In einem Dreieck gibt es sogenannte vier bemerkenswerte Punkte: den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der Schnittpunkt der Höhen und der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Betrachten wir jeden von ihnen.
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks
Satz 1
Auf dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und teilen den Schnittpunkt ausgehend von der Spitze im Verhältnis $2:1$.
Nachweisen.
Betrachten Sie das Dreieck $ABC$, wobei $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sein Median ist. Da die Mediane die Seiten in zwei Hälften teilen. Betrachten Sie die mittlere Linie $A_1B_1$ (Abb. 1).
Abbildung 1. Seitenhalbierende eines Dreiecks
Nach Satz 1 ist $AB||A_1B_1$ und $AB=2A_1B_1$, also $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Daher sind die Dreiecke $ABM$ und $A_1B_1M$ nach dem ersten Dreiecksähnlichkeitskriterium ähnlich. Dann
Ebenso ist das bewiesen
Der Satz ist bewiesen.
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks
Satz 2
Auf dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Nachweisen.
Betrachten Sie das Dreieck $ABC$, wobei $AM,\ BP,\ CK$ seine Winkelhalbierenden sind. Der Punkt $O$ sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden $AM\ und\ BP$. Zeichnen Sie von diesem Punkt aus senkrecht zu den Seiten des Dreiecks (Abb. 2).
Abbildung 2. Winkelhalbierende eines Dreiecks
Satz 3
Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht erweiterten Winkels ist gleich weit von seinen Seiten entfernt.
Nach Satz 3 haben wir: $OX=OZ,\ OX=OY$. Daher $OY=OZ$. Der Punkt $O$ ist also von den Seiten des Winkels $ACB$ gleich weit entfernt und liegt somit auf seiner Winkelhalbierenden $CK$.
Der Satz ist bewiesen.
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks
Satz 4
Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Nachweisen.
Gegeben sei ein Dreieck $ABC$, $n,\ m,\ p$ seine Mittelsenkrechten. Der Punkt $O$ sei der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten $n\ und\ m$ (Abb. 3).
Abbildung 3. Mittelsenkrechte eines Dreiecks
Für den Beweis benötigen wir den folgenden Satz.
Satz 5
Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment ist gleich weit von den Enden des gegebenen Segments entfernt.
Nach Theorem 3 haben wir: $OB=OC,\ OB=OA$. Daher $OA=OC$. Das bedeutet, dass der Punkt $O$ von den Enden der Strecke $AC$ gleich weit entfernt ist und somit auf ihrer Mittelsenkrechten $p$ liegt.
Der Satz ist bewiesen.
Der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks
Satz 6
Die Höhen eines Dreiecks bzw. deren Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt.
Nachweisen.
Betrachten Sie das Dreieck $ABC$, wobei $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ seine Höhe ist. Ziehe eine Linie durch jeden Eckpunkt des Dreiecks parallel zur Seite gegenüber dem Eckpunkt. Wir erhalten ein neues Dreieck $A_2B_2C_2$ (Abb. 4).
Abbildung 4. Höhen eines Dreiecks
Da $AC_2BC$ und $B_2ABC$ Parallelogramme mit einer gemeinsamen Seite sind, ist $AC_2=AB_2$, das heißt, Punkt $A$ ist der Mittelpunkt der Seite $C_2B_2$. Ebenso erhalten wir, dass der Punkt $B$ der Mittelpunkt der Seite $C_2A_2$ ist und der Punkt $C$ der Mittelpunkt der Seite $A_2B_2$ ist. Aus der Konstruktion haben wir das $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Daher sind $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ die Mittelsenkrechten des Dreiecks $A_2B_2C_2$. Dann haben wir nach Satz 4, dass sich die Höhen $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ in einem Punkt schneiden.
Handout (Anlage Nr. 1)
Probleme beim Bauen mit einem Kompass und einem Lineal ohne Unterteilungen werden meistens nach einem bestimmten Schema gelöst:
ICH. Analyse: Zeichnen Sie die gewünschte Figur schematisch und stellen Sie Verbindungen zwischen den Problemdaten und den gewünschten Elementen her.
II. Gebäude: Nach Plan bauen sie mit Zirkel und Lineal.
III. Nachweisen: Beweisen Sie, dass die konstruierte Figur die Bedingungen des Problems erfüllt.
IV. Lernen: Führen Sie für beliebige Daten eine Studie durch, ob das Problem eine Lösung hat und wenn ja, wie viele Lösungen (nicht bei allen Problemen durchführen).
Hier sind einige Beispiele für elementare Bauaufgaben, die wir betrachten werden:
1. Legen Sie ein Segment gleich diesem (vorher untersucht) beiseite.
2. Konstruktion der Mittelsenkrechten zum Segment:
- den Mittelpunkt des gegebenen Segments konstruieren;
- eine Linie konstruieren, die durch einen gegebenen Punkt und senkrecht zu einer gegebenen Linie verläuft (ein Punkt kann auf einer gegebenen Linie liegen oder nicht).
3. Konstruktion der Winkelhalbierenden.
4. Konstruktion eines Winkels gleich einem gegebenen.
Der Median senkrecht zum Segment.
Definition: Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Gerade, die durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft und senkrecht dazu steht.
Aufgabe: "Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte zur Strecke." Präsentation
O - die Mitte von AB
Baubeschreibung ( Folie Nummer 4):
Balken a; A - der Anfang des Balkens
Umfang (A; r =m)
Kreis a = B; AB = m
Kreis 1 (A; r 1 > m/2)
Kreis 2 (B; r 1)
Kreis 1 Kreis 2 =
MN ; MN AB =0, (MN = L)
wobei MN AB, O der Mittelpunkt von AB ist
III. Nachweisen(Folie Nummer 5, 6)
1. Betrachten Sie AMN und BNM:
AM = MB=BN=AN=r 2 , also AM = BN , AN = BM MN ist die gemeinsame Seite
(Figur 3)
Daher AMN = BNM (auf 3 Seiten),
Somit
1= 2 (per Definition gleich)
3= 4 (per Definition gleich)
2. MAN und NBM sind (per Definition) gleichschenklig ->
1 \u003d 4 und 3 \u003d 2 (durch die Eigenschaft von Gleichschenkeln)
3. Von den Punkten 1 und 2 -> 1 = 3 also ist MO die Winkelhalbierende des gleichschenkligen AMB
4. Damit haben wir bewiesen, dass MN die Mittelsenkrechte zur Strecke AB ist
IV. Lernen
Dieses Problem hat eine einzigartige Lösung, weil Jedes Liniensegment hat nur einen Mittelpunkt, und durch einen gegebenen Punkt kann man eine einzelne Linie senkrecht zu dem gegebenen ziehen.
Definition: Eine geometrische Menge von Punkten (GMT) ist eine Menge von Punkten, die eine Eigenschaft haben. (Anhang Nr. 2)
Ihnen bekannte GMT:
- Die Mittelsenkrechte eines Segments ist die Menge von Punkten, die von den Enden des Segments gleich weit entfernt sind.
- Winkelhalbierende - eine Reihe von Punkten, die von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt sind
Beweisen wir also den Satz:
Satz: "Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einer Strecke ist gleich weit von den Enden dieser Strecke entfernt."
(Figur 4)
Gegeben: AB; MO - Mittelsenkrechte
Beweisen Sie: AM = VM
| Nachweisen: 1. MO - Mittelsenkrechte (durch Bedingung) -> O - Mittelpunkt des Segments AB, MOAB 2. Betrachten Sie AMO und WMO - rechteckig MO - gemeinsames Bein |
AO \u003d VO (O - die Mitte von AB) -\u003e AMO \u003d BMO (auf 2 Beinen) -\u003e AM \u003d VM (per Definition gleicher Dreiecke als entsprechende Seiten) Q.E.D |
Hausaufgabe: „Beweise den Satz invers zum gegebenen“
Satz: „Jeder Punkt, der von den Enden einer Strecke gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten zu dieser Strecke.“
(Abbildung 5)
Gegeben: AB; MA=MV
Beweisen: Punkt M liegt auf der Mittelsenkrechten
Nachweisen:
Das. MO - Mittelsenkrechte, die alle Punkte enthält, die von den Enden des Segments gleich weit entfernt sind.
Eigenschaft von Mittelsenkrechten zu den Seiten eines Dreiecks
Sie schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises um das Dreieck, den wir in der achten Klasse lernen werden.
Werkstatt
Material und technische Ausstattung:
Verteilung: 29.574 KB
Betriebssystem: Windows 9x/2000/XP
Website: http://www.ascon.ru
Nun übertragen wir die Konstruktion in die grafische Umgebung des Computers (Folie Nummer 7)
Vorher erworbene Kenntnisse und Fähigkeiten müssen auf eine konkrete Aufgabe angewendet werden. Sie werden sehen, dass die Konstruktion nicht mehr Zeit in Anspruch nimmt als die Konstruktion in einem Notizbuch. Unter anderem ist es interessant zu sehen, wie die Computerumgebung menschliche Befehle ausführt, um ebene Figuren zu bauen. Vor Ihnen liegt Anlage Nr. 3, in der Ihre Bauschritte detailliert beschrieben sind. Laden Sie das Programm und öffnen Sie eine neue Zeichnung ( Folie Nummer 8, 9).
Zeichnet geometrische Objekte, die in der Problembedingung angegeben sind: Strahl A ab Punkt A und das Segment ist gleich M– beliebige Länge ( Folie Nummer 10).
Tragen Sie die Bezeichnung des Trägers, Segments, Trägeranfangs in der Zeichnung über die Registerkarte ein "Werkzeug„Texte.
Konstruieren Sie einen Kreis mit einem Radius gleich dem Segment M zentriert am Scheitelpunkt durch einen gegebenen Punkt A (Folie Nummer 11).
M zentriert am Scheitelpunkt gegebener Punkt A ( Folie Nr. 12, 13).
Konstruieren Sie einen Kreis mit einem Radius gleich einem Segment größer als 1/2 M Wählen Sie dazu den Punkt „ Zwischen 2 Punkten“ (Folie Nr. 14, 15, 16).
Durch die Schnittpunkte der Kreise M und N zeichne eine Linie ( Folie №17,18).
Gebrauchte Bücher:
- Ugrinovich N.D. „Informatik. Grundkurs“ Klasse 7. - M.: BINOM - 2008 - 175 S.
- Ugrinovich N.D. „Workshop für Informatik und Informationstechnologien“. Lernprogramm. - M.: BINOM, 2004-2006. -
- Ugrinovich N.D. „Unterrichten des Kurses „Informatik und IKT“ in Grund- und Oberstufenklassen 8-11 M.: BINOM Knowledge Laboratory, 2008. - 180 p.
- Ugrinovich ND Computerworkshop auf CD-ROM. - M.: BINOM, 2004-2006.
- Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. „Kompass - 3D v 5.11-8.0 Workshop für Einsteiger“ - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 p.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. „Geometry 7-9. Lehrbuch für weiterführende Schulen“ – M: Bildung 2006 – 384 S.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al „Studium der Geometrieklassen 7-9. Richtlinien für das Lehrbuch "- M: Bildung 1997 - 255 S.
- Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. „Unterrichtspläne für das Lehrbuch der 8. Klasse von Atanasyan L.S.“ - Wolgograd "Lehrer" 2010, 166 S.
Antrag Nr. 1
Plan zur Lösung von Problemen beim Bau eines Kompasses und eines Lineals.
- Analyse.
- Konstruktion.
- Nachweisen.
- Lernen.
Erläuterung
- Bei der Durchführung der Analyse wird die benötigte Figur schematisch gezeichnet und eine Verbindung zwischen den Aufgabendaten und den benötigten Elementen hergestellt.
- Der Bau erfolgt laut Plan mit Zirkel und Lineal.
- Sie beweisen, dass die konstruierte Figur die Bedingungen des Problems erfüllt.
- Führen Sie eine Studie durch: Hat das Problem für beliebige Daten eine Lösung, und wenn ja, wie viele Lösungen?
Beispiele elementarer Bauaufgaben
- Legen Sie ein Segment gleich dem gegebenen beiseite.
- Konstruieren Sie eine Mittelsenkrechte zu einem Segment.
- Konstruieren Sie den Mittelpunkt des Segments.
- Konstruieren Sie eine Linie, die durch den gegebenen Punkt verläuft, senkrecht zur gegebenen Linie (Der Punkt kann auf der gegebenen Linie liegen oder nicht).
- Konstruiere eine Winkelhalbierende.
- Konstruiere einen Winkel gleich dem gegebenen.
Anwendung Nr. 2
Der Ort der Punkte (GMT) ist eine Menge von Punkten, die eine gewisse Eigenschaft haben.
Beispiele für GMT:
- Die Mittelsenkrechte eines Segments ist die Menge von Punkten, die von den Enden des Segments gleich weit entfernt sind.
- Ein Kreis ist eine Menge von Punkten, die von einem bestimmten Punkt - dem Mittelpunkt des Kreises - gleich weit entfernt sind.
- Die Winkelhalbierende ist die Menge der Punkte, die von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt sind.
Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment ist von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt.
In der vorherigen Lektion haben wir die Eigenschaften der Winkelhalbierenden betrachtet, sowohl eingeschlossen in einem Dreieck als auch frei. Das Dreieck enthält drei Winkel, und für jeden von ihnen bleiben die betrachteten Eigenschaften der Winkelhalbierenden erhalten.
Satz:
Die Winkelhalbierenden AA 1, BB 1, CC 1 des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt O (Fig. 1).
Reis. 1. Illustration für den Satz
Nachweisen:
Betrachten Sie die ersten beiden Winkelhalbierenden BB 1 und СС 1 . Sie schneiden sich, der Schnittpunkt O existiert. Um dies zu beweisen, nehmen Sie das Gegenteil an: Lassen Sie die gegebenen Winkelhalbierenden sich nicht schneiden, dann sind sie parallel. Dann ist die Linie BC eine Sekante und die Summe der Winkel 
, dies widerspricht der Tatsache, dass im ganzen Dreieck die Summe der Winkel ist.
Also existiert der Schnittpunkt O zweier Winkelhalbierender. Betrachten Sie seine Eigenschaften:
Punkt O liegt auf der Winkelhalbierenden von Winkel , was bedeutet, dass er von seinen Seiten BA und BC gleich weit entfernt ist. Wenn OK senkrecht zu BC ist, OL senkrecht zu BA, dann sind die Längen dieser Senkrechten gleich -. Auch der Punkt O liegt auf der Winkelhalbierenden und ist von seinen Seiten CB und CA gleich weit entfernt, die Senkrechten OM und OK sind gleich.
Wir haben die folgenden Gleichheiten:
, das heißt, alle drei Senkrechten, die vom Punkt O zu den Seiten des Dreiecks fallen, sind einander gleich.
Uns interessiert die Gleichheit der Lote OL und OM. Diese Gleichheit besagt, dass der Punkt O von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt ist, also auf seiner Winkelhalbierenden AA 1 liegt.
Damit haben wir bewiesen, dass sich alle drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.
Außerdem besteht das Dreieck aus drei Segmenten, was bedeutet, dass wir die Eigenschaften eines einzelnen Segments betrachten sollten.
Segment AB ist gegeben. Jedes Segment hat eine Mitte, durch die eine Senkrechte gezogen werden kann - wir bezeichnen es mit p. Somit ist p die Mittelsenkrechte.
Reis. 2. Illustration für den Satz
Jeder Punkt, der auf der Mittelsenkrechten liegt, ist von den Enden der Strecke gleich weit entfernt.
Beweisen Sie das (Abb. 2).
Nachweisen:
Betrachten Sie Dreiecke und . Sie sind rechteckig und gleich, weil sie ein gemeinsames Bein OM haben und die Beine von AO und OB bedingt gleich sind, also haben wir zwei rechtwinklige Dreiecke, die in zwei Beinen gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Hypotenusen der Dreiecke gleich sind, was zu beweisen war.
Der Umkehrsatz ist wahr.
Jeder Punkt, der von den Enden eines Segments gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten zu diesem Segment.
Die Strecke AB ist gegeben, die Mittelsenkrechte dazu ist p, der Punkt M ist von den Enden der Strecke gleich weit entfernt. Beweisen Sie, dass der Punkt M auf der Mittelsenkrechten zur Strecke liegt (Abb. 3).
Reis. 3. Illustration für den Satz
Nachweisen:
Betrachten wir ein Dreieck. Es ist gleichschenklig, wie durch Bedingung. Betrachten Sie den Median des Dreiecks: Punkt O ist der Mittelpunkt der Basis AB, OM ist der Median. Gemäß der Eigenschaft eines gleichschenkligen Dreiecks ist die zu seiner Basis gezogene Seitenhalbierende sowohl eine Höhe als auch eine Winkelhalbierende. Daraus folgt das. Aber die Gerade p steht auch senkrecht auf AB. Wir wissen, dass eine einzige Senkrechte zur Strecke AB zum Punkt O gezogen werden kann, was bedeutet, dass die Linien OM und p zusammenfallen, daraus folgt, dass der Punkt M zur Linie p gehört, was bewiesen werden musste.
Der direkte und der inverse Satz können verallgemeinert werden.
Ein Punkt liegt genau dann auf der Mittelsenkrechten einer Strecke, wenn er von den Enden dieser Strecke gleich weit entfernt ist.
Wir wiederholen also, dass es drei Segmente in einem Dreieck gibt und die Eigenschaft der Mittelsenkrechten auf jedes von ihnen anwendbar ist.
Satz:
Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Gegeben ist ein Dreieck. Senkrecht zu seinen Seiten: P 1 zur Seite BC, P 2 zur Seite AC, P 3 zur Seite AB.
Beweisen Sie, dass sich die Senkrechten Р 1 , Р 2 und Р 3 im Punkt O schneiden (Abb. 4).
Reis. 4. Illustration für den Satz
Nachweisen:
Betrachten wir zwei Mittellote P 2 und P 3 , sie schneiden sich, der Schnittpunkt O existiert. Beweisen wir diese Tatsache durch Widerspruch - die Senkrechten P 2 und P 3 seien parallel. Dann ist der Winkel gerade, was der Tatsache widerspricht, dass die Summe der drei Winkel eines Dreiecks ist. Also gibt es einen Schnittpunkt O von zwei der drei Mittelsenkrechten. Eigenschaften des Punktes O: er liegt auf der Mittelsenkrechten zur Seite AB, ist also gleich weit von den Enden der Strecke AB: entfernt. Es liegt auch auf der Mittelsenkrechten zur Seite AC, also . Wir haben die folgenden Gleichungen erhalten.
Mittelsenkrecht (Median senkrecht oder Vermittlerin) ist eine gerade Linie, die senkrecht zum angegebenen Segment steht und durch seinen Mittelpunkt verläuft.Eigenschaften
wobei der Index die Seite angibt, zu der die Senkrechte gezogen wird, ist die Fläche des Dreiecks, und es wird auch angenommen, dass die Seiten durch Ungleichungen zusammenhängen Und Mit anderen Worten, bei einem Dreieck bezieht sich die kleinste Mittelsenkrechte auf das mittlere Segment.Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel "Mittlere Senkrechte"
Anmerkungen
Ein Ausschnitt, der die Mittelsenkrechte charakterisiert
Kutuzov blieb stehen, um zu kauen, und starrte Wolzogen überrascht an, als verstünde er nicht, was ihm gesagt wurde. Wolzogen, der die Aufregung des alten Herrn bemerkte, sagte mit einem Lächeln:- Ich hielt mich nicht für berechtigt, Eurer Lordschaft zu verheimlichen, was ich gesehen habe ... Die Truppen sind in völliger Unordnung ...
- Hast du gesehen? Hast du gesehen? .. - rief Kutuzov stirnrunzelnd, stand schnell auf und ging auf Wolzogen zu. „Wie kannst du es wagen … wie kannst du es wagen …!“, rief er und machte bedrohliche Gesten mit zitternden Händen und Würgen. - Wie können Sie es wagen, mein lieber Herr, das zu mir zu sagen. Du weißt nichts. Sagen Sie General Barclay von mir, dass seine Informationen falsch sind und dass der wirkliche Verlauf der Schlacht mir, dem Oberbefehlshaber, besser bekannt ist als ihm.
Wolzogen wollte etwas einwenden, aber Kutusow unterbrach ihn.
- Der Feind wird auf der linken Seite zurückgeschlagen und auf der rechten Flanke besiegt. Wenn Sie nicht gut gesehen haben, lieber Herr, dann erlauben Sie sich nicht zu sagen, was Sie nicht wissen. Bitte gehen Sie zu General Barclay und teilen Sie ihm meine unbedingte Absicht mit, morgen den Feind anzugreifen “, sagte Kutuzov streng. Alle schwiegen, und man konnte ein schweres Atmen des außer Atem geratenen alten Generals hören. - Überall zurückgeschlagen, wofür ich Gott und unserer tapferen Armee danke. Der Feind ist besiegt, und morgen werden wir ihn aus dem heiligen russischen Land vertreiben, - sagte Kutuzov und bekreuzigte sich; und brach plötzlich in Tränen aus. Wolzogen zuckte mit den Schultern und verzog die Lippen, trat schweigend zur Seite und wunderte sich über diese Eingenommenheit des alten Herrn. [über diese Tyrannei des alten Herrn. (Deutsch)]
"Ja, hier ist er, mein Held", sagte Kutuzov zu dem rundlichen, gutaussehenden schwarzhaarigen General, der zu dieser Zeit den Hügel betrat. Es war Raevsky, der den ganzen Tag am Hauptpunkt des Borodino-Feldes verbracht hatte.
Raevsky berichtete, dass die Truppen fest an ihren Stellen seien und die Franzosen es nicht mehr wagten anzugreifen. Nachdem Kutuzov ihm zugehört hatte, sagte er auf Französisch:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes verpflichtet de nous pensioner? [Du denkst also nicht wie die anderen, dass wir uns zurückziehen sollten?]
Mittelsenkrecht zum Segment
Bestimmung 1 . Mittelsenkrecht zum Segment genannt, eine gerade Linie senkrecht zu diesem Segment und durch seine Mitte (Abb. 1).
Satz 1. Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zum Segment ist im gleichen Abstand von den Enden dieses Segment.
Nachweisen . Betrachten Sie einen beliebigen Punkt D, der auf der Mittelsenkrechten zur Strecke AB liegt (Abb. 2), und beweisen Sie, dass die Dreiecke ADC und BDC gleich sind.
Tatsächlich sind diese Dreiecke rechtwinklige Dreiecke, deren Schenkel AC und BC gleich sind, während die Schenkel DC gleich sind. Aus der Gleichheit der Dreiecke ADC und BDC folgt die Gleichheit der Segmente AD und DB. Satz 1 ist bewiesen.
Satz 2 (Umgekehrt zu Satz 1). Ist ein Punkt von den Enden einer Strecke gleich weit entfernt, so liegt er auf der Mittelsenkrechten zu dieser Strecke.
Nachweisen . Beweisen wir Satz 2 mit der Methode „per Widerspruch“. Nehmen wir dazu an, dass ein Punkt E von den Enden der Strecke gleich weit entfernt ist, aber nicht auf der Mittelsenkrechten zu dieser Strecke liegt. Bringen wir diese Annahme auf einen Widerspruch. Betrachten wir zunächst den Fall, dass die Punkte E und A auf gegenüberliegenden Seiten der Mittelsenkrechten liegen (Abb. 3). In diesem Fall schneidet die Strecke EA die Mittelsenkrechte an einem Punkt, den wir mit dem Buchstaben D bezeichnen werden.
Beweisen wir, dass das Segment AE länger ist als das Segment EB. Wirklich,
Für den Fall, dass die Punkte E und A auf gegenüberliegenden Seiten der Mittelsenkrechten liegen, haben wir also einen Widerspruch erhalten.
Betrachten Sie nun den Fall, dass die Punkte E und A auf derselben Seite der Mittelsenkrechten liegen (Abb. 4). Beweisen wir, dass das Segment EB länger ist als das Segment AE. Wirklich,
Der resultierende Widerspruch vervollständigt den Beweis von Theorem 2
Kreis, der ein Dreieck umschreibt
Bestimmung 2 . Ein Kreis, der ein Dreieck umschreibt, nennen Sie den Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks geht (Abb. 5). In diesem Fall heißt das Dreieck ein Dreieck, das in einen Kreis eingeschrieben ist oder eingeschriebenes Dreieck.
Eigenschaften eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises. Sinussatz
| Figur | Zeichnung | Eigentum |
| Mittelsenkrechte zu den Seiten des Dreiecks |  |
schneiden sich in einem Punkt
. |
 |
|
|
| Center umschrieben um ein spitzes Dreieck eines Kreises | Center beschrieben über spitzwinklig innen Dreieck. | |
| Center Kreis um ein rechtwinkliges Dreieck |  | Das Zentrum der beschriebenen etwa rechteckig
Mittelpunkt der Hypotenuse
. |
| Center umschrieben um ein stumpfes Dreieck eines Kreises |  | Center beschrieben über stumpf Kreis Dreieck liegt außen Dreieck. |
 |
|
|
| Quadrat Dreieck |  | S= 2R 2 Sünde A Sünde B Sünde C , |
| Radius des umschriebenen Kreises | Für jedes Dreieck gilt die Gleichheit: |
,| Mittelsenkrechte zu den Seiten eines Dreiecks |
Alle Mittelsenkrechten an den Seiten eines beliebigen Dreiecks gezeichnet, schneiden sich in einem Punkt . |
| Kreis, der ein Dreieck umschreibt |
Jedes Dreieck kann von einem Kreis umschrieben werden. . Der Mittelpunkt des um das Dreieck umschriebenen Kreises ist der Punkt, an dem sich alle senkrechten Winkelhalbierenden schneiden, die zu den Seiten des Dreiecks gezogen werden. |
| Mittelpunkt eines Kreises, der um ein spitzwinkliges Dreieck umschrieben ist |
Center beschrieben über spitzwinklig Kreis Dreieck liegt innen Dreieck. |
| Mittelpunkt eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises |
Das Zentrum der beschriebenen etwa rechteckig Kreis Dreieck ist Mittelpunkt der Hypotenuse . |
| Mittelpunkt eines Kreises, der um ein stumpfes Dreieck umschrieben ist |
Center beschrieben über stumpf Kreis Dreieck liegt außen Dreieck. |
Für jedes Dreieck gelten Gleichheiten (Sinussatz):
wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind, A, B, C die Winkel des Dreiecks sind, R der Radius des umschriebenen Kreises ist. |
| Fläche eines Dreiecks |
Für jedes Dreieck gilt die Gleichheit: S= 2R 2 Sünde A Sünde B Sünde C , wobei A, B, C die Winkel des Dreiecks sind, S die Fläche des Dreiecks ist, R der Radius des umschriebenen Kreises ist. |
| Radius des umschriebenen Kreises |
Für jedes Dreieck gilt die Gleichheit: wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind, S die Fläche des Dreiecks ist, R der Radius des umschriebenen Kreises ist. |
Beweise von Sätzen über die Eigenschaften eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises
Satz 3. Alle Mittelsenkrechten, die zu den Seiten eines beliebigen Dreiecks gezogen werden, schneiden sich in einem Punkt.
Nachweisen . Stellen Sie sich zwei senkrechte Winkelhalbierende vor, die zu den Seiten AC und AB des Dreiecks ABC gezogen werden, und bezeichnen Sie den Punkt ihres Schnittpunkts mit dem Buchstaben O (Abb. 6).
Da der Punkt O auf der Mittelsenkrechten zur Strecke AC liegt, gilt nach Satz 1 die Gleichheit.
