем

w =  o E 2 , (5.25)

или
. (5.26)

Энергию, переносимую электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадку, называют плотностью потока электромагнитной энергии. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называют вектором Пойнтинга.

Направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением распространения электромагнитной волны, т. е. с направлением переноса энергии. Скорость переноса энергии равна фазовой скорости этой волны.

Если электромагнитная волна при распространении проходит сквозь некотoрую площадку S, перпендикулярную к направлению распространения ее, например, вдоль оси Х, то за некоторый промежуток времени dt волна пройдет расстояние dx = cdt, где с  скорость распространения волны.

Так как объемная плотность энергии электромагнитной волны

то полная энергия dW электромагнитной волны, заключенная в объеме

dW = wdV =  o E 2 cdtS. (5.27)

Следовательно, плотность потока электромагнитной энергии, проходящей через площадку S за время dt

. (5.28)

Вектор Пойнтинга совпадает по направлению со скоростью распространения электромагнитной волны, которая перпендикулярна и , т. е.

. (5.29)

Система уравнений Максвелла включает в себя четыре основных уравнения

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Эта система дополняется тремя материальными уравнениями, определяющими связь между физическими величинами, входящими в уравнения Максвелла:

(3.5)

Вспомним физический смысл этих математических фраз.

В первом уравнении (3.1) утверждается, что электростатическое поле может быть создано только электрическими зарядами.В этом уравнении- вектор электрического смещения, ρ - объемная плотность электрического заряда.

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Как свидетельствует эксперимент, поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю (3.2)

Сопоставление уравнений (3.2) и (3.1) позволяет сделать вывод о том, что магнитные заряды в природе отсутствуют.

Огромный интерес и важность представляют уравнения (3.3) и (3.4). Здесь рассматриваются циркуляции векторов напряженности электрического () и магнитного () полей по замкнутому контуру.

В уравнении (3.3) утверждается, что переменное магнитное поле () является источником вихревого электрического поля ().Это не что иное, как математическая запись явления электромагнитной индукции Фарадея.

В уравнении (3.4) устанавливается связь магнитного поля и переменного электрического. Согласно этому уравнению магнитное поле может быть создано не только током проводимости (), но и переменным электрическим полем.

В этих уравнениях:

- вектор электрического смещения,

H - напряженность магнитного поля,

E - напряженность электрического поля,

j - плотность тока проводимости,

μ - магнитная проницаемость среды,

ε -диэлектрическая проницаемость среды.

1. Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных волн

В прошлом семестре, завершая рассмотрение системы уравнений классической электродинамики Максвелла, мы установили, что совместное решение двух последних уравнений (о циркуляции векторов и) приводит к дифференциальному волновому уравнению.

Так мы получили волновое уравнение «Y» волны:

. (3.6)

Электрическая компонента y – волны распространяется в положительном направлении оси X с фазовой скоростью

(3.7)

Аналогичное уравнение описывает изменение в пространстве и во времени магнитного поля y – волны:

. (3.8)

Анализируя полученные результаты, можно сформулировать ряд свойств, присущих электромагнитным волнам.

1. Плоская «y» - волна является линейно поляризованной поперечной волной. Векторы напряженности электрического (), магнитного () поля и фазовой скорости волны () взаимно перпендикулярны и образуют «правовинтовую» систему (рис.3.1).

2. В каждой точке пространства компонента волны H z пропорциональна напряженности электрического поляE y:

Здесь знаку «+» соответствует волна, распространяющаяся в положительном направлении оси X. Знак «-» - в отрицательном.

3. Электромагнитная волна движется вдоль оси X с фазовой скоростью

Здесь
.

При распространении электромагнитной волны в вакууме (ε = 1, μ = 1) фазовая скорость

Здесь электрическая постоянная ε 0 = 8.85 · 10 -12

магнитная постоянная μ 0 = 4π · 10 -7

.

.

Совпадение скорости электромагнитной волны в вакууме со скоростью света стало первым доказательством электромагнитной природы света.

В вакууме упрощается связь напряженности магнитного и электрического полей в волне.

.

При распространении электромагнитной волны в диэлектрической среде (μ = 1)
и
.

В основе теории Максвелла лежат рас­смотренные четыре уравнения:

1. Электрическое поле мо­жет быть как потенциальным (e q), так и вихревым (Е B), поэтому напряженность суммарного поля Е =Е Q +Е B . Так как циркуляция вектора e q равна нулю, а циркуляция вектора Е B оп­ределяется выражением, то цир­куляция вектора напряженности суммар­ного поляЭто уравнение показывает, что источни­ками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняю­щиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н : Это уравнение показывает, что магнит­ные поля могут возбуждаться либо дви­жущимися зарядами, либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D : Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плот­ностью, то формула запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В: Итак,полная система уравнений Максвел­ла в интегральной форме: Величины, входящие в уравнения Мак­свелла, не являются независимыми и меж­ду ними существует следующая связь:D = 0 E , В=  0 Н, j =E , где  0 и  0 - соответственно электриче­ская и магнитная постоянные,  и  - соответственно диэлектрическая и магнит­ная проницаемости,  - удельная прово­димость вещества.

Для стационарных полей (Е= const и В =const) уравнения Максвелла при­мут вид т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электри­ческие заряды, источниками магнитно­го - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электриче­ское и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса можно представитьполную систему урав­нений Максвелла в дифференциальной форме :

Уравнения Максвелла - наиболее об­щие уравнения для электрических и маг­нитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в ме­ханике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда свя­зано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнит­ным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.

66. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Плоские электромагнитные волны.

Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создаю­щих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электро­магнитного поля удовлетворяют волново­му уравнению типа:

-оператор Лапласа.

Т.е. электро­магнитные поля могут су­ществовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением (1) v - фазовая ско­рость, где с= 1/ 0  0 ,  0 и  0 - соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при =1 и =1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как > 1, то скорость распространения электро­магнитных волн в веществе всегда мень­ше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распростра­нения электромагнитного поля по формуле (1) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с эксперименталь­ными данными, если учитывать зависи­мость  и , от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в со скоростью распространения света в вакуу­ме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явле­ниями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электро­магнитные волны.

Следствием теории Максвелла являет­ся поперечность электромагнитных волн: векторыЕ и Н напряженностей электриче­ского и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (рис. 227) и лежат в плос­кости, перпендикулярной вектору v скоро­сти распространения волны, причем векто­ры Е , Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне век­торы Е и Н всегда колеблются в одина­ковых фазах (см. рис. 227), причем мгно­венные значения £ и Я в любой точке связаны соотношением  0 = 0 Н. (2)

Этим уравнениям удов­летворяют, в частности, плоскиемонохро­матические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями Е у =Е 0 cos(t-kx+), (3) H z = H 0 cos (t-kx+), (4), где е 0 и Н 0 - соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны,  - круговая частота волны, k=/v- волновое число, - начальные фазы колебаний в точках с ко­ординатой х= 0. В уравнениях (3) и (4)  одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.

Общая форма записи волнового процесса

Определение 1

Допустим, что физическая величина $s$ распространяется в направлении $X$ со скоростью $v$. Данная величина ($s$) может быть смещением, скоростью кусочков резинового шнура, когда в шнуре проходит механическая волна. Если мы имеем дело с электромагнитной волной, то под $s$ можно понимать напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля и т.д. Общая форма записи волнового процесса представляется как:

где $t$ -- время, $x$ -- координата точки, которую рассматривают, $f$ - символ функции.

Любая произвольная функция, имеющая исключительно аргумент $\left(t-\frac{x}{v}\right)$, отражает волновой процесс.

Положим, что наблюдатель перемещается по $оси X$ со скоростью $v$. Его координата может быть определена как:

Подставим правую часть выражения (2) в формулу (1) вместо переменной $x$, получим:

Из выражения (3) следует, что функция $f\left(-\frac{x_0}{v}\right)$ не зависит от времени, что означает $s$ распространяется со скоростью $v$.

Аналогично можно получить, что если процесс записан как:

то $s$ распространяется против избранной $оси X$. Если положить, что $t=0$, то из выражений (1) и (4) имеем:

Выражение (5) определяет распределение $s$ в начальный момент времени. В том случае, если $s$ напряженность магнитного поля в электромагнитной волне, то формула (5) - задает распределение магнитного поля в пространстве при $t=0$. Получается, что вид функции $f$ зависит от начальных условий процесса.

Итак, выражения (1) и (4) являются общим выражением для волны, которая распространяется вдоль $оси X$.

Волновое уравнение

Определение 2

Функция $s$ удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Для его нахождения продифференцируем выражения (1) и (4), объединив их, используя знак $\mp $, дважды по координате $x$:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}f^{""}\left(6\right).\]

Вторая частная производная по времени будет иметь вид:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=f^{""}\left(7\right).\]

Используя выражения (6) и (7) запишем:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2s}{\partial x^2}\left(8\right).\]

Уравнение (8) называют волновым . В том случае, если волна распространяется не в одном, во всех направлениях пространства, то волновое уравнение примет вид:

\[\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^2s}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2s}{\partial z^2}\right)\left(9\right).\]

Замечание

В том случае, если физическая величина распространяется в виде волны, то она должна удовлетворять волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: Если какая - либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных.

Электромагнитные волны

Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике ($j_x=j_y=j_z=0$). Причем будем считать задачу одномерной, то есть предположим, что векторы $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ зависят только от одной координаты $x$ и времени $t$. Такая ситуация означает, что все пространство мы можем разделить на тонике слои (толщина слоя стремится к нулю), плоские слои, внутри них $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$ принимают одно и тоже значение во всех точках. Данная задача соответствует плоской электромагнитной волне. Для описания электромагнитного поля используем систему уравнений Максвелла:

Для одномерного случая система уравнений Максвелла существенно упрощается, так как все производные по $y$ и $z$ равны нулю. Записав уравнение (10) в скалярном представлении:

Становится очевидным, что в однородной среде для одномерного случая:

Аналогично из уравнения (11) получаем, что:

Выражения (15) и (16) означают, что данные составляющие электромагнитного поля не зависят от времени. А из уравнений (12) и (13) следует, что $D_x$и $B_x$ - не зависят от координаты. В результате мы имеем, что $D_x=const,\ B_x=const$.

Остальные уравнения из группы (14) примут вид:

От группы уравнений в скалярной форме, которые представляют выражение (11), остаются:

Уравнения (17) и (18) сгруппируем как две независимые части. Первая - связывающая $y$-составляющую электрического поля и $z$-составляющую магнитного поля:

Вторая часть связывает $z$-компоненту электрического поля и $y$-компоненту магнитного поля:

Получается, что переменное (во времени) электрическое поле ($D_y$) порождает одну $z$-составляющую магнитного поля ($H_z$), переменное магнитное поле $B_z$ вызывает появление электрического поля направленного по $оси Y$ ($E_y$) (уравнения 19). То есть в электромагнитном поле электрическое и магнитные поля перпендикулярны друг другу. Аналогичный вывод можно сделать из пары (20).

Для одномерного случая систему уравнений Максвелла можно записать в виде:

Электрическое и магнитные поля могут существовать как волны, так как из уравнения Максвелла следует существование этих волн. Так как для напряженности электрического поля выполняется уравнение вида:

Следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Так как для напряженности магнитного поля выполняется уравнение вида:

следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Пример 1

Задание: Покажите, на примере одномерного случая электромагнитного поля, что из уравнений Максвелла следует волновой характер электромагнитного поля.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем уравнения Максвелла для одномерного случая:

\[\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x},\ \frac{\partial B}{\partial t}=-\frac{\partial E}{\partial x}\left(1.1\right).\]

Исключим из уравнений (1.1) магнитное поле $H$. С этой целью умножим первое уравнение на $\mu {\mu }_0$ и возьмем частную производную по времени от обеих частей равенства и, используя выражение: $D=\varepsilon_0\varepsilon E$, заменим электрическую индукцию на напряженность соответствующего поля, получим:

\[{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.2\right).\]

Второе уравнение в группе (1.1) продифференцируем по $x$, заменим индукцию магнитного поля на его напряженность, используя выражение: $B=\mu {\mu }_0H$, при этом имеем:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}=-\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2H}{\partial x\partial t}\left(1.3\right).\]

Как мы видим, правые части выражений (1.2) и (1.3) одинаковы, следовательно, можно считать, что:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}={\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon \ \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}\to \frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(1.4\right).\]

Аналогичное уравнение легко получить для напряженности магнитного поля, если исключить напряженность электрического поля. Уравнение (1.4) -- есть волновое уравнение.

Ответ: Волновое уравнение для напряженности электрической составляющей электромагнитного поля получено непосредственно из уравнений Максвелла для одномерной задачи.

Пример 2

Задание: Чему равна скорость ($v$) распространения электромагнитной волны ?

Решение:

За основу решения примем волновое уравнение для напряженности электрического поля в плоской электромагнитной волне:

\[\frac{{\partial }^2E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\mu {\mu }_0\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}\left(2.1\right).\]

Скоростью распространения волны является корень квадратный из коэффициента, который находится перед $\frac{{\partial }^2E}{\partial x^2}$ в волновом уравнении, следовательно:

где $c$ -- скорость распространения света в вакууме.

Ответ: $v=\frac{c}{\sqrt{\mu \varepsilon}}.$