Ιδιότητες της κάθετης διχοτόμου ενός τμήματος. Το σημείο τομής των διχοτόμων και το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων τριγώνου

Υπάρχουν τα λεγόμενα τέσσερα αξιοσημείωτα σημεία σε ένα τρίγωνο: το σημείο τομής των διάμεσων. Το σημείο τομής των διχοτόμων, το σημείο τομής των υψών και το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων. Ας δούμε το καθένα από αυτά.

Σημείο τομής διαμέσου τριγώνων

Θεώρημα 1

Στην τομή των διαμέτρων ενός τριγώνου: Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο και διαιρούνται με το σημείο τομής στην αναλογία $2:1$ ξεκινώντας από την κορυφή.

Απόδειξη.

Εξετάστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι οι διάμεσοί του. Επειδή οι διάμεσοι χωρίζουν τις πλευρές στη μέση. Ας εξετάσουμε τη μεσαία γραμμή $A_1B_1$ (Εικ. 1).

Εικόνα 1. Μέσος τριγώνου

Από το Θεώρημα 1, $AB||A_1B_1$ και $AB=2A_1B_1$, επομένως, $\γωνία ABB_1=\γωνία BB_1A_1,\ \γωνία BAA_1=\γωνία AA_1B_1$. Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα $ABM$ και $A_1B_1M$ είναι παρόμοια σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο ομοιότητας των τριγώνων. Επειτα

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σημείο τομής διχοτόμων τριγώνων

Θεώρημα 2

Στην τομή των διχοτόμων ενός τριγώνου: Οι διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόδειξη.

Εξετάστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $AM,\BP,\CK$ είναι οι διχοτόμοι του. Έστω το σημείο $O$ το σημείο τομής των διχοτόμων $AM\ και\BP$. Ας σχεδιάσουμε κάθετες από αυτό το σημείο στις πλευρές του τριγώνου (Εικ. 2).

Εικόνα 2. Διχοτόμοι τριγώνων

Θεώρημα 3

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας μη αναπτυγμένης γωνίας απέχει από τις πλευρές του ίση απόσταση.

Με το Θεώρημα 3, έχουμε: $OX=OZ,\ OX=OY$. Επομένως, $OY=OZ$. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο $O$ απέχει ίσα από τις πλευρές της γωνίας $ACB$ και, επομένως, βρίσκεται στη διχοτόμο του $CK$.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων ενός τριγώνου

Θεώρημα 4

Οι κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόδειξη.

Έστω ένα τρίγωνο $ABC$, $n,\ m,\ p$ οι κάθετες του. Έστω το σημείο $O$ το σημείο τομής των διτομικών καθέτων $n\ και\ m$ (Εικ. 3).

Σχήμα 3. Κάθετες διχοτόμοι τριγώνου

Για να το αποδείξουμε, χρειαζόμαστε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 5

Κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Με το Θεώρημα 3, έχουμε: $OB=OC,\ OB=OA$. Επομένως, $OA=OC$. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο $O$ απέχει ίση από τα άκρα του τμήματος $AC$ και, επομένως, βρίσκεται στη μεσοκάθετο του $p$.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σημείο τομής τριγώνων υψομέτρων

Θεώρημα 6

Τα υψόμετρα ενός τριγώνου ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόδειξη.

Θεωρήστε το τρίγωνο $ABC$, όπου $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι το υψόμετρο του. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από κάθε κορυφή του τριγώνου παράλληλη προς την πλευρά απέναντι από την κορυφή. Παίρνουμε ένα νέο τρίγωνο $A_2B_2C_2$ (Εικ. 4).

Εικόνα 4. Ύψα τριγώνων

Εφόσον τα $AC_2BC$ και $B_2ABC$ είναι παραλληλόγραμμα με κοινή πλευρά, τότε το $AC_2=AB_2$, δηλαδή, το σημείο $A$ είναι το μέσο της πλευράς $C_2B_2$. Ομοίως, βρίσκουμε ότι το σημείο $B$ είναι το μέσο της πλευράς $C_2A_2$ και το σημείο $C$ είναι το μέσο της πλευράς $A_2B_2$. Από την κατασκευή έχουμε ότι $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Επομένως, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ είναι οι κάθετες διχοτόμοι του τριγώνου $A_2B_2C_2$. Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 4, έχουμε ότι τα ύψη $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ τέμνονται σε ένα σημείο.

Για να δώσετε μια ιδέα μιας νέας κατηγορίας προβλημάτων - κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα χωρίς διαιρέσεις κλίμακας.

Εισαγάγετε την έννοια του GMT.

Ορίστε τη διχοτόμο, διδάξτε πώς να την κατασκευάσετε και αποδείξτε το θεώρημα για τη διχοτόμο, καθώς και το αντίστροφό της.

Χρησιμοποιώντας το σύστημα σχεδίασης υπολογιστή "Compass-3D", εκτελέστε γεωμετρικές κατασκευές, οι οποίες συνιστάται να εκτελούνται σε ένα μάθημα γεωμετρίας χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα.

Φυλλάδια (Παράρτημα Αρ. 1)

Τα προβλήματα που αφορούν την κατασκευή με πυξίδες και χάρακα χωρίς διαιρέσεις επιλύονται συνήθως σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σχέδιο:

ΕΓΩ. Ανάλυση: Σχεδιάστε σχηματικά το επιθυμητό σχήμα και δημιουργήστε συνδέσεις μεταξύ των δεδομένων εργασίας και των απαιτούμενων στοιχείων.

II. Κατασκευή: Σύμφωνα με το προβλεπόμενο σχέδιο, η κατασκευή πραγματοποιείται με πυξίδα και χάρακα.

III. Απόδειξη: Να αποδείξετε ότι το κατασκευασμένο σχήμα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

IV. Μελέτη: Διεξάγετε μια μελέτη για να δείτε εάν το πρόβλημα έχει λύση για δεδομένα και, εάν ναι, πόσες λύσεις υπάρχουν (δεν πραγματοποιούνται σε όλα τα προβλήματα).

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα στοιχειωδών εργασιών κατασκευής που θα εξετάσουμε:

1. Αφαιρέστε ένα τμήμα ίσο με το δεδομένο (που μελετήθηκε νωρίτερα).

2. Κατασκευή της κάθετης διχοτόμου σε τμήμα:

να κατασκευάσει το μέσο ενός δεδομένου τμήματος.
κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και είναι κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία (το σημείο μπορεί να βρίσκεται ή όχι σε μια δεδομένη ευθεία).

3. Κατασκευή της διχοτόμου γωνίας.

4. Κατασκευάζοντας γωνία ίση με τη δεδομένη.

Η κάθετη διχοτόμος ευθύγραμμου τμήματος.

Ορισμός: Κάθετη διχοτόμος σε τμήμα είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

Εργασία: «Κατασκευάστε τη διχοτόμο στο τμήμα». Παρουσίαση

Ο - μεσαίο ΑΒ

Περιγραφή κατασκευής ( διαφάνεια αριθμός 4):

Δοκός α; A – αρχή της δοκού

Περιφέρεια (A; r =m)

Κύκλος a = B; ΑΒ = m

Κύκλος 1 (A; r 1 > m/2)

Κύκλος 2 (B; r 1)

Κύκλος 1 Κύκλος 2 =

MN; MN AB =0, (MN = L)

όπου MN AB, O – το μέσο του AB

III. Απόδειξη(διαφάνεια αρ. 5, 6)

1. Εξετάστε τα AMN και BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, επομένως AM = BN, AN = BM MN – κοινή πλευρά

(Εικόνα 3)

Επομένως, AMN = BNM (σε 3 πλευρές),

Ως εκ τούτου

1= 2 (εξ ορισμού ίσο)

3= 4 (εξ ορισμού ίσο)

2. Το MAN και το NBM είναι ισοσκελές (εξ ορισμού) ->

1 = 4 και 3 = 2 (με ισοσκελές ιδιότητα)

3. Από τα σημεία 1 και 2 -> 1 = 3 επομένως το ΜΟ είναι η διχοτόμος του ισοσκελούς ΑΜΒ

4. Έτσι αποδείξαμε ότι ΜΝ είναι η μεσοκάθετος στο τμήμα ΑΒ

IV. Μελέτη

Αυτό το πρόβλημα έχει μια μοναδική λύση, γιατί κάθε τμήμα έχει μόνο ένα μέσο και μέσα από ένα δεδομένο σημείο μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια ευθεία κάθετη στη δεδομένη.

Ορισμός: Ένα γεωμετρικό σύνολο σημείων (GMT) είναι ένα σύνολο σημείων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. (Παράρτημα αρ. 2)

GMT που γνωρίζετε:

Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
Διχοτόμος γωνίας - ένα σύνολο σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας

Ας αποδείξουμε λοιπόν το θεώρημα:

Θεώρημα: «Κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος».

(Εικόνα 4)

Δόθηκαν: AB; MO – κάθετη διχοτόμος

Απόδειξη: AM = VM

Απόδειξη:

1. MO – διχοτόμος (κατά συνθήκη) -> O – μέσο τμήματος AB, MOAB

2. Εξετάστε το AMO και το VMO - ορθογώνιο

MO – γενικό πόδι

AO = VO (O – το μέσο του AB) -> AMO = VMO (σε 2 πόδια) -> AM = VM (εξ ορισμού ίσων τριγώνων, ως αντίστοιχες πλευρές)

Q.E.D

Εργασία για το σπίτι: «Αποδείξετε το αντίστροφο θεώρημα σε αυτό»

Θεώρημα: «Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα».

(Εικόνα 5)

Δόθηκαν: AB; MA=MV

Αποδεικνύω: Το σημείο Μ βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο

Απόδειξη:

Οτι. Το MO είναι η κάθετη διχοτόμος που περιέχει όλα τα σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Ιδιότητα των κάθετων διχοτόμων στις πλευρές ενός τριγώνου

Τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από το τρίγωνο, τον οποίο θα μελετήσουμε στην όγδοη δημοτικού.

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ

Υλικό και τεχνικός εξοπλισμός:

Διανομή: 29.574 KB

Λειτουργικό σύστημα: Windows 9x/2000/XP

Ιστοσελίδα: http://www.ascon.ru

Τώρα ας μεταφέρουμε την κατασκευή στο γραφικό περιβάλλον του υπολογιστή (διαφάνεια Νο. 7)

Οι γνώσεις και οι δεξιότητες που έχουν αποκτηθεί προηγουμένως πρέπει να εφαρμόζονται σε μια συγκεκριμένη εργασία. Θα δείτε ότι η κατασκευή δεν θα σας πάρει περισσότερο χρόνο από την κατασκευή σε ένα σημειωματάριο. Μεταξύ άλλων, είναι ενδιαφέρον να δούμε πώς το περιβάλλον του υπολογιστή εκτελεί ανθρώπινες εντολές για την κατασκευή φιγούρων αεροπλάνων. Εδώ είναι το Παράρτημα Νο. 3, το οποίο περιγράφει λεπτομερώς τα βήματα κατασκευής σας. Φορτώστε το πρόγραμμα και ανοίξτε ένα νέο σχέδιο ( διαφάνεια αριθμός 8, 9).

Σχεδιάστε τα γεωμετρικά αντικείμενα που καθορίζονται στη δήλωση προβλήματος: ακτίνα ΕΝΑξεκινώντας από ένα σημείο ΕΝΑκαι το τμήμα είναι ίσο Μ– αυθαίρετο μήκος ( διαφάνεια αριθμός 10).

Εισαγάγετε τον προσδιορισμό της ακτίνας, τμήματος, αρχής της ακτίνας στο σχέδιο χρησιμοποιώντας την καρτέλα "Εργαλεία"κείμενο.

Κατασκευάστε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με το τμήμα Μμε κέντρο στην κορυφή σε ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ (διαφάνεια αριθμός 11).

Μμε κέντρο στην κορυφή δεδομένο σημείο Α ( διαφάνεια Νο. 12, 13).

Κατασκευάστε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με τμήμα μεγαλύτερο από 1/2 ΜΓια να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το στοιχείο “ στο μενού περιβάλλοντος RMB Μεταξύ 2 πόντων" (διαφάνεια Νο. 14, 15, 16).

Μέσα από τα σημεία τομής των κύκλων Μ και Ντραβήξτε μια ευθεία γραμμή ( διαφάνεια Νο. 17,18).

Μεταχειρισμένα βιβλία:

Ugrinovich N.D. «Πληροφορική. Βασικό μάθημα» ΣΤ ́ τάξη. - Μ.: BINOM – 2008 – 175 σελ.
Ugrinovich N.D. "Εργαστήριο για την επιστήμη των υπολογιστών και την τεχνολογία των πληροφοριών." Φροντιστήριο. – Μ.: BINOM, 2004-2006. -
Ugrinovich N.D. "Διδασκαλία του μαθήματος "Πληροφορική και ΤΠΕ" σε τάξεις δημοτικού και γυμνασίου 8-11 M.: BINOM Laboratory of Knowledge, 2008. - 180 σελ.
Εργαστήριο υπολογιστών Ugrinovich N.D. σε CD-ROM. – Μ.: BINOM, 2004-2006.
Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. «Πυξίδα - 3D v 5.11-8.0 Εργαστήριο για αρχάριους» - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 σελ.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. «Geometry 7-9. Εγχειρίδιο για τα σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης» – Μ: Εκπαίδευση 2006 – 384 σελ.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. «Μελετώντας τη γεωμετρία 7-9 τάξεις. Μεθοδολογικές συστάσεις για το σχολικό βιβλίο» - Μ: Εκπαίδευση 1997 - 255 σελ.
Afanasyeva T.L., Tapilina L.A. "Σχέδια μαθήματος βασισμένα στο εγχειρίδιο της 8ης τάξης του Atanasyan L.S." - Volgograd "Teacher" 2010, 166 σελ.

Παράρτημα Νο. 1

Σχέδιο για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν την κατασκευή με πυξίδα και χάρακα.

Ανάλυση.
Κατασκευή.
Απόδειξη.
Μελέτη.

Εξήγηση

Κατά την εκτέλεση μιας ανάλυσης, σχεδιάζεται σχηματικά το επιθυμητό σχήμα και δημιουργείται μια σύνδεση μεταξύ των δεδομένων εργασίας και των απαιτούμενων στοιχείων.
Σύμφωνα με το προγραμματισμένο σχέδιο, η κατασκευή πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας πυξίδες και χάρακα.
Αποδεικνύουν ότι το κατασκευασμένο σχήμα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.
Διεξάγουν μια μελέτη: έχει το πρόβλημα λύση για οποιαδήποτε δεδομένα και αν ναι, πόσες λύσεις;

Παραδείγματα στοιχειωδών κατασκευαστικών προβλημάτων

Αφαιρέστε ένα τμήμα ίσο με το δεδομένο.
Κατασκευάστε τη διχοτόμο στο τμήμα.
Κατασκευάστε το μέσο του τμήματος.
Κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο, κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία (Το σημείο μπορεί να βρίσκεται ή όχι σε μια δεδομένη ευθεία).
Κατασκευάστε τη διχοτόμο της γωνίας.
Κατασκευάστε μια γωνία ίση με τη δεδομένη.

Παράρτημα Νο. 2

Ο γεωμετρικός τόπος σημείων (GLP) είναι ένα σύνολο σημείων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα.

Παραδείγματα GMT:

Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
Ένας κύκλος είναι ένα σύνολο σημείων σε ίση απόσταση από ένα δεδομένο σημείο - το κέντρο του κύκλου.
Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Κάθε σημείο της κάθετης διχοτόμου ενός τμήματος έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος.

Στο προηγούμενο μάθημα, εξετάσαμε τις ιδιότητες της διχοτόμου μιας γωνίας, που περικλείεται σε τρίγωνο και είναι ελεύθερη. Ένα τρίγωνο περιλαμβάνει τρεις γωνίες και για καθεμία από αυτές διατηρούνται οι θεωρούμενες ιδιότητες της διχοτόμου.

Θεώρημα:

Οι διχοτόμοι AA 1, BB 1, СС 1 του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο O (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Ας εξετάσουμε πρώτα δύο διχοτόμους BB 1 και CC 1. Τέμνονται, το σημείο τομής Ο υπάρχει. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε το αντίθετο: οι δεδομένες διχοτόμοι ας μην τέμνονται, οπότε είναι παράλληλες. Τότε η ευθεία BC είναι τομή και το άθροισμα των γωνιών είναι , αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι σε ολόκληρο το τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι .

Άρα, το σημείο Ο της τομής δύο διχοτόμων υπάρχει. Ας δούμε τις ιδιότητές του:

Το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας, που σημαίνει ότι απέχει από τις πλευρές του BA και BC. Αν το OK είναι κάθετο στο BC, το OL είναι κάθετο στο BA, τότε τα μήκη αυτών των καθέτων είναι ίσα - . Επίσης, το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας και απέχει από τις πλευρές του CB και CA, οι κάθετοι ΟΜ και ΟΚ είναι ίσες.

Πήραμε τις ακόλουθες ισότητες:

, δηλαδή και οι τρεις κάθετοι που έπεσαν από το σημείο Ο στις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.

Μας ενδιαφέρει η ισότητα των καθέτων ΟΛ και ΟΜ. Αυτή η ισότητα λέει ότι το σημείο Ο είναι ίση απόσταση από τις πλευρές της γωνίας, έπεται ότι βρίσκεται στη διχοτόμο του AA 1.

Έτσι, αποδείξαμε ότι και οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Επιπλέον, ένα τρίγωνο αποτελείται από τρία τμήματα, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να εξετάσουμε τις ιδιότητες ενός μεμονωμένου τμήματος.

Δίνεται το τμήμα ΑΒ. Οποιοδήποτε τμήμα έχει ένα μέσο και μια κάθετη μπορεί να τραβηχτεί μέσα από αυτό - ας το συμβολίσουμε ως p. Άρα, p είναι η κάθετη διχοτόμος.

Ρύζι. 2. Απεικόνιση για το θεώρημα

Οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Αποδείξτε ότι (Εικ. 2).

Απόδειξη:

Θεωρήστε τρίγωνα και . Είναι ορθογώνια και ίσα, γιατί έχουν ένα κοινό πόδι ΟΜ, και τα σκέλη ΑΟ και ΟΒ είναι ίσα κατά συνθήκη, επομένως έχουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα, ίσα σε δύο σκέλη. Από αυτό προκύπτει ότι ίσες είναι και οι υποτείνουσες των τριγώνων, δηλαδή ό,τι έπρεπε να αποδειχθεί.

Το θεώρημα της αντίστροφης είναι αληθές.

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.

Δίνεται ένα τμήμα AB, η κάθετη διχοτόμος του p και ένα σημείο M που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος. Να αποδείξετε ότι το σημείο M βρίσκεται στη διχοτόμο του τμήματος (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Είναι ισοσκελές, κατά συνθήκη. Θεωρήστε τη διάμεσο ενός τριγώνου: το σημείο Ο είναι το μέσο της βάσης ΑΒ, το OM είναι η διάμεσος. Σύμφωνα με την ιδιότητα ενός ισοσκελούς τριγώνου, η διάμεσος που έλκεται στη βάση του είναι και υψόμετρο και διχοτόμος. Από αυτό προκύπτει ότι . Αλλά η ευθεία p είναι επίσης κάθετη στην ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι στο σημείο O είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια κάθετη στο τμήμα AB, που σημαίνει ότι οι ευθείες OM και p συμπίπτουν, έπεται ότι το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία p, που έπρεπε να αποδείξουμε.

Τα άμεσα και αντίστροφα θεωρήματα μπορούν να γενικευθούν.

Ένα σημείο βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός τμήματος αν και μόνο αν είναι ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος.

Ας επαναλάβουμε λοιπόν ότι υπάρχουν τρία τμήματα σε ένα τρίγωνο και η ιδιότητα της κάθετης διχοτόμου ισχύει για καθένα από αυτά.

Θεώρημα:

Οι κάθετες διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Δίνεται ένα τρίγωνο. Κάθετες στις πλευρές του: P 1 στην πλευρά BC, P 2 στην πλευρά AC, P 3 στην πλευρά AB.

Να αποδείξετε ότι οι κάθετοι P 1, P 2 και P 3 τέμνονται στο σημείο Ο (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Ας θεωρήσουμε δύο κάθετες διχοτόμους P 2 και P 3, τέμνονται, το σημείο τομής Ο υπάρχει. Ας αποδείξουμε αυτό το γεγονός με αντίφαση - ας είναι παράλληλες οι κάθετοι P 2 και P 3. Τότε η γωνία αντιστρέφεται, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου είναι . Άρα, υπάρχει ένα σημείο Ο της τομής δύο από τις τρεις κάθετες διχοτόμους. Ιδιότητες του σημείου Ο: βρίσκεται στη διχοτόμο προς την πλευρά ΑΒ, που σημαίνει ότι έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ: . Βρίσκεται επίσης στην κάθετη διχοτόμο προς την πλευρά AC, που σημαίνει . Λάβαμε τις ακόλουθες ισότητες.

Κάθετη διχοτόμος (διάμεσος κάθετοςή μεσολαβητής) - μια ευθεία κάθετη σε ένα δεδομένο τμήμα και που διέρχεται από τη μέση του.

Ιδιότητες

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

όπου ο δείκτης δηλώνει την πλευρά προς την οποία σύρεται η κάθετη,

μικρό

είναι το εμβαδόν του τριγώνου και θεωρείται επίσης ότι οι πλευρές σχετίζονται με ανισότητες

a\geqslant b\geqslant γ.

p_a\geq p_b

Και

p_c\geq p_b.

Με άλλα λόγια, η μικρότερη κάθετη διχοτόμος ενός τριγώνου ανήκει στο μεσαίο τμήμα.

Γράψε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Κάθετη διχοτόμος"

Σημειώσεις

Απόσπασμα που χαρακτηρίζει τη διχοτόμο

Ο Κουτούζοφ, σταματώντας να μασήσει, κοίταξε έκπληκτος τον Βολτσόγκεν, σαν να μην καταλάβαινε τι του έλεγαν. Ο Wolzogen, παρατηρώντας τον ενθουσιασμό του des alten Herrn, [ο γέρος κύριος (Γερμανός)] είπε χαμογελώντας:
– Δεν θεώρησα ότι δικαιούμαι να κρύψω από την αρχοντιά σας αυτό που είδα... Τα στρατεύματα βρίσκονται σε πλήρη αταξία...
- Εχεις δει? Είδατε;.. – φώναξε ο Κουτούζοφ, συνοφρυωμένος, σηκώθηκε γρήγορα και προχωρώντας προς τον Βολτσόγκεν. «Πώς κάνεις... πώς τολμάς!..», φώναξε κάνοντας απειλητικές χειρονομίες με χειραψία και πνιγμό. - Πώς τολμάς, αγαπητέ κύριε, να μου το πεις αυτό; Δεν ξέρεις τίποτα. Πες στον Στρατηγό Μπάρκλεϊ από εμένα ότι οι πληροφορίες του είναι εσφαλμένες και ότι η πραγματική πορεία της μάχης είναι γνωστή σε μένα, τον αρχιστράτηγο, καλύτερα από εκείνον.
Ο Βολτσόγκεν ήθελε να αντιταχθεί, αλλά ο Κουτούζοφ τον διέκοψε.
- Ο εχθρός αποκρούεται στα αριστερά και ηττάται στο δεξί πλευρό. Αν δεν είδατε καλά, αγαπητέ κύριε, τότε μην επιτρέψετε στον εαυτό σας να πει αυτό που δεν γνωρίζετε. Παρακαλώ, πηγαίνετε στον στρατηγό Μπάρκλεϊ και του μεταφέρετε την επόμενη μέρα την απόλυτη πρόθεσή μου να επιτεθώ στον εχθρό», είπε αυστηρά ο Κουτούζοφ. Όλοι ήταν σιωπηλοί και το μόνο που ακουγόταν ήταν η βαριά ανάσα του λαχανιασμένου γέρου στρατηγού. «Ήταν απωθημένοι παντού, για το οποίο ευχαριστώ τον Θεό και τον γενναίο στρατό μας». Ο εχθρός ηττήθηκε και αύριο θα τον διώξουμε από την ιερή ρωσική γη», είπε ο Κουτούζοφ, σταυρώνοντας τον εαυτό του. και ξαφνικά έκλαψε από τα δάκρυα που ήρθαν. Ο Γουλτσόγκεν, ανασηκώνοντας τους ώμους του και σφίγγοντας τα χείλη του, απομακρύνθηκε σιωπηλά στο πλάι, αναρωτούμενος uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [σε αυτή την τυραννία του γέρου κυρίου. (γερμανικά)]
«Ναι, ορίστε, ήρωά μου», είπε ο Κουτούζοφ στον παχουλό, όμορφο, μαυρομάλλη στρατηγό, που έμπαινε στο ανάχωμα εκείνη την ώρα. Ήταν ο Ραέφσκι, ο οποίος πέρασε όλη την ημέρα στο κεντρικό σημείο του γηπέδου Borodino.
Ο Ραέφσκι ανέφερε ότι τα στρατεύματα ήταν σταθερά στις θέσεις τους και ότι οι Γάλλοι δεν τολμούσαν πια να επιτεθούν. Αφού τον άκουσε, ο Κουτούζοφ είπε στα γαλλικά:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer; [Δεν νομίζετε, λοιπόν, όπως άλλοι, ότι πρέπει να υποχωρήσουμε;] Αποδείξεις θεωρημάτων για τις ιδιότητες του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου

Κάθετη διχοτόμος σε ευθύγραμμο τμήμα

Ορισμός 1. Κάθετη διχοτόμος σε τμήμαονομάζεται ευθεία κάθετη στο τμήμα αυτό και διέρχεται από το μέσο του (Εικ. 1).

Θεώρημα 1. Κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τα άκρα αυτό το τμήμα.

Απόδειξη . Ας θεωρήσουμε ένα αυθαίρετο σημείο D που βρίσκεται στη μεσοκάθετο στο τμήμα AB (Εικ. 2) και ας αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα ADC και BDC είναι ίσα.

Πράγματι, αυτά τα τρίγωνα είναι ορθογώνια τρίγωνα στα οποία τα σκέλη AC και BC είναι ίσα και το σκέλος DC είναι κοινό. Η ισότητα των τριγώνων ADC και BDC συνεπάγεται την ισότητα των τμημάτων AD και DB. Το θεώρημα 1 είναι αποδεδειγμένο.

Θεώρημα 2 (Αντιστροφή στο Θεώρημα 1). Εάν ένα σημείο βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τα άκρα ενός τμήματος, τότε βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.

Απόδειξη . Ας αποδείξουμε το Θεώρημα 2 με αντίφαση. Για το σκοπό αυτό, υποθέστε ότι κάποιο σημείο Ε βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τα άκρα του τμήματος, αλλά δεν βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα. Ας φέρουμε αυτή την υπόθεση σε αντίφαση. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση που τα σημεία Ε και Α βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της κάθετης διχοτόμου (Εικ. 3). Στην περίπτωση αυτή, το τμήμα ΕΑ τέμνει τη μεσοκάθετο σε κάποιο σημείο, την οποία θα συμβολίσουμε με το γράμμα Δ.

Ας αποδείξουμε ότι το τμήμα ΑΕ είναι μεγαλύτερο από το τμήμα ΕΒ. Πραγματικά,

Έτσι, στην περίπτωση που τα σημεία Ε και Α βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της κάθετης διχοτόμου, έχουμε αντίφαση.

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που τα σημεία Ε και Α βρίσκονται στην ίδια πλευρά της κάθετης διχοτόμου (Εικ. 4). Ας αποδείξουμε ότι το τμήμα ΕΒ είναι μεγαλύτερο από το τμήμα ΑΕ. Πραγματικά,

Η προκύπτουσα αντίφαση ολοκληρώνει την απόδειξη του Θεωρήματος 2

Κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα τρίγωνο

Ορισμός 2. Ένας κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα τρίγωνο, ονομάζεται κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές του τριγώνου (Εικ. 5). Στην περίπτωση αυτή καλείται το τρίγωνο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλοή εγγεγραμμένο τρίγωνο.

Ιδιότητες του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου. Θεώρημα ημιτόνων

Εικόνα	Σχέδιο	Ιδιοκτησία
Κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές του τριγώνου		τέμνονται σε ένα σημείο .

Κέντρο κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα οξύ τρίγωνο		Κέντρο περιγράφεται για οξεία γωνία μέσα τρίγωνο.
Κέντρο κύκλος περιγεγραμμένος σε ορθογώνιο τρίγωνο		Το κέντρο περιέγραψε για ορθογώνιος μέσο της υποτείνουσας .
Κέντρο κύκλος περιγεγραμμένος σε αμβλύ τρίγωνο		Κέντρο περιγράφεται για αμβλεία γωνία τρίγωνο κύκλο ψέματα εξω απο τρίγωνο.
		,
τετράγωνο τρίγωνο		S= 2R 2 αμαρτία ΕΝΑαμαρτία σιαμαρτία ντο ,
Circumradius		Για οποιοδήποτε τρίγωνο η ισότητα είναι αληθής:

Κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές ενός τριγώνου

Όλες οι κάθετες διχοτόμοι , τραβηγμένο στις πλευρές ενός αυθαίρετου τριγώνου, τέμνονται σε ένα σημείο .

Κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα τρίγωνο

Οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να περιβάλλεται από έναν κύκλο . Το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο είναι το σημείο στο οποίο τέμνονται όλες οι κάθετες διχοτόμοι που τέμνονται στις πλευρές του τριγώνου.

Κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός οξέος τριγώνου

Κέντρο περιγράφεται για οξεία γωνία τρίγωνο κύκλο ψέματα μέσα τρίγωνο.

Κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ορθογωνίου τριγώνου

Το κέντρο περιέγραψε για ορθογώνιος τριγωνικός κύκλος είναι μέσο της υποτείνουσας .

Κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου αμβλείας τριγώνου

Κέντρο περιγράφεται για αμβλεία γωνία τρίγωνο κύκλο ψέματα εξω απο τρίγωνο.

Για οποιοδήποτε τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες (ημιτονικό θεώρημα):

όπου a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου, A, B, C οι γωνίες του τριγώνου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Εμβαδόν τριγώνου

Για οποιοδήποτε τρίγωνο η ισότητα είναι αληθής:

S= 2R 2 αμαρτία ΕΝΑαμαρτία σιαμαρτία ντο ,

όπου A, B, C είναι οι γωνίες του τριγώνου, S είναι η περιοχή του τριγώνου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Circumradius

Για οποιοδήποτε τρίγωνο η ισότητα είναι αληθής:

όπου a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου, S είναι η περιοχή του τριγώνου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Αποδείξεις θεωρημάτων για τις ιδιότητες του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου

Θεώρημα 3. Όλες οι κάθετες διχοτόμοι που τέμνονται στις πλευρές ενός αυθαίρετου τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Απόδειξη . Ας εξετάσουμε δύο κάθετες διχοτόμους που σχεδιάζονται στις πλευρές AC και AB του τριγώνου ABC και δηλώνουμε το σημείο τομής τους με το γράμμα O (Εικ. 6).

Εφόσον το σημείο Ο βρίσκεται στη μεσοκάθετο στο τμήμα AC, τότε δυνάμει του Θεωρήματος 1 η ισότητα είναι αληθής.