Формула по нахождению периметра треугольника. Периметр треугольника: понятие, характеристика, способы определения

Содержимое:

Периметр – это общая длина границ двумерной формы. Если вы хотите найти периметр треугольника, то вы должны сложить длины всех его сторон; если вы не знаете длину хотя бы одной стороны треугольника, необходимо найти ее. Эта статья расскажет вам, (а) как найти периметр треугольника по трем известным сторонам; (б) как найти периметр прямоугольного треугольника, когда известны только две стороны; (в) как найти периметр любого треугольника, когда даны две стороны и угол между ними (используя теорему косинусов).

Шаги

1 По трем данным сторонам

1. 1 Для нахождения периметра используйте формулу: Р = a + b + c, где a, b, c – длины трех сторон, Р – периметр.
2. 2 Найдите длины всех трех сторон. В нашем примере: a = 5, b = 5, с = 5.
   • Это равносторонний треугольник, так как все три стороны имеют одинаковую длину. Но вышеуказанная формула применяется к любому треугольнику.
3. 3 Сложите длины всех трех сторон, чтобы найти периметр. В нашем примере: 5 + 5 + 5 = 15, то есть Р = 15.
   • Другой пример: a = 4, b = 3, с = 5. Р = 3 + 4 + 5 = 12.
4. 4 В ответе не забывайте указывать единицу измерения. В нашем примере стороны измеряются в сантиметрах, поэтому ваш окончательный ответ также должен включать сантиметры (или единицы измерения, указанные в условии задачи).
   • В нашем примере каждая сторона равна 5 см, поэтому окончательный ответ: Р = 15 см.

2 По двум данным сторонам прямоугольного треугольника

1. 1 Вспомните теорему Пифагора. Эта теорема описывает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника и является одной из наиболее известных и применяемых теорем математики. Теорема гласит, что в любом прямоугольном треугольнике стороны связаны следующим соотношением: a 2 + b 2 = c 2 , где а, b – катеты, с – гипотенуза.
2. 2 Нарисуйте треугольник и обозначьте стороны как a, b, c. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника – это гипотенуза. Она лежит напротив прямого угла. Обозначьте гипотенузу как «с». Катеты (стороны, прилежащие к прямому углу) обозначьте как «a» и «b».
3. 3 Подставьте значения известных сторон в теорему Пифагора (a 2 + b 2 = c 2). Вместо букв подставьте числа, данные в условии задачи.
   • Например, а = 3 и b = 4. Подставьте эти значения в теорему Пифагора: 3 2 + 4 2 = c 2 .
   • Другой пример: а = 6 и с = 10. Тогда: 6 2 + b 2 = 10 2
4. 4 Решите полученное уравнение, чтобы найти неизвестную сторону. Для этого сначала возведите в квадрат известные длины сторон (просто умножьте данное вам число само на себя). Если вы ищете гипотенузу, сложите квадраты двух сторон и из полученной суммы извлеките квадратный корень. Если вы ищете катет, вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и из полученного частного извлеките квадратный корень.
   • В первом примере: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2 ; 25= c 2 ; √25 = с. Таким образом, c = 25.
   • Во втором примере: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. Перенесите 36 на правую сторону уравнения и получите: b 2 = 64; b = √64. Таким образом, b = 8.
5. 5
   • В нашем первом примере: P = 3 + 4 + 5 = 12.
   • В нашем втором примере: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 По двум данным сторонам и углу между ними

1. 1 Любую сторону треугольника можно найти по теореме косинусов, если вам даны две стороны и угол между ними. Эта теорема применяется к любым треугольникам и является очень полезной формулой. Теорема косинусов: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), где a, b, c – стороны треугольника, А, B, С – углы, противолежащие соответствующим сторонам треугольника.
2. 2 Нарисуйте треугольник и обозначьте стороны как a, b, c; обозначьте противолежащие соответствующим сторонам углы как A, B, C (то есть угол, противолежащий стороне «а», обозначьте как «А» и так далее).
   • Например, дан треугольник со сторонами 10 и 12 и углом между ними в 97°, то есть a = 10, b = 12, C = 97°.
3. 3 Подставьте данные вам значения в формулу и найдите неизвестную сторону «с». Сначала возведите в квадрат длины известных сторон и сложите полученные значения. Затем найдите косинус угла С (с помощью калькулятора или онлайн-калькулятора). Умножьте длины известных сторон на косинус данного угла и на 2 (2abcos(C)). Полученное значение вычтите из суммы квадратов двух сторон (a 2 + b 2), и вы получите c 2 . Из этой величины извлеките квадратный корень, чтобы найти длину неизвестной стороны «с». В нашем примере:
   • c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
   • c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
   • c 2 = 244 – (-29,25)
   • c 2 = 244 + 29,25
   • c 2 = 273,25
   • c = 16,53
4. 4 Сложите длины трех сторон, чтобы найти периметр. Напомним, что периметр вычисляется по формуле: P = a + b + c.
   • В нашем примере: Р = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.

Периметр – это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.

В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.

Возможные методы:

• известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
• как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
• известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.

Первый метод: известны все стороны фигуры

Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани , необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c – известные длины всех сторон треугольника, P – периметр фигуры.

Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.

Данная формула подходит к любому треугольнику , необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.

Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.

Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.

Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:

Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b – катеты фигуры, а c – гипотенуза.

• Гипотенуза . Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
• Катеты – это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.

Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.

Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется . Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.

Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 – a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.

Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.

Третий метод: по двум граням и углу между ними

В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов .

Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c – стандартно длины граней, а A,B и С – это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A – угол, противолежащий стороне a и так далее.

Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.

Все, что нужно сделать в данном случае – это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень – это будет третья, неизвестная до этого сторона.

После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.

Предварительные сведения

Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Определение 4

Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

Определение 5

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

Определение 6

Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.

Как найти периметр разностороннего треугольника?

Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

Пример 1

Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

$P=34+12+11=57$ см

Ответ: $57$ см.

Пример 2

Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

$α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

$P=10+8+6=24$ см

Ответ: $24$ см.

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+β=2α+β$

Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

Пример 3

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=2\cdot 12+11=35$ см

Ответ: $35$ см.

Пример 4

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

Рассмотрим рисунок по условию задачи:

Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

$P=2\cdot 10+12=32$ см

Ответ: $32$ см.

Как найти периметр равностороннего треугольника?

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+α=3α$

Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.

Пример 5

Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=3\cdot 12=36$ см

Как найти периметр треугольника? Таким вопросом задавался каждый из нас, учась в школе. Попробуем вспомнить все, что мы знаем об этой удивительной фигуре, а также ответить на заданный вопрос.

Ответ на вопрос о том, как найти периметр треугольника, обычно является довольно-таки простым - требуется всего-лишь выполнить процедуру сложения длин всех его сторон. Однако есть ещё несколько простых методов искомой величины.

Советы

В том случае, если радиус (r) окружности, которая вписана в треугольник, и его площадь (S) известны, то ответить на вопрос о том, как найти периметр треугольника, довольно просто. Для этого вам необходимо воспользоваться обычной формулой:

Если известны два угла, допустим, α и β, которые прилегают к стороне, и сама длина стороны, то периметр можно найти с помощью весьма и весьма популярной формулы, которая имеет вид:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Если вы знаете длины смежных сторон и угол β, находящийся между ними, то для того, чтобы найти периметр, требуется воспользоваться Периметр вычисляется по формуле:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

где b2 и а2 являются квадратами длин смежных сторон. Подкоренное выражение - это длина третьей стороны, которая неизвестна, выраженная посредством теоремы косинусов.

Если вы не знаете, как найти периметр то здесь, на самом деле, нет ничего сложного. Вычислите его по формуле:

где b - основание треугольника, а - его боковые стороны.

Для нахождения периметра правильного треугольника следует воспользоваться простейшей формулой:

где а - длина стороны.

Как найти периметр треугольника, если известны только радиусы окружностей, которые описаны около него или вписаны в него? Если треугольник является равносторонним, то тогда следует применить формулу:

P = 3R√3 = 6r√3,

где R и r являются радиусами описанной и вписанной окружности соответственно.

Если треугольник является равнобедренным, то для него применима формула:

P=2R (sinβ + 2sinα),

где α - это угол, который лежит у основания, а β - угол, который противолежит основанию.

Зачастую для решения математических задач требуется глубочайший анализ и специфическое умение находить и выводить требуемые формулы, а это, как многим известно, довольно непростая работа. Хотя некоторые задачи можно решить всего лишь с помощью одной-единственной формулы.

Давайте рассмотрим формулы, которые являются базовыми для ответа на вопрос о том, как найти периметр треугольника, по отношению к самым разнообразным типам треугольников.

Безусловно, главное правило для нахождения периметра треугольника - это данное утверждение: для нахождения периметра треугольника требуется сложить длины всех его сторон по соответствующей формуле:

где b, a и с - это длины сторон треугольника, а Р - периметр треугольника.

Есть несколько частных случаев данной формулы. Допустим, ваша задача формулируется следующим образом: «как найти периметр прямоугольного треугольника?» В таком случае вам следует воспользоваться следующей формулой:

P = b + a + √(b2 + a2)

В этой формуле b и а являются непосредственными длинами катетов прямоугольного треугольника. Несложно догадаться, что вместо стороны с (гипотенузы) используется выражение, полученное по теореме великого ученного древности - Пифагора.

Если требуется решить задачу, где треугольники являются подобными, то логично было бы воспользоваться данным утверждением: отношение периметров соответствует коэффициенту подобия. Допустим, у вас есть два подобных треугольника - ΔABC и ΔA1B1C1. Тогда для нахождения коэффициента подобия необходимо разделить периметр ΔABC на периметр ΔA1B1C1.

В заключение можно отметить, что периметр треугольника можно найти при помощи самых различных методик, в зависимости от тех исходных данных, которые у вас имеются. Необходимо добавить, что существуют некоторые частные случаи для прямоугольных треугольников.

Часто математические задачи требуют глубокого анализа, умения осуществлять поиск решения и выбор нужных утверждений, формул. В такой работе нетрудно запутаться. И все же существуют задачи, решение которых сводится к применению одной формулы. К таким задачам относится вопрос, как найти периметр треугольника.

Рассмотрим основные формулы для решения этой задачи применительно к разным видам треугольника.

1. Основным правилом для нахождения периметра треугольника является следующее утверждение: периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Формула P=a+b+c. Здесь a, b, c – длины сторон треугольника, P – его периметр.
2. Существуют частные случаи этой формулы. Например:
3. если в задаче стоит вопрос, как найти периметр прямоугольного треугольника, то можно использовать как классическую формулу (см. п. 1), так и формулу, требующую меньшего количества данных: P=a+b+ (a 2 +b 2) . Здесь a, b – длины катетов прямоугольного треугольника. Нетрудно заметить, что третья сторона (гипотенуза) заменена выражением из теоремы Пифагора.
4. периметр равнобедренного треугольника находим по формуле P=2*a+b . Здесь a – длина боковой стороны треугольника, b – длина его основания.
5. для поиска периметра равностороннего (или правильного) треугольника вычисляем значение выражения P=3*a , где a – длина стороны треугольника.
6. для решения задач, где фигурируют подобные треугольники, полезно знать следующее утверждение: отношение периметров равно коэффициенту подобия. Удобно использовать формулу
   P(ABC)/P(A 1 B 1 C 1)=k, где ABC ~ A 1 B 1 C 1 , а k – коэффициент подобия.

Дан ABC со сторонами 6, 8, и 10 и A 1 B 1 C 1 со сторонами 9, 12. Известно, что угол B равен углу B 1 . Найдите периметр треугольника A 1 B 1 C 1.

• Пусть AB=6, BC=8, AC=10- A 1 B 1 =9- B 1 C 1 =12. Заметим, что AB/ A 1 B 1 =BC/ B 1 C 1 , т.к. 6/9=8/12=2/3. Причем по условию B=B 1 . Эти углы заключены между сторонами AB, BC и A 1 B 1 , B 1 C 1 соответственно. Вывод – по 2-му признаку подобия треугольников, ABC A 1 B 1 C 1 . Коэффициент подобия k=2/3.
• Найдем по формуле п. 1 P(ABC) = 6+8+10=24 (ед). Можно использовать формулу п. 2а, т.к. теорема Пифагора доказывает, что ABC – прямоугольный.
• Из п. 2d следует, P(ABC)/P(A 1 B 1 C 1)=2/3. Поэтому P(A 1 B 1 C 1)=3*P(ABC)/2=3*24/2=36 (ед).

ДРУГОЕ

Каждый школьник в начальных классах пытался узнать, что такое треугольник и что такое периметр ттреугольника. Попробуем…

Признаками подобия двух треугольников являются такие геометрические признаки, которые позволяют установить, что два…

Наверняка каждый из нас учил в школе такую важную составляющую геометрии, как периметр. Нахождение периметра просто…

Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками,…

Математика – сложная наука, требующая запоминания и умения оперировать большим количеством формул. Рассмотрим…

Треугольник, у которого две стороны равны между собой, называется равнобедренным. Эти его стороны называют боковыми, а…

Интересно, что много лет назад такой раздел математики, как «геометрия» называли «землемерием».…

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника…

Задача на нахождение диагонали прямоугольника может быть сформулирована тремя разными способами. Рассмотрим подробнее…

Задачами по решению треугольников (именно так называются подобные задачи) занимается особый раздел геометрии -…

Квадратом называется параллелограмм с равными сторонами и прямыми углами. Как найти периметр квадрата? Периметр - это…

Задача на нахождение длины прямоугольника может быть сформулирована по-разному. Разберемся, как найти длины сторон…

Треугольник - фигура на плоскости, имеющая три вершины, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти…

Геометрия - одна из самых сложных наук в школьной программе. Пожалуй, труднее всего приходится тем, кто ищет решение…

Вам интересно, как можно вычислить и найти среднюю линию треугольника. Тогда за дело.Найти длину средней линии…