Fórmulas para resolver ecuaciones trigonométricas simples. Cómo resolver ecuaciones trigonométricas

Tarea número 1

La lógica es simple: haremos lo que hicimos antes, ¡sin importar que ahora las funciones trigonométricas tienen un argumento más complejo!

Si tuviéramos que resolver una ecuación de la forma:

Luego escribiríamos la siguiente respuesta:

O (desde)

Pero ahora nuestro papel lo juega esta expresión:

Entonces podemos escribir:

¡Nuestro objetivo con usted es asegurarnos de que el lado izquierdo quede simple, sin “impurezas”!

¡Vamos a deshacernos de ellos poco a poco!

Primero, eliminemos el denominador en: para hacer esto, multipliquemos nuestra igualdad por:

Ahora eliminémoslo dividiendo ambas partes en él:

Ahora deshagámonos de los ocho:

La expresión resultante se puede escribir como 2 series de soluciones (por analogía con una ecuación cuadrática, donde sumamos o restamos el discriminante)

¡Necesitamos encontrar la raíz negativa más grande! Está claro que tenemos que solucionarlo.

Veamos primero el primer episodio:

Está claro que si tomamos, como resultado obtendremos números positivos, pero no nos interesan.

Entonces debes tomarlo como negativo. Permitir.

Cuando la raíz será más estrecha:

¡¡Y hay que encontrar el mayor negativo!! Esto significa que ir en dirección negativa ya no tiene sentido aquí. Y la raíz negativa más grande de esta serie será igual a.

Ahora veamos la segunda serie:

Y nuevamente sustituimos: , entonces:

¡No interesado!

¡Entonces no tiene sentido seguir aumentando! ¡Reducámoslo! Vamos entonces:

¡Encaja!

Permitir. Entonces

Entonces, ¡la raíz negativa más grande!

Respuesta:

Tarea número 2

Resolvemos nuevamente, independientemente del argumento del coseno complejo:

Ahora volvemos a expresar por la izquierda:

Multiplica ambos lados por

Dividir ambos lados por

Sólo queda moverlo hacia la derecha, cambiando su signo de menos a más.

Nuevamente obtenemos 2 series de raíces, una con y otra con.

Necesitamos encontrar la raíz negativa más grande. Veamos el primer episodio:

Está claro que obtendremos la primera raíz negativa en, será igual y será la raíz negativa más grande en 1 serie.

Para la segunda serie

La primera raíz negativa también se obtendrá en y será igual a. Desde entonces es la raíz negativa más grande de la ecuación.

Respuesta: .

Tarea número 3

Resolvemos, independientemente del argumento tangente complejo.

Ahora bien, no parece complicado, ¿verdad?

Como antes, expresamos en el lado izquierdo:

Bueno, eso es genial, ¡aquí solo hay una serie de raíces! Encontremos nuevamente el mayor negativo.

Está claro que resulta si lo dejas. Y esta raíz es igual.

Respuesta:

Ahora intente resolver usted mismo los siguientes problemas.

Tarea o 3 tareas para resolver de forma independiente.

1. Resuelve la ecuación.
   
2. Resuelve la ecuación.
   En la respuesta a la raíz pi-shi-th-la-más pequeña posible.
3. Resuelve la ecuación.
   En la respuesta a la raíz pi-shi-th-la-más pequeña posible.

¿Listo? Vamos a revisar. No describiré en detalle todo el algoritmo de solución; me parece que ya ha recibido suficiente atención anteriormente.

Bueno, ¿está todo bien? ¡Oh, esos desagradables senos nasales, siempre tienen algún tipo de problema!

Bueno, ¡ahora puedes resolver ecuaciones trigonométricas simples!

Consulte las soluciones y respuestas:

Tarea número 1

vamos a expresar

La raíz positiva más pequeña se obtiene si ponemos, ya que, entonces

Respuesta:

Tarea número 2

La raíz positiva más pequeña se obtiene en.

Será igual.

Respuesta: .

Tarea número 3

Cuando lo consigamos, cuando lo tengamos.

Respuesta: .

Este conocimiento le ayudará a resolver muchos problemas que encontrará en el examen.

Si está solicitando una calificación de “5”, entonces solo necesita continuar leyendo el artículo para nivel medio que se dedicará a resolver ecuaciones trigonométricas más complejas (tarea C1).

NIVEL PROMEDIO

En este artículo describiré resolver ecuaciones trigonométricas más complejas y cómo seleccionar sus raíces. Aquí me basaré en los siguientes temas:

1. Ecuaciones trigonométricas para nivel principiante (ver arriba).

Las ecuaciones trigonométricas más complejas son la base para problemas avanzados. Requieren tanto resolver la ecuación en sí en forma general como encontrar las raíces de esta ecuación que pertenecen a un determinado intervalo dado.

Resolver ecuaciones trigonométricas se reduce a dos subtareas:

1. Resolviendo la ecuación
2. Selección de raíz

Cabe señalar que el segundo no siempre es necesario, pero en la mayoría de los ejemplos aún se requiere la selección. Pero si no es necesario, entonces podemos simpatizar con usted; esto significa que la ecuación es bastante compleja en sí misma.

Mi experiencia en el análisis de problemas C1 muestra que generalmente se dividen en las siguientes categorías.

Cuatro categorías de tareas de mayor complejidad (anteriormente C1)

1. Ecuaciones que se reducen a factorización.
2. Ecuaciones reducidas a la forma.
3. Ecuaciones resueltas cambiando una variable.
4. Ecuaciones que requieren selección adicional de raíces debido a irracionalidad o denominador.

En pocas palabras: si te atrapan una de las ecuaciones de los primeros tres tipos, entonces considérate afortunado. Para ellos, por regla general, también es necesario seleccionar raíces que pertenezcan a un intervalo determinado.

Si te encuentras con una ecuación del tipo 4, entonces tienes menos suerte: necesitas jugar con ella por más tiempo y con más cuidado, pero muy a menudo no requiere una selección adicional de raíces. No obstante, analizaré este tipo de ecuaciones en el próximo artículo, y este lo dedicaré a resolver ecuaciones de los tres primeros tipos.

Ecuaciones que se reducen a factorización.

Lo más importante que debes recordar para resolver este tipo de ecuación es

Como muestra la práctica, este conocimiento suele ser suficiente. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1. Ecuación reducida a factorización usando las fórmulas de reducción y seno de doble ángulo

• resolver la ecuacion
• Encuentra todas las raíces de esta ecuación que se encuentran por encima del corte.

Aquí, como prometí, las fórmulas de reducción funcionan:

Entonces mi ecuación se verá así:

Entonces mi ecuación tomará la siguiente forma:

Un estudiante miope podría decir: ¡ahora reduciré ambos lados, obtendré la ecuación más simple y disfrutaré de la vida! ¡Y se equivocará amargamente!

¿Entonces lo que hay que hacer? Sí, es sencillo, mueve todo a un lado y saca el factor común:

Bueno, lo factorizamos en factores, ¡hurra! Ahora decidamos:

La primera ecuación tiene raíces:

Y el segundo:

Esto completa la primera parte del problema. Ahora necesitas seleccionar las raíces:

La brecha es así:

O también se puede escribir así:

Bueno, vayamos a las raíces:

Primero, trabajemos con el primer episodio (¡y es más simple, por decir lo menos!)

Dado que nuestro intervalo es completamente negativo, no es necesario tomar intervalos no negativos, aún así darán raíces no negativas.

Entonces, tomémoslo: es demasiado, no acierta.

Entonces déjalo así, no volví a golpearlo.

Un intento más, luego, ¡sí, lo tengo! ¡Se ha encontrado la primera raíz!

Disparo de nuevo: ¡luego golpeo de nuevo!

Bueno, una vez más: : - esto ya es un vuelo.

Entonces de la primera serie hay 2 raíces que pertenecen al intervalo: .

Estamos trabajando con la segunda serie (estamos construyendo a la potencia según la regla):

¡No alcanzar!

¡Otra vez echándolo de menos!

¡Otra vez echándolo de menos!

¡Entiendo!

¡Vuelo!

Por tanto, mi intervalo tiene las siguientes raíces:

Este es el algoritmo que usaremos para resolver todos los demás ejemplos. Practiquemos juntos con un ejemplo más.

Ejemplo 2. Ecuación reducida a factorización mediante fórmulas de reducción

• Resuelve la ecuación

Solución:

De nuevo las famosas fórmulas de reducción:

¡No intentes recortar de nuevo!

La primera ecuación tiene raíces:

Y el segundo:

Ahora de nuevo la búsqueda de raíces.

Comenzaré con el segundo episodio, ¡ya sé todo por el ejemplo anterior! Mira y asegúrate de que las raíces pertenecientes al intervalo sean las siguientes:

Ahora el primer episodio y es más sencillo:

Si - adecuado

Si eso también está bien

Si ya es un vuelo.

Entonces las raíces quedarán de la siguiente manera:

Trabajo independiente. 3 ecuaciones.

Bueno, ¿te queda clara la técnica? ¿Resolver ecuaciones trigonométricas ya no parece tan difícil? Luego resuelva rápidamente los siguientes problemas usted mismo y luego resolveremos otros ejemplos:

1. Resuelve la ecuación
   Encuentra todas las raíces de esta ecuación que se encuentran por encima del intervalo.
2. resolver la ecuacion
   Indique las raíces de la ecuación que se encuentran encima del corte.
3. resolver la ecuacion
   Encuentra todas las raíces de esta ecuación que se encuentran entre ellas.

Ecuación 1.

Y nuevamente la fórmula de reducción:

Primera serie de raíces:

Segunda serie de raíces:

Comenzamos la selección para la brecha.

Respuesta: , .

Ecuación 2. Comprobación del trabajo independiente.

Una agrupación bastante complicada en factores (usaré la fórmula del seno del doble ángulo):

entonces o

Esta es una solución general. Ahora necesitamos seleccionar las raíces. El problema es que no podemos decir el valor exacto de un ángulo cuyo coseno es igual a un cuarto. Por lo tanto, no puedo simplemente deshacerme del arco coseno, ¡qué pena!

Lo que puedo hacer es darme cuenta de que sí, entonces.

Creemos una tabla: intervalo:

Bueno, a través de búsquedas dolorosas llegamos a la decepcionante conclusión de que nuestra ecuación tiene una raíz en el intervalo indicado: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Ecuación 3: Prueba de trabajo independiente.

Una ecuación que parece aterradora. Sin embargo, se puede resolver de forma bastante sencilla aplicando la fórmula del seno del doble ángulo:

Reducámoslo a 2:

Agrupemos el primer término con el segundo y el tercero con el cuarto y saquemos los factores comunes:

Está claro que la primera ecuación no tiene raíces, y ahora consideremos la segunda:

En general, iba a detenerme un poco más tarde en resolver este tipo de ecuaciones, pero como apareció, no hay nada que hacer, tengo que resolver...

Ecuaciones de la forma:

Esta ecuación se resuelve dividiendo ambos lados por:

Por tanto, nuestra ecuación tiene una única serie de raíces:

Necesitamos encontrar aquellos que pertenecen al intervalo: .

Construyamos una tabla nuevamente, como hice antes:

Respuesta: .

Ecuaciones reducidas a la forma:

Bueno, ahora es el momento de pasar a la segunda parte de ecuaciones, especialmente porque ya he contado en qué consiste la solución de ecuaciones trigonométricas de un nuevo tipo. Pero vale la pena repetir que la ecuación es de la forma

Resuelto dividiendo ambos lados por coseno:

1. resolver la ecuacion
   Indique las raíces de la ecuación que se encuentran encima del corte.
2. resolver la ecuacion
   Indique las raíces de la ecuación que se encuentran entre ellas.

Ejemplo 1.

El primero es bastante sencillo. Muévete hacia la derecha y aplica la fórmula del coseno de doble ángulo:

¡Sí! Ecuación de la forma: . Divido ambas partes por

Realizamos análisis de raíces:

Brecha:

Respuesta:

Ejemplo 2.

Todo también es bastante trivial: abramos los corchetes de la derecha:

Identidad trigonométrica básica:

Seno de doble ángulo:

Finalmente obtenemos:

Cribado de raíces: intervalo.

Respuesta: .

Bueno, ¿a ti te gusta la técnica, no es demasiado complicada? Espero que no. Inmediatamente podemos hacer una reserva: en su forma pura, las ecuaciones que se reducen inmediatamente a una ecuación para la tangente son bastante raras. Normalmente, esta transición (división por coseno) es sólo una parte de un problema más complejo. Aquí te dejamos un ejemplo para que practiques:

• resolver la ecuacion
• Encuentra todas las raíces de esta ecuación que se encuentran por encima del corte.

Vamos a revisar:

La ecuación se puede resolver inmediatamente; basta con dividir ambos lados por:

Detección de raíces:

Respuesta: .

De una forma u otra, todavía tenemos que encontrar ecuaciones del tipo que acabamos de examinar. Sin embargo, es demasiado pronto para dar por terminado el día: todavía hay una “capa” más de ecuaciones que no hemos analizado. Entonces:

Resolver ecuaciones trigonométricas cambiando variables.

Aquí todo es transparente: miramos de cerca la ecuación, la simplificamos tanto como sea posible, hacemos una sustitución, la resolvemos, ¡hacemos una sustitución inversa! En palabras todo es muy fácil. Veámoslo en acción:

Ejemplo.

• Resuelve la ecuación: .
• Encuentra todas las raíces de esta ecuación que se encuentran por encima del corte.

Bueno, ¡aquí se nos sugiere el reemplazo!

Entonces nuestra ecuación se convertirá en esto:

La primera ecuación tiene raíces:

Y el segundo es así:

Ahora encontremos las raíces pertenecientes al intervalo.

Respuesta: .

Veamos juntos un ejemplo un poco más complejo:

• resolver la ecuacion
• Indique las raíces de la ecuación dada, que se encuentran arriba y entre ellas.

Aquí el reemplazo no es visible de inmediato, además, no es muy obvio. Pensemos primero: ¿qué podemos hacer?

Podemos, por ejemplo, imaginar

Y al mismo tiempo

Entonces mi ecuación tomará la forma:

Y ahora atención, concéntrate:

Dividamos ambos lados de la ecuación por:

¡De repente tú y yo tenemos una ecuación cuadrática relativa! Hagamos un reemplazo, luego obtenemos:

La ecuación tiene las siguientes raíces:

Segunda serie de raíces desagradables, ¡pero no se puede hacer nada! Seleccionamos raíces en el intervalo.

También debemos considerar que

Desde y entonces

Respuesta:

Para reforzar esto antes de que resuelvas los problemas tú mismo, aquí tienes otro ejercicio:

• resolver la ecuacion
• Encuentra todas las raíces de esta ecuación que se encuentran entre ellas.

Aquí debes mantener los ojos abiertos: ¡ahora tenemos denominadores que pueden ser cero! ¡Por lo tanto, debes estar especialmente atento a las raíces!

En primer lugar, necesito reorganizar la ecuación para poder hacer una sustitución adecuada. No se me ocurre nada mejor ahora que reescribir la tangente en términos de seno y coseno:

Ahora pasaré del coseno al seno usando la identidad trigonométrica básica:

Y finalmente, llevaré todo a un denominador común:

Ahora puedo pasar a la ecuación:

Pero en (es decir, en).

Ahora todo está listo para ser reemplazado:

Entonces o

Sin embargo, tenga en cuenta que si, ¡al mismo tiempo!

¿Quién sufre esto? El problema de la tangente es que no está definida cuando el coseno es igual a cero (se produce la división por cero).

Así, las raíces de la ecuación son:

Ahora tamizamos las raíces en el intervalo:

Por tanto, nuestra ecuación tiene una raíz única en el intervalo y es igual.

Verás: la aparición de un denominador (¡al igual que la tangente, conlleva ciertas dificultades con las raíces! ¡Aquí hay que tener más cuidado!).

Bueno, tú y yo casi hemos terminado de analizar ecuaciones trigonométricas, queda muy poco para resolver dos problemas por tu cuenta. Aquí están.

1. Resuelve la ecuación
   Encuentra todas las raíces de esta ecuación que se encuentran por encima del corte.
2. resolver la ecuacion
   Indique las raíces de esta ecuación, ubicadas encima del corte.

¿Decidido? ¿No es muy difícil? Vamos a revisar:

1. Trabajamos según las fórmulas de reducción:

   Sustituye en la ecuación:

   Reescribamos todo mediante cosenos para que sea más fácil realizar el reemplazo:

   Ahora es fácil hacer un reemplazo:

   Está claro que es una raíz extraña, ya que la ecuación no tiene soluciones. Entonces:

   Buscamos las raíces que necesitamos en el intervalo.

   Respuesta: .

2. 
   Aquí el reemplazo es inmediatamente visible:

   Entonces o

   	- ¡encaja!	- ¡encaja!
   	- ¡encaja!	- ¡encaja!
   	- ¡mucho!	- ¡también mucho!

   Respuesta:

Bueno, ¡eso es todo ahora! Pero la resolución de ecuaciones trigonométricas no termina ahí; nos quedamos atrás en los casos más difíciles: cuando las ecuaciones contienen irracionalidad o varios tipos de “denominadores complejos”. Veremos cómo resolver este tipo de tareas en un artículo para un nivel avanzado.

NIVEL AVANZADO

Además de las ecuaciones trigonométricas analizadas en los dos artículos anteriores, consideraremos otra clase de ecuaciones que requieren un análisis aún más cuidadoso. Estos ejemplos trigonométricos contienen irracionalidad o un denominador, lo que dificulta su análisis.. Sin embargo, es posible que encuentre estas ecuaciones en la Parte C del examen. Sin embargo, cada nube tiene un lado positivo: para tales ecuaciones, por regla general, ya no se plantea la cuestión de cuál de sus raíces pertenece a un intervalo dado. No nos andemos con rodeos, sino que vayamos directamente a los ejemplos trigonométricos.

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación y encuentra las raíces que pertenecen al segmento.

Solución:

¡Tenemos un denominador que no debería ser igual a cero! Entonces resolver esta ecuación es lo mismo que resolver el sistema

Resolvamos cada una de las ecuaciones:

Y ahora el segundo:

Ahora veamos la serie:

Está claro que esta opción no nos conviene, ya que en este caso nuestro denominador se pone a cero (ver la fórmula de las raíces de la segunda ecuación)

Si es así, ¡todo está en orden y el denominador no es cero! Entonces las raíces de la ecuación son las siguientes: , .

Ahora seleccionamos las raíces pertenecientes al intervalo.

Entonces las raíces son las siguientes:

Verá, incluso la aparición de una pequeña alteración en la forma del denominador afectó significativamente la solución de la ecuación: descartamos una serie de raíces que anulaban el denominador. Las cosas pueden complicarse aún más si te encuentras con ejemplos trigonométricos que son irracionales.

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación:

Solución:

Bueno, al menos no hay que quitarle las raíces, ¡y eso es bueno! Primero resolvamos la ecuación, independientemente de la irracionalidad:

Entonces, ¿eso es todo? ¡No, ay, sería demasiado fácil! Debemos recordar que bajo la raíz sólo pueden aparecer números no negativos. Entonces:

La solución a esta desigualdad es:

Ahora queda por descubrir si parte de las raíces de la primera ecuación terminaron inadvertidamente donde la desigualdad no se cumple.

Para hacer esto, puedes usar nuevamente la tabla:

¡Así, una de mis raíces “se cayó”! Resulta si lo dejas. Entonces la respuesta se puede escribir de la siguiente manera:

Respuesta:

Verás, ¡la raíz requiere aún más atención! Hagámoslo más complicado: ahora tengo una función trigonométrica debajo de mi raíz.

Ejemplo 3.

Como antes: primero resolveremos cada uno por separado, y luego pensaremos en lo que hemos hecho.

Ahora la segunda ecuación:

Ahora lo más difícil es saber si se obtienen valores negativos bajo la raíz aritmética si sustituimos allí las raíces de la primera ecuación:

El número debe entenderse en radianes. Dado que un radianes equivale aproximadamente a grados, los radianes son del orden de grados. Esta es la esquina del segundo cuarto. ¿Cuál es el signo del coseno del segundo cuarto? Menos. ¿Qué pasa con el seno? Más. Entonces, ¿qué podemos decir sobre la expresión?

¡Es menos que cero!

Esto significa que no es la raíz de la ecuación.

Ahora es el momento.

Comparemos este número con cero.

La cotangente es una función que decrece en 1 trimestre (cuanto menor es el argumento, mayor es la cotangente). los radianes son aproximadamente grados. Al mismo tiempo

desde entonces y por lo tanto
,

Respuesta: .

¿Podría volverse más complicado? ¡Por favor! Será más difícil si la raíz sigue siendo una función trigonométrica y la segunda parte de la ecuación vuelve a ser una función trigonométrica.

Cuantos más ejemplos trigonométricos, mejor, consulte a continuación:

Ejemplo 4.

La raíz no es adecuada debido al coseno limitado.

Ahora el segundo:

Al mismo tiempo, por definición de raíz:

Debemos recordar el círculo unitario: es decir, aquellos cuartos donde el seno es menor que cero. ¿Cuáles son estos cuartos? Tercero y cuarto. Entonces nos interesarán aquellas soluciones de la primera ecuación que se encuentran en el tercer o cuarto trimestre.

La primera serie da raíces que se encuentran en la intersección del tercer y cuarto cuarto. La segunda serie, diametralmente opuesta a ella, da lugar a raíces que se encuentran en el borde del primer y segundo cuarto. Por tanto, esta serie no es adecuada para nosotros.

Respuesta: ,

Y otra vez Ejemplos trigonométricos con "irracionalidad difícil". ¡No solo tenemos nuevamente la función trigonométrica debajo de la raíz, sino que ahora también está en el denominador!

Ejemplo 5.

Bueno, no se puede hacer nada, hacemos lo mismo que antes.

Ahora trabajamos con el denominador:

No quiero resolver la desigualdad trigonométrica, así que haré algo inteligente: tomaré y sustituiré mi serie de raíces en la desigualdad:

Si - es par, entonces tenemos:

ya que todos los ángulos de visión se encuentran en el cuarto trimestre. Y de nuevo la sagrada pregunta: ¿cuál es el signo del seno en el cuarto cuarto? Negativo. Entonces la desigualdad

Si es impar, entonces:

¿En qué cuarto se encuentra el ángulo? Esta es la esquina del segundo cuarto. Entonces todas las esquinas vuelven a ser las esquinas del segundo cuarto. El seno allí es positivo. ¡Justo lo que necesitas! Entonces la serie:

¡Encaja!

Tratamos la segunda serie de raíces de la misma manera:

Sustituimos en nuestra desigualdad:

Si - incluso, entonces

Córners del primer cuarto. El seno allí es positivo, lo que significa que la serie es adecuada. Ahora bien, si es impar, entonces:

¡También encaja!

Bueno, ¡ahora anotamos la respuesta!

Respuesta:

Bueno, este fue quizás el caso que requirió más mano de obra. Ahora te ofrezco problemas para que los resuelvas por tu cuenta.

Capacitación

1. Resuelve y encuentra todas las raíces de la ecuación que pertenecen al segmento.

Soluciones:

1. 
   Primera ecuación:
   o
   ODZ raíz:

   Segunda ecuación:

   Selección de raíces que pertenecen al intervalo.

   Respuesta:

O
o
Pero

Consideremos: . Si - incluso, entonces
- ¡no encaja!
Si es impar: ¡adecuado!
Esto significa que nuestra ecuación tiene la siguiente serie de raíces:
o
Selección de raíces en el intervalo:

	- no adecuado	- encaja
	- encaja	- mucho
	- encaja	mucho

Respuesta: , .

O
Desde entonces la tangente no está definida. ¡Descartamos inmediatamente esta serie de raíces!

Segunda parte:

Al mismo tiempo, según DZ se requiere que

Comprobamos las raíces encontradas en la primera ecuación:

Si el signo:

Ángulos del primer cuarto donde la tangente es positiva. ¡No encaja!
Si el signo:

Esquina del cuarto cuarto. Allí la tangente es negativa. Encaja. Anotamos la respuesta:

Respuesta: , .

Hemos analizado juntos ejemplos trigonométricos complejos en este artículo, pero debes resolver las ecuaciones tú mismo.

RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está estrictamente bajo el signo de la función trigonométrica.

Hay dos formas de resolver ecuaciones trigonométricas:

La primera forma es utilizar fórmulas.

La segunda forma es a través del círculo trigonométrico.

Le permite medir ángulos, encontrar sus senos, cosenos, etc.

Resolver una ecuación trigonométrica consta de dos etapas: transformación de ecuación para hacerlo más simple tipo (ver arriba) y soluciónel resultado más simple ecuación trigonométrica. Hay siete Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.

1. Método algebraico.

(método de sustitución y sustitución de variables).

2. Factorización.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación: pecado X+porque X = 1 .

Solución. Movamos todos los términos de la ecuación hacia la izquierda:

Pecado X+porque X – 1 = 0 ,

Transformemos y factoricemos la expresión en

Lado izquierdo de la ecuación:

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación: porque 2 X+ pecado X porque X = 1.

Solución: cos 2 X+ pecado X porque X– pecado 2 X– porque 2 X = 0 ,

Pecado X porque X– pecado 2 X = 0 ,

Pecado X· (porque X– pecado X ) = 0 ,

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación: porque 2 X–cos 8 X+ porque 6 X = 1.

Solución: cos 2 X+ porque 6 X= 1 + porque 8 X,

2 porque 4 X porque 2 X= 2cos² 4 X ,

porque 4 X · (porque 2 X– porque 4 X) = 0 ,

porque 4 X · 2 pecado 3 X pecado X = 0 ,

1). porque 4 X= 0, 2). pecado 3 X= 0, 3). pecado X = 0 ,

4. Transición a medio ángulo.

Veamos este método como ejemplo:

EJEMPLO Resolver ecuación: 3 pecado X– 5 porque X = 7.

Solución: 6 pecado ( X/ 2) porque ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sen² ( X/ 2) =

7 pecado² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 pecado² ( X/ 2) – 6 pecado ( X/ 2) porque ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

bronceado²( X/ 2) – 3 bronceado ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Introducción de un ángulo auxiliar.

Considere una ecuación de la forma:

a pecado X + b porque X = C ,

Dónde a, b, C– coeficientes;X- desconocido.

Ahora los coeficientes de la ecuación tienen las propiedades del seno y el coseno, a saber: módulo (valor absoluto) de cada uno de los cuales no más de 1, y la suma de sus cuadrados es 1. Entonces podemos denotar ellos en consecuencia Cómo cos y pecado (aquí - llamado ángulo auxiliar), Ytoma nuestra ecuación

Lección y presentación sobre el tema: "Resolución de ecuaciones trigonométricas simples"

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Qué estudiaremos:
1. ¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

3. Dos métodos principales para resolver ecuaciones trigonométricas.
4. Ecuaciones trigonométricas homogéneas.
5. Ejemplos.

¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

Chicos, ya hemos estudiado arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente. Ahora veamos las ecuaciones trigonométricas en general.

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones en las que una variable está contenida bajo el signo de una función trigonométrica.

Repitamos la forma de resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:

1)Si |a|≤ 1, entonces la ecuación cos(x) = a tiene solución:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Si |a|≤ 1, entonces la ecuación sin(x) = a tiene solución:

3) Si |a| > 1, entonces la ecuación sin(x) = a y cos(x) = a no tienen soluciones 4) La ecuación tg(x)=a tiene solución: x=arctg(a)+ πk

5) La ecuación ctg(x)=a tiene solución: x=arcctg(a)+ πk

Para todas las fórmulas k es un número entero

Las ecuaciones trigonométricas más simples tienen la forma: T(kx+m)=a, T es alguna función trigonométrica.

Resuelve las ecuaciones: a) sin(3x)= √3/2

Solución:

A) Denotemos 3x=t, luego reescribiremos nuestra ecuación en la forma:

La solución a esta ecuación será: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

De la tabla de valores obtenemos: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Volvamos a nuestra variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Entonces x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Respuesta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, donde n es un número entero. (-1)^n – menos uno elevado a n.

Más ejemplos de ecuaciones trigonométricas.

Solución:

A) Esta vez pasemos directamente al cálculo de las raíces de la ecuación:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Entonces x/5= πk => x=5πk

Respuesta: x=5πk, donde k es un número entero.

B) Lo escribimos de la forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sabemos que: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Respuesta: x=2π/9 + πk/3, donde k es un número entero.

Resuelve las ecuaciones: cos(4x)= √2/2. Y encuentra todas las raíces en el segmento.

Solución:

Resolvamos nuestra ecuación en forma general: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ahora veamos qué raíces caen en nuestro segmento. En k En k=0, x= π/16, estamos en el segmento dado.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, acertamos de nuevo.
Para k=2, x= π/16+ π=17π/16, pero aquí no acertamos, lo que significa que para k grande obviamente tampoco acertaremos.

Respuesta: x= π/16, x= 9π/16

Dos métodos de solución principales.

Resolvamos la ecuación:

Solución:
Para resolver nuestra ecuación, usaremos el método de introducir una nueva variable, que denota: t=tg(x).

Como resultado del reemplazo obtenemos: t 2 + 2t -1 = 0

Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: t=-1 y t=1/3

Entonces tg(x)=-1 y tg(x)=1/3, obtenemos la ecuación trigonométrica más simple, encontremos sus raíces.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Respuesta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un ejemplo de resolución de una ecuación.

Resuelve las ecuaciones: 2sen 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solución:

Usemos la identidad: sen 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nuestra ecuación tomará la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 porque 2 (x) - 3 porque(x) -2 = 0

Introduzcamos el reemplazo t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La solución a nuestra ecuación cuadrática son las raíces: t=2 y t=-1/2

Entonces cos(x)=2 y cos(x)=-1/2.

Porque el coseno no puede tomar valores mayores que uno, entonces cos(x)=2 no tiene raíces.

Para cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Respuesta: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Ecuaciones de la forma

ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado.

Para resolver una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado, divídela por cos(x): No se puede dividir por el coseno si es igual a cero, asegurémonos de que no sea así:
Sea cos(x)=0, entonces asin(x)+0=0 => sin(x)=0, pero el seno y el coseno no son iguales a cero al mismo tiempo, obtenemos una contradicción, por lo que podemos dividir con seguridad por cero.

Resuelve la ecuación:
Ejemplo: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solución:

Saquemos el factor común: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Entonces necesitamos resolver dos ecuaciones:

Cos(x)=0 y cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 en x= π/2 + πk;

Considere la ecuación cos(x)+sin(x)=0 Divida nuestra ecuación por cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Respuesta: x= π/2 + πk y x= -π/4+πk

¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado?
¡Chicos, sigan siempre estas reglas!

1. Vea a qué es igual el coeficiente a, si a=0 entonces nuestra ecuación tomará la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), cuyo ejemplo de solución se encuentra en la diapositiva anterior.

2. Si a≠0, entonces necesitas dividir ambos lados de la ecuación por el coseno al cuadrado, obtenemos:

Cambiamos la variable t=tg(x) y obtenemos la ecuación:

Resolver ejemplo No.:3

Dividamos ambos lados de la ecuación por el coseno cuadrado:

Cambiamos la variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: t=-3 y t=1

Entonces: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Respuesta: x=-arctg(3) + πk y x= π/4+ πk

Resolver ejemplo No.:4

Solución:
Transformemos nuestra expresión:

Podemos resolver tales ecuaciones: x= - π/4 + 2πk y x=5π/4 + 2πk

Respuesta: x= - π/4 + 2πk y x=5π/4 + 2πk

Resolver ejemplo nº:5

Solución:
Transformemos nuestra expresión:

Introduzcamos el reemplazo tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La solución de nuestra ecuación cuadrática serán las raíces: t=-2 y t=1/2

Entonces obtenemos: tg(2x)=-2 y tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Respuesta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 y x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemas para solución independiente.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Resuelve las ecuaciones: sin(3x)= √3/2. Y encuentre todas las raíces en el segmento [π/2; π].

3) Resuelve la ecuación: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Resuelve la ecuación: 3 sen 2 (x) + √3sen (x) cos(x) = 0

5) Resuelve la ecuación: 3sen 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Resuelve la ecuación: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sen 2 (2x)

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas:

Cualquier ecuación trigonométrica debe reducirse a uno de los siguientes tipos:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

donde \(t\) es una expresión con una x, \(a\) es un número. Estas ecuaciones trigonométricas se llaman lo más simple. Se pueden resolver fácilmente usando () o fórmulas especiales:

Vea infografías sobre cómo resolver ecuaciones trigonométricas simples aquí: y.

Respuesta: \(\left[ \begin(reunidos)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(reunidos)\right.\) \(k,n∈Z\)

Qué significa cada símbolo en la fórmula de las raíces de ecuaciones trigonométricas, ver.

¡Atención! Las ecuaciones \(\sin⁡x=a\) y \(\cos⁡x=a\) no tienen soluciones si \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Porque el seno y el coseno de cualquier x son mayores o iguales que \(-1\) y menores que o iguales a \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(\cos⁡x=-1,1\).
Solución: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Respuesta : sin soluciones.

Ejemplo . Resuelve la ecuación trigonométrica \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Solución:

Reducir las ecuaciones trigonométricas a lo más simple es una tarea creativa; aquí es necesario utilizar métodos especiales para resolver ecuaciones:
- Método (el más popular en el Examen Estatal Unificado).
- Método.
- Método de argumentos auxiliares.

Consideremos un ejemplo de resolución de la ecuación trigonométrica cuadrática.

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Hagamos el reemplazo \(t=\cos⁡x\).
	Nuestra ecuación se ha vuelto típica. Puedes resolverlo usando .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Hacemos un reemplazo inverso.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Resolvemos la primera ecuación usando el círculo numérico. La segunda ecuación no tiene soluciones porque \(\cos⁡x∈[-1;1]\) y no puede ser igual a dos para cualquier x.
	Anotemos todos los números que se encuentran en estos puntos.

Un ejemplo de resolución de una ecuación trigonométrica con el estudio de ODZ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Hay una fracción y hay una cotangente, eso significa que debemos escribirla. Permítanme recordarles que una cotangente es en realidad una fracción: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Por lo tanto, la ODZ para ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\pecado⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Marquemos las “no soluciones” en el círculo numérico.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Eliminemos el denominador de la ecuación multiplicándolo por ctg\(x\). Podemos hacer esto, ya que escribimos arriba que ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Apliquemos la fórmula del doble ángulo para el seno: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Si tus manos se extienden para dividir por el coseno, ¡retíralas! Puedes dividir por una expresión con una variable si definitivamente no es igual a cero (por ejemplo, estos: \(x^2+1.5^x\)). En lugar de ello, saquemos \(\cos⁡x\) de los corchetes.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Dividamos" la ecuación en dos.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Resolvamos la primera ecuación usando el círculo numérico. Dividamos la segunda ecuación por \(2\) y muevamos \(\sin⁡x\) al lado derecho.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sen⁡x\)	Las raíces resultantes no están incluidas en la ODZ. Por lo tanto, no los escribiremos en respuesta. La segunda ecuación es típica. Dividámoslo entre \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) no puede ser una solución a la ecuación porque en este caso \(\cos⁡x=1\) o \(\cos⁡ x=-1\)).
	Usamos un círculo nuevamente.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	ODZ no excluye estas raíces, por lo que puede escribirlas en la respuesta.

Clase: 10

"Las ecuaciones durarán para siempre".

A. Einstein

Objetivos de la lección:

• Educativo:
  • profundizar la comprensión de los métodos para resolver ecuaciones trigonométricas;
  • Desarrollar las habilidades para distinguir y seleccionar correctamente métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
• Educativo:
  • fomentar el interés cognitivo en el proceso educativo;
  • desarrollar la capacidad de analizar una tarea determinada;
  • Contribuir a mejorar el clima psicológico en el aula.
• De desarrollo:
  • promover el desarrollo de la habilidad de adquirir conocimientos de forma independiente;
  • promover la capacidad de los estudiantes para argumentar su punto de vista;

Equipo: cartel con fórmulas trigonométricas básicas, computadora, proyector, pantalla.

1 lección

I. Actualización de conocimientos de referencia

Resuelve las ecuaciones oralmente:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) pecado2x = 0;
5) senx = –;
6) senx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sen 2 x = 0

1)x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = +k;
8) x = +k; a Z.

II. Aprendiendo nuevo material

– Hoy veremos ecuaciones trigonométricas más complejas. Veamos 10 formas de resolverlos. A continuación habrá dos lecciones para la consolidación y para la siguiente lección habrá una prueba. En el stand "Para la lección" hay tareas publicadas que son similares a las que estarán en el examen, debes resolverlas antes del examen; (El día antes de la prueba, publicar en el stand las soluciones a estas tareas).

Entonces, pasemos a considerar formas de resolver ecuaciones trigonométricas. Algunos de estos métodos probablemente te parecerán difíciles, mientras que otros te parecerán fáciles, porque... Ya conoces algunas técnicas para resolver ecuaciones.

Cuatro estudiantes de la clase recibieron una tarea individual: comprender y mostrarte 4 formas de resolver ecuaciones trigonométricas.

(Los estudiantes que hablan han preparado diapositivas con anticipación. El resto de la clase escribe los pasos principales para resolver ecuaciones en un cuaderno).

1 estudiante: 1 vía. Resolver ecuaciones factorizando

pecado 4x = 3 porque 2x

Para resolver la ecuación, usamos la fórmula del seno de ángulo doble sin 2 = 2 sin cos
2 sen 2x porque 2x – 3 porque 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. El producto de estos factores es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero.

2x = + k, k Z o sen 2x = 1,5 – no hay soluciones, porque | pecado| 1
x = +k; a Z.
Respuesta: x = + k, k Z.

2 estudiante. Método 2. Resolver ecuaciones convirtiendo la suma o diferencia de funciones trigonométricas en un producto

cos 3x + sen 2x – sen 4x = 0.

Para resolver la ecuación usamos la fórmula sin– sin = 2 sin сos

porque 3x + 2 sen porque = 0,

cos 3x – 2 sen x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. La ecuación resultante es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones:

El conjunto de soluciones de la segunda ecuación está completamente incluido en el conjunto de soluciones de la primera ecuación. Medio

Respuesta:

3 estudiante. 3 vías. Resolver ecuaciones convirtiendo el producto de funciones trigonométricas en una suma.

sen 5x cos 3x = sen 6x cos2x.

Para resolver la ecuación usamos la fórmula

Respuesta:

4 estudiante. 4 maneras. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas.

3 pecado x – 2 porque 2 x = 0,
3 pecado x – 2 (1 – pecado 2 x) = 0,
2 pecado 2 x + 3 pecado x – 2 = 0,

Sea sen x = t, donde | t|. Obtenemos la ecuación cuadrática 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

De este modo . no cumple la condición | t|.

Entonces sen x = . Es por eso .

Respuesta:

III. Consolidación de lo aprendido en el libro de texto de A. N. Kolmogorov

1. N° 164 (a), 167 (a) (ecuación cuadrática)
2. N° 168 (a) (factorización)
3. No. 174 (a) (conversión de una suma en un producto)
4. (convertir producto en suma)

(Al final de la lección, muestre la solución de estas ecuaciones en la pantalla para su verificación)

№ 164 (A)

2 sen 2 x + sen x – 1 = 0.
Sea sen x = t, | t | 1. Entonces
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Dónde

Respuesta: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Sea tg x = 1, entonces obtenemos la ecuación 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Respuesta:

№ 168 (A)

Respuesta:

№ 174 (A)

Resuelve la ecuación:

Respuesta:

Lección 2 (lección-conferencia)

IV. Aprendiendo nuevo material(continuación)

– Entonces, sigamos estudiando formas de resolver ecuaciones trigonométricas.

5 vías. Resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Ecuaciones de la forma a sen x + b porque x = 0, donde a y b son algunos números, se denominan ecuaciones homogéneas de primer grado con respecto a sen x o cos x.

Considere la ecuación

pecado x – porque x = 0. Dividamos ambos lados de la ecuación por cos x. Esto se puede hacer; no se producirá la pérdida de raíces, porque , Si porque x = 0, Eso pecado x = 0. Pero esto contradice la identidad trigonométrica básica. pecado 2 x+cos 2 x = 1.

Obtenemos tan x – 1 = 0.

bronceado x = 1,

Ecuaciones de la forma como en 2 x + b cos 2 x + c sen x porque x = 0 , Dónde a B C - algunos números se llaman ecuaciones homogéneas de segundo grado con respecto a sen x o cos x.

Considere la ecuación

sen 2 x – 3 sen x cos x + 2 cos 2 = 0. Dividamos ambos lados de la ecuación por cos x, y la raíz no se perderá, porque porque x = 0 no es la raíz de esta ecuación.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Sea tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Entonces, por tanto, tg x = 2 o tg x = 1.

Como resultado, x = arctan 2 + , x =

Respuesta: arctg 2 +,

Considere otra ecuación: 3 sen 2 x – 3 sen x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Transformemos el lado derecho de la ecuación en la forma 2 = 2 · 1 = 2 · (sen 2 x + cos 2 x). Entonces obtenemos:
3sen 2 x – 3sen x cos x + 4cos 2 x = 2 (sen 2 x + cos 2 x),
3sen 2 x – 3sen x porque x + 4cos 2 x – 2sen 2 x – 2 porque 2 x = 0,
sen 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Obtuvimos la segunda ecuación, que ya hemos analizado).

Respuesta: arctan 2 + k,

6 vías. Resolver ecuaciones trigonométricas lineales

Una ecuación trigonométrica lineal es una ecuación de la forma a pecado x + b porque x = c, donde a, b, c son algunos números.

Considere la ecuación pecado x + porque x= – 1.
Reescribamos la ecuación como:

Considerando eso y, obtenemos:

Respuesta:

7 vías. Introduciendo un argumento adicional

Expresión a cos x + b sen x se puede convertir:

(ya hemos usado esta transformación al simplificar expresiones trigonométricas)

Introduzcamos un argumento adicional: el ángulo es tal que

Entonces

Considere la ecuación: 3 senx + 4 cosx = 1. =

Tarea: Núms. 164-170 (c, d).