Векторный потенциал магнитного поля.

Из теоремы Гаусса для векторного поля в дифференциальной форме следует, что поле можно представить в виде ротора вспомогательного векторного поля , называемого векторным потенциалом:

поскольку . Заметим, что описываемая возможность проявляется и при анализе закона Био-Савара-Лапласа (уравнение 2 из раздела 6.1) с учётом соотношения (7) раздела 6.4. Это естественно, поскольку теорема Гаусса для векторного поля магнитной индукции является следствием закона Био-Савара-Лапласа. Физический смысл в магнитостатике приписывают векторному полю , поэтому векторный потенциал, вообще говоря, определен с точностью до градиента любой скалярной функции. Действительно, если , где - скалярное поле, и , то имеем: , то есть для , поскольку . Произвол в определении векторного потенциала можно использовать, потребовав дополнительно выполнения условия

Условие (2) называют “кулоновской калибровкой векторного потенциала магнитного поля”. Условие (2) влечет за собой далеко идущие последствия, поэтому весьма важным является вопрос, во всех ли случаях магнитное поле обладает указанными свойствами. Пусть выполнено условие

, .

Потребуем выполнения условия (2):

Для искомой скалярной функции получено уравнение Пуассона с известной правой частью. Если рассмотреть его в безграничном пространстве и использовать однородные граничные условия первого рода на бесконечности для искомой функции, то по аналогии с одним из основных результатов электростатики

можно записать

.

Таким образом, показано, что кулоновская калибровка векторного потенциала выполнима в условиях магнитостатики. Её практическое использование требует известной осторожности: если кулоновская калибровка векторного потенциала применяется, надо проследить её выполнение последовательно во всех математических соотношениях задачи, описывающих реальную физическую ситуацию.

Из закона Био-Савара-Лапласа и соотношения (4) раздела 6.1 следует, что магнитное поле, образованное отдельным точечным электрическим зарядом , движущимся с постоянной скоростью , имеет вид:

. (2)

Здесь - радиус-вектор мгновенного положения электрического заряда, - радиус-вектор произвольной точки пространства, разность является вектором, проведённым из конца вектора (т.е. из точки расположения заряда) в конец вектора (т.е. в описываемую точку пространства).

Векторный потенциал такого поля можно описать выражением:

. (3)

В современной магнитостатике не существует методики вывода выражения (3), его необходимо просто угадать, но зато можно проверить:

Напомним читателю, что операция rot в соотношениях (4) выполняется по нештрихованным переменным, т.е. по координатам произвольной точки пространства. Сравнивая между собой выражение (3) для векторного потенциала и выражение для скалярного потенциала электростатического поля отдельного точечного электрического заряда

, (5)

получаем зависимость:

. (6)

Зависимость (6) имеет глубокий физический смысл: электростатика и магнитостатика являются внутренне связанными между собой, не надо думать, что они полностью независимы друг от друга.

Из соотношений (5) и (3) можно получить:

, (7)

, (8)

где - объемная плотность электрического заряда, - вектор объемной плотности тока, - элемент объема, - расстояние между элементом объёма и точкой наблюдения. Если электрический ток течёт по тонкому проводнику, элемент кривой линии с током генерирует в окружающем пространстве элемент векторного потенциала (рис. 1).

Которого равен заданному векторному полю.

Формально, если v - векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

$\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{A\}.$

Если A является векторным потенциалом для поля v , то из тождества

$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{A\})\; =\; 0$

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле - в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

$\backslash mathbf\{v\}\; :\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^3$

Неоднозначность выбора потенциала

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v , также им является

$\backslash mathbf\{A\}\; +\; \backslash nabla\; m$

где m - любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки .

Векторный потенциал в физике

Уравнения Максвелла

Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии , векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса . Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.

См. также

Напишите отзыв о статье "Векторный потенциал"

Отрывок, характеризующий Векторный потенциал

Прошло четыре недели с тех пор, как Пьер был в плену. Несмотря на то, что французы предлагали перевести его из солдатского балагана в офицерский, он остался в том балагане, в который поступил с первого дня.
В разоренной и сожженной Москве Пьер испытал почти крайние пределы лишений, которые может переносить человек; но, благодаря своему сильному сложению и здоровью, которого он не сознавал до сих пор, и в особенности благодаря тому, что эти лишения подходили так незаметно, что нельзя было сказать, когда они начались, он переносил не только легко, но и радостно свое положение. И именно в это то самое время он получил то спокойствие и довольство собой, к которым он тщетно стремился прежде. Он долго в своей жизни искал с разных сторон этого успокоения, согласия с самим собою, того, что так поразило его в солдатах в Бородинском сражении, – он искал этого в филантропии, в масонстве, в рассеянии светской жизни, в вине, в геройском подвиге самопожертвования, в романтической любви к Наташе; он искал этого путем мысли, и все эти искания и попытки все обманули его. И он, сам не думая о том, получил это успокоение и это согласие с самим собою только через ужас смерти, через лишения и через то, что он понял в Каратаеве. Те страшные минуты, которые он пережил во время казни, как будто смыли навсегда из его воображения и воспоминания тревожные мысли и чувства, прежде казавшиеся ему важными. Ему не приходило и мысли ни о России, ни о войне, ни о политике, ни о Наполеоне. Ему очевидно было, что все это не касалось его, что он не призван был и потому не мог судить обо всем этом. «России да лету – союзу нету», – повторял он слова Каратаева, и эти слова странно успокоивали его. Ему казалось теперь непонятным и даже смешным его намерение убить Наполеона и его вычисления о кабалистическом числе и звере Апокалипсиса. Озлобление его против жены и тревога о том, чтобы не было посрамлено его имя, теперь казались ему не только ничтожны, но забавны. Что ему было за дело до того, что эта женщина вела там где то ту жизнь, которая ей нравилась? Кому, в особенности ему, какое дело было до того, что узнают или не узнают, что имя их пленного было граф Безухов?
Теперь он часто вспоминал свой разговор с князем Андреем и вполне соглашался с ним, только несколько иначе понимая мысль князя Андрея. Князь Андрей думал и говорил, что счастье бывает только отрицательное, но он говорил это с оттенком горечи и иронии. Как будто, говоря это, он высказывал другую мысль – о том, что все вложенные в нас стремленья к счастью положительному вложены только для того, чтобы, не удовлетворяя, мучить нас. Но Пьер без всякой задней мысли признавал справедливость этого. Отсутствие страданий, удовлетворение потребностей и вследствие того свобода выбора занятий, то есть образа жизни, представлялись теперь Пьеру несомненным и высшим счастьем человека. Здесь, теперь только, в первый раз Пьер вполне оценил наслажденье еды, когда хотелось есть, питья, когда хотелось пить, сна, когда хотелось спать, тепла, когда было холодно, разговора с человеком, когда хотелось говорить и послушать человеческий голос. Удовлетворение потребностей – хорошая пища, чистота, свобода – теперь, когда он был лишен всего этого, казались Пьеру совершенным счастием, а выбор занятия, то есть жизнь, теперь, когда выбор этот был так ограничен, казались ему таким легким делом, что он забывал то, что избыток удобств жизни уничтожает все счастие удовлетворения потребностей, а большая свобода выбора занятий, та свобода, которую ему в его жизни давали образование, богатство, положение в свете, что эта то свобода и делает выбор занятий неразрешимо трудным и уничтожает самую потребность и возможность занятия.

В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:

На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом , а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал φ дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием φ. Мы покажем сейчас, что для нахождения поля В существует аналогичная процедура, если известна плотность тока j всех движущихся зарядов.

В электростатике, как мы видели (из-за того, что rot от Е везде равен нулю), всегда можно представить Е в виде градиента от скалярного поля φ. А вот rot от В не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция В везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить В в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить В через поле, которое мы обозначим А:

Или, расписывая компоненты:

Запись В=vхА гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно

Поле А называется векторным потенциалом .

Вспомним, что скалярный потенциал φ оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал φ, то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал φ′, добавив постоянную:

Новый потенциал φ′ дает те же электрические поля, потому что градиент vС есть нуль; φ′ и φ отвечают одной и той же картине.

Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов А, приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку В получается из А дифференцированием, то прибавление к А константы не меняет физики дела. Но для А свобода больше. Мы можем добавить к А любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть А, которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле В. Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал А′, будучи подставлен в (14.3), дает то же самое поле В. Значит, А и А′ имеют одинаковый ротор

Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем ψ, так что А′—A=vψ. Это означает, что если А есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом ψ

также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю В.

Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» А, накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал φ равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить А, наложив на него такое условие, чтобы дивергенция А чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая В. Так получается потому, что, хотя А′ и А имеют одинаковый ротор и дают одно и то же В, они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, v·A` = v·A+ v 2 ψ, и, подбирая соответствующее ψ, можно придать v·A′ любое значение.

Чему следует приравнять v·А? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатик и мы сделаем простой выбор

(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение А в данный момент есть vхА = В и v·А = 0.

Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля В 0 . Выбирая ось z в направлении В 0 , мы должны иметь

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть

Или с тем же успехом можно взять

Еще одно решение есть комбинация первых двух

Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не единственный; существует много возможностей.

Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку х-компонента пропорциональна -у, а y-компонента пропорциональна +х, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси z, который мы обозначим r′ (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна √x 2 + y 2 и, следовательно, пропорциональна r`. Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто

Векторный потенциал А равен по величине Вr′/2 и вращается вокруг оси z, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.

Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от vХА с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]

Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому

Итак, циркуляция А вдоль всякой петли равна потоку В сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r′ в плоскости, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен

Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной и функцией только от r′, то циркуляция будет равна

Как и раньше, получаем

Рассмотрим магнитное поле стационарного тока. Пусть плотность тока зависит только от координат и отлична от нуля в конечной области пространства. Поскольку стационарный ток не имеет источников, то

и линии плотности стационарного тока замкнуты. Электрическое поле такого статического распределения заряда определяется формулами § 27.

Магнитное поле стационарного тока согласно (25.03) удовлетворяет уравнениям

Последнее равенство показывает, что магнитное поле является вихревым. Поэтому можно положить

Вектор А называется векторным потенциалом магнитного поля. В случае стационарного поля А зависит только от координат точки.

Векторный потенциал однозначно определяет напряженность магнитного поля. Магнитное поле определяет векторный потенциал с точностью до градиента некоторого скаляра. Действительно, векторный потенциал А, равный

где некоторый скаляр, определяет то же самое поле:

Векторный потенциал можно сделать однозначным, если наложить на него добавочное условие

называемое условием калибровки. Условие калибровки всегда может быть выполнено: если то всегда можно подобрать функцию такую, что

Для определения векторного потенциала подставим В из (34.03) в первое уравнение (34.02). Тогда

В силу условия калибровки (34.05)

Это уравнение определяет векторный потенциал по заданному распределению тока. Оно аналогично уравнению Пуассона (27.01) для скалярного потенциала. Так как функция Грина для оператора Лапласа определена в § 27, то решение (34.06) можно написать сразу

Убедимся, что условие калибровки (34.05) удовлетворяется. Обозначим через V оператор, взятый по координатам точки наблюдения а через V - оператор, взятый по координатам точки источника Заметим, что в применении к функциям от

Которого равен заданному векторному полю.

Формально, если v - векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

Если A является векторным потенциалом для поля v , то из тождества

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле - в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

Неоднозначность выбора потенциала

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v , также им является

где m - любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки .

Векторный потенциал в физике

Уравнения Максвелла

Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии , векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса . Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.

См. также

• Вектор Герца

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Векторный потенциал" в других словарях:

Потенциал, определяющий вихревую часть векторного ноля. В электродинамике поле магн. индукции В является строго вихревым; для этого поля вводят векторный потенциал А(В = rot A) … Естествознание. Энциклопедический словарь

векторный потенциал - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN vector potential … Справочник технического переводчика

векторный потенциал - вихревой потенциал скорости; отрасл. векторный потенциал Векторная функция А, ротор которой равен скорости вихревого движения жидкости … Политехнический терминологический толковый словарь

векторный потенциал - vektorinis potencialas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis A, kurio rotorius lygus magnetinio srauto tankiui, t. y. B = rot A. atitikmenys: angl. magnetic vector potential vok. Vektorpotential, n rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas