درس های جبر ما را با انواع مختلف عبارات آشنا می کند. با در دسترس قرار گرفتن مطالب جدید، عبارات پیچیده تر می شوند. همانطور که با درجه ها آشنا می شوید، به تدریج به عبارت اضافه می شوند و آن را پیچیده می کنند. این در مورد کسرها و عبارات دیگر نیز اتفاق می افتد.

برای اینکه مطالعه مطالب تا حد امکان راحت باشد، این کار با استفاده از نام های خاصی انجام می شود تا بتوان آنها را برجسته کرد. این مقاله یک نمای کلی از تمام عبارات جبری مدرسه پایه ارائه می دهد.

تک جمله ای ها و چندجمله ای ها

عبارت‌های تک‌جمله‌ای و چندجمله‌ای در برنامه درسی مدرسه از کلاس هفتم مطالعه می‌شوند. تعاریفی از این نوع در کتاب های درسی ارائه شده است.

تعریف 1

تک نام ها- اینها اعداد، متغیرها، قدرت آنها با یک توان طبیعی، هر محصولی است که با کمک آنها ساخته شده است.

تعریف 2

چند جمله ای هابه مجموع تک جفت ها می گویند.

اگر مثلا عدد 5، متغیر x، درجه z 7 را بگیریم، سپس محصولات شکل 5 xو 7 x 2 7 z 7یکپارچه محسوب می شوند. هنگام گرفتن مجموع تک اسم های فرم 5+xیا z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7، سپس یک چند جمله ای می گیریم.

برای تشخیص تک جمله ای از چند جمله ای به توان ها و تعاریف آنها توجه کنید. مفهوم ضریب مهم است. هنگام کاهش عبارات مشابه، آنها را بر جمله آزاد چند جمله ای یا ضریب پیشرو تقسیم می کنند.

اغلب، برخی از اقدامات بر روی یک جمله و چند جمله ای انجام می شود، پس از آن بیان به شکل یک تک جمله کاهش می یابد. جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را با تکیه بر یک الگوریتم برای انجام عملیات روی چند جمله ای ها انجام می دهد.

وقتی یک متغیر وجود دارد، می‌توان چند جمله‌ای را به چندجمله‌ای تقسیم کرد که به صورت حاصلضرب نشان داده می‌شوند. این عمل فاکتورگیری چند جمله ای نامیده می شود.

کسرهای گویا (جبری).

مفهوم کسرهای گویا در پایه هشتم دبیرستان بررسی می شود. برخی از نویسندگان آنها را کسر جبری می نامند.

تعریف 3

کسر منطقی جبریکسری نامیده می شود که در آن چند جمله ای یا تک جمله ای یا اعدادی به جای صورت و مخرج ظاهر می شود.

بیایید مثالی از نوشتن کسرهای گویا از نوع 3 x + 2، 2 · a + 3 · b 4، x 2 + 1 x 2 - 2 و 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + را در نظر بگیریم. 4. بر اساس تعریف می توان گفت که هر کسری یک کسر گویا محسوب می شود.

کسرهای جبری را می توان جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و به توان رساند. این با جزئیات بیشتر در بخش عملیات با کسرهای جبری مورد بحث قرار گرفته است. در صورت نیاز به تبدیل کسری، اغلب از خاصیت کاهش و تقلیل به مخرج مشترک استفاده می کنند.

عبارات منطقی

در دوره مدرسه، مفهوم کسرهای غیر منطقی مورد مطالعه قرار می گیرد، زیرا کار با عبارات منطقی ضروری است.

تعریف 4

عبارات منطقیعبارت‌های عددی و حرفی در نظر گرفته می‌شوند که در آن اعداد و حروف گویا با جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و افزایش به یک عدد صحیح استفاده می‌شوند.

عبارات منطقی ممکن است نشانه های متعلق به عملکرد نداشته باشند که منجر به غیرمنطقی بودن می شود. عبارات گویا شامل ریشه، توان با توان غیر منطقی کسری، توان با متغیر در توان، عبارات لگاریتمی، توابع مثلثاتی و غیره نیستند.

بر اساس قاعده ای که در بالا داده شد، نمونه هایی از عبارات عقلانی را بیان می کنیم. از تعریف بالا داریم که هم یک عبارت عددی به شکل 1 2 + 3 4 و 5، 2 + (- 0، 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0، 3 منطقی در نظر گرفته می شوند. عبارات حاوی حروف نیز به عنوان منطقی a 2 + b 2 3 · a - 0، 5 · b، با متغیرهایی به شکل a · x 2 + b · x + c طبقه بندی می شوند. و x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

تمام عبارات منطقی به اعداد صحیح و کسری تقسیم می شوند.

عبارات کل عقلی

عبارات کل عقلی- اینها عباراتی هستند که شامل تقسیم به عباراتی با متغیرهای درجه منفی نیستند.

از این تعریف داریم که یک عبارت منطقی کامل نیز عبارتی است حاوی حروف، به عنوان مثال، a + 1، عبارتی حاوی چندین متغیر، به عنوان مثال، x 2 · y 3 − z + 3 2 و a + b 3.

عبارات فرم x: (y − 1)و 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 نمی توانند اعداد صحیح گویا باشند، زیرا آنها دارای تقسیم به یک عبارت با متغیرها هستند.

عبارات عقلی کسری

بیان منطقی کسریعبارتی است که شامل تقسیم بر یک عبارت با متغیرهای درجه منفی است.

از تعریف به دست می آید که عبارات گویا کسری می توانند 1: x، 5 x 3 - y 3 + x + x 2 و 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 باشند.

اگر عباراتی از این نوع (2 x − x 2) را در نظر بگیریم: 4 و a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2، در این صورت آنها منطقی کسری در نظر گرفته نمی شوند، زیرا عباراتی با متغیر در آنها ندارند. مخرج

عبارات با قدرت

عباراتی که دارای قدرت در هر بخشی از نماد هستند نامیده می شوند عبارات با قدرتیا عبارات قدرت.

برای مفهوم، مثالی از چنین عبارتی ارائه می دهیم. آنها ممکن است حاوی متغیر نباشند، به عنوان مثال، 2 3، 32 - 1 5 + 1، 5 3، 5 5 - 2 5 - 1، 5. عبارات قدرت به شکل 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 نیز معمولی هستند. برای حل آنها لازم است تغییراتی انجام شود.

عبارات غیر منطقی، عبارات با ریشه

ریشه ای که در عبارت وجود دارد نام دیگری به آن می دهد. به آنها غیر منطقی می گویند.

تعریف 8

عبارات غیر منطقیعباراتی هستند که نشانه های ریشه ای در نوشته خود دارند.

از تعریف مشخص است که اینها عباراتی به شکل 64، x - 1 4 3 + 3 3، 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2، a + 1 a 1 2 + 2، x y، 3 x + هستند. 1 + 6 x 2 + 5 x و x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . هر کدام از آنها حداقل یک نماد ریشه دارند. ریشه ها و قدرت ها به هم مرتبط هستند، بنابراین می توانید عباراتی مانند x 7 3 - 2 5، n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 را مشاهده کنید.

عبارات مثلثاتی

بیان مثلثاتی- اینها عباراتی هستند که شامل sin، cos، tg و ctg و معکوس آنها - arcsin، arccos، arctg و arcctg هستند.

نمونه هایی از توابع مثلثاتی واضح هستند: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 و 2 sin x · t g 2 x + 3، 4 3 · t g π - arcsin - 3 5.

برای کار با چنین توابعی باید از خواص و فرمول های پایه توابع مستقیم و معکوس استفاده کرد. تبدیل مقاله توابع مثلثاتی این موضوع را با جزئیات بیشتری آشکار خواهد کرد.

عبارات لگاریتمی

پس از آشنایی با لگاریتم ها، می توانید در مورد عبارات لگاریتمی پیچیده صحبت کنید.

تعریف 10

عباراتی که دارای لگاریتم هستند نامیده می شوند لگاریتمی.

نمونه ای از این توابع می تواند log 3 9 + ln e، log 2 (4 a b)، log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) باشد.

می توانید عباراتی را که در آن قدرت ها و لگاریتم وجود دارد پیدا کنید. این قابل درک است، زیرا از تعریف لگاریتم نتیجه می شود که یک توان است. سپس عباراتی از شکل x l g x - 10، log 3 3 x 2 + 2 x - 3، log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 را دریافت می کنیم.

برای تعمیق مطالعه خود در مورد مواد، باید به مطالب تبدیل عبارات لگاریتمی مراجعه کنید.

کسری

عباراتی از نوع خاصی وجود دارد که به آنها کسر می گویند. از آنجایی که آنها یک عدد و یک مخرج دارند، می توانند نه تنها مقادیر عددی، بلکه عباراتی از هر نوع را نیز داشته باشند. بیایید به تعریف کسری نگاه کنیم.

تعریف 11

کسرعبارتی است که دارای یک صورت و یک مخرج است که در آن تعاریف یا عبارات عددی و الفبایی وجود دارد.

نمونه‌هایی از کسرهایی که دارای اعداد در صورت و مخرج هستند به این صورت هستند: 1 4, 2, 2 - 6 2 7, π 2, - e π, (− 15) (− 2) . صورت و مخرج می تواند شامل هر دو عبارت عددی و الفبایی به شکل (a + 1) 3, (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 باشد. + 1 5، cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α، 2 + ln 5 ln x.

اگرچه عباراتی مانند 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 کسری نیستند، اما در نماد خود کسری دارند.

بیان عمومی

نمرات ارشد مشکلات افزایش سختی را در نظر می گیرند که شامل تمام وظایف ترکیبی گروه C برای آزمون یکپارچه ایالت است. این عبارات به ویژه پیچیده هستند و شامل ترکیبات مختلفی از ریشه ها، لگاریتم ها، توان ها و توابع مثلثاتی هستند. اینها کارهایی مانند x 2 - 1 · sin x + π 3 یا sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 هستند.

ظاهر آنها نشان می دهد که آنها را می توان به عنوان هر یک از انواع بالا طبقه بندی کرد. اغلب آنها به عنوان هیچ یک طبقه بندی نمی شوند، زیرا آنها یک راه حل ترکیبی خاص دارند. آنها به عنوان عبارات کلی در نظر گرفته می شوند و هیچ مشخصات یا عبارت اضافی برای توضیحات استفاده نمی شود.

هنگام حل چنین عبارت جبری، همیشه باید به نماد آن، وجود کسری، توان یا عبارات اضافی توجه شود. این برای تعیین دقیق نحوه حل آن ضروری است. اگر از نام آن مطمئن نیستید، توصیه می شود آن را یک عبارت از یک نوع کلی بنامید و آن را طبق الگوریتم نوشته شده در بالا حل کنید.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

عبارات عددی و جبری. تبدیل عبارات

یک عبارت در ریاضیات چیست؟ چرا به تبدیل بیان نیاز داریم؟

سوال به قول خودشان جالب است... واقعیت این است که این مفاهیم اساس همه ریاضیات هستند. تمام ریاضیات از عبارات و تبدیل آنها تشکیل شده است. خیلی واضح نیست؟ بگذار توضیح بدهم.

فرض کنید یک مثال شیطانی در پیش دارید. بسیار بزرگ و بسیار پیچیده. فرض کنید شما در ریاضیات خوب هستید و از هیچ چیز نمی ترسید! میشه فورا جواب بدی؟

تو مجبوری تصميم گرفتناین مثال به طور مداوم، گام به گام، این مثال ساده کردن. البته طبق قوانین خاصی. آن ها انجام دادن تبدیل بیان. هرچه این تحولات را با موفقیت بیشتری انجام دهید، در ریاضیات قوی تر خواهید بود. اگر ندانید که چگونه تبدیل های درست را انجام دهید، نمی توانید آنها را در ریاضیات انجام دهید. هیچ چی...

برای جلوگیری از چنین آینده ناخوشایندی (یا حال...)، درک این موضوع ضرری ندارد.)

ابتدا بیایید دریابیم چه عبارتی در ریاضیات است. چه اتفاقی افتاده است بیان عددیو چیست عبارت جبری.

یک عبارت در ریاضیات چیست؟

بیان در ریاضیات- این یک مفهوم بسیار گسترده است. تقریباً هر چیزی که در ریاضیات با آن سروکار داریم مجموعه ای از عبارات ریاضی است. هر مثال، فرمول، کسری، معادله، و غیره - همه از آن تشکیل شده است عبارات ریاضی.

3+2 یک عبارت ریاضی است. s 2 - d 2- این نیز یک عبارت ریاضی است. هر دو کسری سالم و حتی یک عدد همگی عبارات ریاضی هستند. به عنوان مثال، معادله این است:

5x + 2 = 12

شامل دو عبارت ریاضی است که با علامت مساوی به هم متصل می شوند. یک عبارت در سمت چپ و دیگری در سمت راست است.

به طور کلی، اصطلاح " بیان ریاضی"اغلب برای جلوگیری از غر زدن استفاده می شود. از شما می پرسند که مثلاً کسری معمولی چیست؟ و چگونه پاسخ دهید؟!

پاسخ اول: این ... ممممم... چنین چیزی ... که در آن ... آیا می توانم کسری را بهتر بنویسم؟ کدام را میخواهی؟"

پاسخ دوم: «کسری معمولی (با شادی و نشاط!) است. بیان ریاضی که از یک صورت و یک مخرج تشکیل شده است!"

گزینه دوم به نوعی چشمگیرتر خواهد بود، درست است؟)

این هدف از عبارت " بیان ریاضی "بسیار خوب. هر دو درست و محکم. اما برای استفاده عملی باید درک خوبی از آن داشته باشید انواع خاص عبارات در ریاضیات .

نوع خاص بحث دیگری است. این یک موضوع کاملا متفاوت!هر نوع بیان ریاضی دارد مال خودممجموعه ای از قوانین و تکنیک هایی که باید هنگام تصمیم گیری استفاده شود. برای کار با کسری - یک مجموعه. برای کار با عبارات مثلثاتی - مورد دوم. برای کار با لگاریتم - سوم. و غیره. در جایی این قوانین منطبق هستند، در جایی به شدت متفاوت هستند. اما از این کلمات ترسناک نترسید. ما بر لگاریتم ها، مثلثات و دیگر چیزهای اسرارآمیز در بخش های مربوطه مسلط خواهیم شد.

در اینجا ما به دو نوع اصلی از عبارت های ریاضی (یا - تکرار، بسته به اینکه چه کسی...) مسلط خواهیم شد. عبارات عددی و عبارات جبری.

عبارات عددی

چه اتفاقی افتاده است بیان عددی? این یک مفهوم بسیار ساده است. خود نام نشان می دهد که این عبارت با اعداد است. همان طوری است که میبینی. یک عبارت ریاضی که از اعداد، کروشه ها و نمادهای حسابی تشکیل شده باشد، عبارت عددی نامیده می شود.

7-3 یک عبارت عددی است.

(8+3.2) 5.4 نیز یک عبارت عددی است.

و این هیولا:

همچنین یک عبارت عددی، بله ...

یک عدد معمولی، یک کسری، هر نمونه ای از محاسبه بدون X و حروف دیگر - همه اینها عبارت های عددی هستند.

علامت اصلی عددیعبارات - در آن بدون حروف. هیچ یک. فقط اعداد و نمادهای ریاضی (در صورت لزوم). ساده است، درست است؟

و با عبارات عددی چه کاری می توانید انجام دهید؟ عبارات عددی معمولاً قابل شمارش هستند. برای انجام این کار، این اتفاق می افتد که شما باید براکت ها را باز کنید، علائم را تغییر دهید، مخفف کنید، اصطلاحات را عوض کنید - یعنی. انجام دادن تبدیل بیان. اما بیشتر در مورد آن در زیر.

در اینجا با یک عبارت عددی به چنین مورد خنده‌داری می‌پردازیم شما نیازی به انجام کاری نداریدخب اصلا هیچی! این عملیات دلپذیر - هیچ کاری نکردن)- زمانی اجرا می شود که عبارت معنی ندارد.

چه زمانی یک عبارت عددی معنی ندارد؟

واضح است که اگر نوعی ابراکادابرا در مقابل خود ببینیم، مانند

پس ما هیچ کاری نمی کنیم چون معلوم نیست در این مورد چه باید کرد. یه جور حرفای مزخرف شاید تعداد مثبت ها را بشمار...

اما عبارات ظاهری کاملاً مناسبی وجود دارد. برای مثال این:

(2+3): (16 - 2 8)

با این حال، این عبارت نیز معنی ندارد! به این دلیل ساده که در پرانتز دوم - اگر بشمارید - صفر می گیرید. اما شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید! این یک عمل ممنوع در ریاضیات است. بنابراین با این عبارت هم نیازی به انجام کاری نیست. برای هر کار با چنین عبارتی، پاسخ همیشه یکسان خواهد بود: "این تعبیر معنی ندارد!"

برای دادن چنین پاسخی، البته، باید محاسبه می‌کردم که چه چیزی در پرانتز است. و گاهی اوقات چیزهای زیادی در پرانتز وجود دارد... خوب، هیچ کاری نمی توانید در مورد آن انجام دهید.

در ریاضیات عملیات ممنوعه چندانی وجود ندارد. فقط یک مورد در این تاپیک وجود دارد. تقسیم بر صفر. محدودیت‌های اضافی ناشی از ریشه‌ها و لگاریتم‌ها در مباحث مربوطه مورد بحث قرار گرفته‌اند.

بنابراین، ایده ای از چیست بیان عددی- بدست آورد. مفهوم عبارت عددی معنی ندارد- متوجه شد بیایید ادامه دهیم.

عبارات جبری

اگر حروف در یک عبارت عددی ظاهر شوند، این عبارت می شود ... عبارت می شود ... بله! می شود عبارت جبری. مثلا:

5a 2; 3x-2y; 3 (z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (الف + ب) 2; ...

به این گونه عبارات نیز گفته می شود عبارات تحت اللفظییا عبارات با متغیرهاعملاً همین است. اصطلاح 5a + cبه عنوان مثال، هر دو لفظی و جبری، و یک عبارت با متغیرها.

مفهوم عبارت جبری -گسترده تر از عددی آی تی شامل می شودو تمام عبارات عددی آن ها یک عبارت عددی نیز یک عبارت جبری است، فقط بدون حروف. هر شاه ماهی یک ماهی است، اما هر ماهی یک شاه ماهی نیست...)

چرا حروف الفبا- واضح است. خوب، از آنجایی که حروف وجود دارد ... عبارت بیان با متغیرهاهمچنین خیلی گیج کننده نیست. اگر متوجه شدید که اعداد زیر حروف پنهان هستند. انواع اعداد را می توان زیر حروف پنهان کرد... و 5 و 18- و هر آنچه که می خواهید. یعنی یک حرف می تواند باشد جایگزین کردنبه اعداد مختلف به همین دلیل حروف نامیده می شوند متغیرها.

در بیان y+5، مثلا، در- مقدار متغیر یا فقط می گویند " متغیر"، بدون کلمه "قدر". برخلاف پنج که یک مقدار ثابت است. یا به سادگی - ثابت.

مدت، اصطلاح عبارت جبریبه این معنی که برای کار با این عبارت باید از قوانین و قوانین استفاده کنید جبر. اگر حسابیسپس با اعداد خاص کار می کند جبر- با همه اعداد به طور همزمان. یک مثال ساده برای شفاف سازی.

در حساب می توانیم آن را بنویسیم

اما اگر چنین برابری را از طریق عبارات جبری بنویسیم:

a + b = b + a

ما فورا تصمیم می گیریم همهسوالات برای همه اعدادسکته. برای همه چیز بی نهایت چون زیر حروف آو بضمنی همهشماره. و نه تنها اعداد، بلکه حتی سایر عبارات ریاضی. جبر اینگونه عمل می کند.

چه زمانی یک عبارت جبری معنی ندارد؟

همه چیز در مورد عبارت عددی واضح است. در آنجا نمی توان بر صفر تقسیم کرد. و آیا با حروف می توان فهمید بر چه چیزی تقسیم می کنیم؟!

بیایید به عنوان مثال این عبارت را با متغیرها در نظر بگیریم:

2: (آ - 5)

آیا منطقی است؟ چه کسی می داند؟ آ- هر تعداد ...

هر، هر... اما یک معنی وجود دارد آ، که برای آن این عبارت دقیقامعنی ندارد! و این عدد چیست؟ آره! این 5 است! اگر متغیر آبا عدد 5 جایگزین کنید (آنها می گویند "جایگزین") ، در پرانتز صفر می گیرید. که قابل تقسیم نیست. پس معلوم می شود که بیان ما معنی ندارد، اگر a = 5. اما برای ارزش های دیگر آآیا منطقی است؟ آیا می توانید اعداد دیگری را جایگزین کنید؟

قطعا. در چنین مواردی به سادگی می گویند که بیان

2: (آ - 5)

برای هر ارزشی معنا دارد آ, به جز a = 5 .

کل مجموعه اعدادی که می توانجایگزینی به یک عبارت داده شده نامیده می شود محدوده مقادیر قابل قبولاین بیان

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد. بیایید به عبارت با متغیرها نگاه کنیم و بفهمیم: در کدام مقدار از متغیر عملیات ممنوعه (تقسیم بر صفر) به دست می آید؟

و سپس حتما به سوال وظیفه نگاه کنید. آنها چه می پرسند؟

معنی ندارد، معنای حرام ما جواب خواهد بود.

اگر بپرسید این عبارت در چه مقدار متغیر است معنی دارد(تفاوت را احساس کنید!)، پاسخ خواهد بود تمام اعداد دیگرجز حرام

چرا به معنای عبارت نیاز داریم؟ او هست، نیست... چه فرقی می کند؟! نکته اینجاست که این مفهوم در دبیرستان اهمیت زیادی پیدا می کند. بسیار مهم! این اساس مفاهیم محکمی مانند دامنه مقادیر قابل قبول یا دامنه یک تابع است. بدون این، شما به هیچ وجه نمی توانید معادلات یا نابرابری های جدی را حل کنید. مثل این.

تبدیل عبارات دگرگونی های هویت

ما با عبارات عددی و جبری آشنا شدیم. ما متوجه شدیم که عبارت "این عبارت معنی ندارد" به چه معناست. حالا باید بفهمیم که چیست تبدیل بیانپاسخ ساده است، تا سرحد رسوایی.) این هر عملی است با بیان. همین. شما از کلاس اول این دگرگونی ها را انجام می دهید.

بیایید عبارت عددی جالب 3+5 را در نظر بگیریم. چگونه می توان آن را تبدیل کرد؟ بله خیلی ساده! محاسبه:

این محاسبه تبدیل عبارت خواهد بود. می توانید همان عبارت را متفاوت بنویسید:

اینجا ما اصلاً چیزی حساب نکردیم. فقط عبارت را یادداشت کرد به شکلی متفاوتاین نیز دگرگونی بیان خواهد بود. می توانید آن را اینگونه بنویسید:

و این نیز دگرگونی یک بیان است. شما می توانید هر تعداد که می خواهید چنین دگرگونی هایی ایجاد کنید.

هرعمل در بیان هرنوشتن آن به شکلی دیگر تبدیل عبارت نامیده می شود. و این همه است. همه چیز بسیار ساده است. اما اینجا یک چیز وجود دارد قانون بسیار مهمآنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را نامید قانون اصلیتمام ریاضیات شکستن این قانون به ناچارمنجر به خطا می شود. آیا وارد آن می شویم؟)

بیایید بگوییم که بیان خود را به طور تصادفی تغییر داده ایم، مانند این:

دگرگونی؟ قطعا. ما عبارت را به شکل دیگری نوشتیم، اینجا چه اشکالی دارد؟

اینطور نیست.) نکته این است که تحولات "به صورت تصادفی"اصلاً به ریاضیات علاقه ای ندارند.) تمام ریاضیات بر روی دگرگونی هایی بنا شده اند که در آن ظاهر تغییر می کند، اما ماهیت بیان تغییر نمی کند.سه به اضافه پنج را می توان به هر شکلی نوشت، اما باید هشت باشد.

تحولات، عباراتی که ماهیت را تغییر نمی دهندنامیده می شوند همسان.

دقیقا تحولات هویتیو به ما این امکان را می دهد که گام به گام، یک مثال پیچیده را در عین حفظ کردن، به یک عبارت ساده تبدیل کنیم اصل مثالاگر در زنجیره دگرگونی ها اشتباه کنیم، یک تبدیل نه یکسان انجام دهیم، آنگاه تصمیم خواهیم گرفت. یکی دیگرمثال. با پاسخ های دیگری که به پاسخ های صحیح مربوط نمی شوند.)

این قانون اصلی برای حل هر کار است: حفظ هویت تحولات.

برای وضوح مثالی با عبارت عددی 3+5 زدم. در عبارات جبری، تبدیل هویت با فرمول ها و قوانین ارائه می شود. فرض کنید در جبر یک فرمول وجود دارد:

a(b+c) = ab + ac

این بدان معنی است که در هر مثالی می توانیم به جای عبارت a(b+c)با خیال راحت یک عبارت بنویسید ab + ac. و بالعکس. این تبدیل یکسانریاضیات به ما امکان انتخاب بین این دو عبارت را می دهد. و اینکه کدام یک بنویسیم بستگی به مثال خاص دارد.

مثالی دیگر. یکی از مهم‌ترین و ضروری‌ترین تبدیل‌ها، ویژگی اساسی یک کسر است. شما می توانید جزئیات بیشتر را در لینک مشاهده کنید، اما در اینجا فقط قانون را به شما یادآوری می کنم: اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد یا عبارتی که برابر با صفر نباشد ضرب (تقسیم) شود، کسر تغییر نخواهد کرد.در اینجا نمونه ای از تبدیل هویت با استفاده از این ویژگی است:

همانطور که احتمالا حدس زدید، این زنجیره می تواند به طور نامحدود ادامه یابد...) یک خاصیت بسیار مهم. این است که به شما امکان می دهد انواع هیولاهای نمونه را به سفید و کرکی تبدیل کنید.)

فرمول های زیادی وجود دارد که تبدیل های یکسان را تعریف می کند. اما مهمترین آنها عددی کاملا معقول هستند. یکی از تحولات اساسی، فاکتورسازی است. این در تمام ریاضیات - از ابتدایی تا پیشرفته استفاده می شود. بیایید با او شروع کنیم. در درس بعدی.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

مقالات علوم و ریاضیات

عبارت عددی و جبری چیست؟

بیان عددی- این هر رکوردی است که از اعداد و نشانه های عملیات حسابی تشکیل شده و طبق قوانین شناخته شده نوشته می شود و در نتیجه معنای خاصی دارد. به عنوان مثال، ورودی های زیر عبارت های عددی هستند: 4 + 5; -1.05 × 22.5 - 34. از سوی دیگر، علامت × 16 - 0.5 عددی نیست، زیرا اگرچه از اعداد و نشانه های عملیات حسابی تشکیل شده است، اما بر اساس قوانین برای نوشتن عبارات عددی نوشته نشده است.

اگر در یک عبارت عددی به جای اعداد حروف وجود داشته باشد (همه یا فقط برخی)، پس این عبارت قبلاً وجود دارد جبری.

معنای استفاده از حروف تقریباً به شرح زیر است. اعداد مختلف را می توان جایگزین حروف کرد، به این معنی که عبارت می تواند معانی مختلفی داشته باشد. جبر به عنوان یک علم اصول ساده سازی عبارات، جستجو و استفاده از قواعد، قوانین و فرمول های مختلف را مطالعه می کند. جبر منطقی ترین روش های انجام محاسبات را مطالعه می کند و تعمیم ها دقیقاً برای همین است، یعنی استفاده از متغیرها (حروف) به جای اعداد خاص.

حقایق جبری شامل قوانین جمع و ضرب، مفاهیم اعداد منفی، کسرهای معمولی و اعشاری و قواعد عملیات حسابی با آنها و خواص کسرهای معمولی است. جبر طوری طراحی شده است که تمام این انواع حقایق را درک کند، به آنها یاد دهد که از آنها استفاده کنند و کاربرد قوانین را در عبارات عددی و جبری خاص ببینند.

وقتی یک عبارت عددی ارزیابی می شود، نتیجه مقدار آن است. ارزش یک عبارت جبری را تنها در صورتی می توان محاسبه کرد که مقادیر عددی خاصی جایگزین حروف شوند. به عنوان مثال، عبارت a ÷ b با a = 3 و b = 5 دارای مقدار 3 ÷ 5 یا 0.6 است. با این حال، یک عبارت جبری ممکن است به گونه ای باشد که برای برخی از مقادیر متغیرها (حروف)، ممکن است اصلاً معنایی نداشته باشد. برای مثال مشابه (a ÷ b)، عبارت زمانی که b = 0 باشد معنی ندارد، زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید.

بنابراین، آنها در مورد مقادیر قابل قبول و غیر قابل قبول متغیرها برای یک عبارت جبری خاص صحبت می کنند.

Scienceland.info

عبارات جبری

1. تعریف مفهوم
2. مقدار بیان
3. عبارات هویت
4. حل مسئله
5. ما چه آموخته ایم؟

تعریف مفهوم

به چه عباراتی جبری می گویند؟ این یک نماد ریاضی است که از اعداد، حروف و نمادهای حسابی تشکیل شده است. وجود حروف تفاوت اصلی بین عبارات عددی و جبری است. مثال ها:

یک حرف در عبارات جبری یک عدد را نشان می دهد. به همین دلیل است که به آن متغیر می گویند - در مثال اول حرف a، در مثال دوم b و در مثال سوم حرف c است. خود عبارت جبری نیز نامیده می شود بیان با متغیر.

مقدار بیان

معنی عبارت جبریعددی است که در نتیجه انجام کلیه عملیات حسابی نشان داده شده در این عبارت به دست می آید. اما برای بدست آوردن آن، حروف باید با اعداد جایگزین شوند. بنابراین، در مثال ها همیشه نشان می دهند که کدام عدد با حرف مطابقت دارد. بیایید ببینیم که چگونه مقدار عبارت 8a-14*(5-a) را در صورت a=3 پیدا کنیم.

عدد 3 را جایگزین حرف a می کنیم.

همانطور که در عبارات عددی، حل یک عبارت جبری مطابق با قوانین انجام عملیات حسابی انجام می شود. بیایید همه چیز را به ترتیب حل کنیم.

بنابراین، مقدار عبارت 8a-14*(5-a) در a=3 برابر با -4 است.

مقدار یک متغیر در صورتی معتبر نامیده می شود که عبارت با آن معنا داشته باشد، یعنی بتوان راه حل آن را پیدا کرد.

نمونه ای از یک متغیر معتبر برای عبارت 5:2a عدد 1 است. با جایگزینی آن به عبارت، 5:2*1=2.5 را دریافت می کنیم. متغیر نامعتبر برای این عبارت 0 است. اگر صفر را به عبارت جایگزین کنیم، 5:2*0، یعنی 5:0 به دست می آید. شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید، به این معنی که عبارت معنی ندارد.

عبارات هویت

اگر دو عبارت برای هر یک از مقادیر متغیرهای تشکیل دهنده آنها برابر باشند، آنها فراخوانی می شوند همسان.
نمونه ای از عبارات یکسان :
4(a+c) و 4a+4c.
حروف a و c هر مقداری که بگیرند، عبارات همیشه برابر خواهند بود. هر عبارتی را می توان با عبارت دیگری جایگزین کرد که با آن یکسان است. به این فرآیند تبدیل هویت می گویند.

نمونه ای از تغییر هویت .
4*(5a+14c) - این عبارت را می توان با استفاده از قانون ریاضی ضرب با عبارتی مشابه جایگزین کرد. برای ضرب یک عدد در مجموع دو عدد، باید این عدد را در هر جمله ضرب کنید و نتایج را جمع کنید.

بنابراین، عبارت 4*(5a+14c) با 20a+64c یکسان است.

عددی که قبل از یک متغیر حرفی در یک عبارت جبری ظاهر می شود، ضریب نامیده می شود. ضریب و متغیر ضریب هستند.

حل مسئله

از عبارات جبری برای حل مسائل و معادلات استفاده می شود.
بیایید مشکل را در نظر بگیریم. پتیا شماره ای آورد. پتیا برای اینکه همکلاسی اش ساشا حدس بزند به او گفت: ابتدا 7 را به عدد اضافه کردم سپس 5 را از آن کم کردم و در 2 ضرب کردم. در نتیجه عدد 28 را به دست آوردم. چه عددی را حدس زدم؟

برای حل مشکل، باید عدد پنهان را با حرف a مشخص کنید و سپس تمام اقدامات مشخص شده را با آن انجام دهید.

حالا بیایید معادله حاصل را حل کنیم.

پتیا آرزوی شماره 12 را داشت.

ما چه آموخته ایم؟

عبارت جبری رکوردی است که از حروف، اعداد و نمادهای حسابی تشکیل شده است. هر عبارت دارای یک مقدار است که با انجام تمام عملیات حسابی در عبارت پیدا می شود. حرف یک عبارت جبری را متغیر و عدد مقابل آن را ضریب می گویند. از عبارات جبری برای حل مسائل استفاده می شود.

6.4.1. عبارت جبری

من. عباراتی که در آنها می توان از اعداد، نمادهای حسابی و پرانتز همراه با حروف استفاده کرد، عبارت جبری نامیده می شود.

نمونه هایی از عبارات جبری:

2m -n; 3 · (2a + b)؛ 0.24x; 0.3a -b · (4a + 2b)؛ a 2 - 2ab;

از آنجایی که یک حرف در یک عبارت جبری را می توان با تعدادی اعداد مختلف جایگزین کرد، حرف را متغیر و خود عبارت جبری را عبارت با متغیر می نامند.

II. اگر در یک عبارت جبری حروف (متغیرها) با مقادیر آنها جایگزین شوند و اقدامات مشخص شده انجام شود، عدد حاصل را مقدار عبارت جبری می نامند.

مثال ها. معنی عبارت را پیدا کنید:

1) a + 2b -c با a = -2. b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| در x = -8; y = -5; z = 6.

1) a + 2b -c با a = -2. b = 10; c = -3.5. به جای متغیرها، بیایید مقادیر آنها را جایگزین کنیم. ما گرفتیم:

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| در x = -8; y = -5; z = 6. مقادیر نشان داده شده را جایگزین کنید. به یاد داریم که مدول یک عدد منفی برابر با عدد مقابل آن است و مدول یک عدد مثبت برابر با خود این عدد است. ما گرفتیم:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.مقادیر حرف (متغیر) که عبارت جبری برای آنها معنی دارد، مقادیر مجاز حرف (متغیر) نامیده می شود.

مثال ها. برای چه مقادیری از متغیر عبارت معنی ندارد؟

راه حل.می دانیم که شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید، بنابراین، هر یک از این عبارات با توجه به مقدار حرف (متغیر) که مخرج کسری را به صفر تبدیل می کند، معنی نخواهد داشت!

در مثال 1) این مقدار a = 0 است. در واقع، اگر 0 را به جای a جایگزین کنید، باید عدد 6 را بر 0 تقسیم کنید، اما این کار نمی تواند انجام شود. پاسخ: عبارت 1) وقتی a = 0 باشد معنی ندارد.

در مثال 2) مخرج x - 4 = 0 در x = 4، بنابراین، این مقدار x = 4 است و نمی توان آن را گرفت. پاسخ: عبارت 2) وقتی x = 4 معنی ندارد.

در مثال 3) مخرج x + 2 = 0 است که x = -2 است. پاسخ: عبارت 3) وقتی x = -2 معنی ندارد.

در مثال 4) مخرج 5 -|x| است = 0 برای |x| = 5. و از آنجا که |5| = 5 و |-5| = 5، پس نمی توانید x = 5 و x = -5 را بگیرید. پاسخ: عبارت 4) در x = -5 و در x = 5 معنی ندارد.
IV. اگر برای هر مقدار مجاز متغیرها، مقادیر متناظر این عبارات برابر باشند، دو عبارت به طور یکسان برابر هستند.

مثال: 5 (a – b) و 5a – 5b نیز برابر هستند، زیرا برابری 5 (a – b) = 5a – 5b برای هر مقدار a و b صادق خواهد بود. برابری 5 (a – b) = 5a – 5b یک هویت است.

هویت برابری است که برای تمام مقادیر مجاز متغیرهای موجود در آن معتبر است. نمونه‌هایی از هویت‌هایی که قبلاً برای شما شناخته شده‌اند، برای مثال، ویژگی‌های جمع و ضرب و ویژگی توزیعی هستند.

جایگزینی یک عبارت با عبارتی مشابه دیگر، تبدیل هویت یا به سادگی تبدیل یک عبارت نامیده می شود. تبدیل‌های یکسان عبارات با متغیرها بر اساس ویژگی‌های عملیات روی اعداد انجام می‌شود.

آ)با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب، عبارت را به یکسان برابر تبدیل کنید:

1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

راه حل. بیایید خاصیت توزیعی (قانون) ضرب را به یاد بیاوریم:

(a+b)c=ac+bc(قانون توزیعی ضرب نسبت به جمع: برای ضرب مجموع دو عدد در عدد سوم، می توانید هر جمله را در این عدد ضرب کنید و نتایج حاصل را اضافه کنید).
(a-b) c=a c-b ج(قانون توزیعی ضرب نسبت به تفریق: برای ضرب تفاضل دو عدد در عدد سوم، می توان عدد مینیوند را ضرب و در این عدد جداگانه تفریق کرد و عدد دوم را از نتیجه اول کم کرد).

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

ب)با استفاده از ویژگی های جابجایی و انجمنی (قوانین) جمع، عبارت را به یکسان برابر تبدیل کنید:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

راه حل.بیایید قوانین (خواص) جمع را اعمال کنیم:

a+b=b+a(جایگزینی: مرتب کردن مجدد اصطلاحات، مجموع را تغییر نمی دهد).
(a+b)+c=a+(b+c)(ترکیبی: برای افزودن عدد سوم به مجموع دو جمله، می توانید مجموع عدد دوم و سوم را به عدد اول اضافه کنید).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

V)با استفاده از خواص جابجایی و انجمنی (قوانین) ضرب، عبارت را به یکسان برابر تبدیل کنید:

7) 4 · ایکس · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1)؛ 9) 3a · (-3) · 2 ثانیه

راه حل.بیایید قوانین (خواص) ضرب را اعمال کنیم:

a·b=b·a(جایگزینی: تنظیم مجدد عوامل، محصول را تغییر نمی دهد).
(الف ب) c=a (ب ج)(ترکیبی: برای ضرب حاصلضرب دو عدد در عدد سوم می توانید عدد اول را در حاصل ضرب عدد دوم و سوم ضرب کنید).

7) 4 · ایکس · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

اگر یک عبارت جبری به شکل یک کسر تقلیل پذیر ارائه شود، با استفاده از قانون کاهش یک کسری می توان آن را ساده کرد، یعنی. آن را با یک عبارت ساده تر جایگزین کنید.

مثال ها. با استفاده از کاهش کسر ساده کنید.

راه حل.تقلیل کسری به معنای تقسیم صورت و مخرج آن بر یک عدد (بیان) غیر از صفر است. کسر 10) کاهش می یابد 3b; کسر 11) کاهش می دهد آو کسر 12) کاهش می یابد 7n. ما گرفتیم:

از عبارات جبری برای ایجاد فرمول استفاده می شود.

فرمول یک عبارت جبری است که به صورت تساوی نوشته می شود و رابطه بین دو یا چند متغیر را بیان می کند.مثال: فرمول مسیری که می دانید s=v t(s - مسافت طی شده، v - سرعت، t - زمان). به یاد داشته باشید که چه فرمول های دیگری را می شناسید.

www.mathematics-repetition.com

معنی قاعده بیان جبری

عبارات عددی و جبری

در دوران دبستان یاد گرفتید که با آن محاسبات انجام دهید اعداد کامل و کسری، معادلات را حل کرد، با اشکال هندسی و صفحه مختصات آشنا شد. همه اینها محتوای یک را تشکیل می داد موضوع مدرسه "ریاضی". در واقع، چنین رشته مهمی از علم مانند ریاضیات به تعداد زیادی رشته مستقل تقسیم می شود: جبر، هندسه، نظریه احتمال، تجزیه و تحلیل ریاضی، منطق ریاضی، آمار ریاضی، نظریه بازی و غیره. هر رشته‌ای دارای اهداف مطالعه، روش‌های خاص خود برای درک واقعیت است.

جبر، که ما در حال مطالعه آن هستیم، به فرد این فرصت را می دهد که نه تنها انجام کارهای مختلف را انجام دهد محاسبات، بلکه به او یاد می دهد که این کار را تا حد امکان سریع و منطقی انجام دهد. فردی که به روش های جبری تسلط دارد نسبت به کسانی که به این روش ها تسلط ندارند یک مزیت دارد: او سریعتر محاسبه می کند، موقعیت های زندگی را با موفقیت بیشتر هدایت می کند، تصمیمات را واضح تر می گیرد و بهتر فکر می کند. وظیفه ما کمک به شما در تسلط بر روش های جبری است، وظیفه شما این است که در مقابل یادگیری مقاومت نکنید، مایل باشید ما را دنبال کنید و بر مشکلات غلبه کنید.

در واقع در دوران دبستان پنجره ای به دنیای جادویی جبر برای شما باز شده است، زیرا جبر در درجه اول عبارات عددی و جبری را مطالعه می کند.

به یاد بیاوریم که یک عبارت عددی، هر رکوردی است که از اعداد و نشانه‌های عملیات حسابی تشکیل شده باشد (البته به این معنی است که 3 + 57 یک عبارت عددی است، در حالی که 3 + : یک عبارت عددی نیست، اما مجموعه ای بی معنی از نمادها). به دلایلی (ما بعداً در مورد آنها صحبت خواهیم کرد) از حروف (عمدتاً از الفبای لاتین) اغلب به جای اعداد خاص استفاده می شود. سپس یک عبارت جبری به دست می آید. این عبارات می توانند بسیار دست و پا گیر باشند. جبر به شما می آموزد که آنها را با استفاده از قوانین، قوانین، خواص، الگوریتم ها، فرمول ها، قضایای مختلف ساده کنید.

مثال 1. یک عبارت عددی را ساده کنید:

راه حل. حالا ما چیزی را با هم به یاد خواهیم آورد و خواهید دید که قبلاً چند واقعیت جبری را می دانید. اول از همه، شما باید یک برنامه برای انجام محاسبات ایجاد کنید. برای انجام این کار، باید از قراردادهای پذیرفته شده در ریاضیات در مورد ترتیب عملیات استفاده کنید. روال در این مثال به صورت زیر خواهد بود:

1) مقدار A عبارت را در اولین پرانتز بیابید:
A = 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81;

2) مقدار B عبارت را در پرانتز دوم بیابید:

3) A را بر B تقسیم کنید - سپس می دانیم که چه عددی C در عدد (یعنی بالای خط افقی) وجود دارد.

4) مقدار D مخرج را بیابید (یعنی عبارت موجود در زیر خط افقی):
D = 25 - 37 - 0.4;

5) C را بر D تقسیم کنید - این نتیجه مطلوب خواهد بود. بنابراین، یک برنامه محاسبه وجود دارد (و داشتن یک برنامه نصف است
موفقیت!)، بیایید اجرای آن را شروع کنیم.

1) بیایید A = 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81 را پیدا کنیم. البته می توانید پشت سر هم بشمارید یا به قول خودشان "سر به سر": 2.73 + 4.81 و سپس به این عدد اضافه کنید.
3.27، سپس 2.81 را کم کنید. اما یک فرد با فرهنگ اینگونه محاسبه نمی کند. او قوانین جابجایی و تداعی جمع را به خاطر می آورد (اما او نیازی به به خاطر سپردن آنها ندارد، آنها همیشه در ذهن او هستند) و اینگونه محاسبه می کند:

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

حالا بیایید یک بار دیگر با هم تحلیل کنیم که چه حقایق ریاضی را باید در فرآیند حل مثال به خاطر بسپاریم (و نه فقط به خاطر بسپاریم، بلکه استفاده کنیم).

1. ترتیب عملیات حسابی.

2. قانون جابجایی جمع: a + b = b + a.

4. قانون ترکیبی از جمع:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

5. قانون ترکیبی ضرب: abc = (ab)c = a(bc).

6. مفاهیم کسری رایج، اعشاری، یک عدد منفی

7. عملیات حسابی با کسرهای اعشاری.

8. عملیات حسابی با کسرهای معمولی.

10. قوانین اعمال مثبت و منفی شماره. شما همه اینها را می دانید، اما همه اینها حقایق جبری هستند. بنابراین، شما قبلاً در مدرسه ابتدایی با جبر مواجه شده اید. مشکل اصلی، همانطور که از مثال 1 مشاهده می شود، این است که چنین حقایقی بسیار زیاد است، و فرد نه تنها باید آنها را بداند، بلکه باید بتواند از آنها استفاده کند، همانطور که می گویند، "در زمان مناسب و در مکان درست." این چیزی است که خواهیم آموخت.

از آنجایی که می توان به حروفی که یک عبارت جبری را تشکیل می دهند مقادیر عددی متفاوتی داد (یعنی معنی حروف را می توان تغییر داد)، این حروف را متغیر می نامند.

ب) به طور مشابه، به دنبال ترتیب اقدامات، ما به طور مداوم در می یابیم:

اما شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید! این در این مورد (و در موارد مشابه دیگر) به چه معناست؟ این بدان معنی است که وقتی : عبارت جبری داده شده معنی ندارد.

از اصطلاحات زیر استفاده می شود: اگر برای مقادیر خاص حروف (متغیرها) یک عبارت جبری دارای مقدار عددی باشد، مقادیر مشخص شده متغیرها مجاز نامیده می شوند. اگر برای مقادیر خاص حروف (متغیرها)، عبارت جبری معنی نداشته باشد، مقادیر مشخص شده متغیرها نامعتبر نامیده می شوند.

بنابراین، در مثال 2، مقادیر a = 1 و b = 2، a = 3.7 و b = -1.7 قابل قبول هستند، در حالی که مقادیر
نامعتبر (به طور دقیق تر: دو جفت ارزش اول معتبر هستند و جفت سوم مقادیر نامعتبر است).

به طور کلی، در مثال 2، چنین مقادیری از متغیرهای a، b غیرقابل قبول خواهد بود که برای آنها a + b = 0، یا a - b = 0. به عنوان مثال، a = 7، b = - 7 یا a = 28.3، b = 28،3 - جفت مقادیر نامعتبر. در حالت اول a + b = 0 و در حالت دوم a - b = 0. در هر دو حالت، مخرج عبارت داده شده در این مثال صفر می شود و دوباره تکرار می کنیم، نمی توان آن را بر صفر تقسیم کرد. . اکنون احتمالاً شما خودتان قادر خواهید بود هم جفت مقادیر معتبر برای متغیرهای a، b و هم جفت مقادیر نامعتبر برای این متغیرها در مثال 2 بیابید. آن را امتحان کنید!

مطالب آنلاین ریاضی مسائل و پاسخ به پایه پایه دانلود طرح درس ریاضی

A. V. Pogorelov، هندسه برای کلاس های 7-11، کتاب درسی برای موسسات آموزشی

اگر اصلاح یا پیشنهادی برای این درس دارید برای ما بنویسید.

اگر می‌خواهید تنظیمات و پیشنهادات دیگری برای درس‌ها ببینید، اینجا را ببینید - انجمن آموزشی.

در درس های جبر در مدرسه با عبارات مختلفی مواجه می شویم. با یادگیری مطالب جدید، ضبط عبارات متنوع تر و پیچیده تر می شود. به عنوان مثال، ما با قدرت ها آشنا شدیم - قدرت ها در عبارات ظاهر شدند، کسری ها را مطالعه کردیم - عبارات کسری ظاهر شدند و غیره.

برای سهولت در توصیف مطالب، عبارات متشکل از عناصر مشابه نام های خاصی داده شد تا آنها را از کل انواع عبارات متمایز کند. در این مقاله با آنها آشنا می شویم، یعنی مروری بر عبارات پایه ای که در درس جبر در مدرسه مطالعه می شود، می پردازیم.

پیمایش صفحه.

تک جمله ای ها و چندجمله ای ها

بیایید با عباراتی به نام شروع کنیم تک جمله ها و چند جمله ای ها. در زمان نگارش این مطلب، گفتگو در مورد تک جمله ها و چند جمله ای ها در درس جبر پایه هفتم آغاز می شود. تعاریف زیر در آنجا ارائه شده است.

تعریف.

تک نام هااعداد، متغیرها، توان آنها با توان های طبیعی و همچنین هر محصولی که از آنها تشکیل شده باشد نامیده می شود.

تعریف.

چند جمله ای هامجموع مونومی ها است.

به عنوان مثال، عدد 5، متغیر x، توان z 7، حاصلضرب 5 x و 7 x 2 7 z 7 همگی تک‌جمعی هستند. اگر مجموع تک جمله ها را مثلاً 5+x یا z 7 +7+7·x·2·7·z 7 در نظر بگیریم، چند جمله ای به دست می آید.

کار با تک‌جمله‌ها و چندجمله‌ای اغلب شامل انجام کارها با آنهاست. بنابراین، بر روی مجموعه تک‌جملات، ضرب تک‌جملات و بالا بردن یک مونومی به توان تعریف می‌شود، به این معنا که در نتیجه اجرای آنها یک تک‌جمله به‌دست می‌آید.

جمع، تفریق، ضرب و توان بر روی مجموعه چند جمله ای ها تعریف می شوند. این اقدامات چگونه تعیین می شوند و با چه قوانینی انجام می شوند، در مقاله اقدامات با چند جمله ای ها صحبت خواهیم کرد.

اگر در مورد چند جمله ای ها با یک متغیر صحبت کنیم، هنگام کار با آنها، تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای اهمیت عملی قابل توجهی دارد و اغلب این چند جمله ای ها باید به عنوان یک محصول نشان داده شوند.

کسرهای گویا (جبری).

در کلاس هشتم، مطالعه عبارات حاوی تقسیم بر یک عبارت با متغیرها آغاز می شود. و اولین چنین عباراتی هستند کسرهای گویا، که برخی از نویسندگان آن را می نامند کسرهای جبری.

تعریف.

کسری گویا (جبری).کسری است که صورت و مخرج آن چندجمله‌ای، به‌ویژه تک جمله‌ها و اعداد هستند.

در اینجا چند نمونه از کسرهای گویا آورده شده است: و . به هر حال، هر کسری معمولی یک کسری گویا (جبری) است.

جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان بر روی انواع کسرهای جبری معرفی می شوند. نحوه انجام این کار در مقاله اقدامات با کسرهای جبری توضیح داده شده است.

اغلب لازم است کسرهای جبری تبدیل شوند که رایج ترین آنها کاهش و کاهش به مخرج جدید است.

عبارات منطقی

تعریف.

عبارات با قدرت (عبارات قدرت)عباراتی هستند که در نماد خود دارای درجه هستند.

در اینجا چند نمونه از عبارات با قدرت آورده شده است. آنها ممکن است حاوی متغیر نباشند، به عنوان مثال، 2 3، . عبارات قدرت با متغیرها نیز انجام می شود: و غیره

ضرری ندارد که با نحوه انجام آن آشنا شوید. تبدیل عبارات با قدرت.

عبارات غیر منطقی، عبارات با ریشه

تعریف.

عبارات حاوی لگاریتم نامیده می شوند عبارات لگاریتمی.

نمونه هایی از عبارات لگاریتمی عبارتند از log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

اغلب، عبارات دارای قدرت و لگاریتم هستند، که قابل درک است، زیرا طبق تعریف لگاریتم یک توان است. در نتیجه، عباراتی مانند این طبیعی به نظر می رسند: .

برای ادامه موضوع به مطلب مراجعه کنید تبدیل عبارات لگاریتمی.

کسری

در این بخش به عبارات یک نوع خاص - کسری نگاه خواهیم کرد.

کسر مفهوم را گسترش می دهد. کسرها همچنین دارای یک صورت و مخرج هستند که به ترتیب در بالا و پایین خط کسری افقی (به سمت چپ و راست خط کسر مایل) قرار دارند. فقط، بر خلاف کسرهای معمولی، صورت و مخرج نه تنها می توانند شامل اعداد طبیعی، بلکه هر عدد دیگری و همچنین هر عبارتی باشند.

بنابراین، بیایید یک کسری را تعریف کنیم.

تعریف.

کسرعبارتی متشکل از یک صورت و یک مخرج است که با یک خط کسری از هم جدا شده اند که بیانگر برخی از عبارات یا اعداد عددی یا الفبایی است.

این تعریف به شما امکان می دهد تا مثال هایی از کسری ارائه دهید.

بیایید با مثال هایی از کسری شروع کنیم که صورت و مخرج آنها اعداد است: 1/4، ، (-15)/(-2) . صورت و مخرج کسری می تواند شامل عبارات عددی و الفبایی باشد. در اینجا نمونه هایی از این کسرها آورده شده است: (a+1)/3، (a+b+c)/(a 2 +b 2)، .

اما عبارات 2/5-3/7 کسری نیستند، اگرچه در نمادهای خود دارای کسری هستند.

عبارات کلی

در دبیرستان، به ویژه در مشکلات افزایش سختی و مشکلات گروه C در امتحان دولتی واحد در ریاضیات، با عباراتی از یک فرم پیچیده روبرو می شوید که در نماد خود به طور همزمان ریشه، توان، لگاریتم، توابع مثلثاتی و غیره را شامل می شود. مثلا، یا . به نظر می رسد که آنها با چندین نوع عبارات ذکر شده در بالا مطابقت دارند. اما معمولاً به عنوان یکی از آنها طبقه بندی نمی شوند. در نظر گرفته می شوند عبارات کلی، و هنگام توصیف آنها به سادگی یک عبارت را می گویند، بدون افزودن توضیحات اضافی.

در پایان مقاله، می خواهم بگویم که اگر یک عبارت داده شده دست و پا گیر است، و اگر کاملاً مطمئن نیستید که به چه نوع تعلق دارد، بهتر است آن را صرفاً یک عبارت بنامید تا اینکه آن را بیانی بنامید که نیست. .

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.
• ریاضیات.پایه ششم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. ویلنکین و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، برگردان. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هفتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 240 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019315-3.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• جبر:پایه نهم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2009. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-021134-5.
• جبرو آغاز تحلیل: Proc. برای پایه های 10-11 آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov - ویرایش 14 - M.: آموزش و پرورش، 2004. - 384 pp.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

عبارات جبری از کلاس هفتم شروع به مطالعه می کنند. آنها تعدادی ویژگی دارند و در حل مسائل استفاده می شوند. بیایید این موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم و نمونه ای از حل مسئله را در نظر بگیریم.

تعریف مفهوم

به چه عباراتی جبری می گویند؟ این یک نماد ریاضی است که از اعداد، حروف و نمادهای حسابی تشکیل شده است. وجود حروف تفاوت اصلی بین عبارات عددی و جبری است. مثال ها:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

یک حرف در عبارات جبری یک عدد را نشان می دهد. به همین دلیل است که به آن متغیر می گویند - در مثال اول حرف a، در مثال دوم b و در مثال سوم حرف c است. خود عبارت جبری نیز نامیده می شود بیان با متغیر.

مقدار بیان

معنی عبارت جبریعددی است که در نتیجه انجام کلیه عملیات حسابی نشان داده شده در این عبارت به دست می آید. اما برای بدست آوردن آن، حروف باید با اعداد جایگزین شوند. بنابراین، در مثال ها همیشه نشان می دهند که کدام عدد با حرف مطابقت دارد. بیایید ببینیم که چگونه مقدار عبارت 8a-14*(5-a) را در صورت a=3 پیدا کنیم.

عدد 3 را جایگزین حرف a می کنیم.

همانطور که در عبارات عددی، حل یک عبارت جبری مطابق با قوانین انجام عملیات حسابی انجام می شود. بیایید همه چیز را به ترتیب حل کنیم.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

بنابراین، مقدار عبارت 8a-14*(5-a) در a=3 برابر با -4 است.

مقدار یک متغیر در صورتی معتبر نامیده می شود که عبارت با آن معنا داشته باشد، یعنی بتوان راه حل آن را پیدا کرد.

نمونه ای از یک متغیر معتبر برای عبارت 5:2a عدد 1 است.

با جایگزین کردن آن به عبارت، 5:2*1=2.5 می گیریم. متغیر نامعتبر برای این عبارت 0 است. اگر صفر را به عبارت جایگزین کنیم، 5:2*0، یعنی 5:0 به دست می آید. شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید، به این معنی که عبارت معنی ندارد.

عبارات هویت

اگر دو عبارت برای هر یک از مقادیر متغیرهای تشکیل دهنده آنها برابر باشند، آنها فراخوانی می شوند همسان.
نمونه ای از عبارات یکسان :
4(a+c) و 4a+4c.
حروف a و c هر مقداری که بگیرند، عبارات همیشه برابر خواهند بود. هر عبارتی را می توان با عبارت دیگری جایگزین کرد که با آن یکسان است. به این فرآیند تبدیل هویت می گویند.

نمونه ای از تغییر هویت .
4*(5a+14c) - این عبارت را می توان با استفاده از قانون ریاضی ضرب با عبارتی مشابه جایگزین کرد. برای ضرب یک عدد در مجموع دو عدد، باید این عدد را در هر جمله ضرب کنید و نتایج را جمع کنید.

• 4*5a=20a.
• 4*14 = 64 ثانیه.
• 20a+64s.

بنابراین، عبارت 4*(5a+14c) با 20a+64c یکسان است.

عددی که قبل از یک متغیر حرفی در یک عبارت جبری ظاهر می شود، ضریب نامیده می شود. ضریب و متغیر ضریب هستند.

حل مسئله

از عبارات جبری برای حل مسائل و معادلات استفاده می شود.
بیایید مشکل را در نظر بگیریم. پتیا شماره ای آورد. پتیا برای اینکه همکلاسی اش ساشا حدس بزند به او گفت: ابتدا 7 را به عدد اضافه کردم سپس 5 را از آن کم کردم و در 2 ضرب کردم. در نتیجه عدد 28 را به دست آوردم. چه عددی را حدس زدم؟

برای حل مشکل، باید عدد پنهان را با حرف a مشخص کنید و سپس تمام اقدامات مشخص شده را با آن انجام دهید.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

حالا بیایید معادله حاصل را حل کنیم.

پتیا آرزوی شماره 12 را داشت.

ما چه آموخته ایم؟

عبارت جبری رکوردی است که از حروف، اعداد و نمادهای حسابی تشکیل شده است. هر عبارت دارای یک مقدار است که با انجام تمام عملیات حسابی در عبارت پیدا می شود. حرف یک عبارت جبری را متغیر و عدد مقابل آن را ضریب می گویند. از عبارات جبری برای حل مسائل استفاده می شود.

در مورد موضوع تست کنید

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.4. مجموع امتیازهای دریافتی: 529.