عناصر اساسی یک توپ و کره توپ و کره، حجم یک توپ، مساحت یک کره، فرمول ها

توپ (کره)

سطح کروی. توپ (کره). بخش های توپ: حلقه ها

قضیه ارشمیدس. قسمت های توپ: بخش کروی،

لایه کروی، کمربند کروی، بخش کروی.

سطح کروی - این مکان نقاط(آن ها زیادتعداد تمام نقاط)در فضا، با فاصله مساوی از یک نقطه O ، که مرکز سطح کروی نامیده می شود (شکل 90). شعاع AOi قطر AB به همان شکلی که در یک دایره تعریف می شوند.

توپ (کره) - این جسمی که توسط یک سطح کروی محدود شده است.می توان با چرخاندن نیم دایره توپ را بدست آورید (یا دایره ) در اطراف قطر. تمام بخش های صفحه توپ هستند حلقه ها (شکل 90 ). بزرگترین دایره در قسمتی قرار دارد که از مرکز توپ می گذرد و نامیده می شود دایره بزرگ. شعاع آن برابر با شعاع توپ است. هر دو دایره بزرگ در امتداد قطر توپ ( AB، Fig.91 این قطر همچنین قطر دایره های بزرگ متقاطع است. از طریق دو نقطه از یک سطح کروی که در انتهای همان قطر قرار دارند(الف و ب، شکل 91 )، می توانید دایره های بزرگ بی شماری بکشید. به عنوان مثال، تعداد نامحدودی از نصف النهارها را می توان از طریق قطب های زمین ترسیم کرد.

حجم کره یک و نیم برابر کمتر از حجم استوانه ای است که دور آن احاطه شده است. (شکل 92 ), آ سطح توپ یک و نیم برابر کمتر از سطح کل همان استوانه است ( قضیه ارشمیدس):

اینجا اس توپ و V توپ - به ترتیب سطح و حجم توپ؛

اس سیلندر و V سیلندر - کل سطح و حجم استوانه محدود شده.

بخش هایی از توپ بخشی از یک توپ (کره) )، با چند هواپیما از آن جدا شده است ( ABC، شکل 93)، تماس گرفت توپ(کروی ) بخش. دایره ABC تماس گرفت اساسبخش توپ بخش خط MN عمود بر گرفته شده از مرکزدایره N ABC تا زمانی که با یک سطح کروی تلاقی کند، نامیده می شود ارتفاعبخش توپ نقطهم تماس گرفت بالابخش توپ

بخشی از یک کره محصور بین دو صفحه موازی ABC و DEF یک سطح کروی را قطع می کنند (شکل 93)، تماس گرفت لایه کروی; سطح منحنی یک لایه کروی نامیده می شود کمربند توپ(منطقه). حلقه ها ABC و DEF – زمینهکمربند توپ فاصله N.K. بین پایه های کمربند کروی - آن ارتفاع. بخشی از توپ که توسط سطح منحنی یک بخش کروی محدود شده است ( AMCB، شکل 93) و سطح مخروطی OABC که پایه آن پایه قطعه است ( ABC ) و راس مرکز توپ است O ، تماس گرفت بخش کروی.

توپ و کره اول از همه اشکال هندسی هستند و اگر توپ جسم هندسی باشد کره سطح توپ است. این ارقام هزاران سال پیش از میلاد مورد توجه بودند.

پس از آن، هنگامی که کشف شد که زمین یک توپ و آسمان یک کره آسمانی است، یک جهت جذاب جدید در هندسه ایجاد شد - هندسه روی یک کره یا هندسه کروی. برای اینکه در مورد اندازه و حجم یک توپ صحبت کنید، ابتدا باید آن را تعریف کنید.

توپ

توپی به شعاع R با مرکز در نقطه O در هندسه جسمی است که توسط تمام نقاط فضا که دارای خاصیت مشترک هستند ایجاد می شود. این نقاط در فاصله ای قرار دارند که بیش از شعاع توپ نباشد، یعنی کل فضای کمتر از شعاع توپ را در تمام جهات از مرکز آن پر می کنند. اگر فقط نقاطی را در نظر بگیریم که از مرکز توپ به یک اندازه فاصله دارند، سطح آن یا پوسته توپ را در نظر می گیریم.

چگونه می توانم توپ را بدست بیاورم؟ می توانیم یک دایره را از کاغذ برش دهیم و شروع به چرخاندن آن به دور قطر خودش کنیم. یعنی قطر دایره محور چرخش خواهد بود. شکل تشکیل شده یک توپ خواهد بود. بنابراین توپ را بدنه انقلاب نیز می نامند. زیرا می توان آن را با چرخش یک شکل صاف - یک دایره تشکیل داد.

بیایید چند هواپیما برداریم و توپ خود را با آن قطع کنیم. همانطور که یک پرتقال را با چاقو برش می دهیم. قطعه ای که از توپ جدا می کنیم قطعه کروی نامیده می شود.

در یونان باستان، آنها می دانستند که چگونه نه تنها با یک توپ و کره به عنوان اشکال هندسی کار کنند، مثلاً از آنها در ساخت و ساز استفاده کنند، بلکه می دانستند که چگونه مساحت یک توپ و حجم یک توپ را محاسبه کنند.

کره نام دیگری برای سطح توپ است. یک کره یک جسم نیست - سطح یک بدنه انقلابی است. با این حال، از آنجایی که هم زمین و هم بسیاری از اجسام دارای شکل کروی هستند، به عنوان مثال یک قطره آب، مطالعه روابط هندسی در داخل کره گسترده شده است.

مثلاً اگر دو نقطه از یک کره را با یک خط مستقیم به یکدیگر وصل کنیم، به این خط مستقیم وتر می گویند و اگر این وتر از مرکز کره که منطبق با مرکز توپ است عبور کند. سپس وتر قطر کره نامیده می شود.

اگر یک خط مستقیم بکشیم که فقط در یک نقطه کره را لمس کند، این خط مماس نامیده می شود. علاوه بر این، این مماس بر کره در این نقطه عمود بر شعاع کره کشیده شده به نقطه تماس خواهد بود.

اگر وتر را در یک جهت یا در جهت دیگر از کره به یک خط مستقیم بکشیم، این وتر را سکانت می نامند. یا می توانیم آن را به گونه ای دیگر بگوییم - سکنت به کره حاوی وتر آن است.

حجم توپ

فرمول محاسبه حجم یک توپ به صورت زیر است:

که در آن R شعاع توپ است.

اگر می خواهید حجم یک قطعه کروی را پیدا کنید، از فرمول استفاده کنید:

V seg = πh 2 (R-h/3)، h ارتفاع قطعه کروی است.

سطح یک توپ یا کره

برای محاسبه مساحت یک کره یا سطح یک توپ (آنها یکسان هستند):

که در آن R شعاع کره است.

ارشمیدس به توپ و کره بسیار علاقه داشت، او حتی از او خواست که نقاشی روی مقبره خود بگذارد که در آن یک توپ در یک استوانه حک شده بود. ارشمیدس معتقد بود که حجم یک توپ و سطح آن برابر با دو سوم حجم و سطح استوانه ای است که توپ در آن حک شده است.

در فصل 2 ما "هندسه ساختاری" را ادامه خواهیم داد و در مورد ساختار و ویژگی های مهم ترین چهره های فضایی - توپ و کره، استوانه ها و مخروط ها، منشورها و اهرام - بیشتر اشیاء ایجاد شده توسط دست انسان - ساختمان ها، اتومبیل ها، مبلمان، ظروف صحبت خواهیم کرد و غیره و غیره از قسمت هایی به شکل این شکل ها تشکیل شده است.

§ 4. کره و توپ

پس از خطوط مستقیم و صفحات، کره و گوی ساده ترین، اما بسیار مهم ترین شکل های فضایی و سرشار از ویژگی های مختلف هستند. کتاب های کاملی در مورد خواص هندسی یک توپ و سطح آن - یک کره نوشته شده است. برخی از این ویژگی ها برای هندسه شناسان یونان باستان شناخته شده بود و برخی اخیراً در سال های اخیر کشف شده اند. این ویژگی‌ها (همراه با قوانین علوم طبیعی) توضیح می‌دهند که مثلاً چرا اجرام آسمانی و تخم‌های ماهی کروی هستند، چرا حمام‌ها و توپ‌های فوتبال به شکل توپ ساخته می‌شوند، چرا بلبرینگ‌ها در فناوری بسیار رایج هستند. و غیره. ما فقط می توانیم ساده ترین ویژگی های توپ را ثابت کنیم. اثبات خواص دیگر، هرچند بسیار مهم، اغلب مستلزم استفاده از روش‌های کاملاً غیر ابتدایی است، اگرچه فرمول‌بندی چنین ویژگی‌هایی می‌تواند بسیار ساده باشد: به عنوان مثال، در میان تمام اجسامی که سطح مشخصی دارند، توپ بیشترین حجم را دارد.

4.1. تعاریف کره و توپ

یک کره و یک توپ در فضا دقیقاً مانند دایره و دایره در یک صفحه تعریف می شوند. کره شکلی است متشکل از تمام نقاط موجود در فضا که از یک نقطه معین دور هستند.

نقاط مختلف به یک فاصله (مثبت).

این نقطه مرکز کره نامیده می شود و فاصله شعاع آن است (شکل 4.1).

بنابراین، یک کره با مرکز O و شعاع R شکلی است که توسط تمام نقاط X فضا برای آن تشکیل شده است

یک توپ شکلی است که توسط تمام نقاط فضا که در فاصله ای بیشتر از یک فاصله معین (مثبت) از یک نقطه معین قرار دارند تشکیل می شود. این نقطه مرکز توپ نامیده می شود و این فاصله شعاع آن است.

بنابراین، یک توپ با مرکز O و شعاع R شکلی است که توسط تمام نقاط X از فضا تشکیل شده است

نقاط X از یک توپ با مرکز O و شعاع R که برای آنها یک کره تشکیل می دهند. آنها می گویند که این کره یک توپ معین را در بر می گیرد یا سطح آن است.

در مورد همان نقاط X توپ که می گویند داخل توپ دراز کشیده اند.

شعاع یک کره (و توپ) نه تنها فاصله، بلکه هر قطعه ای که مرکز را با نقطه ای روی کره متصل می کند نیز نامیده می شود.

هندسه

بخش دوم. استریومتری

§22. توپ. کره.

1. تعریف توپ و کره. عناصر توپ و کره

گلوله جسم هندسی است که از چرخش دایره ای حول محوری حاوی قطر آن تشکیل می شود (شکل 500).

مرکز دایره ای که می چرخد ​​را مرکز توپ می گویند، شعاع دایره را شعاع توپ و قطر دایره را قطر توپ می نامند. در شکل 500 نقطه O مرکز توپ، OA و OB شعاع توپ و AB قطر توپ است.

سطح توپ را کره می گویند.

مرکز، شعاع و قطر یک کره نیز مرکز، شعاع و قطر یک کره است.

تمام نقاط کره از مرکز کره در یک فاصله برابر با شعاع قرار دارند. به سایر نقاط توپ که به کره تعلق ندارند، نقاط داخلی گفته می شود. نقاط داخلی توپ از مرکز توپ در فاصله ای کمتر از شعاع قرار دارند.

بنابراین به تعریف دیگری از کره و توپ می رسیم.

کره سطحی است که از تمام نقاطی در فضا با فاصله مساوی از یک نقطه تشکیل شده است. این نقطه را مرکز کره می نامند و فاصله مرکز کره تا هر یک از نقاط آن شعاع کره است.

گلوله یک جسم هندسی است که شامل تمام نقاط فضا است که در فاصله ای که از یک نقطه معین بیشتر نباشد، قرار دارند. این نقطه را مرکز توپ و به این فاصله شعاع توپ می گویند.

مثال. شعاع کره 3.5 سانتی متر است که نقطه A در داخل یا خارج از کره قرار دارد: 1) سانتی متر، 2)سانتی متر.

توپ جسمی است متشکل از تمام نقاطی در فضا که در فاصله ای نه بیشتر از یک نقطه معین از یک نقطه معین قرار دارند. این نقطه را مرکز توپ و به این فاصله شعاع توپ می گویند. به مرز یک توپ، سطح یا کره کروی می گویند. نقاط کره همه نقاطی از توپ هستند که در فاصله ای برابر با شعاع از مرکز خارج می شوند. هر قطعه ای که مرکز یک توپ را به نقطه ای از سطح کروی متصل کند، شعاع نیز نامیده می شود. قطعه ای که از مرکز توپ می گذرد و دو نقطه روی سطح کروی را به هم متصل می کند، قطر نامیده می شود. انتهای هر قطری را نقاط متضاد توپ می نامند.

یک توپ بدنه ای از چرخش است، درست مانند یک مخروط و یک استوانه. یک توپ با چرخاندن یک نیم دایره حول قطر آن به عنوان یک محور به دست می آید.

سطح توپ را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:

جایی که r شعاع توپ است، d قطر توپ است.

حجم توپ با فرمول بدست می آید:

V = 4 / 3 πr 3،

جایی که r شعاع توپ است.

قضیه. هر بخش از یک توپ در یک صفحه یک دایره است. مرکز این دایره قاعده عمودی است که از مرکز توپ بر روی صفحه برش کشیده شده است.

بر اساس این قضیه، اگر توپی با مرکز O و شعاع R با صفحه α قطع شود، سطح مقطع به دایره ای به شعاع r با مرکز K تبدیل می شود. شعاع برش توپ توسط صفحه را می توان یافت. توسط فرمول

از فرمول مشخص می شود که هواپیماهایی با فاصله مساوی از مرکز، توپ را در دایره های مساوی قطع می کنند. شعاع بخش بزرگتر است، هر چه صفحه برش به مرکز توپ نزدیکتر باشد، یعنی فاصله اوکی کمتر است. بزرگترین شعاع دارای یک مقطع است که توسط صفحه ای از مرکز توپ می گذرد. شعاع این دایره برابر با شعاع توپ است.

صفحه ای که از مرکز توپ عبور می کند، صفحه مرکزی نامیده می شود. برش توپ را با صفحه قطری دایره بزرگ و به مقطع کره را دایره بزرگ و به مقطع کره را دایره بزرگ می گویند.

قضیه. هر صفحه قطری یک توپ صفحه تقارن آن است. مرکز توپ مرکز تقارن آن است.

صفحه ای که از نقطه A از سطح کروی عبور می کند و عمود بر شعاع رسم شده به نقطه A است، صفحه مماس نامیده می شود. نقطه A را نقطه مماس می نامند.

قضیه. صفحه مماس تنها یک نقطه مشترک با توپ دارد - نقطه تماس.

خط مستقیمی که از نقطه A از یک سطح کروی عمود بر شعاع کشیده شده به این نقطه می گذرد مماس نامیده می شود.

قضیه. تعداد نامتناهی مماس از هر نقطه ای از سطح کروی عبور می کند و همه آنها در صفحه مماس توپ قرار دارند.

قطعه کروی قسمتی از توپ است که توسط یک صفحه از آن جدا شده است. دایره ABC پایه بخش کروی است. بخش عمود بر MN که از مرکز N دایره ABC تا محل تقاطع با سطح کروی کشیده شده است، ارتفاع قطعه کروی است. نقطه M رأس قطعه کروی است.

مساحت سطح یک قطعه کروی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

حجم یک قطعه کروی را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

V = πh 2 (R - 1/3h)،

جایی که R شعاع دایره بزرگ است، h ارتفاع قطعه کروی است.

یک بخش کروی از یک بخش کروی و یک مخروط به صورت زیر بدست می آید. اگر یک بخش کروی کوچکتر از یک نیمکره باشد، بخش کروی با یک مخروط تکمیل می شود که راس آن در مرکز توپ قرار دارد و قاعده قاعده قطعه است. اگر قطعه بزرگتر از یک نیمکره باشد، مخروط مشخص شده از آن حذف می شود.

یک بخش کروی بخشی از یک توپ است که توسط یک سطح منحنی از یک بخش کروی (در شکل ما، AMCB است) و یک سطح مخروطی (در شکل ما، این OABC است)، که قاعده آن پایه قطعه (ABC)، و راس مرکز توپ O است.

حجم بخش کروی با فرمول بدست می آید:

V = 2/3 πR 2 H.

یک لایه کروی بخشی از یک توپ است که بین دو صفحه موازی (صفحه های ABC و DEF در شکل) محصور شده است که سطح کروی را قطع می کنند. سطح منحنی لایه کروی را کمربند کروی (منطقه) می گویند. دایره های ABC و DEF پایه های کمربند کروی هستند. فاصله NK بین پایه های کمربند کروی ارتفاع آن است.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.