И некоторая линия, которая проходит через начало координат. Если гиперболу начать вращать вокруг этой оси, возникнет полое тело вращения, которое гиперболоидом. Существует два вида гиперболоидов: однополостный и двуполостный. Однополостный гиперболоид задается уравнением вида:x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1Если рассматривать данную пространственную фигуру относительно плоскостей Oxz и Oyz, можно заметить, что ее сечениями гиперболы. Однако, сечением однополостного гиперболоида плоскостью Oxy является эллипс. Самый маленький эллипс гиперболоида называется горловым эллипсом. В этом случае, z=0, а эллипс проходит через начало координат. Уравнение горлового при z=0 записывается следующим образом:x^2/a^2 +y^2/b^2=1Остальные эллипсы имеют следующего вида:x^2/a^2 +y^2/b^2=1+h^2/c^2, где h - высота однополостного гиперболоида.
Построение гиперболоида начните с изображения гиперболы в плоскости Xoz. Начартите действительную полуось, которая совпадает с осью y и мнимую полуось, совпадающую с z. Постройте гиперболу, а затем задайте некоторую высоту h гиперболоида. После этого, на уровне заданной высоты проведите прямые, параллельные Ox и пересекающие график гиперболы в нижних и верхних точках.Затем аналогичным образом в плоскости Oyz постройте гиперболу, где b - действительная полуось, проходящая через ось y, а с - мнимая полуось, также совпадающая с c.Постройте в плоскости Oxy параллелограмм, который получается путем соединения точек графиков гипербол. Начертите горловой эллипс таким образом, чтобы он был вписан в этот параллелограмм. Аналогичным образом постройте остальные эллипсы. В результате получится тела вращения - однополостного гиперболоида, изображенного на рис.1
Двуполостный гиперболоид получил свое из-за двух разных поверхностей, которые образованы осью Oz. Уравнение такого гиперболоида имеет следующий вид:x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Две полости получаются при построении гиперболы в плоскости Oxz и Oyz. У двуполостного гиперболоида сечения - эллипсы:x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1Также, как и в случае с однополостным гиперболоидом, постройте в плоскостях Oxz и Oyz гиперболы, которые будут располагаться таким образом, как показано на 2. Постройте внизу и наверху параллелограммы для построения эллипсов. Построив эллипсы, уберите все построения, а затем начертите двуполостный гиперболоид.
Однополосный гиперболоид представляет собой фигуру вращения. Чтобы построить его, нужно следовать определенной методики. Сначала вычерчиваются полуоси, затем, гиперболы и эллипсы. Соединение всех этих элементов поможет составить уже саму пространственную фигуру.
Вам понадобится
- - карандаш,
- - бумага,
- - математический справочник.
Инструкция
Изобразите гиперболу в Xoz. Для этого начертите две полуоси, совпадающие с осью y (действительная полуось) и с осью z (мнимая полуось). Постройте на базе них гиперболу. После этого задайте определенную высоту h а. В завершении на уровне этой заданной проведите прямые, будут параллельны Ox и пересекают при этом график гиперболы в двух : нижней и верхней.
Повторите вышеописанные действия при построении остальных эллипсов. В конечном итоге сформируется чертеж однополостного гиперболоид а.
Однополостный гиперболоид описывается изображенным
- (греч., от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч., от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка
гиперболоид - а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Сущ., кол во синонимов: 2 коноид (4) поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Гиперболоид - Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
гиперболоид - hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas
- (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
М. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов
Незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия
Книги
- , Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века…
- Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита , Алексей Толстой. Роман "Гиперболоид инженера Гарина" и повесть "Аэлита" положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с…
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
(краткая информация)
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения. Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой.
Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны.
Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения и образующей линии.
Поверхности, образуемые вращением прямой линии:
1. - цилиндр вращенияобразуется вращением прямой, параллельной оси;
2. - конус вращения образуется вращением прямой, пересекающей ось;
3. - однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой, скрещивающейся с осью;
Параллелями поверхности являются окружности.
Меридианом поверхности является гипербола.
Все перечисленные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.
Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей
1. Сфераобразуется вращением окружности вокруг ее диаметра.
2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.
3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.
4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта поверхность образуется также вращением прямой: п. а-1).
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:
где a, b, c – положительные числа.
Он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости z = 0, поэтому
Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями a и b (рис. 1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости x = 0, поэтому
Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна c. Построим эту гиперболу.
Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением
Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz.
Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ± h, h > 0.
Рис. 1. Сечение однополостного гиперболоида
Уравнения этих линий:
Первое уравнение преобразуем к виду
Это уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями a 1 и b 1 . Нарисуем полученные сечения (рис. 2).
Рис. 2. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений
Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением прямой линии, скрещивающейся с мнимой осью, вокруг которой эта линия вращается. В этом случае получается пространственная фигура (рис. 3), поверхность которой складывается из последовательных положений прямой при вращении.
Рис. 3. Однополостный гиперболоид вращения, полученный вращением прямой линии, скрещивающейся с осью вращения
Меридианом такой поверхности служит гипербола. Пространство внутри этой фигуры вращения будет действительным, а снаружи – мнимым. Плоскость, перпендикулярная мнимой оси и рассекающая однополостной гиперболоид в его минимальном сечении, называется фокальной плоскостью.
Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рис. 6.4.
Если в уравнении a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 4).
Рис. 4. Однополостный гиперболоид вращения,
Однополостным гиперболоидом
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.
В уравнениях (4.48), (4.49) a,b,c - положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем a\geqslant b .
Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) однополостного гиперболоида (4.48) и две точки (0,0,\pm c) двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям Ox,\,Oy , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат Oz , - продольной осью гиперболоидов. Числа a,\,b,\,c , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.
Плоские сечения однополостного гиперболоида
Подставляя z=0 в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью Oxy . Это уравнение в плоскости Oxy определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при x=0 получаем главную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{z^2}=1 , а при y=0 - главную гиперболу \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy . Подставляя z=h , где h - произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2}.
При любом значении параметра h уравнение определяет эллипс с полуосями a"=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, b"=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, . Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью z=h представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины - на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями z=h при различных значениях параметра h , горловой эллипс (при h=0 ) является эллипсом с наименьшими полуосями.
Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)
Плоские сечения двуполостного гиперболоида
Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями Oyz и Oxz представляют собой гиперболы (главные гиперболы).
Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy . Подставляя z=h , где h - произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2}-1.
При |h|
Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).
Гиперболоиды вращения
Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны (a=b) , называется гиперболоидом вращения . Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями z=h (для двуполостного гиперболоида при |h|>c ) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси Oz гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 .
Гиперболоид, у которого поперечные оси различны (a\ne b) , называется трехосным (или общим).
Замечания 4.9
1. Плоскости х x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани (z=\pm c) параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.
2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя x=\pm a в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).
3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).
4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси - осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости - плоскостями симметрии гиперболоида.
В самом деле, если точка M(x,y,z) принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами (\pm x,\pm y,\pm z) при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Однополостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением
называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости, так как текущие координаты у и z входят в уравнение (55) в четных степенях.
Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим лежащую в плоскости гиперболу ABCD (рис. 97)
Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола EFGH
лежащая в плоскости
При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс BFCG, уравнения которого имеют вид:
Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h.
При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси а и b. При получим однополостный гиперболоид вращения
При пересечении его плоскостями будут получаться окружности
В пп. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями
в которых а, b и с - полуоси однополостного гиперболоида, a k - произвольно выбранное число
Перемножая почленно эти уравнения, получим уравнение
т. е. уравнение однополостного гиперболоида.
Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является следствием системы уравнений (59). Поэтому координаты любой точки , удовлетворяющие системе уравнений (59), удовлетворяют также и уравнению (55) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (59) принадлежат гиперболоиду (55). Меняя значения k, мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (55). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства
где - произвольный параметр.
Можно также показать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 98). Эти прямые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.
Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике.
Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым В. Г. в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением
называется двуполостным гиперболоидом.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида.
Пересекая эту поверхность координатными плоскостями получим соответственно гиперболы
