Calculs approximatifs utilisant le différentiel

Dans cette leçon, nous examinerons un problème courant sur le calcul approximatif de la valeur d'une fonction à l'aide d'un différentiel. Ici et plus loin, nous parlerons de différentielles de premier ordre ; par souci de concision, je dirai souvent simplement « différentielle ». Le problème des calculs approximatifs utilisant des différentiels a un algorithme de solution strict et, par conséquent, aucune difficulté particulière ne devrait survenir. La seule chose est qu’il y a des petits pièges qui seront également nettoyés. Alors n’hésitez pas à y plonger tête première.

De plus, la page contient des formules permettant de trouver l'erreur absolue et relative des calculs. Le matériel est très utile, car les erreurs doivent être calculées dans d'autres problèmes. Physiciens, où sont vos applaudissements ? =)

Pour réussir à maîtriser les exemples, vous devez être capable de trouver des dérivées de fonctions au moins à un niveau intermédiaire, donc si vous êtes complètement perdu en différenciation, veuillez commencer par la leçon Comment trouver la dérivée ? Je recommande également de lire l'article Les problèmes les plus simples avec les dérivés, à savoir les paragraphes à propos de trouver la dérivée en un point Et trouver le différentiel au point. Du point de vue technique, vous aurez besoin d'une microcalculatrice dotée de diverses fonctions mathématiques. Vous pouvez utiliser Excel, mais dans ce cas c'est moins pratique.

L'atelier se compose de deux parties :

– Calculs approximatifs utilisant la différentielle d’une fonction d’une variable.

– Calculs approximatifs utilisant la différentielle totale d’une fonction de deux variables.

Qui a besoin de quoi ? En fait, il était possible de diviser la richesse en deux tas, car le deuxième point concerne les applications de fonctions de plusieurs variables. Mais que puis-je faire, j’adore les longs articles.

Calculs approximatifs
utiliser le différentiel d'une fonction d'une variable

La tâche en question et sa signification géométrique ont déjà été abordées dans la leçon Qu'est-ce qu'une dérivée ? , et maintenant nous nous limiterons à un examen formel d'exemples, ce qui suffit amplement pour apprendre à les résoudre.

Dans le premier paragraphe, la fonction d'une variable règne. Comme chacun le sait, il est noté ou par . Pour cette tâche, il est beaucoup plus pratique d’utiliser la deuxième notation. Passons directement à un exemple populaire et souvent rencontré dans la pratique :

Exemple 1

Solution: Veuillez copier la formule de travail pour un calcul approximatif utilisant le différentiel dans votre cahier :

Commençons par comprendre, tout est simple ici !

La première étape consiste à créer une fonction. Selon la condition, il est proposé de calculer la racine cubique du nombre : , donc la fonction correspondante a la forme : . Nous devons utiliser la formule pour trouver la valeur approximative.

Regardons côté gauche formules, et l'idée me vient à l'esprit que le nombre 67 doit être représenté sous la forme. Quelle est la manière la plus simple de procéder ? Je recommande l'algorithme suivant : calculez cette valeur sur une calculatrice :
– il s’est avéré que c’était 4 avec une queue, c’est une ligne directrice importante pour la solution.

Nous sélectionnons une « bonne » valeur comme qualité, pour que la racine soit complètement supprimée. Naturellement, cette valeur doit être le plus près possibleà 67. Dans ce cas : . Vraiment: .

Remarque : Lorsque des difficultés persistent lors de la sélection, il suffit de regarder la valeur calculée (dans ce cas ), prendre la partie entière la plus proche (dans ce cas 4) et l'élever à la puissance requise (dans ce cas ). En conséquence, la sélection requise sera effectuée : .

Si , alors l'incrément de l'argument : .

Ainsi, le nombre 67 est représenté comme une somme

Tout d’abord, calculons la valeur de la fonction à ce point. En fait, cela a déjà été fait auparavant :

Le différentiel en un point est trouvé par la formule :
- Vous pouvez également le copier dans votre cahier.

De la formule, il s'ensuit que vous devez prendre la dérivée première :

Et trouvez sa valeur au point :

Ainsi:

Tout est prêt ! D'après la formule :

La valeur approximative trouvée est assez proche de la valeur , calculé à l'aide d'une microcalculatrice.

Répondre:

Exemple 2

Calculez approximativement en remplaçant les incréments de la fonction par son différentiel.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Un échantillon approximatif de la conception finale et une réponse à la fin de la leçon. Pour les débutants, je recommande d'abord de calculer la valeur exacte sur une microcalculatrice pour savoir quel nombre est pris pour , et quel nombre est pris pour . A noter que dans cet exemple ce sera négatif.

Certains se sont peut-être demandé pourquoi cette tâche est nécessaire si tout peut être calculé calmement et plus précisément sur une calculatrice ? Je suis d'accord, la tâche est stupide et naïve. Mais je vais essayer de le justifier un peu. Premièrement, la tâche illustre la signification de la fonction différentielle. Deuxièmement, dans les temps anciens, une calculatrice était un peu comme un hélicoptère personnel dans les temps modernes. J'ai moi-même vu comment un ordinateur de la taille d'une pièce a été jeté hors d'un institut polytechnique local quelque part en 1985-86 (des radioamateurs accouraient de toute la ville avec des tournevis, et après quelques heures, il ne restait plus que le boîtier du unité). Il y avait aussi des antiquités dans notre département de physique et de mathématiques, même si elles étaient de plus petite taille – de la taille d'un bureau. C'est ainsi que nos ancêtres se sont battus avec les méthodes de calculs approximatifs. Une calèche est aussi un moyen de transport.

D'une manière ou d'une autre, le problème reste dans le cours standard des mathématiques supérieures et devra être résolu. C'est la réponse principale à votre question =)

Exemple 3

au point. Calculez une valeur plus précise d'une fonction en un point à l'aide d'une microcalculatrice, évaluez l'erreur absolue et relative des calculs.

En fait, la même tâche peut facilement être reformulée comme suit : « Calculer la valeur approximative en utilisant un différentiel"

Solution: Nous utilisons la formule familière :
Dans ce cas, une fonction toute faite est déjà donnée : . Encore une fois, je voudrais attirer votre attention sur le fait qu'il est plus pratique à utiliser .

La valeur doit être présentée sous la forme . Bon, c'est plus simple ici, on voit que le nombre 1,97 est très proche de « deux », donc ça se suggère. Et donc : .

Utiliser la formule , calculons le différentiel au même point.

On trouve la dérivée première :

Et sa valeur au point :

Ainsi, le différentiel au point :

En conséquence, selon la formule :

La deuxième partie de la tâche consiste à trouver l'erreur absolue et relative des calculs.

Erreur absolue et relative des calculs

Erreur de calcul absolue se trouve par la formule :

Le signe du module montre que nous ne nous soucions pas de savoir quelle valeur est la plus grande et laquelle est la moins grande. Important, jusqu'à quel point le résultat approximatif s'écartait de la valeur exacte dans un sens ou dans l'autre.

Erreur de calcul relative se trouve par la formule :
, ou la même chose :

L'erreur relative montre de quel pourcentage le résultat approximatif s'écarte de la valeur exacte. Il existe une version de la formule sans multiplication par 100 %, mais en pratique je vois presque toujours la version ci-dessus avec des pourcentages.

Après une brève référence, revenons à notre problème, dans lequel nous avons calculé la valeur approximative de la fonction en utilisant un différentiel.

Calculons la valeur exacte de la fonction à l'aide d'une microcalculatrice :
, à proprement parler, la valeur est encore approximative, mais nous la considérerons comme exacte. De tels problèmes surviennent.

Calculons l'erreur absolue :

Calculons l'erreur relative :
, des millièmes de pour cent ont été obtenus, donc le différentiel fournissait simplement une excellente approximation.

Répondre: , erreur de calcul absolue, erreur de calcul relative

L'exemple suivant pour une solution indépendante :

Exemple 4

Calculer approximativement la valeur d'une fonction à l'aide d'un différentiel au point. Calculez une valeur plus précise de la fonction en un point donné, estimez l'erreur absolue et relative des calculs.

Un échantillon approximatif de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon.

Beaucoup de gens ont remarqué que des racines apparaissent dans tous les exemples considérés. Ce n’est pas un hasard ; dans la plupart des cas, le problème considéré propose en réalité des fonctions avec des racines.

Mais pour les lecteurs qui souffrent, j'ai déniché un petit exemple avec arc sinus :

Exemple 5

Calculer approximativement la valeur d'une fonction à l'aide d'un différentiel au point

Cet exemple court mais informatif peut également être résolu par vous-même. Et je me reposai un peu pour qu'avec une vigueur renouvelée je puisse envisager la tâche particulière :

Exemple 6

Calculez approximativement en utilisant la différentielle, arrondissez le résultat à deux décimales.

Solution: Quoi de neuf dans la tâche ? La condition nécessite d’arrondir le résultat à deux décimales. Mais là n’est pas la question ; je pense que le problème des arrondissements scolaires n’est pas difficile pour vous. Le fait est qu'on nous donne une tangente avec un argument exprimé en degrés. Que devez-vous faire lorsqu’on vous demande de résoudre une fonction trigonométrique avec des degrés ? Par exemple, etc.

L'algorithme de solution est fondamentalement le même, c'est-à-dire qu'il faut, comme dans les exemples précédents, appliquer la formule

Écrivons une fonction évidente

La valeur doit être présentée sous la forme . Fournira une aide sérieuse tableau des valeurs des fonctions trigonométriques. D'ailleurs, pour ceux qui ne l'ont pas imprimé, je recommande de le faire, puisqu'il faudra y chercher tout au long du cursus d'études de mathématiques supérieures.

En analysant le tableau, on remarque une « bonne » valeur de tangente, qui est proche de 47 degrés :

Ainsi:

Après analyse préliminaire les degrés doivent être convertis en radians. Oui, et seulement de cette façon !

Dans cet exemple, vous pouvez découvrir directement à partir du tableau trigonométrique que . Utilisation de la formule de conversion des degrés en radians : (les formules se trouvent dans le même tableau).

Ce qui suit est une formule :

Ainsi: (nous utilisons la valeur pour les calculs). Le résultat, comme l'exige la condition, est arrondi à deux décimales.

Répondre:

Exemple 7

Calculez approximativement à l'aide d'une différentielle, arrondissez le résultat à trois décimales.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué, nous convertissons les degrés en radians et adhérons à l'algorithme de solution habituel.

Calculs approximatifs
utiliser la différentielle complète d'une fonction de deux variables

Tout sera très, très similaire, donc si vous êtes venu sur cette page spécifiquement pour cette tâche, je vous recommande d'abord de regarder au moins quelques exemples du paragraphe précédent.

Pour étudier un paragraphe, vous devez être capable de trouver dérivées partielles du second ordre, où serions-nous sans eux ? Dans la leçon ci-dessus, j'ai désigné une fonction de deux variables en utilisant la lettre . Par rapport à la tâche considérée, il est plus pratique d'utiliser la notation équivalente.

Comme dans le cas d'une fonction à une variable, la condition du problème peut être formulée de différentes manières, et j'essaierai de considérer toutes les formulations rencontrées.

Exemple 8

Solution: Quelle que soit la manière dont la condition est écrite, dans la solution elle-même pour désigner la fonction, je le répète, il est préférable d'utiliser non pas la lettre « z », mais .

Et voici la formule de travail :

Ce que nous avons devant nous est en fait la sœur aînée de la formule du paragraphe précédent. La variable n'a fait qu'augmenter. Que puis-je dire, moi-même l'algorithme de solution sera fondamentalement le même!

Selon la condition, il faut trouver la valeur approximative de la fonction en ce point.

Représentons le nombre 3,04 sous la forme . Le petit pain lui-même demande à être mangé :
,

Représentons le nombre 3,95 par . Le tour est venu de la seconde moitié de Kolobok :
,

Et ne regardez pas tous les tours du renard, il y a un Kolobok - il faut le manger.

Calculons la valeur de la fonction au point :

On trouve la différentielle d'une fonction en un point à l'aide de la formule :

De la formule, il s'ensuit que nous devons trouver dérivées partielles première commande et calculer leurs valeurs au point .

Calculons les dérivées partielles du premier ordre au point :

Différentiel total au point :

Ainsi, d'après la formule, la valeur approximative de la fonction au point :

Calculons la valeur exacte de la fonction au point :

Cette valeur est absolument exacte.

Les erreurs sont calculées à l'aide de formules standard, qui ont déjà été abordées dans cet article.

Erreur absolue :

Erreur relative :

Répondre:, erreur absolue : , erreur relative :

Exemple 9

Calculer la valeur approximative d'une fonction en un point, à l'aide d'un différentiel total, estimez l'erreur absolue et relative.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Quiconque examine cet exemple de plus près remarquera que les erreurs de calcul se sont révélées très, très visibles. Cela s'est produit pour la raison suivante : dans le problème proposé, les incréments d'arguments sont assez grands : . Le schéma général est le suivant : plus ces incréments en valeur absolue sont importants, plus la précision des calculs est faible. Ainsi, par exemple, pour un point similaire, les incréments seront faibles : , et la précision des calculs approximatifs sera très élevée.

Cette fonctionnalité est également vraie pour le cas d'une fonction à une variable (première partie de la leçon).

Exemple 10

Solution: Calculons cette expression approximativement en utilisant la différentielle totale d'une fonction de deux variables :

La différence avec les exemples 8 et 9 est que nous devons d'abord construire une fonction de deux variables : . Je pense que tout le monde comprend intuitivement comment est composée la fonction.

La valeur 4,9973 est proche de « cinq », donc : , .
La valeur 0,9919 est proche de « un », nous supposons donc : , .

Calculons la valeur de la fonction au point :

On trouve le différentiel en un point en utilisant la formule :

Pour ce faire, nous calculons les dérivées partielles du premier ordre au point.

Les dérivés ici ne sont pas les plus simples, et il faut être prudent :

;

.

Différentiel total au point :

Ainsi, la valeur approximative de cette expression est :

Calculons une valeur plus précise à l'aide d'une microcalculatrice : 2.998899527

Trouvons l'erreur de calcul relative :

Répondre: ,

Juste une illustration de ce qui précède, dans le problème considéré, les incréments d'arguments sont très petits et l'erreur s'est avérée incroyablement petite.

Exemple 11

À l’aide de la différentielle complète d’une fonction de deux variables, calculez approximativement la valeur de cette expression. Calculez la même expression à l’aide d’une microcalculatrice. Estimez l’erreur de calcul relative en pourcentage.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Un échantillon approximatif de la conception finale à la fin de la leçon.

Comme déjà indiqué, l'invité le plus courant dans ce type de tâche est une sorte de racine. Mais de temps en temps, il existe d’autres fonctions. Et un dernier exemple simple pour la détente :

Exemple 12

À l'aide de la différentielle totale d'une fonction de deux variables, calculez approximativement la valeur de la fonction si

La solution est plus proche du bas de la page. Encore une fois, faites attention à la formulation des tâches de la leçon ; dans différents exemples pratiques, la formulation peut être différente, mais cela ne change pas fondamentalement l'essence et l'algorithme de la solution.

Pour être honnête, j’étais un peu fatigué car le matériel était un peu ennuyeux. Ce n'était pas pédagogique de dire ça au début de l'article, mais maintenant c'est déjà possible =) En effet, les problèmes de mathématiques computationnelles ne sont généralement pas très complexes, pas très intéressants, le plus important, peut-être, est de ne pas se tromper dans les calculs ordinaires.

Que les touches de votre calculatrice ne soient pas effacées !

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution: Nous utilisons la formule :
Dans ce cas: , ,

Ainsi:
Répondre:

Exemple 4 : Solution: Nous utilisons la formule :
Dans ce cas: , ,

1. Calcul de la valeur approximative de l'incrément de fonction

Exemple. En utilisant le concept de différentiel d'une fonction, calculer approximativement la variation de la fonction lorsque l'argument passe de 5 à 5.01.

Trouvons la différentielle de la fonction . Remplaçons les valeurs X 0 = 5, D X= 0,01. Nous obtenons

2. Calcul de la valeur approximative de la fonction

Exemple. Calculer une valeur approximative à l'aide du différentiel 1,998 5 .

Considérons la fonction où X= 1,998. Décomposons-le X sur X 0 et D X (X = X 0+D X), laisser X 0 = 2, alors D X = - 0,002.

Trouvons la valeur , ,

Alors 1,998 5 » 32 – 0,16 = 31,84.

Dérivés et différentiels d'ordres supérieurs

Soit la fonction f(x) dérivable sur un certain intervalle. Puis, en le différenciant, on obtient la dérivée première

Si on trouve la dérivée de la fonction f¢(x), on obtient dérivée seconde fonctions f(x).

ceux. y¢¢ = (y¢)¢ ou .

.

Théorèmes de base du calcul différentiel

1. Théorème de Rolle. Si la fonction f(x) est continue sur l'intervalle, différentiable dans l'intervalle (a, b) et que les valeurs de la fonction aux extrémités de l'intervalle sont égales à f(a) = f(b), alors dans l'intervalle (a, b) il y a au moins un point c ( a< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

Signification géométrique du théorème de rôle. La signification géométrique du théorème de Rolle est que si les conditions du théorème sont remplies sur l'intervalle (a, b), il existe un point c tel qu'au point correspondant de la courbe y = f(x) la tangente est parallèle à l'axe du Buffle. Il peut y avoir plusieurs de ces points sur un intervalle, mais le théorème énonce l'existence d'au moins un de ces points.

Notez que si au moins en un point de l'intervalle [ un; b] la fonction n'est pas dérivable, alors la dérivée de la fonction f(x) ne peut pas aller à zéro. Par exemple, la fonction oui=1-½ x½est continu sur l'intervalle [-1; +1], différentiable en (-1;+1) sauf au point x 0 = 0, et f(-1) = f(1) = 0, c'est-à-dire la condition du théorème de Rolle est violée en un seul point x 0 = 0 (la fonction n'y est pas différenciée). Il est évident qu'à aucun moment du graphique la fonction sur l'intervalle [-1; 1] la tangente au graphique n'est pas parallèle à l'axe 0 x.

Le théorème de Rolle en a plusieurs conséquences :

1) Si la fonction f(x) sur le segment [ une, b] satisfait le théorème de Rolle, et f(une) = f(b) = 0, alors il y a au moins un point s, un< с < b , tel que f¢(c) = 0. Ceux. Entre deux zéros d'une fonction, il y a au moins un point où la dérivée de la fonction est égale à zéro.

2) Si sur l'intervalle considéré ( une, b) fonction f(x) a une dérivée ( n-1)ième ordre et n fois disparaît, alors il y a au moins un point dans l'intervalle auquel la dérivée ( n–1)ème ordre est égal à zéro.

2. Théorème de Lagrange. Si la fonction f(x) est continue sur un intervalle et dérivable dans l'intervalle (a, b), alors dans cet intervalle il y a au moins un point c (a< c < b), такая, что .

Cela signifie que si les conditions du théorème sont remplies sur un certain intervalle, alors le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument sur cet intervalle est égal à la valeur de la dérivée à un point intermédiaire.

Le théorème de Rolle discuté ci-dessus est un cas particulier du théorème de Lagrange.

L'expression s'appelle Formule d'incrément fini de Lagrange.

Signification géométrique du théorème de Lagrange.

Si les conditions du théorème de Lagrange sont satisfaites, alors la formule de Lagrange pour les incréments finis est valide.

Laissez les points UN Et B les fonctions situées sur le graphique ont des coordonnées UN (un; f(un)), B (b; f(b)), alors il est évident que la valeur de la fraction est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la corde ABà l'axe O x, c'est-à-dire .

De l'autre côté, f "(c) = tga. Donc, au point x= c tangente au graphique d'une fonction oui= f(x) parallèle à la corde sous-tendant l'arc de la courbe AB. C'est la signification géométrique du théorème de Lagrange.

3. Théorème de Cauchy. Si les fonctions f(x) Et g(x) continu sur le segment et différentiable dans l'intervalle (a, b) et g¢(x) ¹ 0à aucun moment de cet intervalle, alors il y a au moins un point Californie< c < b), telle que l'égalité soit vraie :

.

Ceux. le rapport des incréments de fonctions sur un segment donné est égal au rapport des dérivées au point Avec.

Signification géométrique du théorème de Cauchy.

Il est facile de vérifier que la signification géométrique du théorème de Cauchy coïncide avec la signification géométrique du théorème de Lagrange.

D'une part, le calcul du différentiel est beaucoup plus simple que le calcul de l'incrément ; d'un autre côté, dy≈∆y et l'erreur autorisée dans ce cas peuvent être rendues arbitrairement petites en réduisant ∆x. Ces circonstances permettent dans de nombreux cas de remplacer ∆y par la valeur dy. A partir de l'égalité approximative dy≈∆y, en tenant compte du fait que ∆y = f(x) – f(x 0), et dy=f'(x 0)(x-x 0), on obtient f(x) ≈ f( x 0) + f'(x 0)(x – x 0), où x-x 0 = ∆x.
Exemple. Calculer.
Solution. En prenant la fonction, on a : . En supposant x 0 =16 (on choisit soi-même pour que la racine soit extraite), ∆x = 0,02, on obtient .

Exemple. Calculez la valeur de la fonction f(x) = e x au point x=0,1.
Solution. Pour x 0 nous prenons le nombre 0, c'est-à-dire x 0 =0, alors ∆x=x-x 0 =0,1 et e 0,1 ≈e 0 + e 0 0,1 = 1+0,1 = 1,1. D'après le tableau, e 0,1 ≈1,1052. L'erreur était mineure.
Notons une autre propriété importante du différentiel. La formule pour trouver le différentiel dy=f’(x)dx est correcte comme dans le cas où x est une variable indépendante, et dans le cas où x– fonction d'une nouvelle variable t. Cette propriété d’un différentiel est appelée propriété d’invariance de sa forme. Par exemple, pour la fonction y=tg(x) la différentielle s'écrira sous la forme peu importe si x variable ou fonction indépendante. Au cas où x– la fonction est spécifiquement spécifiée, par exemple x=t 2 , alors le calcul de dy peut être continué, pour lequel on trouve dx=2tdt et on le substitue dans l'expression de dy obtenue précédemment :
.
Si au lieu de la formule (2) on utilisait la formule non invariante (1), alors dans le cas où x est une fonction, on ne pourrait pas continuer le calcul de dy de la même manière, puisque ∆x, d'une manière générale, ne coïncider avec dx.

Valeur approximative de l'incrément de fonction

Pour des valeurs suffisamment petites, l'incrément de la fonction est approximativement égal à sa différentielle, c'est-à-dire Dy » dy et donc

Exemple 2. Trouvez la valeur approximative de l'incrément de la fonction y= lorsque l'argument x passe de la valeur x 0 =3 à x 1 =3,01.

Solution. Utilisons la formule (2.3). Pour ce faire, calculons

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, alors

Du" .

Valeur approximative d'une fonction en un point

Conformément à la définition de l'incrément de la fonction y = f(x) au point x 0, lorsque l'argument Dx (Dx®0) est incrémenté, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) et la formule (3.3) peut s'écrire

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Les cas particuliers de la formule (3.4) sont les expressions :

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx »Dx (3.4v)

tgDx »Dx (3,4g)

Ici, comme précédemment, on suppose que Dx®0.

Exemple 3. Trouvez la valeur approximative de la fonction f(x) = (3x -5) 5 au point x 1 =2,02.

Solution. Pour les calculs, nous utilisons la formule (3.4). Représentons x 1 comme x 1 = x 0 + Dx. Alors x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Exemple 4. Calculez (1,01) 5 , , ln(1,02), ln .

Solution

1. Utilisons la formule (3.4a). Pour ce faire, imaginons (1,01) 5 sous la forme (1+0,01) 5.

Alors, en supposant Dx = 0,01, n = 5, on obtient

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. En présentant 1/6 sous la forme (1 - 0,006), d'après (3.4a), on obtient

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. En tenant compte du fait que ln(1.02) = ln(1 + 0.02) et en supposant Dx=0.02, en utilisant la formule (3.4b) on obtient

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. De même

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Trouver les valeurs approximatives des incréments de fonction

155. y = 2x 3 + 5 lorsque l'argument x passe de x 0 = 2 à x 1 = 2,001

156. y = 3x 2 + 5x + 1 avec x 0 = 3 et Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 avec x 0 = 2 et Dx = 0,01

158. y = ln x à x 0 = 10 et Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x à x 0 = 3 et Dx = 0,01

Trouver des valeurs approximatives des fonctions

160. y = 2x 2 - x + 1 au point x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 à x 1 = 3,02

162.y= au point x 1 = 1,1

163. y= au point x 1 = 3,032

164. y = au point x 1 = 3,97

165. y = sin 2x au point x 1 = 0,015

Calculer approximativement

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1,003×e) 179.ln(1,05) 5 180.ln

181.ln0,98 182.ln 183.ln(e 2 ×0,97)

Recherche de fonctions et représentation graphique

Signes de monotonie d'une fonction

Théorème 1 (une condition nécessaire pour une augmentation (diminution) d'une fonction) . Si la fonction différentiable y = f(x), xО(a; b) augmente (diminue) sur l'intervalle (a; b), alors pour tout x 0 О(a; b).

Théorème 2 (condition suffisante pour une augmentation (diminution) d'une fonction) . Si la fonction y = f(x), xО(a; b) a une dérivée positive (négative) en chaque point de l'intervalle (a; b), alors cette fonction augmente (diminue) sur cet intervalle.

Extréma de la fonction

Définition 1. Un point x 0 est appelé point maximum (minimum) de la fonction y = f(x) si pour tout x d'un certain d-voisinage du point x 0 l'inégalité f(x) est satisfaite< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) pour x ¹ x 0 .

Théorème 3 (Fermat) (une condition nécessaire à l'existence d'un extremum) . Si le point x 0 est le point extremum de la fonction y = f(x) et qu'en ce point il y a une dérivée, alors

Théorème 4 (la première condition suffisante pour l'existence d'un extremum) . Soit la fonction y = f(x) être dérivable dans un d-voisinage du point x 0 . Alors:

1) si la dérivée, en passant par le point x 0, change de signe de (+) à (-), alors x 0 est le point maximum ;

2) si la dérivée, en passant par le point x 0, change de signe de (-) à (+), alors x 0 est le point minimum ;

3) si la dérivée ne change pas de signe en passant par le point x 0, alors au point x 0 la fonction n'a pas d'extremum.

Définition 2. Les points auxquels la dérivée d'une fonction disparaît ou n'existe pas sont appelés points critiques du premier type.

en utilisant la dérivée première

1. Trouvez le domaine de définition D(f) de la fonction y = f(x).

3. Trouvez les points critiques du premier type.

4. Placer les points critiques dans le domaine de définition D(f) de la fonction y = f(x) et déterminer le signe de la dérivée dans les intervalles en lesquels les points critiques divisent le domaine de définition de la fonction.

5. Sélectionnez les points maximum et minimum de la fonction et calculez les valeurs de la fonction à ces points.

Exemple 1. Examinez la fonction y = x 3 - 3x 2 pour un extremum.

Solution. Conformément à l'algorithme de recherche de l'extremum d'une fonction par la dérivée première, on a :

1. D(f) : xО(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - points critiques de première espèce.

Dérivée en passant par le point x = 0

change de signe de (+) à (-), donc c'est un point

Maximum. En passant par le point x = 2, le signe passe de (-) à (+), c'est donc le point minimum.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Coordonnées maximales (0 ; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Coordonnées minimales (2 ; -4).

Théorème 5 (deuxième condition suffisante pour l'existence d'un extremum) . Si la fonction y = f(x) est définie et deux fois différentiable dans un certain voisinage du point x 0, et , alors au point x 0 la fonction f(x) a un maximum si et un minimum si .

Algorithme pour trouver l'extremum d'une fonction

en utilisant la dérivée seconde

1. Trouvez le domaine de définition D(f) de la fonction y = f(x).

2. Calculer la dérivée première