Основные понятия. Теоремы сложения и умножения.
Формулы полной вероятности, Бейеса, Бернулли. Теоремы Лапласа.
Вопросы
- Предмет теории вероятности.
- Виды событий.
- Классическое определение вероятности.
- Статистическое определение вероятности.
- Геометрическое определение вероятности.
- Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
- Теорема умножения вероятностей независимых событий.
- Условная вероятность.
- Умножение зависимых событий.
- Сложение совместных событий.
- Формула полной вероятности.
- Формула Бейеса.
13. Биноминальный, полиномиальный закон распределения .
- Предмет теории вероятностей. Основные понятия.
Событием в теории вероятностей называют всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания).
Например: Стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие. События принято обозначать
Единичное случайное событие – следствие очень многих случайных причин, которые очень часто невозможно учесть. Однако, если рассматривать массовые однородные события (многократно наблюдающиеся при осуществлении опыта в одних и тех же условиях), то они оказываются подчиняются определенным закономерностям: если бросать монету в одних и тех же условиях большое число раз, можно с небольшой погрешностью предсказать, что число появлений герба будет равно половине числа бросков.
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Методы теории вероятностей широко применяются в теориях надежности, стрельбы, автоматического управления и т.д. Теория вероятности служит обоснованием математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и т.д.
Определения.
1. Если в результате опыта событие
а) всегда произойдет, то - достоверное событие,
б) никогда не наступит, то - невозможные событие,
в) может произойти, то может и не произойти, то - случайное (возможное) событие.
2. События называются равновозможным, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не имеет больше шансов появиться в результате опыта, чем другие.
3. События и - совместные (несовместные), если появление одного из них не исключает (исключает) появление другого.
4. Группа событий совместна, если совместны хотя бы два события из это й группы, иначе – несовместна.
5. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно наступит одно из них.
Пример 1. По мишени производят три выстрела: Пусть - попадание (промах) при первом выстреле - при втором выстреле, - при третьем выстреле. Тогда
а) - совместная группа равновозможных событий.
б) - полная группа несовместных событий. - событие, противоположное .
в) - полная группа событий.
Классическая и статистическая вероятность
Классический способ определения вероятности применяется для полной группы равновозможных несовместных событий.
Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные и неблагоприятные.
Определение 2. Вероятностью события называют величину
где - число случаев, благоприятных появлению события , - общее число равно-возможных в данном опыте случаев.
Пример 2. Брошены две игральные кости. Пусть событие - сумма выпавших очков равна . Найти .
а) Ошибочное решение. Всего возможно 2 случая: и - полная группа несовместных событий. Благоприятен одни случай, т.е. 
Это ошибка, так как и не равновозможные.
б) Всего равновозможных случаев . Благоприятные случаи: выпадение
Слабыми сторонами классического определения являются:
1. - количество случаев конечно.
2. Результат опыта очень часто невозможно представить в виде совокупности элементарных событий (случаев).
3. Трудно указать основания, позволяющие считать случаи равновозможными.
Пусть произведено серия из испытаний.
Определение 3. Относительной частотой события называют величину
где - число испытаний, в которых появилось события , - общее число испытаний.
Длительные наблюдения показали, что в различных опытах при достаточно больших
Изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа, которое назовем статистической вероятностью.
Вероятность обладает следующими свойствами:
Алгебра событий
7.3.1Определения.
8. Суммой или объединением нескольких событий называется событие, состоящее хотя бы одного из них.
9. Произведением нескольких событий, называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Из примера 1. 
- хотя бы одно попадание при трех выстрелах, - попадание при первым и вторым выстрелах и промах при третьем.
Ровно одно попадание.
Не менее двух попаданий.
10. Два события называется независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.
11. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая линейная комбинация из остальных событий, есть события независимые.
12. Условной вероятностью 
называют вероятность события , вычисленного в предположении, что событие произошло.
7.3.2 Теорема умножения вероятностей.
Вероятность совместного появления (произведе-ния) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место
Следствие 1. Если - независимы в совокупности, то
Действительно: так как .
Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар , при третьем – синий шар , если
а) каждый раз шар возвращается в урну.
- в урне после первого испытания шаров из них 4 белых. . Отсюда
б) шар не возвращается в урну. Тогда - независимые в совокупности и
7.3.3 Теорема сложения вероятностей.
Вероятность появления хотя бы одного из событий равна
Следствие 2. Если события попарно несовместные, то
Действительно в этом случае
Пример 4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - , при втором - , при третьем - . Найти вероятность хотя бы одного попадания.
Решение. Пусть - попадание при первом выстреле, - при втором, - при третьем, - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда , где - совместные независимые в совокупности. Тогда
Следствие 3. Если попарно несовместные события образуют полную группу, то
Следствие 4. Для противоположных событий
Иногда при решении задач легче найти вероятность противоположного события. Например в примере 4 - промах при трех выстрелах. Так как независимые в совокупности, и то
Как было сказано выше, классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии. Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи в этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Предварительно введем понятие относительной частоты.
Относительной частотой события , или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда
где n – общее число опытов; m – число опытов, в которых появилось событие А .
При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно меняться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится 2 раза (частота 0,2), при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Статистическое определение вероятности: вероятностью события называют число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Свойство устойчивости частот, многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся опытом человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Между частотой события и его вероятностью существует глубокая связь, которую можно выразить так: когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике.
Геометрическая вероятность
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Для того чтобы преодолеть этот недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.
Допустим, что на плоскости задана квадрируемая область G , т.е. область, имеющая площадь S G . В области G содержится область g площади S g . В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и независящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – «попадание брошенной точки в область g », тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:
В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g , а меру области G – черезmes G ; пусть также А – событие «попадание брошенной точки в область g , которая содержится в области G ». Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G , определяется формулой
.
Задача . В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт в квадрат?
Решение.
Пусть радиус круга равен R
, тогда площадь круга равна . Диагональ квадрата равна , тогда сторона квадрата равна , а площадь квадрата равна . Вероятность искомого события определяется как отношение площади квадрата к площади круга, т.е. 
.
Контрольные вопросы
1. Что называется испытанием (опытом)?
2. Что называется событием?
3. Какое событие называется а) достоверным? б) случайным? в) невозможным?
4. Какие события называются а) несовместными? б) совместными?
5. Какие события называются противоположными?ываются а) несовместными б) совместнымиывается случайным?
6. Что называется полной группой случайных событий?
7. Если события не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?
8. Образуют ли события А и полную группу?
9. Какие элементарные исходы благоприятствуют данному событию?
10. Какое определение вероятности называется классическим?
11. В каких пределах заключена вероятность любого события?
12. При каких условиях применяется классическая вероятность?
13. При каких условиях применяется геометрическая вероятность?
14. Какое определение вероятности называется геометрическим?
15. Что называется частотой события?
16. Какое определение вероятности называется статистическим?
1. Из букв слова «консерватория» наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная. Найти вероятность, что это буква «о».
2. На одинаковых карточках написаны буквы «о», «р», «с», «т». Найти вероятность того, что на разложенных наудачу в ряд карточках появится слово «трос».
3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
4. Подбрасывается два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках больше 6.
5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово «молот»?
6. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?
7. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры таковы, что их произведение равно нулю.
8. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число является делителем 30.
9. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число кратно 3.
10. Наудачу выбрано число, не превосходящее 50. Найти вероятность того, что это число простое.
Показатель ранговой корреляции Кендалла, проверка соответствующей гипотезы о существенности связи.
2.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовемэлементарным исходом (элементарным событием) . Элементарные исходы обозначим через w 1 , w 2 , w 3 и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w 1 - появился белый шар; w 2 , w 3 - появился красный шар; w 4 , w 5 , w 6 - появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).
Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию A (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 .
Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих A; в нашем примере А наблюдается, если наступит w 2 , или w 3 , или w 4 , или w 5 , или w 6 . В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (A) = 5 / 6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,
Р (A) = m / n = n / n = 1.
С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,
Р (А) = m / n = 0 / n = 0.
С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей .
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
З а м е ч а н и е. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий w i , (i = 1, 2, ..., n). События w i , называют элементарными событиями (элементарными исходами) . Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называютпространством элементарных событий W, а сами элементарные события - точками пространства W.
Событие А отождествляют с подмножеством (пространства W), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество W, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножествW. Само W наступает при любом исходе испытания, поэтому W - достоверное событие; пустое подмножество пространства W - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).
Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент W.
Каждому элементарному исходу w i , ставят в соответствие положительное число p i - вероятность этого исхода, причем
По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей.
Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:
Р (А) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем
Р (А) = m / n.
Получено классическое определение вероятности.
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре-деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:
1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А.
2. Вероятность достоверного события равна единице:
3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.
3.Статическое определение вероятности, относительная частота.
Классическое определение не требует проведения опыта. В то время как реальные прикладные задачи имеют бесконечное число исходов, и классическое определение в этом случае не может дать ответа. Поэтому в таких задачах будем использовать статическое определение вероятностей , которое подсчитывают после проведения эксперимента или опыта.
Статической вероятностью w(A) или относительной частотой называют отношение числа благоприятных данному событию исходов к общему числу фактически проведенных испытаний.
w (A )=nm
Относительная частота события обладает свойством устойчивости :
limn →∞P (∣ ∣ nm −p ∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4.Геометрические вероятности.
При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной лебеговой меры на прямой, плоскости или пространстве. Событиями называются всевозможные измеримые подмножества множества .
Вероятность события А определяется формулой
где обозначает лебегову меру множества А. При таком определении событий и вероятностей все аксиомы А.Н.Колмогорова выполняются.
В конкретных задачах, которые сводятся к указанной выше вероятностной схеме, испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области , а событие А – как попадание выбранной точки в некоторую подобласть А области . При этом требуется, чтобы все точки области имели одинаковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т.д.
Понятие вероятности события относится к фундаментальным понятиям теории вероятностей. Вероятность - это количественная мера возможности появления случайного события А. Обозначается она Р(А) и имеет следующие свойства.
Вероятность есть положительное число, заключенное в интервале от нуля до единицы:
Вероятность невозможного события равна нулю
Вероятность достоверного события равна единице
Классическое определение вероятности. Пусть = { 1 , 2 ,…, n } - пространство элементарных событий, которые описывают все возможные элементарные исходы и образуют полную группу несовместных и равновозможных событий. Пусть событию А соответствует подмножество m элементарных исходов
эти исходы называют благоприятствующими событию А. В классическом определении вероятности полагают, что вероятность любого элементарного исхода
а вероятность события А, которому благоприятствуют m исходов, равна
Отсюда определение:
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность определяется формулой
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, а _ число всех возможных элементарных исходов испытания.
Классическое определение вероятности дает возможность в некоторых задачах аналитически вычислить вероятность события.
Пусть проводится опыт, в результате которого могут наступить те или иные события. Если эти события образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, то говорят, что опыт обладает симметрией возможных исходов и сводится к "схеме случаев". Для опытов, которые сводятся к схеме случаев, применима классическая формула вероятности.
Пример 1.13. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, среди которых 5 выигрышных. Определить вероятность того, что при покупке одного билета лотереи будет получен выигрыш
Элементарным событием этого опыта является покупка билета. Каждый билет лотереи неповторим, так как имеет свой номер, и купленный билет не возвращается обратно. Событие А заключается в том, что куплен выигрышный билет. При покупке одного из 1000 билетов всевозможных исходов этого опыта будет =1000, исходы образуют полную группу несовместных событий. Число исходов, благоприятных событию А, будет равно =5. Тогда вероятность получить выигрыш, купив один билет, равна
Р(А) = = 0.005
Для непосредственного подсчета вероятностей удобно применять формулы комбинаторики. Покажем это на примере задачи выборочного контроля.
Пример 1.14 Пусть имеется партия из изделий, среди них есть бракованных. Для контроля отбирается часть из изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных изделий будет ровно бракованных
Элементарным событием в этом опыте является выбор элементного подмножества из исходного элементного множества. Выбор любой части изделий из партии в изделий можно считать равновозможными событиями, поэтому данный опыт сводится к схеме случаев. Для вычисления вероятности события А={среди изделий бракованных, если они отбирались из партии в изделий с бракованными} можно применить классическую формулу вероятности. Число всех возможных исходов опыта - это число способов, которыми можно отобрать изделий из партии в, оно равно числу сочетаний из элементов по: . Событие, благоприятное событию А, состоит из произведения двух элементарных событий: {из бракованных изделий выбраны }{из _ стандартных изделий выбраны _}. Число таких событий, в соответствии с правилом умножения комбинаторики, будет
Тогда искомая вероятность
Например, пусть =100, =10, =10, =1. Тогда вероятность того, что среди отобранных 10 изделий будет ровно одно бракованное, равна
Статистическое определение вероятности. Для того, чтобы применить в условиях данного опыта классическое определение вероятности, необходимо, чтобы опыт соответствовал схеме случаев и для большинства реальных задач эти требования практически невыполнимы. Однако вероятность события - это объективная реальность, которая существует независимо от того, применимо или нет классическое определение. Возникает необходимость в другом определении вероятности, применимом тогда, когда опыт не отвечает схеме случаев.
Пусть эксперимент заключается в проведении серии испытаний, повторяющих один и тот же опыт, и пусть событие А наступило раз в серии из опытов. Относительной частотой события W(A) называют отношение числа опытов, в которых наступило событие А, к числу всех проведенных опытов
Экспериментально доказано, что частота обладает свойством устойчивости: если число опытов в серии достаточно велико, то относительные частоты события А в различных сериях одного и того же эксперимента мало отличаются друг от друга.
Статистической вероятностью события называют число, к которому стремятся относительные частоты, если число опытов неограниченно возрастает
В отличие от априорной (вычисленной до опыта) классической вероятности статистическая вероятность является апостериорной (полученной после опыта).
Пример 1.15 Метеорологические наблюдения в течении 10 лет в некоторой местности показали, что число дождливых дней в июле было в разные года равно: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Определить вероятность того, что какой-либо определенный день июля будет дождливым
Событие А заключается в том, что определенный день июля, например, 10 июля, пойдет дождь. Выданная статистика не содержит информации о том, в какие конкретно дни июля шел дождь, поэтому можно считать, что все дни равновозможные для этого события. Пусть один год - это одна серия испытаний из 31 одного дня. Всего серий 10. Относительные частоты серий равны:
Частоты различны, но наблюдается их группировка возле числа 0.1. Это число и можно принять за вероятность события А. Если за одну серию испытаний принять все дни июля за десять лет, то статистическая вероятность события А будет равна
Геометрическое определение вероятности. Это определение вероятности обобщает классическое определение на случай, когда пространство элементарных исходов включает несчетное множество элементарных событий, и появления каждого из событий одинаково возможно. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры (А) области, благоприятствующей появлению события, к мере () всей области
Если области представляют собой а) длины отрезков, б) площади фигур, в) объемы пространственных фигур, то геометрические вероятности соответственно равны
Пример 1.16. Рекламные объявления развешены с интервалом в 10 метров вдоль торгового ряда. Широта обзора у некоторого покупателя составляет 3 метра. Какова вероятность того, что он не заметит рекламу, если он движется перпендикулярно торговому ряду и пересечь ряд может в любой точке?
Участок торгового ряда, расположенный между двумя объявлениями, можно представить как отрезок прямой АВ (рис. 1.6). Тогда для того, чтобы покупатель заметил объявления, он должен пройти через отрезки прямых АС или ДВ, равные 3м. Если же он пересечет торговый ряд в одной из точек отрезка СД, длина которого 4м, то он не заметит рекламы. Вероятность этого события будет
Случайность наступления событий связана с невозможностью предсказать заранее исход того или иного испытания. Однако, если рассматривать, например, испытание: многократное бросание монеты, ω 1 , ω 2 , … , ω n , то получается, что приблизительно в половине исходов (n / 2) обнаруживается определённая закономерность, которая соответствует понятию вероятности.
Под вероятностью события А понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления события А . Обозначим эту числовую характеристику р (А ). Существуют несколько подходов к определению вероятности. Основными из них являются статистический, классический и геометрический.
Пусть произведено n испытаний и при этом некоторое событие А наступило n A раз. Число n A называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А , а отношение называется относительной частотой наступления события А. Относительная частота любого события характеризуется следующими свойствами:
Основанием для применения методов теории вероятностей к изучению реальных процессов является объективное существование случайных событий, обладающих свойством устойчивости частот. Многочисленные испытания изучаемого события А показывают, что при больших n относительная частота (А ) остаётся примерно постоянной.
Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина р(А), вокруг которой колеблются значения относительных частот (А ) при неограниченном возрастании числа испытаний n .
Замечание 1 . Отметим, что пределы изменения вероятности случайного события от нуля до единицы выбраны Б. Паскалем для удобства ее вычисления и применения. В переписке с П. Ферма Паскаль указывал, что в качестве указанного промежутка можно было выбрать любой промежуток, например от нуля до ста и другие промежутки. В приведенных ниже задачах в данном пособии вероятности иногда указываются в процентах, т.е. от нуля до ста. В этом случае приведенные в задачах проценты необходимо переводить в доли, т.е. делить на 100.
Пример 1. Проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Величина (А ) в каждой из серий равна 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около р (А ) = 0,5.
Этот пример подтверждает, что относительная частота (А ) примерно равна р (А ), т.е.
