Définition d'une fonction croissante.

Fonction y=f(x) augmente au cours de l'intervalle X, le cas échéant et l’inégalité perdure. En d’autres termes, une valeur d’argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus grande.

Définition d'une fonction décroissante.

Fonction y=f(x) diminue sur l'intervalle X, le cas échéant et l’inégalité persiste . En d’autres termes, une valeur plus grande de l’argument correspond à une valeur plus petite de la fonction.

REMARQUE : si la fonction est définie et continue aux extrémités de l'intervalle croissant ou décroissant (un;b), c'est-à-dire quand x=une Et x=b, alors ces points sont inclus dans l'intervalle d'augmentation ou de diminution. Cela ne contredit pas les définitions d'une fonction croissante et décroissante sur l'intervalle X.

Par exemple, d’après les propriétés des fonctions élémentaires de base, nous savons que y=sinx défini et continu pour toutes les valeurs réelles de l'argument. Par conséquent, à partir de l’augmentation de la fonction sinus sur l’intervalle, nous pouvons affirmer qu’elle augmente sur l’intervalle.

Points extremum, extremum d'une fonction.

Le point s'appelle point maximum fonctions y=f(x), si pour tout le monde x de son voisinage, l'inégalité est valable. La valeur de la fonction au point maximum est appelée maximum de la fonction et désignent .

Le point s'appelle point minimum fonctions y=f(x), si pour tout le monde x de son voisinage, l'inégalité est valable. La valeur de la fonction au point minimum est appelée fonction minimale et désignent .

Le voisinage d'un point s'entend comme l'intervalle , où est un nombre positif suffisamment petit.

Les points minimum et maximum sont appelés points extrêmes, et les valeurs de fonction correspondant aux points extremum sont appelées extrema de la fonction.

Ne confondez pas les extrema d'une fonction avec les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction.

Dans la première figure, la plus grande valeur de la fonction sur le segment est atteint au point maximum et est égal au maximum de la fonction, et dans le deuxième chiffre - la valeur la plus élevée de la fonction est atteinte au point x=b, ce qui n'est pas un point maximum.

Conditions suffisantes pour les fonctions croissantes et décroissantes.

Sur la base de conditions (signes) suffisantes pour l'augmentation et la diminution d'une fonction, des intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sont trouvés.

Voici les formulations des signes des fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle :

si la dérivée de la fonction y=f(x) positif pour tout le monde x de l'intervalle X, alors la fonction augmente de X;

si la dérivée de la fonction y=f(x) négatif pour personne x de l'intervalle X, alors la fonction diminue de X.

Ainsi, pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction, il faut :

Considérons un exemple de recherche des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes pour expliquer l'algorithme.

Exemple.

Trouvez les intervalles des fonctions croissantes et décroissantes.

Solution.

La première étape consiste à trouver la définition de la fonction. Dans notre exemple, l'expression au dénominateur ne doit pas aller à zéro, donc .

Passons à la recherche de la dérivée de la fonction :

Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction sur la base d'un critère suffisant, on résout des inégalités sur le domaine de définition. Utilisons une généralisation de la méthode des intervalles. La seule vraie racine du numérateur est x = 2, et le dénominateur tend vers zéro à x=0. Ces points divisent le domaine de définition en intervalles dans lesquels la dérivée de la fonction conserve son signe. Marquons ces points sur la droite numérique. On note classiquement par plus et moins les intervalles auxquels la dérivée est positive ou négative. Les flèches ci-dessous montrent schématiquement l'augmentation ou la diminution de la fonction sur l'intervalle correspondant.

Extréma de la fonction

Définition 2

Un point $x_0$ est appelé point maximum d'une fonction $f(x)$ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tout $x$ dans ce voisinage l'inégalité $f(x)\le f(x_0) $ tient.

Définition 3

Un point $x_0$ est appelé point maximum d'une fonction $f(x)$ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tout $x$ dans ce voisinage l'inégalité $f(x)\ge f(x_0) $ tient.

La notion d'extremum d'une fonction est étroitement liée à la notion de point critique d'une fonction. Présentons sa définition.

Définition 4

$x_0$ est appelé point critique de la fonction $f(x)$ si :

1) $x_0$ - point interne du domaine de définition ;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ou n'existe pas.

Pour la notion d'extremum, on peut formuler des théorèmes sur les conditions suffisantes et nécessaires à son existence.

Théorème 2

Condition suffisante pour un extremum

Soit le point $x_0$ être critique pour la fonction $y=f(x)$ et se situer dans l'intervalle $(a,b)$. Soit sur chaque intervalle $\left(a,x_0\right)\ et\ (x_0,b)$ la dérivée $f"(x)$ existe et maintient un signe constant. Alors :

1) Si sur l'intervalle $(a,x_0)$ la dérivée est $f"\left(x\right)>0$, et sur l'intervalle $(x_0,b)$ la dérivée est $f"\left( x\droite)

2) Si sur l'intervalle $(a,x_0)$ la dérivée $f"\left(x\right)0$, alors le point $x_0$ est le point minimum pour cette fonction.

3) Si à la fois sur l'intervalle $(a,x_0)$ et sur l'intervalle $(x_0,b)$ la dérivée $f"\left(x\right) >0$ ou la dérivée $f"\left(x \droite)

Ce théorème est illustré sur la figure 1.

Figure 1. Condition suffisante pour l’existence d’extrema

Exemples d'extrêmes (Fig. 2).

Figure 2. Exemples de points extrêmes

Règle d'étude d'une fonction pour extremum

2) Trouvez la dérivée $f"(x)$ ;

7) Tirer des conclusions sur la présence de maxima et de minima sur chaque intervalle, en utilisant le théorème 2.

Fonctions croissantes et décroissantes

Introduisons d’abord les définitions des fonctions croissantes et décroissantes.

Définition 5

Une fonction $y=f(x)$ définie sur l'intervalle $X$ est dite croissante si pour tout point $x_1,x_2\in X$ à $x_1

Définition 6

Une fonction $y=f(x)$ définie sur l'intervalle $X$ est dite décroissante si pour n'importe quel point $x_1,x_2\in X$ pour $x_1f(x_2)$.

Étudier une fonction croissante et décroissante

Vous pouvez étudier les fonctions croissantes et décroissantes en utilisant la dérivée.

Afin d'examiner une fonction pour des intervalles d'augmentation et de diminution, vous devez procéder comme suit :

1) Trouver le domaine de définition de la fonction $f(x)$ ;

2) Trouvez la dérivée $f"(x)$ ;

3) Trouvez les points auxquels l'égalité $f"\left(x\right)=0$ est vraie ;

4) Trouvez les points auxquels $f"(x)$ n'existe pas ;

5) Marquer sur la droite de coordonnées tous les points trouvés et le domaine de définition de cette fonction ;

6) Déterminer le signe de la dérivée $f"(x)$ sur chaque intervalle résultant ;

7) Tirez une conclusion : sur les intervalles où $f"\left(x\right)0$ la fonction augmente.

Exemples de problèmes pour l'étude des fonctions d'augmentation, de diminution et de présence de points extrema

Exemple 1

Examinez la fonction d'augmentation et de diminution, ainsi que la présence de points maximum et minimum : $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Puisque les 6 premiers points sont les mêmes, réalisons-les d’abord.

1) Domaine de définition - tous les nombres réels ;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$ ;

3) $f"\gauche(x\droite)=0$ ;

\ \ \

4) $f"(x)$ existe en tous points du domaine de définition ;

5) Ligne de coordonnées :

Graphique 3.

6) Déterminer le signe de la dérivée $f"(x)$ sur chaque intervalle :

\\, c'est-à-dire la fonction sinusoïdale est limitée. π La fonction est impaire : sin(−x)=−sin x pour tout x ∈ R. Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine. π· Fonction périodique 2 : péché(x+2 k) = sin x, où k ∈ Z pour tout x ∈ R. sin x = 0 pour x = π·k, , k ∈ Z. sin x > 0 (positif) pour tout x ∈ ( 2πk< 0 (отрицательная) для всех x ∈ (, k ∈ Z. sin x > 0 (positif) pour tout x ∈ (, π+2π·k), k ∈ Z. péché x

2π+2πk

), k ∈ Z. π :cos(x+2 π· k) = cos x, où k∈ Z pour tout x ∈ R. cosx = 0à cos x > 0 pour tout parce que x< 0для всех La fonction augmente de −1 à 1 sur les intervalles : La fonction décroît de −1 à 1 sur les intervalles : La plus grande valeur de la fonction sin x = 1 aux points : La plus petite valeur de la fonction sin x = −1 aux points :

Fonction tangente

Valeurs de fonctions multiples- toute la droite numérique, c'est-à-dire tangente - fonction illimité.

Fonction étrange : tg(−x)=−tgx
Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe OY.

La fonction est périodique avec la plus petite période positive π , c'est-à-dire tg(x+ π· k) = bronzage x, k ∈ Z pour tout x du domaine de définition.

Fonction cotangente

Valeurs de fonctions multiples- toute la droite numérique, c'est-à-dire cotangente - fonction illimité.

Fonction étrange : ctg(−x)=−ctg x pour tout x du domaine de définition.
Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe OY.

La fonction est périodique avec la plus petite période positive π , c'est-à-dire ctg(x+ π· k)=ctgx, k ∈ Z pour tout x du domaine de définition.

21)) Un ensemble de nombres, chacun étant doté de son propre numéro n (n = 1, 2, 3, ...), est appelée une suite de nombres.

Les nombres individuels d'une séquence sont appelés ses termes et sont généralement notés comme suit : premier terme un 1, seconde un 2 , .... n ème membre un n etc. La séquence de numéros entière est désignée

un 1 , un 2 , un 3 , ... , un n, ... ou ( un n}.

22) Progression arithmétique. Une séquence numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent ajouté à un nombre constant pour cette séquence d,appelé progression arithmétique. Nombre d appelé différence de progression. Tout membre d'une progression arithmétique est calculé à l'aide de la formule :

une n = une 1 + ré (n – 1) .

Somme des n premiers termes d'une progression arithmétique calculé comme suit :

Progression géométrique. Une séquence numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par un nombre constant pour cette séquence q, appelé géométrique

progression. Nombre q appelé dénominateur de progression. Tout membre de la progression géométrique est calculé à l'aide de la formule :

mdn=b 1 qn- 1 .

Somme des n premiers termes d'une progression géométrique calculé comme suit :

Une progression géométrique infiniment décroissante est une progression géométrique infinie dont le dénominateur satisfait à la condition.

Avec augmentation illimitée du montant les premiers termes d'une progression géométrique infiniment décroissante tendent vers un nombre appelé la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante.

) La dérivée de la fonction f(x), f′(x) , est elle-même une fonction. Cela signifie que nous pouvons trouver sa dérivée. Appelons f′(x) la dérivée de la fonction f(x) du premier ordre. La dérivée de la fonction f(x) est appelée la dérivée du second ordre (. ou dérivée seconde).

Signification géométrique de la dérivée. La dérivée au point x 0 est égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction oui = f(x) à ce point.

Équation de la tangente au graphique d'une fonction : y = f(a) + f "(a)(x – a) y = f(a) + f "(a)(x – a)

Signification physique du dérivé. Si un point se déplace le long de l'axe x et que ses coordonnées changent selon la loi x(t), alors la vitesse instantanée du point est :

24)) Dérivée de la somme (différence) des fonctions

La dérivée d'une somme algébrique de fonctions est exprimée par le théorème suivant.

Dérivée de la somme (différence) de deux fonctions différentiables est égale à la somme (différence) des dérivées de ces fonctions :

La dérivée d'une somme algébrique finie de fonctions différentiables est égale à la même somme algébrique de dérivées de termes. Par exemple,

Augmentation, diminution et extrema d'une fonction

Trouver les intervalles d'augmentation, de diminution et d'extrema d'une fonction est à la fois une tâche indépendante et une partie essentielle d'autres tâches, en particulier, étude de fonction complète. Les premières informations sur l'augmentation, la diminution et les extrema de la fonction sont données dans chapitre théorique sur la dérivée, que je recommande vivement pour une étude préliminaire (ou répétition)– aussi parce que le matériel suivant est basé sur le même essentiellement dérivé,étant une continuation harmonieuse de cet article. Cependant, si le temps manque, une pratique purement formelle des exemples de la leçon d’aujourd’hui est également possible.

Et aujourd'hui, il y a un esprit d'une rare unanimité dans l'air, et je sens directement que toutes les personnes présentes brûlent de désir. apprendre à explorer une fonction à l'aide de sa dérivée. Par conséquent, une terminologie raisonnable, bonne et éternelle apparaît immédiatement sur vos écrans.

Pour quoi? L’une des raisons est la plus pratique : afin qu'il soit clair ce qui est généralement exigé de vous dans une tâche particulière!

Monotonie de la fonction. Points extremum et extremum d'une fonction

Considérons une fonction. Pour faire simple, nous supposons qu'elle continu sur toute la droite numérique :

Au cas où, débarrassons-nous immédiatement des illusions possibles, surtout pour les lecteurs qui ont récemment pris connaissance de intervalles de signe constant de la fonction. Maintenant nous PAS INTÉRESSÉ, comment se situe le graphique de la fonction par rapport à l'axe (en haut, en bas, à l'intersection de l'axe). Pour être convaincant, effacez mentalement les axes et laissez un graphique. Car c’est là que réside l’intérêt.

Fonction augmente sur un intervalle si pour deux points quelconques de cet intervalle reliés par la relation , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction, et son graphique va « de bas en haut ». La fonction de démonstration croît au fil de l'intervalle.

De même, la fonction diminue sur un intervalle si pour deux points quelconques d'un intervalle donné tel que , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus petite de la fonction, et son graphique va « de haut en bas ». Notre fonction diminue à intervalles réguliers .

Si une fonction augmente ou diminue sur un intervalle, alors elle est appelée strictement monotoneà cet intervalle. Qu'est-ce que la monotonie ? Prenez-le au pied de la lettre : la monotonie.

Vous pouvez également définir non décroissant fonction (condition détendue dans la première définition) et non croissant fonction (condition adoucie dans la 2ème définition). Une fonction non décroissante ou non croissante sur un intervalle est appelée fonction monotone sur un intervalle donné. (la monotonie stricte est un cas particulier de monotonie « simplement »).

La théorie envisage également d'autres approches pour déterminer l'augmentation/diminution d'une fonction, y compris sur des demi-intervalles, des segments, mais afin de ne pas vous verser d'huile-huile-huile sur la tête, nous accepterons d'opérer avec des intervalles ouverts avec des définitions catégoriques - c'est plus clair et cela suffit amplement pour résoudre de nombreux problèmes pratiques.

Ainsi, dans mes articles la formulation « monotonie d'une fonction » sera presque toujours cachée intervalles monotonie stricte(fonction strictement croissante ou strictement décroissante).

Quartier d'un point. Des mots après lesquels les étudiants s'enfuient partout où ils peuvent et se cachent avec horreur dans les coins. ...Bien qu'après le post Limites de Cauchy Ils ne se cachent probablement plus, mais frémissent seulement légèrement =) Ne vous inquiétez pas, il n'y aura plus de preuves des théorèmes de l'analyse mathématique - j'avais besoin de l'environnement pour formuler les définitions plus strictement points extrêmes. Rappelons-nous :

Quartier d'un point un intervalle qui contient un point donné est appelé et, pour plus de commodité, l'intervalle est souvent supposé symétrique. Par exemple, un point et son voisinage standard :

En fait, les définitions :

Le point s'appelle point maximum strict, Si existe son quartier, pour tout le monde valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Dans notre exemple spécifique, il s'agit d'un point.

Le point s'appelle point minimum strict, Si existe son quartier, pour tout le monde valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Sur le dessin, il y a le point « a ».

Note : l'exigence de symétrie du voisinage n'est pas du tout nécessaire. De plus, il est important le fait même de l'existence quartier (qu'il soit minuscule ou microscopique) qui satisfait aux conditions spécifiées

Les points sont appelés points strictement extrêmes ou juste points extrêmes fonctions. Autrement dit, il s’agit d’un terme généralisé désignant le maximum de points et le minimum de points.

Comment comprenons-nous le mot « extrême » ? Oui, tout aussi directement que la monotonie. Points extrêmes des montagnes russes.

Comme dans le cas de la monotonie, des postulats vagues existent et sont encore plus courants en théorie (dont relèvent bien entendu les cas stricts considérés !):

Le point s'appelle point maximum, Si existe ses environs sont tels que pour tout le monde
Le point s'appelle point minimum, Si existe ses environs sont tels que pour tout le monde valeurs de ce quartier, l'inégalité tient.

Notez que selon les deux dernières définitions, tout point d’une fonction constante (ou une « section plate » d’une fonction) est considéré à la fois comme un point maximum et un point minimum ! Soit dit en passant, la fonction est à la fois non croissante et non décroissante, c'est-à-dire monotone. Cependant, nous laisserons ces considérations aux théoriciens, car dans la pratique, nous contemplons presque toujours des « collines » et des « creux » traditionnels (voir dessin) avec un unique « roi de la colline » ou « princesse du marais ». En tant que variété, on le trouve conseil, dirigé vers le haut ou vers le bas, par exemple le minimum de la fonction en ce point.

Oh, et en parlant de royauté :
– le sens s'appelle maximum fonctions ;
– le sens s'appelle minimum fonctions.

Nom commun – extrêmes fonctions.

S'il vous plaît, soyez prudent avec vos mots !

Points extrêmes– ce sont des valeurs « X ».
Extrêmes– les significations « jeu ».

! Note : parfois les termes listés font référence aux points « X-Y » qui se trouvent directement sur le GRAPHIQUE DE la fonction ELLE-MÊME.

Combien d’extrema une fonction peut-elle avoir ?

Aucun, 1, 2, 3, ... etc. à l'infini. Par exemple, le sinus a une infinité de minima et de maxima.

IMPORTANT! Le terme « maximum de fonction » pas identique le terme « valeur maximale d’une fonction ». Il est facile de remarquer que la valeur n'est maximale que dans un quartier local, et qu'il y a des « camarades plus cool » en haut à gauche. De même, le « minimum d'une fonction » n'est pas la même chose que la « valeur minimale d'une fonction », et sur le dessin, nous voyons que la valeur n'est minimale que dans une certaine zone. À cet égard, les points extrêmes sont également appelés points extrêmes locaux, et les extrema – extrêmes locaux. Ils marchent et errent à proximité et mondial frères. Ainsi, toute parabole a à son sommet minimum global ou maximum global. De plus, je ne ferai pas de distinction entre les types d'extrêmes, et l'explication est davantage formulée à des fins pédagogiques générales - les adjectifs supplémentaires « local »/« global » ne devraient pas vous surprendre.

Résumons notre courte excursion dans la théorie par un plan test : que signifie la tâche « trouver les intervalles de monotonie et les points extremum de la fonction » ?

La formulation vous encourage à trouver :

– intervalles de fonction croissante/décroissante (non décroissant, non croissant apparaît beaucoup moins souvent) ;

– points maximum et/ou minimum (le cas échéant). Bon, pour éviter l'échec, mieux vaut trouver soi-même les minimums/maximums ;-)

Comment déterminer tout cela ? Utilisation de la fonction dérivée !

Comment trouver des intervalles croissants, décroissants,
points extremum et extremum de la fonction ?

En fait, de nombreuses règles sont déjà connues et comprises depuis leçon sur la signification d'un dérivé.

Dérivée tangente apporte la bonne nouvelle que la fonction augmente partout domaine de définition.

Avec cotangente et sa dérivée la situation est exactement le contraire.

L'arc sinus augmente au cours de l'intervalle - la dérivée ici est positive : .
Lorsque la fonction est définie, mais non différentiable. Cependant, au point critique, il y a une dérivée à droite et une tangente à droite, et à l’autre bord se trouvent leurs homologues à gauche.

Je pense qu’il ne vous sera pas trop difficile de faire un raisonnement similaire pour l’arc cosinus et sa dérivée.

Tous les cas ci-dessus, dont beaucoup sont dérivés tabulaires, je vous le rappelle, suivez directement de définitions dérivées.

Pourquoi explorer une fonction à l’aide de sa dérivée ?

Pour mieux comprendre à quoi ressemble le graphique de cette fonction: où il va « de bas en haut », où « de haut en bas », où il atteint les minimums et les maximums (si tant est qu'il les atteigne). Toutes les fonctions ne sont pas aussi simples : dans la plupart des cas, nous n'avons aucune idée du graphique d'une fonction particulière.

Il est temps de passer à des exemples plus significatifs et de considérer algorithme pour trouver des intervalles de monotonie et des extrema d'une fonction:

Exemple 1

Trouver les intervalles d'augmentation/diminution et les extrema de la fonction

Solution:

1) La première étape consiste à trouver domaine d'une fonction, et prenez également note des points d'arrêt (s'ils existent). Dans ce cas, la fonction est continue sur toute la droite numérique, et cette action est dans une certaine mesure formelle. Mais dans un certain nombre de cas, des passions sérieuses éclatent ici, alors traitons le paragraphe sans dédain.

2) Le deuxième point de l’algorithme est dû à

une condition nécessaire pour un extremum :

S'il y a un extremum en un point, alors soit la valeur n'existe pas.

Vous êtes confus par la fin ? Extremum de la fonction « module x » .

La condition est nécessaire, mais pas assez, et l’inverse n’est pas toujours vrai. Ainsi, il ne résulte pas encore de l'égalité que la fonction atteint un maximum ou un minimum au point . Un exemple classique a déjà été souligné ci-dessus : il s'agit d'une parabole cubique et de son point critique.

Quoi qu'il en soit, la condition nécessaire à un extremum dicte la nécessité de trouver les points suspects. Pour ce faire, trouvez la dérivée et résolvez l'équation :

Au début du premier article à propos des graphiques de fonctions Je vous ai expliqué comment construire rapidement une parabole à l'aide d'un exemple : "...on prend la dérivée première et on l'égale à zéro : ...Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole...". Maintenant, je pense que tout le monde comprend pourquoi le sommet de la parabole se situe exactement à cet endroit =) En général, nous devrions commencer par un exemple similaire ici, mais il est trop simple (même pour les nuls). De plus, il y a un analogue à la toute fin de la leçon sur dérivée d'une fonction. Par conséquent, augmentons le degré :

Exemple 2

Trouver les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Une solution complète et un échantillon final approximatif du problème à la fin de la leçon.

Le moment tant attendu de rencontre avec les fonctions fractionnaires-rationnelles est arrivé :

Exemple 3

Explorer une fonction en utilisant la dérivée première

Faites attention à la manière dont une même tâche peut être reformulée de manière variable.

Solution:

1) La fonction subit des discontinuités infinies en certains points.

2) Nous détectons les points critiques. Trouvons la dérivée première et égalons-la à zéro :

Résolvons l'équation. Une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul :

Ainsi, nous obtenons trois points critiques :

3) Nous traçons TOUS les points détectés sur la droite numérique et méthode d'intervalle on définit les signes du DÉRIVÉ :

Je vous rappelle que vous devez prendre un point dans l'intervalle et y calculer la valeur de la dérivée et déterminer son signe. Il est plus rentable de ne même pas compter, mais d'« estimer » verbalement. Prenons, par exemple, un point appartenant à l'intervalle et effectuons la substitution : .

Deux « plus » et un « moins » donnent donc un « moins », ce qui signifie que la dérivée est négative sur tout l'intervalle.

L'action, comme vous le comprenez, doit être effectuée pour chacun des six intervalles. À propos, notez que le facteur numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout point de n'importe quel intervalle, ce qui simplifie grandement la tâche.

Ainsi, la dérivée nous a dit que la FONCTION ELLE-MÊME augmente de et diminue de . Il est pratique de connecter des intervalles du même type avec l'icône de jointure.

Au moment où la fonction atteint son maximum :
Au moment où la fonction atteint un minimum :

Réfléchissez à la raison pour laquelle vous n'avez pas besoin de recalculer la deuxième valeur ;-)

En passant par un point, la dérivée ne change pas de signe, donc la fonction n'y a AUCUN EXTREMUM - elle a à la fois diminué et est restée décroissante.

! Répétons un point important: les points ne sont pas considérés comme critiques - ils contiennent une fonction non défini. En conséquence, ici En principe, il ne peut y avoir d'extrêmes(même si la dérivée change de signe).

Répondre: la fonction augmente de et diminue de Au moment où le maximum de la fonction est atteint : , et au point – le minimum : .

Connaissance des intervalles de monotonie et des extrema, associée à des connaissances établies asymptote donne déjà une très bonne idée de l'apparence du graphe de fonction. Une personne de formation moyenne est capable de déterminer verbalement que le graphique d'une fonction comporte deux asymptotes verticales et une asymptote oblique. Voici notre héros :

Essayez à nouveau de corréler les résultats de l'étude avec le graphique de cette fonction.
Il n’y a pas d’extremum au point critique, mais il y a inflexion du graphique(ce qui arrive généralement dans des cas similaires).

Exemple 4

Trouver les extrema de la fonction

Exemple 5

Trouver les intervalles de monotonie, les maxima et les minima de la fonction

…c’est presque comme une sorte de vacances « X dans un cube » aujourd’hui….
Alors, qui dans la galerie a proposé de boire pour ça ? =)

Chaque tâche a ses propres nuances de fond et subtilités techniques, qui sont commentées à la fin de la leçon.