Articles tagués "définition dérivée". Dérivée d'une fonction

Résoudre des problèmes physiques ou des exemples mathématiques est totalement impossible sans la connaissance de la dérivée et des méthodes de calcul. La dérivée est l’un des concepts les plus importants de l’analyse mathématique. Nous avons décidé de consacrer l’article d’aujourd’hui à ce sujet fondamental. Qu'est-ce qu'une dérivée, quelle est sa signification physique et géométrique, comment calculer la dérivée d'une fonction ? Toutes ces questions peuvent être regroupées en une seule : comment comprendre la dérivée ?

Signification géométrique et physique de la dérivée

Qu'il y ait une fonction f(x) , spécifié dans un certain intervalle (une, b) . Les points x et x0 appartiennent à cet intervalle. Lorsque x change, la fonction elle-même change. Changer l'argument - la différence de ses valeurs x-x0 . Cette différence s’écrit deltax et est appelé incrément d’argument. Un changement ou un incrément d'une fonction est la différence entre les valeurs d'une fonction en deux points. Définition du dérivé :

La dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction en un point donné à l'incrément de l'argument lorsque ce dernier tend vers zéro.

Sinon, cela peut s'écrire ainsi :

Quel est l'intérêt de trouver une telle limite ? Et voici ce que c'est :

la dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle entre l'axe OX et la tangente au graphique de la fonction en un point donné.

Signification physique de la dérivée : la dérivée de la trajectoire par rapport au temps est égale à la vitesse du mouvement rectiligne.

En effet, depuis l'école tout le monde sait que la vitesse est un chemin particulier x=f(t) et le temps t . Vitesse moyenne sur une certaine période de temps :

Pour connaître la vitesse de déplacement à un instant donné t0 vous devez calculer la limite :

Première règle : définir une constante

La constante peut être soustraite du signe dérivé. De plus, il faut le faire. Lorsque vous résolvez des exemples en mathématiques, prenez-le comme règle : Si vous pouvez simplifier une expression, assurez-vous de la simplifier .

Exemple. Calculons la dérivée :

Deuxième règle : dérivée de la somme des fonctions

La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Il en va de même pour la dérivée de la différence de fonctions.

Nous ne donnerons pas de démonstration de ce théorème, mais considérerons plutôt un exemple pratique.

Trouvez la dérivée de la fonction :

Troisième règle : dérivée du produit de fonctions

La dérivée du produit de deux fonctions différentiables est calculée par la formule :

Exemple : trouver la dérivée d'une fonction :

Solution:

Il est important de parler ici du calcul des dérivées de fonctions complexes. La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante.

Dans l'exemple ci-dessus, nous rencontrons l'expression :

Dans ce cas, l’argument intermédiaire est 8x à la puissance cinq. Afin de calculer la dérivée d'une telle expression, nous calculons d'abord la dérivée de la fonction externe par rapport à l'argument intermédiaire, puis multiplions par la dérivée de l'argument intermédiaire lui-même par rapport à la variable indépendante.

Règle quatre : dérivée du quotient de deux fonctions

Formule pour déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions :

Nous avons essayé de parler de produits dérivés pour les nuls à partir de zéro. Ce sujet n'est pas aussi simple qu'il y paraît, alors soyez prévenu : il y a souvent des pièges dans les exemples, alors soyez prudent lors du calcul des dérivées.

Pour toute question sur ce sujet ou sur d’autres sujets, vous pouvez contacter le service étudiants. En peu de temps, nous vous aiderons à résoudre les tests les plus difficiles et à comprendre les tâches, même si vous n'avez jamais effectué de calculs de dérivées auparavant.

Le problème B9 donne le graphique d’une fonction ou d’une dérivée à partir de laquelle vous devez déterminer l’une des quantités suivantes :

La valeur de la dérivée à un moment donné x 0,
Points maximum ou minimum (points extremum),
Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).

Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui rend la solution beaucoup plus facile. Malgré le fait que la tâche appartient à la section de l'analyse mathématique, même les étudiants les plus faibles peuvent la réaliser, car aucune connaissance théorique approfondie n'est requise ici.

Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - ils seront tous discutés ci-dessous.

Lisez attentivement les conditions du problème B9 pour éviter de commettre des erreurs stupides : parfois vous tombez sur des textes assez longs, mais il y a peu de conditions importantes qui affectent le déroulement de la solution.

Calcul de la valeur dérivée. Méthode en deux points

Si le problème est donné un graphique d'une fonction f(x), tangente à ce graphique en un certain point x 0, et qu'il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée à ce point, l'algorithme suivant est appliqué :

Trouvez deux points « adéquats » sur le graphique tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points comme A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est un point clé de la solution, et toute erreur ici entraînera une réponse incorrecte.
Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
Enfin, on retrouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.

Notons encore une fois : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme cela arrive souvent. La ligne tangente contiendra nécessairement au moins deux de ces points - sinon le problème ne sera pas formulé correctement.

Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2 ; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3 ; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5 ; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

A partir du dernier exemple, on peut formuler une règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de tangence est nulle. Dans ce cas, vous n’avez même pas besoin de compter quoi que ce soit : il suffit de regarder le graphique.

Calcul des points maximum et minimum

Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction, le problème B9 donne un graphique de la dérivée et nécessite de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans cette situation, la méthode en deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Tout d'abord, définissons la terminologie :

Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≥ f(x).
Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≤ f(x).

Afin de trouver les points maximum et minimum à partir du graphique dérivé, suivez simplement ces étapes :

Redessinez le graphique dérivé en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données inutiles ne font qu'interférer avec la décision. Par conséquent, nous marquons les zéros de la dérivée sur l'axe des coordonnées - et c'est tout.
Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seules deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin original : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Et vice versa, si le graphe dérivé se situe en dessous de l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe de moins à plus, c'est le point minimum. A l’inverse, si le signe de la dérivée passe du plus au moins, c’est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.

Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues – il n’y en a pas d’autres dans le problème B9.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−5; 5]. Trouvez le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.

Débarrassons-nous des informations inutiles et ne laissons que les limites [−5; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. On note également les signes :

Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7]. Trouvez le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.

Redessinons le graphique en ne laissant que les limites [−3; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notons les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:

Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe du plus au moins - c'est le point maximum.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−6 ; 4]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant au segment [−4; 3].

Des conditions du problème il résulte qu'il suffit de considérer uniquement la partie du graphe limitée par le segment [−4 ; 3]. Par conséquent, nous construisons un nouveau graphe sur lequel nous marquons uniquement les frontières [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3,5 et x = 2. On obtient :

Sur ce graphique il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est à ce point que le signe de la dérivée passe du plus au moins.

Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès nous pouvons prendre x = −3,4. Si le problème est correctement rédigé, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, puisque les points « sans domicile fixe » ne participent pas directement à la résolution du problème. Bien entendu, cette astuce ne fonctionnera pas avec des points entiers.

Trouver des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes

Dans un tel problème, comme les points maximum et minimum, il est proposé d'utiliser le graphe dérivé pour trouver les zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue. Tout d’abord, définissons ce que sont l’augmentation et la diminution :

Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En d’autres termes, plus la valeur de l’argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
Une fonction f(x) est appelée décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Ceux. Une valeur d’argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus petite.

Formulons des conditions suffisantes pour augmenter et diminuer :

Pour qu'une fonction continue f(x) augmente sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.

Acceptons ces déclarations sans preuves. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extremum :

Supprimez toutes les informations inutiles. Dans le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne les laisserons donc que.
Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f’(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f’(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème impose des restrictions sur la variable x, nous les marquons en plus sur un nouveau graphique.
Maintenant que l'on connaît le comportement de la fonction et les contraintes, il reste à calculer la quantité requise dans le problème.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7.5]. Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des entiers compris dans ces intervalles.

Comme d'habitude, redessinons le graphique et marquons les limites [−3 ; 7,5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1,5 et x = 5,3. Puis on note les signes de la dérivée. Nous avons:

Puisque la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui se trouvent à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−10 ; 4]. Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.

Débarrassons-nous des informations inutiles. Laissons seulement les frontières [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui étaient cette fois quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Marquons les signes de la dérivée et obtenons l'image suivante :

Nous nous intéressons aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire tel que f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Puisque nous devons trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous notons la valeur l 2 = 5 comme réponse.

Dans le plan de coordonnées xOy considérons le graphique de la fonction y=f(x). Réparons le problème M(x 0 ; f (x 0)). Ajoutons une abscisse x0 incrément Δх. Nous obtiendrons une nouvelle abscisse x 0 +Δx. C'est l'abscisse du point N, et l'ordonnée sera égale f (x 0 +Δx). Le changement d'abscisse entraîne un changement d'ordonnée. Ce changement est appelé incrément de fonction et est noté Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).À travers des points M. Et N dessinons une sécante MN, qui forme un angle φ avec direction d'axe positive Oh. Déterminons la tangente de l'angle φ d'un triangle rectangle Numéro de pièce fabricant.

Laisser Δх tend vers zéro. Puis la sécante MN aura tendance à prendre une position tangente MT, et l'angle φ deviendra un angle α . Donc la tangente de l'angle α est la valeur limite de la tangente de l'angle φ :

La limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, lorsque ce dernier tend vers zéro, est appelée la dérivée de la fonction en un point donné :

Signification géométrique de la dérivée réside dans le fait que la dérivée numérique de la fonction en un point donné est égale à la tangente de l'angle formé par la tangente passant par ce point à la courbe donnée et la direction positive de l'axe Oh:

Exemples.

1. Trouver l'incrément de l'argument et l'incrément de la fonction y= x2, si la valeur initiale de l'argument était égale à 4 , et nouveau - 4,01 .

Solution.

Nouvelle valeur d'argument x=x 0 +Δx. Remplaçons les données : 4.01=4+Δх, d'où l'incrément de l'argument Δх=4,01-4=0,01. L'incrément d'une fonction, par définition, est égal à la différence entre les nouvelles et précédentes valeurs de la fonction, c'est-à-dire Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Puisque nous avons une fonction y=x2, Que Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Répondre: incrément d'argument Δх=0,01 ; incrément de fonction Δу=0,0801.

La fonction incrément pourrait être trouvée différemment : Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Trouver l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique de la fonction y=f(x) au point x0, Si f"(x 0) = 1.

Solution.

La valeur de la dérivée au point de tangence x0 et est la valeur de la tangente de l'angle tangent (la signification géométrique de la dérivée). Nous avons: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, parce que tg45°=1.

Répondre: la tangente au graphique de cette fonction forme un angle avec la direction positive de l'axe Ox égal à 45°.

3. Dériver la formule de la dérivée de la fonction y = x n.

Différenciation est l’action de trouver la dérivée d’une fonction.

Lorsque vous recherchez des dérivées, utilisez des formules dérivées sur la base de la définition d'une dérivée, de la même manière que nous avons dérivé la formule du degré de dérivée : (x n)" = nx n-1.

Ce sont les formules.

Tableau des dérivés Il sera plus facile de mémoriser en prononçant des formulations verbales :

1. La dérivée d'une quantité constante est nulle.

2. X premier est égal à un.

3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée.

4. La dérivée d'un degré est égale au produit de l'exposant de ce degré par un degré de même base, mais l'exposant est un de moins.

5. La dérivée d’une racine est égale à un divisé par deux racines égales.

6. La dérivée de un divisé par x est égale à moins un divisé par x au carré.

7. La dérivée du sinus est égale au cosinus.

8. La dérivée du cosinus est égale à moins le sinus.

9. La dérivée de la tangente est égale à un divisé par le carré du cosinus.

10. La dérivée de la cotangente est égale à moins un divisé par le carré du sinus.

Nous enseignons règles de différenciation.

1. La dérivée d'une somme algébrique est égale à la somme algébrique des dérivées des termes.

2. La dérivée d'un produit est égale au produit de la dérivée du premier facteur et du second plus le produit du premier facteur et de la dérivée du second.

3. La dérivée de « y » divisée par « ve » est égale à une fraction dont le numérateur est « y premier multiplié par « ve » moins « y multiplié par ve premier » et le dénominateur est « ve au carré ».

4. Un cas particulier de la formule 3.

Apprenons ensemble !

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Lors de la résolution de divers problèmes de géométrie, de mécanique, de physique et d'autres branches de la connaissance, le besoin s'est fait sentir d'utiliser le même processus analytique à partir de cette fonction. y=f(x) obtenir une nouvelle fonction appelée fonction dérivée(ou juste dérivée) d'une fonction donnée f(x) et est désigné par le symbole

Le processus par lequel, à partir d'une fonction donnée f(x) obtenir une nouvelle fonctionnalité f" (x), appelé différenciation et il comprend les trois étapes suivantes : 1) donner l'argument x incrément  x et déterminer l'incrément correspondant de la fonction  y = f(x+ x) -f(x);

2) établir une relation x 3) compter  x constante et
0, on trouve f" (x), que nous désignons par x, comme pour souligner que la fonction résultante dépend uniquement de la valeur , à laquelle nous allons à la limite.: Définition Dérivée y " =f " (x) fonction donnée y=f(x) est appelée la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, à condition que l'incrément de l'argument tende vers zéro, si, bien entendu, cette limite existe, c'est-à-dire fini. Ainsi,
, ou

Notez que si pour une certaine valeur x, par exemple quand x=une, attitude
à  x0 ne tend pas vers la limite finie, alors dans ce cas on dit que la fonction f(x)à x=une(ou au point x=une) n’a pas de dérivée ou n’est pas différentiable au point x=une.

2. Signification géométrique de la dérivée.

Considérons le graphique de la fonction y = f (x), différentiable au voisinage du point x 0

f(x)

Considérons une ligne droite arbitraire passant par un point du graphique d'une fonction - point A(x 0, f (x 0)) et coupant le graphique en un point B(x;f(x)). Une telle ligne (AB) est appelée sécante. De ∆ABC : AC = ∆x ;

ВС =∆у ; tgβ=∆y/∆x.

Depuis AC || Ox, alors ALO = BAC = β (comme correspondant au parallèle). Mais ALO est l'angle d'inclinaison de la sécante AB par rapport à la direction positive de l'axe Ox. Cela signifie que tanβ = k est la pente de la droite AB.

Nous allons maintenant réduire ∆x, c'est-à-dire ∆х→ 0. Dans ce cas, le point B s'approchera du point A selon le graphique et la sécante AB tournera. La position limite de la sécante AB en ∆x→ 0 sera une droite (a), appelée tangente au graphique de la fonction y = f (x) au point A.
Si on va à la limite quand ∆x → 0 dans l’égalité tgβ =∆y/∆x, on obtient
ortg =f "(x 0), puisque
-angle d'inclinaison de la tangente à la direction positive de l'axe Ox

, par définition d'un dérivé. Mais tg = k est le coefficient angulaire de la tangente, ce qui signifie k = tg = f" (x 0).

Ainsi, la signification géométrique de la dérivée est la suivante : 0 Dérivée d'une fonction au point x 0 .

égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction tracée au point d'abscisse x

3. Signification physique du dérivé.

Considérons le mouvement d'un point le long d'une ligne droite. Soit donnée la coordonnée d'un point à tout instant x(t). On sait (d'après un cours de physique) que la vitesse moyenne sur une période de temps est égale au rapport de la distance parcourue pendant cette période de temps au temps, c'est-à-dire

Vav = ∆x/∆t. Allons à la limite de la dernière égalité comme ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - vitesse instantanée au temps t 0, ∆t → 0.

et lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (par définition de dérivée).

Donc, (t) =x"(t).La signification physique de la dérivée est la suivante : dérivée de la fonction = oui(xfx 0 ) au pointouiest le taux de changement de la fonctionx 0

(x) au point

La dérivée est utilisée en physique pour trouver la vitesse à partir d'une fonction connue des coordonnées en fonction du temps, l'accélération à partir d'une fonction connue de la vitesse en fonction du temps.

a(f) = "(t) - accélération, ou

Si la loi du mouvement d'un point matériel dans un cercle est connue, alors on peut trouver la vitesse angulaire et l'accélération angulaire pendant le mouvement de rotation :

φ = φ(t) - changement d'angle au fil du temps,

ω = φ"(t) - vitesse angulaire,

ε = φ"(t) - accélération angulaire, ou ε = φ"(t).

Si la loi de distribution de masse d'un bâtonnet inhomogène est connue, alors la densité linéaire d'un bâtonnet inhomogène peut être trouvée :

m = m(x) - masse,

x  , l - longueur de la tige,

p = m"(x) - densité linéaire.

Grâce à la dérivée, les problèmes de la théorie de l'élasticité et des vibrations harmoniques sont résolus. Donc, selon la loi de Hooke

F = -kx, x – coordonnée variable, k – coefficient d'élasticité du ressort. En mettant ω 2 =k/m, on obtient l'équation différentielle du pendule à ressort x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

où ω = √k/√m fréquence d'oscillation (l/c), k - rigidité du ressort (H/m).

Une équation de la forme y" + ω 2 y = 0 est appelée l'équation des oscillations harmoniques (mécaniques, électriques, électromagnétiques). La solution de ces équations est la fonction

y = Asin(ωt + φ 0) ou y = Acos(ωt + φ 0), où

A - amplitude des oscillations, ω - fréquence cyclique,

φ 0 - phase initiale.

Remarques importantes !
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Imaginons une route droite traversant une zone vallonnée. Autrement dit, il monte et descend, mais ne tourne ni à droite ni à gauche. Si l'axe est dirigé horizontalement le long de la route et verticalement, alors la ligne de route sera très similaire au graphique d'une fonction continue :

L'axe est un certain niveau d'altitude zéro ; dans la vie, nous utilisons le niveau de la mer comme tel.

À mesure que nous avançons sur une telle route, nous montons ou descendons également. On peut aussi dire : lorsque l'argument change (déplacement le long de l'axe des abscisses), la valeur de la fonction change (déplacement le long de l'axe des ordonnées). Réfléchissons maintenant à la façon de déterminer la « raideur » de notre route ? Quel genre de valeur cela pourrait-il représenter ? C'est très simple : à quel point la hauteur va changer en avançant sur une certaine distance. En effet, sur différents tronçons de route, en avançant (le long de l'axe des x) d'un kilomètre, nous monterons ou descendrons d'un nombre différent de mètres par rapport au niveau de la mer (le long de l'axe des y).

Notons la progression (lire « delta x »).

La lettre grecque (delta) est couramment utilisée en mathématiques comme préfixe signifiant « changement ». C'est-à-dire - c'est un changement de quantité, - un changement ; alors qu'est-ce que c'est ? C'est vrai, un changement d'ampleur.

Important : une expression est un tout unique, une variable. Ne séparez jamais le « delta » du « x » ou de toute autre lettre !

C'est par exemple .

Nous avons donc avancé, horizontalement, de. Si nous comparons la ligne de la route avec le graphique d’une fonction, alors comment dénotons-nous la montée ? Certainement, . Autrement dit, à mesure que nous avançons, nous montons plus haut.

La valeur est facile à calculer : si au début nous étions en hauteur, et qu'après le déplacement nous nous retrouvions en hauteur, alors. Si le point final est inférieur au point de départ, il sera négatif - cela signifie que nous ne montons pas, mais descendons.

Revenons à la « raideur » : c'est une valeur qui montre de combien (forte) la hauteur augmente lorsque l'on avance d'une unité de distance :

Supposons que sur une section de la route, en avançant d'un kilomètre, la route s'élève d'un kilomètre. Alors la pente à cet endroit est égale. Et si la route, en avançant de m, descendait de km ? Alors la pente est égale.

Regardons maintenant le sommet d'une colline. Si vous prenez le début du tronçon un demi-kilomètre avant le sommet et la fin un demi-kilomètre après, vous constaterez que la hauteur est presque la même.

Autrement dit, selon notre logique, il s'avère que la pente ici est presque égale à zéro, ce qui n'est clairement pas vrai. Sur une distance de plusieurs kilomètres, beaucoup de choses peuvent changer. Il est nécessaire de considérer des zones plus petites pour une évaluation plus adéquate et plus précise de la pente. Par exemple, si vous mesurez le changement de hauteur lorsque vous vous déplacez d’un mètre, le résultat sera beaucoup plus précis. Mais même cette précision peut ne pas nous suffire - après tout, s'il y a un poteau au milieu de la route, nous pouvons simplement le dépasser. Quelle distance choisir alors ? Centimètre? Millimètre? Moins c'est plus ! Dans la vraie vie, mesurer les distances au millimètre près est largement suffisant. Mais les mathématiciens recherchent toujours la perfection. Le concept a donc été inventé infinitésimal , c’est-à-dire que la valeur absolue est inférieure à n’importe quel nombre que nous pouvons nommer. Par exemple, vous dites : un billionième ! Combien moins ? Et vous divisez ce nombre par - et ce sera encore moins. Et ainsi de suite. Si on veut écrire qu’une quantité est infinitésimale, on écrit ainsi : (on lit « x tend vers zéro »). Il est très important de comprendre que ce nombre n'est pas nul !

Le concept opposé à infinitésimal est infiniment grand (). Vous l'avez probablement déjà rencontré lorsque vous travailliez sur les inégalités : ce nombre est modulo supérieur à tous les nombres auxquels vous pouvez penser. Si vous obtenez le plus grand nombre possible, multipliez-le simplement par deux et vous obtiendrez un nombre encore plus grand. Et l’infini est encore plus grand que ce qui arrive. En fait, l'infiniment grand et l'infiniment petit sont l'inverse l'un de l'autre, c'est-à-dire at, et vice versa : at.

Revenons maintenant à notre route. La pente idéalement calculée est la pente calculée pour un segment infinitésimal du chemin, soit :

Je constate qu'avec un déplacement infinitésimal, le changement de hauteur sera également infinitésimal. Mais permettez-moi de vous rappeler qu'infinitésimal ne signifie pas égal à zéro. Si vous divisez des nombres infinitésimaux les uns par les autres, vous pouvez obtenir un nombre tout à fait ordinaire, par exemple . Autrement dit, une petite valeur peut être exactement plusieurs fois supérieure à une autre.

A quoi ça sert tout ça ? La route, la pente... Nous ne participons pas à un rallye automobile, mais nous enseignons les mathématiques. Et en mathématiques, tout est exactement pareil, seulement appelé différemment.

Notion de dérivé

La dérivée d'une fonction est le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument.

Progressivement en mathématiques, ils appellent le changement. La mesure dans laquelle l'argument () change à mesure qu'il se déplace le long de l'axe est appelée incrément d'argument et est désigné dans quelle mesure la fonction (hauteur) a changé lors du déplacement vers l'avant le long de l'axe d'une distance est appelé. incrément de fonction et est désigné.

Ainsi, la dérivée d’une fonction est le rapport au quand. On note la dérivée par la même lettre que la fonction, seulement avec un nombre premier en haut à droite : ou simplement. Écrivons donc la formule dérivée en utilisant ces notations :

Comme dans l'analogie avec la route, ici lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu'elle diminue, elle est négative.

La dérivée peut-elle être égale à zéro ? Certainement. Par exemple, si nous roulons sur une route horizontale et plate, la pente est nulle. Et c’est vrai, la hauteur ne change pas du tout. Il en est de même de la dérivée : la dérivée d'une fonction constante (constante) est égale à zéro :

puisque l'incrément d'une telle fonction est égal à zéro pour tout.

Rappelons-nous l'exemple du sommet d'une colline. Il s'est avéré qu'il était possible de disposer les extrémités du segment sur les côtés opposés du sommet de manière à ce que la hauteur aux extrémités soit la même, c'est-à-dire que le segment soit parallèle à l'axe :

Mais de grands segments sont le signe d’une mesure inexacte. Nous élèverons notre segment parallèlement à lui-même, puis sa longueur diminuera.

Finalement, lorsque nous serons infiniment proches du sommet, la longueur du segment deviendra infinitésimale. Mais en même temps, il est resté parallèle à l'axe, c'est-à-dire que la différence de hauteur à ses extrémités est égale à zéro (elle ne tend pas vers, mais est égale à). Donc la dérivée

Cela peut être compris ainsi : lorsque nous nous trouvons tout en haut, un petit déplacement vers la gauche ou la droite modifie de manière négligeable notre hauteur.

Il existe aussi une explication purement algébrique : à gauche du sommet la fonction augmente, et à droite elle diminue. Comme nous l’avons découvert précédemment, lorsqu’une fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu’elle diminue, elle est négative. Mais cela change en douceur, sans sauts (puisque la route ne change brusquement de pente nulle part). Il doit donc y avoir une différence entre les valeurs négatives et positives. Ce sera là où la fonction n'augmente ni ne diminue - au point sommet.

Il en va de même pour le creux (la zone où la fonction à gauche diminue et à droite augmente) :

Un peu plus sur les incréments.

Nous changeons donc l’argument en grandeur. On change à partir de quelle valeur ? Qu’est-il devenu (l’argument) maintenant ? Nous pouvons choisir n'importe quel point, et maintenant nous allons danser à partir de lui.

Considérons un point avec une coordonnée. La valeur de la fonction qu'il contient est égale. Ensuite on fait le même incrément : on augmente la coordonnée de. Quel est l’argument maintenant ? Très simple : . Quelle est la valeur de la fonction maintenant ? Là où va l’argument, la fonction aussi : . Qu'en est-il de l'incrément de fonction ? Rien de nouveau : c'est toujours l'ampleur de l'évolution de la fonction :

Entraînez-vous à trouver des incréments :

Recherchez l'incrément de la fonction à un point où l'incrément de l'argument est égal à.
Il en va de même pour la fonction en un point.

Solutions :

À différents points avec le même incrément d'argument, l'incrément de fonction sera différent. Cela signifie que la dérivée en chaque point est différente (nous en avons discuté au tout début - la pente de la route est différente en différents points). Ainsi, lorsque l’on écrit une dérivée, il faut indiquer à quel moment :

Fonction de puissance.

Une fonction puissance est une fonction dont l’argument est dans une certaine mesure (logique, n’est-ce pas ?).

De plus - dans une certaine mesure : .

Le cas le plus simple est celui où l'exposant est :

Trouvons sa dérivée en un point. Rappelons la définition d'une dérivée :

L’argument change donc de à. Quel est l'incrément de la fonction ?

L'incrément, c'est ça. Mais une fonction est en tout point égale à son argument. C'est pourquoi :

La dérivée est égale à :

La dérivée de est égale à :

b) Considérons maintenant la fonction quadratique () : .

Maintenant, rappelons-le. Cela signifie que la valeur de l'incrément peut être négligée, puisqu'elle est infinitésimale, et donc insignifiante par rapport à l'autre terme :

Nous avons donc proposé une autre règle :

c) On continue la série logique : .

Cette expression peut être simplifiée de différentes manières : ouvrez la première parenthèse en utilisant la formule de multiplication abrégée du cube de la somme, ou factorisez l'expression entière en utilisant la formule de différence des cubes. Essayez de le faire vous-même en utilisant l'une des méthodes suggérées.

J'ai donc obtenu ceci :

Et encore une fois, rappelons-le. Cela signifie que l'on peut négliger tous les termes contenant :

On obtient : .

d) Des règles similaires peuvent être obtenues pour les grandes puissances :

e) Il s'avère que cette règle peut être généralisée pour une fonction puissance avec un exposant arbitraire, pas même un entier :

(2)

La règle peut être formulée ainsi : « le diplôme est avancé sous forme de coefficient, puis diminué de . »

Nous prouverons cette règle plus tard (presque à la toute fin). Voyons maintenant quelques exemples. Trouvez la dérivée des fonctions :

(de deux manières : par formule et en utilisant la définition de dérivée - en calculant l'incrément de la fonction) ;

Fonctions trigonométriques.

Ici, nous utiliserons un fait issu des mathématiques supérieures :

Avec expression.

Vous en apprendrez la preuve dès votre première année d'institut (et pour y arriver, vous devez bien réussir l'examen d'État unifié). Maintenant, je vais juste le montrer graphiquement :

Nous voyons que lorsque la fonction n'existe pas, le point sur le graphique est coupé. Mais plus la valeur est proche, plus la fonction est proche de ce qui « vise ».

De plus, vous pouvez vérifier cette règle à l'aide d'une calculatrice. Oui, oui, ne soyez pas timide, prenez une calculatrice, nous n'en sommes pas encore à l'examen d'État unifié.

Alors, essayons : ;

N'oubliez pas de passer votre calculatrice en mode Radians !

etc. On voit que plus la valeur du rapport est petite, plus la valeur du rapport est proche de.

a) Considérons la fonction. Comme d'habitude, trouvons son incrément :

Transformons la différence des sinus en un produit. Pour ce faire, nous utilisons la formule (rappelez-vous le sujet « ») : .

Maintenant la dérivée :

Faisons un remplacement : . Alors pour infinitésimal c'est aussi infinitésimal : . L'expression pour prend la forme :

Et maintenant, nous nous en souvenons avec l'expression. Et aussi, que se passerait-il si une quantité infinitésimale pouvait être négligée dans la somme (c'est-à-dire at).

On obtient donc la règle suivante : la dérivée du sinus est égale au cosinus:

Ce sont des dérivés basiques (« tabulaires »). Les voici dans une seule liste :

Plus tard, nous leur en ajouterons quelques autres, mais ce sont les plus importants, car ils sont les plus souvent utilisés.

Pratique:

Trouver la dérivée de la fonction en un point ;
Trouvez la dérivée de la fonction.

Solutions :

Exposant et logarithme népérien.

Il existe une fonction en mathématiques dont la dérivée pour toute valeur est à la fois égale à la valeur de la fonction elle-même. C'est ce qu'on appelle « exposant » et c'est une fonction exponentielle.

La base de cette fonction - une constante - est une fraction décimale infinie, c'est-à-dire un nombre irrationnel (comme). On l'appelle le « nombre d'Euler », c'est pourquoi il est désigné par une lettre.

Donc la règle :

Très facile à retenir.

Bon, n’allons pas loin, considérons immédiatement la fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:

Dans notre cas, la base est le nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.

A quoi est-ce égal ? Bien sûr.

La dérivée du logarithme népérien est également très simple :

Exemples :

Trouvez la dérivée de la fonction.
Quelle est la dérivée de la fonction ?

Réponses : Les logarithmes exponentiel et naturel sont des fonctions particulièrement simples du point de vue dérivé. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.

Règles de différenciation

Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...

Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.

C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... La différentielle des mathématiciens est le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.

Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :

Il y a 5 règles au total.

La constante est soustraite du signe dérivé.

Si - un nombre constant (constant), alors.

Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .

Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.

Exemples.

Trouvez les dérivées des fonctions :

à un moment donné ;
à un moment donné ;
à un moment donné ;
au point.

Solutions :

Dérivé du produit

Tout est similaire ici : introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :

Dérivé:

Exemples :

Trouver les dérivées des fonctions et ;
Trouvez la dérivée de la fonction en un point.

Solutions :

Dérivée d'une fonction exponentielle

Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).

Alors, où est un certain nombre.

Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc de réduire notre fonction à une nouvelle base :

Pour ce faire, nous utiliserons une règle simple : . Alors:

Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.

Est-ce que ça a marché ?

Ici, vérifiez vous-même :

La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.

Exemples :
Trouvez les dérivées des fonctions :

Réponses :

Dérivée d'une fonction logarithmique

C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :

Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :

Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :

Seulement maintenant, nous écrirons à la place :

Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :

Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne sont presque jamais trouvées dans l'examen d'État unifié, mais il ne sera pas superflu de les connaître.

Dérivée d'une fonction complexe.

Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».

Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez effectuer les étapes inverses dans l’ordre inverse.

Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue une première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.

On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : on le met d'abord au carré, et je cherche ensuite le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.

Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .

Pour le premier exemple, .

Deuxième exemple : (même chose). .

L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :

Réponses : La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction

Nous changeons les variables et obtenons une fonction.

Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple original, cela ressemble à ceci :

Autre exemple :

Alors, formulons enfin la règle officielle :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Cela semble simple, non ?

Vérifions avec des exemples :

DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :

Dérivés de base :

Règles de différenciation :

La constante est soustraite du signe dérivé :

Dérivée de la somme :

Dérivé du produit :

Dérivée du quotient :

Dérivée d'une fonction complexe :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour avoir réussi l'examen d'État unifié, pour entrer à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, pour la vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

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