Значение истинности высказываний. Значение истинности

Пример 1. Установить истинность высказывания · С
Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

Эквивалентность высказываний.

С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.

Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.

Пример 2. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)· (А+С)
Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.

Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º А + В·Сº (А+В)· (А+С).
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А« В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.

Тавтология.

Пусть дано высказывание А· и необходимо составить таблицу истинности.
Высказывание А· ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.

Рассмотрим высказывание В+ .
В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В.

Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.
Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное - 0. Закон исключенного третьего.
A· º 0
В+ º 1

Пример 3. Докажите тавтологию (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.

Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией.

Пример 4. Докажите тавтологию ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Решение.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

Из таблицы видно, что исследуемое высказывание - тавтология, т.к. оно истинно постоянно.

Вопросы и задания.

1. Какому из ниже приведенных высказываний:

а) (A+C); б) +B; в) +C); г) A+ ;
эквивалентно высказывание (B+C)

2. Установите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул - тавтологии:
а) « ); б) ; в) ;

г) ; д) (X® Y)« (Y® X); е) (X® Y)« ;

ж) (X® Y)« .

3. Установить истинность высказывания

4. Эквивалентны ли высказывания:
и ?

5. Установить, является ли данное высказывание тавтологией:
а) ; б)

6. Для каждой формулы придумайте формализуемые ими предложения:
а) ; б) ; в) .

7. Из простых высказываний: “Виктор хороший пловец” - А; “Виктор хорошо ныряет” - В; “Виктор хорошо поет” - С, составлено сложное высказывание, формула которого имеет вид:
X=(A+C)· (A+B). Установить, эквивалентно ли высказывание Х высказыванию: “Виктор - хороший пловец и Виктор хорошо поет”.

8.
а) ; б) ;
в) ((X1® X2)® X3)Ù (X3« X1); г) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Установить истинность высказываний:
а) , , ;
б) , , ;
в) , , ;
г) , , .

Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики.
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. Xº X Закон тождества
2. Закон противоречия
3. Закон исключенного третьего
4. Закон двойного отрицания
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Законы идемпотентности
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Законы коммутативности (переместительности)
7 . (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Законы ассоциативности (сочетательности)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z) , C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Законы дистрибутивности (распределительности)
9. , Законы де Моргана
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Законы поглощения
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Законы склеивания

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
“Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2× 2¹ 4”

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

Доказать законы логики можно:
1) с помощью таблиц истинности;
2) с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Закон склеивания)

2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Закон поглощения)

Задание. Доказать законы логики с помощью таблиц истинности.

Тождественные преобразования

Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (АÚВ)· (АÚС)
Решение.
а) Раскроем скобки (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
б) По закону равносильности A · A º A , следовательно,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
в) В высказываниях А и А· C вынесем за скобки А и используя свойство АÚ1º 1, получим АÚА· СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B· С
г) Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”

Пример 2. Упростить выражение АÚ A · B

Решение. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - поглощение

Пример 3. Упростить выражение A · B Ú A · - знаки логического сложения;
- знаки логического умножения.
А будут использованы:
- знаки отрицания и логического умножения;
- знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.
Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:

1.1 . Какие из следующих предложений являются высказываниями?

а) Москва  столица России.

б) Студент физико-математического факультета педагогического института.

в) Треугольник ABC подобен треугольнику А"В"С".

г) Луна есть спутник Марса.

е) Кислород  газ.

ж) Каша  вкусное блюдо.

з) Математика  интересный предмет.

и) Картины Пикассо слишком абстрактны.

к) Железо тяжелее свинца.

л) Да здравствуют музы!

м) Треугольник называется равносторонним, если его стороны равны.

н) Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонние.

о) Сегодня плохая погода.

п) В романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв.

р) Река Ангара впадает в озеро Байкал.

Решение . б) Это предложение не является высказыванием, потому что оно ничего не утверждает о студенте.

в) Предложение не является высказыванием: мы не можем определить, истинно оно или ложно, потому что не знаем, о каких именно треугольниках идет речь.

ж) Предложение не является высказыванием, так как понятие «вкусное блюдо» слишком неопределенно.

п) Предложение  высказывание, но для выяснения его значения истинности нужно затратить немало времени.

1.2. Укажите, какие из высказываний предыдущей задачи истинные, а какие  ложные.

1.3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:

а) Волга впадает в Каспийское море.

б) Число 28 не делится на число 7.

д) Все простые числа нечетны.

1.4. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие  нет (объясните почему):

а) 2 < 0, 2 > 0. -

б) 6 < 9, 6  9.

в) «Треугольник ABC прямоугольный», «Треугольник ABC тупоугольный».

г) «Натуральное число n четно», «Натуральное число n нечетно».

д) «Функция f нечетна», «Функция f четна».

е) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны».

ж) «Все простые числа нечетны», «Существует простое четное число».

з) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид животных, не известный человеку».

и) «Существуют иррациональные числа», «Все числа рациональные».

Решение. а) Высказывание «2 > 0» не является отрицанием "высказывания «2 < 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2  0».

1.5. Следующие высказывания запишите без знака отрицания:

а)
; в)
;

б)
; г)
.

1.6.

а) Ленинград расположен на Неве и 2 + 3 = 5.

б) 7  простое число и 9  простое число.

в) 7  простое число или 9  простое число.

г) Число 2 четное или это число простое.

д) 2  3, 2  3, 2 2  4, 2 2  4.

е) 2 2 = 4 или белые медведи живут в Африке.

ж) 2 2 = 4, и 2 2  5, и 2 2  4.

Решение. а) Так как оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное высказывание.

1.7. Определите значения истинности высказываний А, В, С, D и Е, если:

 истинные высказывания, а

 ложные.

Решение. в) Дизъюнкция высказываний есть истинное высказывание лишь в случае, когда по меньшей мере одно из входящих в дизъюнкцию составляющих высказываний (членов дизъюнкции) истинно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2 2 = 5» ложно, а дизъюнкция двух высказываний истинна. Поэтому первое составляющее высказывание С истинно.

1.8. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности каждого предложения (а и b - действительные числа):

а)
г)ж)

б)
д)
з)

в)
е)
и)

Решение. г) Дробь равна нулю лишь в случае, когда числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю, т. е. (а = 0) & (b  0).

1.9. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3.

б) Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3.

в) Если 15 делится на 6, то 15 делится на 3.

г) Если 15 делится на 3, то 15 Делится на 6.

д) Если Саратов расположен на Неве, то белые медведи обитают в Африке.

е) 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3.

ж) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3.

з) 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3.

и) 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4.

к) Тело массой m обладает потенциальной энергией mgh тогда и только тогда, когда оно находится на высоте h над поверхностью земли.

Решение. а) Так как высказывание-посылка «12 делится на 6» истинно и, высказывание-следствие «12 делится на 3» истинно, то и составное высказывание на основании определения импликации также истинно.

ж) Из определения эквивалентности видим, что высказывание вида
истинно, если логические значения высказыванийР и Q совпадают, и ложно в противном случае. В данном примере оба высказывания к которым применяется связка «тогда и только тогда», ложны. Поэтому все составное высказывание истинно.

1.10. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В  высказывание «8 делится на 3». Определите значения истинности следующих высказываний:

а)
г)
ж)
к)

б)
д)
з)
л)

в)
е)
и)
м)

Решение. е) Имеем
,
. Поэтому

1.11.

а) Если 4  четное число, то А.

б) Если В, то 4  нечетное число.

в) Если 4  четное число, то С.

г) Если D, то 4  нечетное число.

Решение. а) Импликация двух высказываний есть ложное высказывание лишь в единственном случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. В данном случае посылка «4  четное число» истинна и по условию все высказывание также истинно. Поэтому заключение А ложным быть не может, т. е. высказывание А истинно.

1.12. Определите значения истинности высказываний А, В, С и D в следующих предложениях, из которых первые два истинны, а последние два ложны:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

1.13. Пусть через А обозначено высказывание «Этот треугольник равнобедренный», а через В  высказывание «Этот треугольник равносторонний». Прочитайте следующие высказывания:

а)
г)

б)
д)

в)
е)

Решение. е) Если треугольник равнобедренный и неравносторонний, то неверно, что он неравнобедренный.

1.14. Следующие составные высказывания расчлените на простые и запишите символически, введя буквенные обозначения для простых их составляющих:

а) Если 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6.

б) Произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю.

в) Если производная функция в точке равна нулю и вторая производная этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка максимума этой функции.

г) Если в треугольнике медиана не является высотой и биссектрисой, то этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний.

Решение. г) Выделим и следующим образом обозначим простейшие составляющие высказывания:

А: «В треугольнике медиана является высотой»;

В: «В треугольнике медиана является биссектрисой»;

С: «Этот треугольник равнобедренный»;

D: «Этот треугольник равносторонний».

Тогда данное высказывание символически записывается так:

1.15. Из двух данных высказываний А и В постройте составное высказывание с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, которое было бы:

а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания ложны;

б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.

1.16. Из трех данных высказываний А, В, С постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.

1.17. Пусть высказывание
истинно. Что можно сказать о логическом значении высказывания?

1.18. Если высказывание
истинно (ложно), то что можно сказать о логическом значении высказываний:

а)
; б)
; в)
; г)
?

1.19. Если высказывание
истинно, а высказывание
ложно, то что можно сказать о логическом значении высказывания
?

1.20. Существуют ли три таких высказывания А, В, С, чтобы одновременно высказывание
было истинным, высказывание
 ложным и высказывание
 ложным?

1.21. Для каждого из помещенных ниже высказываний определите, достаточно ли приведенных сведений, чтобы установить его логическое значение. Если достаточно, то укажите это значение. Если недостаточно, то покажите, что возможны и одно, и другое истинностные значения:

Решение. а) Поскольку заключение импликации истинно, то и вся импликация будет истинным высказыванием независимо от логического значения посылки.

Основным разделом математической логики является логика высказываний.

Высказыванием называют повествовательное предложение, которое имеет определенное значение истинности: истина или ложь. Истинному высказыванию ставится в соответствии 1, ложному – 0. Высказывания обозначаются буквами латинского алфавита.

Примеры простых высказываний:

1. А= «Число 100 больше числа 10»

2. В= «Сегодня я в школу не пойду»

Задания.

1) Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями:

1. Какого цвета этот дом?

2. Число Х не превосходит единицы.

4. Посмотрите в окно.

5. Пейте томатный сок!

6. Эта тема скучна.

7. Валерий Леонтьев – популярный певец.

2) Приведите примеры простых высказываний, определите их истинность или ложность.

Используя простые высказывания, можно образовать сложные , или составные, высказывания, в которые простые входят в качестве элементарных составляющих. Примеры сложных высказываний:

1. А= «Число 100 больше 10, но меньше 1000»

2. В= «Если завтра будет дождь, то в поход мы не пойдем»

Какие простые высказывания входят в сложные А и В?

В образовании сложных высказываний используются слова: и, или, тогда и только тогда, когда (в том и только в том случае), если..., то..., нет. Их называют логическими связками или логическими операциями.

Основная задача логики высказываний заключается в том, чтобы на основании истинности или ложности простых высказываний определить истинность или ложность сложных высказываний.

Логические операции

1) Инверсия (операция отрицания или логическое отрицание, НЕ). Обозначается ù, ` .

Если А - истинное высказывание, то `А – ложное высказывание, и наоборот .

2) Конъюнкция (логическое умножение, соответствует союзу И). Обозначается Ù, × , & , математическим знаком умножения или опуская его.

Например: С = «Солнце светит и нет дождя».

Обозначим А = «Солнце светит», В= «нет дождя».

Тогда высказывание С можно записать: А Ù В (или А&В, А×В, АВ).

3) Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ), имеет два различных значения. Следует различать исключающее «или» и неисключающее «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении «Обычно в 8 вечера я смотрю теле­визор или пью чай» союз «или» взят в неисключающем (объедини­тельном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называетсянестрогой дизъюнкцией или просто дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)

В высказывании «Данный глагол I или II спряжения» союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле.Такаяоперация называетсястрогой дизъюнкцией.

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

а) Операция дизъюнкция (логическое сложение, нестрогая дизъюнкция), соответствует неисключающему ИЛИ, обозначается Ú , +.

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

4) Импликация . Выражается словосочетанием «если … то». Импликация А ® В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно . Таблица истинности импликации имеет следующий вид:

(Из опыта : Операция импликации (логического следования) является наиболее сложной для учащихся, так как она самая «формально опреде­ленная» и не подкрепляется «здравым смыслом». В процессе ее изучения имеет смысл поговорить о формальном исполнителе и его отличии от неформального .)

Примеры импликаций:

1) Если клятва дана, то она должна выполняться.

2) Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»;

1) Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

2) Если я - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Объяснить операцию импликацию можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания:

А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый .

А®В = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый.»

Тогда, если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно. Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

5) Операция эквиваленция обозначается знаками «, =, Û. Сложное высказывание А«В
(А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.

Сводная таблица логических операций

(заполняется учащимися самостоятельно):

Ниже приведена таблица логических операций и их перевода на естественный язык.

Приоритет выполнения операций : при отсутствии скобок первой всегда выполняется операция отрицания, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и в последнюю очередь эквиваленция.

Упражнения.

1. Даны два высказывания:

А={Число 5 - простое},

В={Число 4 - нечетное},

Очевидно, что А=1, В=0.

В чем заключаются высказывания:

а) Ā, б) `В, в) АВ, г) А+В д) А®В

Какие из высказываний а) – г) истинны? Составьте таблицы истинности.

2. Найдите значения выражений:

а) (1 + 1) Ú (1 + 0);

б) ((1 + 0) + 1) + 1;

в) (А + 1) + (В + 0);

г) (0 Ù 1) Ù 1;

д) 1 Ù (1 Ù 1) Ù 1;

е) ((1 Ú 0) Ù (1 Ù 1) Ù (0 Ú 1);

ж) ((1 Ù А) Ú (В Ù 0)) Ú 1;

з) ((1 Ù 1) Ú 0) Ù (0 Ú 1);

и) ((0 Ù 0) Ú 0) Ù (1 Ú 1);

к) ((0 × 1) + (1 + 1)) × 1.

3. Переведите на язык алгебры логики высказывания:

1) «Я поеду в Москву, и если встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

2) «Если я поеду в Москву и встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

3) «Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя».

4) «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурно, то пойдут в кино»

5) «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь тогда и только тогда, когда нет ветра».

6) «Если урок по информатике будет интересным, то ни Миша, ни Света, ни Вика не будут смотреть в окно»

Решение:

1) М × (В ® И); 2) (М × В) ® И; 3) В ® С ®`Д;

4) (С ® Л) × (`С ® К); 5) П ® (Д « `В); 6) И ® `М ×`С ×`В

1) «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будете убивать в детях шалунов» (Ж.Руссо).

2) «Чтение художественной литературы – неоценимый источник познания жизни и законов ее борьбы».

4) «Мудрость – это способность предвидеть отдаленные последствия совершаемых действий, готовность пожертвовать сиюминутной выгодой ради больших благ в будущем и умение управлять тем, что управляемо, не сокрушаясь из-за того, что неуправляемо» (Ракофф).

6) «Верность друга нужна и в счастье, в беде же она совершенно необходима».

4. Являются ли высказываниями русские народные пословицы и поговорки? Приведите примеры. (Из опыта : Объявляется конкурс «Знаешь ли ты пословицы, которые являются высказываниями». Победителей обычно несколько, поощряются оценками и поощрительными аплодисментами одноклассников )

Самостоятельная работа №1.

(примерные задания в приложении 1, некоторые решения и ответы в приложении 2)

1) Решить логическую задачу табличным способом;

2) Записать сложные высказывания на языке алгебры логики;

3) Найти значение выражения.

Таблицы истинности

Итак, сложное высказывание принимает значение 1 или 0 в зависимости от значений простых высказываний, входящих в него.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывания при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания.

Из полученной таблицы видно, что значения формулы А`В ® А совпадают со значениями формулы А. Такие формулы называются равносильными . Для обозначения равносильности используют обычно знак равенства.

Для составления таблицы истинности сложного высказывания, в которое входит более двух переменных, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

2. Определить число строк в таблице m= 2 n .

3. Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.

4. Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n–разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n -1.

5. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии приоритета операций.

Пример. Построить таблицу истинности для формулы F=A ® B&C

Упражнения.

1. Проверьте равносильность следующих формул с помощью таблиц истинности:

1) А (А + В) = А

2) А + АВ = А

3) А ® В = Ā + В

4) А ® В = `А ®`В

5) `А +`В = А В

6) А + В = Ā ×`В

2. Определите значение формулы: F= ((С+В)®В) × (АВ) ®В.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказы­вать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Предложения, используемые в математике, могут быть записаны как в словесной форме, так и в символической. Предложения могут нести верную или ложную информацию.

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Пример . Следующие предложения являются высказываниями:

1) Все студенты МГПУ – отличники (ложное высказывание),

2) На Кольском полуострове водятся крокодилы (ложное высказывание),

3) Диагонали прямоугольника равны (истинное высказывание),

4) Уравнение не имеет действительных корней (истинное высказывание),

5) Число 21 – четное (ложное высказывание).

Следующие предложения не являются высказываниями:

Какая погода будет завтра?

х – натуральное число,

745 + 231 – 64.

Высказывания принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z .

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания . Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, одновременно быть и тем, и другим, оно не может.

Запись [ А ] = 1 означает, что высказываниеА – истинно .

А запись [ А ] = 0 означает, что высказываниеА – ложно .

Предложение
не является высказыванием, так как о нем невозможно сказать: истинно оно или ложно. При подстановке конкретных значений переменнойх оно обращается в высказывание: истинное или ложное.

Пример . Если
, то
– ложное высказывание, а если
, то
– истинное высказывание.

Предложение
называетсяпредикатом или высказывательной формой . Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

Предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание всякий раз при подстановке вместо переменных их значений.

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, которые обозначаются: и т.д.

Пример . 1)
– одноместный предикат,

2) «Прямая х перпендикулярна прямой у » – двухместный предикат.

Также в предикатах переменные могут содержаться неявно. В предложениях: «Число четное», «две прямые пересекаются» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х – четное», «две прямые х и у пересекаются».

При задании предиката указывают его область определения – множество, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.

Пример . Неравенство
можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной выбирается из множества действительных чисел. В первом случае областью определения неравенства
будет множество натуральных чисел, а во втором – множество действительных чисел.

Одноместным предикатом , заданным на множестве Х , называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него переменной из множества Х .

Множеством истинности одноместного предиката называется множество тех значений переменной из области ее определения, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание.

Пример . Множеством истинности предиката
, заданном на множестве действительных чисел, будет промежуток
. Множество истинности предиката
, заданном на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 2.

Множество истинности двухместного предиката
состоит из всех таких пар
при подстановке которых в этот предикат получается истинное высказывание.

Пример . Пара
принадлежит множеству истинности предиката
, т.к.
– истинное высказывание, а пара
не принадлежит, т.к.
– ложное высказывание.

Высказывания и предикаты могут быть как простыми, так и сложными (составными). Сложные предложения образуются из простых с помощью логических связок – слов «и », «или », «если…, то … », «тогда и только тогда, когда… ». С помощью частицы «не » или словосочетания «неверно, что » можно из данного предложения получить новое. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными .

Примеры . Составные предложения:

Число 42 – четное и делится на 7. Образовано из двух элементарных предложений: Число 42 четное, число 42 делится на 7 и составлено с помощью логической связки «и ».

Число х больше или равно 5. Образовано из двух элементарных предложений: Число х больше 5 и число х равно 5 и составлено с помощью логической связки «или ».

Число 42 не делится на 5. Образовано из предложения: Число 42 делится на 5 с помощью частицы «не ».

Значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.

Пример . Выявим логическую структуру предложения: «Если углы вертикальны, то они равны». Оно состоит из двух элементарных предложений: А – углы вертикальные, В – углы равны. Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «если…, то… ». Данное составное предложение имеет логическую структуру (форму): «если А, то В ».

Выражение «для любого х » или «для всех х » или «для каждого х » называется квантором общности и обозначается
.

при помощи квантора общности, обозначается:
и читается: «Для любого значениях из множества Х имеет место
».

Выражение «существует х » или «для некоторых х » или «найдется такое х » называется квантором существования и обозначается
.

Высказывание, полученное из высказывания или предиката
при помощи квантора существования, обозначается:
и читается: «Для некоторыхх из множества Х имеет место
» или «Существует (найдется) такое значениех из Х , что имеет место
».

Кванторы общности и существования употребляются не только в математических выражениях, но и в повседневной речи.

Пример . Следующие высказывания содержат квантор общности:

а) Все стороны квадрата равны; б) Каждое целое число является действительным; в) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; г) У всех студентов есть зачетная книжка.

Следующие высказывания содержат квантор существования:

а) Существуют числа, кратные 5; б) Найдется такое натуральное число , что
; в) В некоторых студенческих группах учатся кандидаты в мастера спорта; г) Хотя бы один угол в треугольнике острый.

Высказывание
являетсяистинным
– тождество, т.е. принимает истинные значения при подстановке в него любых значений переменной.

Пример . Высказывание
истинно.

Высказывание
ложно , если при некотором значении переменной х предикат

Пример . Высказывание
ложно, т.к. при
предикат
превращается в ложное высказывание.

Высказывание
являетсяистинным тогда и только тогда, когда предикат
не является тождественно ложным, т.е. при некотором значении переменнойх предикат

Пример . Высказывание
истинно, т.к. при
предикат
превращается в истинное высказывание.

Высказывание
ложно , если предикат
является противоречием, т.е. тождественно ложным высказыванием.

Пример . Высказывание
ложно, т.к. предикат
является тождественно ложным.

Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данно­го предложения поставить частицу «не » либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что », то получится новое предложение, кото­рое называется отрицанием данного и обозначается:  А или (читают: «не А» или «неверно, что А »).

Пример . Если высказывание А : «Вертикальные углы равны», то отрицание этого высказывания  А : «Вертикальные углы не равны». Первое из этих высказываний истинное, а второе – ложное.

Для построения отрицания высказываний с кванторами надо:

квантор общности заменить квантором существования или наоборот;

высказывание заменить его отрицанием (поставить перед глаголом частицу «не »).

На языке математических символов это запишется так.

Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.

Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.

Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Логические операции над высказываниями

Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".

Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".

Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3

Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.

Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.

Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.

Пусть даны два произвольных высказывания A и B .

1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".

Таблица истинности для конъюнкции:

2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .

Таблица истинности для дизъюнкции:

3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".

Таблица истинности для следования (импликации):

4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для эквивалентности:

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1.

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15 ;

3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;

4) Не("Сосна" = "Дуб") ;

5) (Не(15 20) ;

6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) "Пользователь не зарегистрирован";

2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";

3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".

1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;

2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;

3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;

4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";

2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";

Пример 5. Определите логическое значение выражения

(p → q ) ↔ (r → s ) ,

p = "278 > 5" ,

q = "Яблоко = Апельсин" ,

p = "0 = 9" ,

s = "Шапка покрывает голову" .

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

~, ∧, ∨, →, ↔,

а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:

6) .

1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";

2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";

3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";

4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";

5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";

6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".

Пример 7. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний , которую в таблице можно обозначить f .

Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".

Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )

B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))

(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.