6 adalah bilangan prima. Bilangan prima: sejarah dan fakta

Bilangan prima adalah salah satu fenomena matematika paling menarik yang telah menarik perhatian para ilmuwan dan masyarakat umum selama lebih dari dua milenium. Terlepas dari kenyataan bahwa kita sekarang hidup di zaman komputer dan program informasi paling modern, banyak teka-teki bilangan prima yang belum terpecahkan bahkan ada beberapa yang belum diketahui oleh para ilmuwan;

Bilangan prima, seperti yang kita ketahui dari pelajaran aritmatika dasar, adalah bilangan yang habis dibagi tanpa sisa hanya oleh satu dan dirinya sendiri. Ngomong-ngomong, jika suatu bilangan asli habis dibagi, selain bilangan yang disebutkan di atas, dengan bilangan lain, maka bilangan tersebut disebut bilangan komposit. Salah satu teorema paling terkenal menyatakan bahwa bilangan komposit apa pun dapat direpresentasikan sebagai produk unik dari bilangan prima.

Beberapa fakta menarik. Pertama, satuannya unik dalam arti tidak termasuk bilangan prima atau komposit. Pada saat yang sama, dalam komunitas ilmiah, masih lazim untuk mengklasifikasikannya secara khusus ke dalam kelompok pertama, karena secara formal memenuhi persyaratannya.

Kedua, satu-satunya bilangan genap yang dimasukkan ke dalam kelompok “bilangan prima” tentu saja adalah dua. Bilangan genap lainnya tidak bisa sampai di sini, karena menurut definisi, selain bilangan itu sendiri dan satu, bilangan itu juga habis dibagi dua.

Bilangan prima, yang daftarnya, seperti disebutkan di atas, dapat dimulai dengan satu, mewakili suatu deret tak terhingga, sama tak terhingganya dengan deret bilangan asli. Berdasarkan teorema dasar aritmatika, kita dapat sampai pada kesimpulan bahwa bilangan prima tidak pernah terputus dan tidak pernah berakhir, karena jika tidak, rangkaian bilangan asli pasti akan terputus.

Bilangan prima tidak muncul secara acak dalam deret natural, seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Setelah menganalisisnya dengan cermat, Anda dapat segera melihat beberapa fitur, yang paling menarik terkait dengan apa yang disebut angka “kembar”. Disebut demikian karena dengan cara yang tidak dapat dipahami mereka berakhir bersebelahan, hanya dipisahkan oleh pembatas genap (lima dan tujuh, tujuh belas dan sembilan belas).

Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda akan melihat bahwa jumlah angka-angka ini selalu merupakan kelipatan tiga. Apalagi bila yang kiri dibagi tiga, sisanya selalu tetap dua, dan yang kanan selalu tetap satu. Selain itu, sebaran bilangan-bilangan tersebut pada deret natural dapat diprediksi jika kita membayangkan seluruh deret ini dalam bentuk sinusoidal osilasi, yang titik-titik utamanya terbentuk ketika bilangan-bilangan tersebut dibagi tiga dan dua.

Bilangan prima tidak hanya menjadi objek perhatian para ahli matematika di seluruh dunia, tetapi telah lama berhasil digunakan dalam kompilasi berbagai rangkaian bilangan, yang antara lain menjadi dasar kriptografi. Harus diakui bahwa sejumlah besar misteri yang terkait dengan unsur-unsur menakjubkan ini masih menunggu untuk dipecahkan; banyak pertanyaan yang tidak hanya memiliki makna filosofis, tetapi juga praktis.

Semua bilangan asli, kecuali satu, terbagi menjadi bilangan prima dan komposit. Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai dua pembagi: satu dan bilangan itu sendiri. Semua yang lain disebut komposit. Studi tentang sifat-sifat bilangan prima dilakukan oleh cabang khusus matematika - teori bilangan. Dalam teori ring, bilangan prima berkaitan dengan unsur-unsur yang tidak dapat direduksi.

Berikut barisan bilangan prima yang dimulai dari 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... dst.

Menurut teorema dasar aritmatika, setiap bilangan asli yang lebih besar dari satu dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bilangan prima. Pada saat yang sama, ini adalah satu-satunya cara untuk merepresentasikan bilangan asli hingga urutan faktornya. Berdasarkan hal tersebut, kita dapat mengatakan bahwa bilangan prima adalah bagian dasar dari bilangan asli.

Representasi bilangan asli ini disebut penguraian bilangan asli menjadi bilangan prima atau faktorisasi suatu bilangan.

Salah satu cara paling kuno dan efektif untuk menghitung bilangan prima adalah “saringan Erasstophenes”.

Praktek telah menunjukkan bahwa setelah menghitung bilangan prima menggunakan saringan Erastophenes, perlu untuk memeriksa apakah bilangan tersebut adalah bilangan prima. Untuk tujuan ini, tes khusus telah dikembangkan, yang disebut tes kesederhanaan. Algoritme pengujian ini bersifat probabilistik. Mereka paling sering digunakan dalam kriptografi.

Omong-omong, untuk beberapa kelas angka terdapat tes primalitas khusus yang efektif. Misalnya untuk memeriksa primalitas bilangan Mersenne digunakan uji Luc-Lehmer, dan untuk memeriksa primalitas bilangan Fermat digunakan uji Pepin.

Kita semua tahu bahwa jumlahnya tak terhingga banyaknya. Pertanyaan yang tepat muncul: ada berapa bilangan prima? Ada juga bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga. Bukti paling kuno dari proposisi ini adalah bukti Euclid, yang dituangkan dalam Elemen. Bukti Euclid terlihat seperti ini:

Bayangkan banyaknya bilangan prima berhingga. Mari kalikan dan tambahkan satu. Bilangan yang dihasilkan tidak dapat dibagi dengan himpunan bilangan prima berhingga mana pun, karena sisa pembagian dengan himpunan bilangan prima tersebut menghasilkan satu. Jadi, bilangan tersebut harus habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang tidak termasuk dalam himpunan ini.

Teorema distribusi bilangan prima menyatakan bahwa banyaknya bilangan prima yang kurang dari n, dilambangkan dengan π(n), bertambah sebagai n / ln(n).

Setelah ribuan tahun mempelajari bilangan prima, bilangan prima terbesar yang diketahui adalah 243112609 − 1. Bilangan ini memiliki 12.978.189 angka desimal dan merupakan bilangan prima Mersenne (M43112609). Penemuan ini dilakukan pada tanggal 23 Agustus 2008 di Fakultas Matematika Universitas uCLA sebagai bagian dari pencarian terdistribusi untuk proyek GIMPS bilangan prima Mersenne.

Ciri pembeda utama bilangan Mersenne adalah adanya uji primalitas Luc-Lemaire yang sangat efektif. Dengan demikian, bilangan prima Mersenne, dalam jangka waktu yang lama, merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui.

Namun hingga saat ini, banyak pertanyaan mengenai bilangan prima yang belum mendapat jawaban pasti. Pada Kongres Internasional Matematika ke-5, Edmund Landau merumuskan permasalahan pokok dalam bidang bilangan prima:

Masalah Goldbach atau masalah Landau yang pertama adalah perlu dibuktikan atau disangkal bahwa setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima, dan setiap bilangan ganjil yang lebih besar dari 5 dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga bilangan prima.
Masalah kedua Landau memerlukan jawaban atas pertanyaan: apakah ada himpunan “kembar prima” yang tak terhingga - bilangan prima yang selisihnya 2?
Dugaan Legendre atau permasalahan ketiga Landau adalah: benarkah antara n2 dan (n+1)2 selalu ada bilangan prima?
Masalah keempat Landau: apakah himpunan bilangan prima berbentuk n2 + 1 tak terhingga?
Selain soal di atas, ada soal menentukan bilangan prima yang tak terhingga banyaknya dalam banyak barisan bilangan bulat seperti bilangan Fibonacci, bilangan Fermat, dan lain-lain.

Pembagian bilangan asli menjadi bilangan prima dan bilangan komposit dilakukan oleh ahli matematika Yunani kuno, Pythagoras. Dan jika mengikuti Pythagoras, maka himpunan bilangan asli dapat dibagi menjadi tiga kelas: (1) - himpunan yang terdiri dari satu bilangan - satu; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – himpunan bilangan prima; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – sekumpulan bilangan komposit.

Set kedua menyembunyikan banyak misteri berbeda. Tapi pertama-tama, mari kita cari tahu apa itu bilangan prima. Kami membuka "Kamus Ensiklopedia Matematika" (Yu. V. Prokhorov, penerbit "Soviet Encyclopedia", 1988) dan membaca:

“Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu, yang tidak mempunyai pembagi selain dirinya sendiri dan satu: 2,3,5,7,11,13,

Konsep bilangan prima merupakan hal mendasar dalam studi tentang pembagian bilangan asli; yaitu, teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif kecuali 1 dapat diuraikan secara unik menjadi hasil kali bilangan prima (urutan faktornya tidak diperhitungkan). Ada banyak bilangan prima yang tak terhingga banyaknya (proposisi ini, yang disebut teorema Euclid, telah diketahui oleh ahli matematika Yunani kuno; buktinya dapat ditemukan di buku ke-9 dari Euclid’s Elements). P. Dirichlet (1837) menetapkan bahwa dalam perkembangan aritmatika a + bx untuk x = 1. ,2,c dengan bilangan bulat koprima a dan b juga mengandung bilangan prima yang tak terhingga banyaknya.

Untuk mencari bilangan prima dari 1 sampai x telah diketahui sejak abad ke-3. SM e. Metode saringan Eratosthenes. Pemeriksaan terhadap barisan (*) bilangan prima dari 1 sampai x menunjukkan bahwa dengan bertambahnya x, rata-rata bilangan tersebut menjadi semakin langka. Ada segmen-segmen panjang sembarang dari serangkaian bilangan asli, di antaranya tidak ada satu pun bilangan prima (Teorema 4). Pada saat yang sama, ada bilangan prima yang selisihnya sama dengan 2 (disebut kembar). Masih belum diketahui (1987) apakah himpunan kembar tersebut berhingga atau tak terhingga. Tabel bilangan prima dalam 11 juta bilangan asli pertama menunjukkan adanya bilangan kembar yang sangat besar (misalnya, 10.006.427 dan 10.006.429).

Mencari tahu sebaran bilangan prima pada deret bilangan asli merupakan permasalahan yang sangat sulit dalam teori bilangan. Dirumuskan sebagai studi tentang perilaku asimtotik suatu fungsi yang menyatakan banyaknya bilangan prima tidak melebihi bilangan positif x. Dari teorema Euclid jelas kapan. L. Euler memperkenalkan fungsi zeta pada tahun 1737.

Dia juga membuktikannya ketika

Dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua bilangan asli, dan hasil perkaliannya diambil atas semua bilangan prima. Identitas ini dan generalisasinya memainkan peran mendasar dalam teori distribusi bilangan prima. Berdasarkan hal tersebut, L. Euler membuktikan bahwa deret dan hasil kali terhadap p prima berbeda. Selain itu, L. Euler menetapkan bahwa ada “banyak” bilangan prima, karena

Dan pada saat yang sama, hampir semua bilangan asli adalah bilangan komposit, karena pada.

dan, untuk apa pun (yaitu, apa yang tumbuh sebagai suatu fungsi). Secara kronologis, hasil penting berikutnya yang menyempurnakan teorema Chebyshev adalah apa yang disebut. hukum asimtotik distribusi bilangan prima (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), yang menyatakan bahwa batas rasio sama dengan 1. Selanjutnya, upaya signifikan para ahli matematika diarahkan untuk memperjelas asimtotik hukum distribusi bilangan prima. Pertanyaan tentang distribusi bilangan prima dipelajari baik dengan metode dasar maupun metode analisis matematis.”

Di sini masuk akal untuk memberikan bukti dari beberapa teorema yang diberikan dalam artikel.

Lemma 1. Jika KPK(a, b)=1, maka terdapat bilangan bulat x, y sedemikian rupa.

Bukti. Misalkan a dan b merupakan bilangan relatif prima. Perhatikan himpunan J dari semua bilangan asli z, yang dapat direpresentasikan dalam bentuk, dan pilih bilangan terkecil d di dalamnya.

Mari kita buktikan bahwa a habis dibagi d. Bagilah a dengan d dengan sisanya: dan biarkan. Oleh karena itu, karena mempunyai bentuk,

Kami melihatnya.

Karena kita berasumsi bahwa d adalah bilangan terkecil dalam J, kita mendapatkan kontradiksi. Artinya a habis dibagi d.

Mari kita buktikan dengan cara yang sama bahwa b habis dibagi d. Jadi d=1. Lemmanya terbukti.

Teorema 1. Jika bilangan a dan b koprima dan hasil kali bx habis dibagi a, maka x habis dibagi a.

Bukti1. Kita harus membuktikan bahwa ax habis dibagi b dan gcd(a,b)=1, maka x habis dibagi b.

Berdasarkan Lemma 1, terdapat x, y sehingga. Maka jelas habis dibagi b.

Bukti 2. Misalkan himpunan J dari semua bilangan asli z sedemikian sehingga zc habis dibagi b. Misalkan d adalah bilangan terkecil dalam J. Hal ini mudah untuk dilihat. Sebagaimana pembuktian Lemma 1, dibuktikan bahwa a habis dibagi d dan b habis dibagi d

Lemma 2. Jika bilangan q,p1,p2,pn adalah bilangan prima dan hasil kali habis dibagi q, maka salah satu bilangan pi sama dengan q.

Bukti. Pertama-tama, perhatikan bahwa jika bilangan prima p habis dibagi q, maka p=q. Ini segera mengikuti pernyataan lemma untuk n=1. Untuk n=2 mengikuti langsung Teorema 1: jika p1p2 habis dibagi bilangan prima q dan, maka p2 habis dibagi q(yaitu).

Kita akan membuktikan lemma untuk n=3 sebagai berikut. Misalkan p1 p2 p3 dibagi q. Jika p3 =q, maka semuanya terbukti. Jika, maka menurut Teorema 1, p1 p2 habis dibagi q. Jadi, kami mereduksi kasus n=3 menjadi kasus yang sudah dipertimbangkan n=2.

Dengan cara yang sama, dari n=3 kita dapat melanjutkan ke n=4, lalu ke n=5, dan secara umum, dengan asumsi bahwa pernyataan n=k dari lemma terbukti, kita dapat dengan mudah membuktikannya untuk n=k+ 1. Hal ini meyakinkan kita bahwa lemma tersebut berlaku untuk semua n.

Teorema dasar aritmatika. Setiap bilangan asli dapat difaktorkan dengan cara yang unik.

Bukti. Misalkan ada dua penguraian bilangan a menjadi faktor prima:

Karena ruas kanan habis dibagi q1, maka ruas kiri persamaan tersebut harus habis dibagi q1. Menurut Lemma 2, salah satu bilangan sama dengan q1. Mari kita batalkan kedua ruas persamaan dengan q1.

Mari kita lakukan alasan yang sama untuk q2, lalu untuk q3, untuk qi. Pada akhirnya, semua faktor di sebelah kanan akan hilang dan 1 akan tetap ada. Tentu saja, di sebelah kiri tidak akan ada yang tersisa kecuali satu. Dari sini kita menyimpulkan bahwa kedua perluasan tersebut hanya dapat berbeda dalam urutan faktornya. Teorema tersebut telah terbukti.

teorema Euclid. Deret bilangan prima tidak terhingga.

Bukti. Misalkan deret bilangan prima berhingga, dan bilangan prima terakhir dilambangkan dengan huruf N. Mari kita buat hasil perkaliannya

Mari kita tambahkan 1 ke dalamnya. Kita mendapatkan:

Bilangan ini, sebagai bilangan bulat, harus mengandung paling sedikit satu faktor prima, yaitu harus habis dibagi paling sedikit satu bilangan prima. Namun semua bilangan prima, dengan asumsi, tidak melebihi N, dan bilangan M+1 tidak habis dibagi tanpa sisa oleh bilangan prima mana pun yang kurang dari atau sama dengan N - setiap kali sisanya adalah 1. Teorema tersebut terbukti.

Teorema 4. Bagian bilangan komposit antar bilangan prima dapat panjangnya berapa pun. Sekarang kita akan membuktikan bahwa deret tersebut terdiri dari n bilangan komposit berurutan.

Angka-angka ini muncul berturut-turut dalam deret natural, karena angka-angka berikutnya lebih banyak 1 dari angka sebelumnya. Masih harus dibuktikan bahwa semuanya komposit.

Nomor pertama

Genap, karena kedua sukunya mempunyai faktor 2. Dan setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 adalah bilangan komposit.

Bilangan kedua terdiri dari dua suku yang masing-masing merupakan kelipatan 3. Artinya bilangan tersebut komposit.

Dengan cara yang sama, kita menetapkan bahwa bilangan berikutnya adalah kelipatan 4, dan seterusnya. Dengan kata lain, setiap bilangan dalam deret kita mengandung faktor selain kesatuan dan bilangan itu sendiri; oleh karena itu bersifat komposit. Teorema tersebut telah terbukti.

Setelah mempelajari bukti teorema, kami melanjutkan pembahasan artikel kami. Teksnya menyebutkan metode saringan Eratosthenes sebagai cara mencari bilangan prima. Mari membaca tentang metode ini dari kamus yang sama:

“Saringan Eratosthenes adalah metode yang dikembangkan oleh Eratosthenes yang memungkinkan Anda menyaring bilangan komposit dari deret natural. Inti dari saringan Eratosthenes adalah sebagai berikut. Satuannya dicoret. Nomor dua adalah bilangan prima. Semua bilangan asli yang habis dibagi 2 dicoret. Angka 3 – bilangan pertama yang tidak dicoret adalah bilangan prima. Selanjutnya, semua bilangan asli yang habis dibagi 3 dicoret. Angka 5 - bilangan berikutnya yang tidak dicoret - akan menjadi bilangan prima. Melanjutkan perhitungan serupa, Anda dapat menemukan segmen barisan bilangan prima yang panjangnya sembarang. Saringan Eratosthenes sebagai metode teoritis untuk mempelajari teori bilangan dikembangkan oleh V. Brun (1919).

Berikut bilangan terbesar yang saat ini diketahui sebagai bilangan prima:

Angka ini memiliki sekitar tujuh ratus tempat desimal. Perhitungan yang menentukan bahwa bilangan ini adalah bilangan prima dilakukan pada komputer modern.

“Fungsi Riemann zeta, -fungsi, adalah fungsi analitik dari variabel kompleks, karena σ>1 ditentukan secara mutlak dan seragam oleh deret Dirichlet yang konvergen:

Untuk σ>1, representasi dalam bentuk produk Euler valid:

(2) dimana p melewati semua bilangan prima.

Identitas deret (1) dan hasil kali (2) merupakan salah satu sifat utama fungsi zeta. Hal ini memungkinkan kita memperoleh berbagai hubungan yang menghubungkan fungsi zeta dengan fungsi teori bilangan yang paling penting. Oleh karena itu, fungsi zeta berperan besar dalam teori bilangan.

Fungsi zeta diperkenalkan sebagai fungsi variabel nyata oleh L. Euler (1737, publ. 1744), yang menunjukkan lokasinya pada hasil kali (2). Kemudian fungsi zeta dipertimbangkan oleh P. Dirichlet dan khususnya berhasil oleh P. L. Chebyshev sehubungan dengan studi tentang hukum distribusi bilangan prima. Namun, sifat paling mendalam dari fungsi zeta ditemukan setelah karya B. Riemann, yang pertama kali pada tahun 1859 menganggap fungsi zeta sebagai fungsi variabel kompleks; ia juga memperkenalkan nama “fungsi zeta” dan penamaan """.

Namun timbul pertanyaan: penerapan praktis apa yang ada untuk semua pekerjaan tentang bilangan prima ini? Memang hampir tidak ada gunanya, tetapi ada satu bidang di mana bilangan prima dan sifat-sifatnya masih digunakan hingga saat ini. Ini adalah kriptografi. Di sini bilangan prima digunakan dalam sistem enkripsi tanpa mentransfer kunci.

Sayangnya, hanya ini yang diketahui tentang bilangan prima. Masih banyak misteri yang tersisa. Misalnya, tidak diketahui apakah himpunan bilangan prima yang dapat direpresentasikan sebagai dua kuadrat adalah tak terhingga.

"PERWAKILAN SULIT".

Saya memutuskan untuk melakukan sedikit riset untuk menemukan jawaban atas beberapa pertanyaan tentang bilangan prima. Pertama-tama, saya menyusun program yang menghasilkan semua bilangan prima berurutan kurang dari 1.000.000.000. Selain itu, saya menyusun program yang menentukan apakah bilangan yang dimasukkan adalah bilangan prima. Untuk mempelajari masalah bilangan prima, saya membuat grafik yang menunjukkan ketergantungan nilai suatu bilangan prima pada bilangan urut. Sebagai rencana penelitian lebih lanjut, saya memutuskan untuk menggunakan artikel oleh I. S. Zeltser dan B. A. Kordemsky “Kawanan bilangan prima yang menarik. angka.” Para penulis mengidentifikasi jalur penelitian berikut:

1. 168 tempat dalam seribu bilangan asli pertama ditempati oleh bilangan prima. Dari jumlah tersebut, 16 bilangan merupakan bilangan palindromik - masing-masing bilangan sama dengan kebalikannya: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Hanya ada 1061 bilangan prima empat digit, dan tidak ada satupun yang palindromik.

Ada banyak bilangan palindrom prima yang terdiri dari lima digit. Ini termasuk keindahan seperti: 13331, 15551, 16661, 19991. Tidak diragukan lagi, ada kawanan jenis ini :,. Tetapi berapa banyak spesimen yang ada di setiap kawanan tersebut?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Terlihat bahwa jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, oleh karena itu bilangan-bilangan itu sendiri juga habis dibagi 3.

Adapun bilangan yang berbentuk bilangan prima diantaranya adalah 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Dalam seribu bilangan pertama terdapat lima “kuartet” yang terdiri dari bilangan-bilangan prima berurutan yang angka-angka terakhirnya membentuk barisan 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Berapa banyak kuartet yang ada di antara bilangan prima n-digit untuk n›3?

Dengan menggunakan program yang saya tulis, ditemukan kuartet yang terlewatkan oleh penulis: (479, 467, 463, 461) dan kuartet untuk n = 4, 5, 6. Untuk n = 4, ada 11 kuartet

3. Kumpulan sembilan bilangan prima: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 menarik bukan hanya karena mewakili barisan aritmatika dengan selisih 210, tetapi juga karena dapat masuk ke dalam sembilan sel sehingga terbentuk persegi ajaib dengan konstanta sama dengan selisih dua bilangan prima: 3119 – 2:

Suku kesepuluh berikutnya dari barisan yang sedang dipertimbangkan, 2089, juga merupakan bilangan prima. Jika Anda menghapus angka 199 dari kawanan, tetapi menyertakan 2089, bahkan dalam komposisi ini kawanan dapat membentuk kotak ajaib - topik yang harus dicari.

Perlu dicatat bahwa ada kotak ajaib lain yang terdiri dari bilangan prima:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Alun-alun yang diusulkan menarik karena

1. Ini adalah kotak ajaib 7x7;

2. Berisi kotak ajaib 5x5;

3. Kotak ajaib 5x5 berisi kotak ajaib 3x3;

4. Semua kotak ini memiliki satu nomor pusat yang sama - 3407;

5. Semua 49 angka yang termasuk dalam persegi 7x7 diakhiri dengan angka 7;

6. Semua 49 bilangan yang termasuk dalam persegi 7x7 adalah bilangan prima;

7. Masing-masing dari 49 angka yang terdapat dalam persegi 7x7 dapat direpresentasikan sebagai 30n + 17.

Program yang digunakan saya tulis dalam bahasa pemrograman Dev-C++ dan teksnya saya sediakan di lampiran (lihat file dengan ekstensi .srr). Selain semua hal di atas, saya menulis sebuah program yang menguraikan bilangan asli berurutan menjadi faktor prima (lihat Pembagi 1. срр) dan sebuah program yang hanya menguraikan bilangan yang dimasukkan menjadi faktor prima (lihat Pembagi 2. срр). Karena program ini memakan terlalu banyak ruang dalam bentuk kompilasi, hanya teksnya saja yang diberikan. Namun, siapapun dapat mengkompilasinya jika mereka memiliki program yang tepat.

BIOGRAFI ILMUWAN YANG TERLIBAT DALAM MASALAH PRIME

EUCLIDE

(c. 330 SM – c. 272 ​​​​SM)

Sangat sedikit informasi terpercaya yang disimpan tentang kehidupan ahli matematika paling terkenal di Zaman Kuno. Diyakini bahwa ia belajar di Athena, yang menjelaskan penguasaan geometrinya yang brilian, yang dikembangkan oleh aliran Plato. Namun rupanya ia belum familiar dengan karya-karya Aristoteles. Dia mengajar di Alexandria, di mana dia mendapat pujian yang tinggi atas kegiatan mengajarnya pada masa pemerintahan Ptolemy I Soter. Ada legenda bahwa raja ini menuntut agar dia menemukan cara untuk mencapai kesuksesan cepat dalam matematika, dan Euclid menjawab bahwa tidak ada cara kerajaan dalam geometri (namun, cerita serupa juga diceritakan tentang Menchem, yang diduga ditanya tentang sama oleh Alexander Agung). Tradisi telah melestarikan ingatan Euclid sebagai orang yang baik hati dan rendah hati. Euclid adalah penulis risalah tentang berbagai topik, tetapi namanya dikaitkan terutama dengan salah satu risalah yang disebut Elemen. Ini tentang kumpulan karya para ahli matematika yang bekerja sebelum dia (yang paling terkenal adalah Hippocrates dari Kos), yang hasilnya dia sempurnakan berkat kemampuannya untuk menggeneralisasi dan kerja keras.

LEONARD EULER

(Basel, Swiss 1707 – St. Petersburg, 1783)

Matematikawan, mekanik dan fisikawan. Lahir dari keluarga pendeta miskin, Paul Euler. Ia menerima pendidikannya pertama kali dari ayahnya, dan pada tahun 1720–24 di Universitas Basel, di mana ia mengikuti kuliah matematika oleh I. Bernoulli.

Pada akhir tahun 1726, Euler diundang ke Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg dan pada Mei 1727 ia tiba di St. Di akademi yang baru diorganisir, Euler menemukan kondisi yang menguntungkan untuk kegiatan ilmiah, yang memungkinkan dia untuk segera mulai mempelajari matematika dan mekanika. Selama 14 tahun periode St. Petersburg pertama dalam hidupnya, Euler menyiapkan sekitar 80 karya untuk diterbitkan dan menerbitkan lebih dari 50 karya. Di St. Petersburg, ia belajar bahasa Rusia.

Euler berpartisipasi dalam banyak bidang kegiatan Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg. Dia mengajar kepada mahasiswa di universitas akademis, berpartisipasi dalam berbagai ujian teknis, bekerja menyusun peta Rusia, dan menulis “Manual Aritmatika” yang tersedia untuk umum (1738–40). Atas instruksi khusus dari Akademi, Euler mempersiapkan publikasi “Nautical Science” (1749), sebuah karya mendasar tentang teori pembuatan kapal dan navigasi.

Pada tahun 1741, Euler menerima tawaran raja Prusia Frederick II untuk pindah ke Berlin, tempat reorganisasi Akademi Ilmu Pengetahuan akan dilakukan. Di Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin, Euler menjabat sebagai direktur kelas matematika dan anggota dewan, dan setelah kematian presiden pertamanya P. Maupertuis, selama beberapa tahun (sejak 1759) ia benar-benar memimpin akademi tersebut. Selama 25 tahun hidupnya di Berlin, ia menyiapkan sekitar 300 karya, termasuk sejumlah monografi besar.

Selama tinggal di Berlin, Euler tidak berhenti bekerja secara intensif di Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg, mempertahankan gelar anggota kehormatannya. Dia melakukan korespondensi ilmiah dan organisasi ilmiah yang ekstensif, khususnya dia berkorespondensi dengan M. Lomonosov, yang sangat dia hargai. Euler mengedit departemen matematika dari badan ilmiah akademik Rusia, di mana selama ini ia menerbitkan artikel yang hampir sama banyaknya dengan "Memoirs" dari Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin. Dia aktif berpartisipasi dalam pelatihan matematikawan Rusia; Akademisi masa depan S. Kotelnikov, S. Rumovsky dan M. Sofronov dikirim ke Berlin untuk belajar di bawah kepemimpinannya. Euler memberikan bantuan besar kepada Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg, membeli literatur ilmiah dan peralatannya, bernegosiasi dengan kandidat untuk posisi di akademi, dll.

17 Juli (28), 1766 Euler dan keluarganya kembali ke St. Meski usianya sudah lanjut dan hampir mengalami kebutaan total, ia tetap bekerja produktif hingga akhir hayatnya. Selama 17 tahun kunjungan keduanya di St. Petersburg, ia menyiapkan sekitar 400 karya, termasuk beberapa buku besar. Euler terus berpartisipasi dalam pekerjaan organisasi akademi. Pada tahun 1776, ia adalah salah satu ahli dalam proyek jembatan lengkung tunggal melintasi Neva, yang diusulkan oleh I. Kulibin, dan dari seluruh komisi, ia adalah satu-satunya yang memberikan dukungan luas untuk proyek tersebut.

Pahala Euler sebagai ilmuwan besar dan penyelenggara penelitian ilmiah sangat diapresiasi semasa hidupnya. Selain akademi St. Petersburg dan Berlin, ia adalah anggota lembaga ilmiah terbesar: Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, Royal Society of London, dan lainnya.

Salah satu aspek yang membedakan karya Euler adalah produktivitasnya yang luar biasa. Selama hidupnya saja, sekitar 550 buku dan artikelnya diterbitkan (daftar karya Euler memuat kurang lebih 850 judul). Pada tahun 1909, Swiss Natural Science Society mulai menerbitkan karya lengkap Euler, yang selesai pada tahun 1975; terdiri dari 72 volume. Korespondensi ilmiah Euler yang sangat besar (sekitar 3.000 surat) juga sangat menarik; sejauh ini hanya diterbitkan sebagian.

Kisaran kegiatan Euler sangat luas, mencakup semua departemen matematika dan mekanika kontemporer, teori elastisitas, fisika matematika, optik, teori musik, teori mesin, balistik, ilmu kelautan, asuransi, dll. Sekitar 3/5 karya Euler berhubungan dengan untuk matematika, 2/5 sisanya terutama untuk penerapannya. Ilmuwan mensistematisasikan hasil-hasilnya dan hasil-hasil yang diperoleh orang lain dalam sejumlah monografi klasik, ditulis dengan kejelasan yang luar biasa dan dilengkapi dengan contoh-contoh yang berharga. Ini misalnya, “Mekanika, atau Ilmu Gerak, Dijelaskan Secara Analitik” (1736), “Pengantar Analisis” (1748), “Kalkulus Diferensial” (1755), “Teori Gerak Benda Kaku” (1765), “Universal Arithmetic” (1768–69), yang diterbitkan sekitar 30 edisi dalam 6 bahasa, “Integral Calculus” (1768–94), dll. , dan sebagian pada abad ke-19. “Surat-surat tentang berbagai masalah fisik dan filosofis yang ditulis untuk seorang putri Jerman tertentu” yang tersedia untuk umum menjadi sangat populer. "(1768–74), yang diterbitkan lebih dari 40 edisi dalam 10 bahasa. Sebagian besar isi monografi Euler kemudian dimasukkan ke dalam buku teks untuk sekolah menengah atas dan sebagian sekolah menengah. Tidak mungkin untuk membuat daftar semua teorema, metode, dan rumus Euler yang masih digunakan, dan hanya sedikit yang muncul dalam literatur dengan namanya [misalnya, metode garis putus-putus Euler, substitusi Euler, konstanta Euler, persamaan Euler, rumus Euler, Fungsi Euler, bilangan Euler, rumus Euler - Maclaurin, rumus Euler–Fourier, karakteristik Euler, integral Euler, sudut Euler].

Dalam Mekanika, Euler pertama kali menguraikan dinamika suatu titik menggunakan analisis matematis: pergerakan bebas suatu titik di bawah pengaruh berbagai gaya baik dalam ruang hampa maupun dalam medium yang mempunyai hambatan; pergerakan suatu titik sepanjang garis atau permukaan tertentu; gerakan di bawah pengaruh kekuatan pusat. Pada tahun 1744, ia pertama kali merumuskan dengan tepat prinsip mekanis tindakan terkecil dan menunjukkan penerapan pertamanya. Dalam “The Theory of Rigid Body Motion,” Euler mengembangkan kinematika dan dinamika benda tegar dan memberikan persamaan rotasinya di sekitar titik tetap, yang meletakkan dasar bagi teori giroskop. Dalam teorinya tentang kapal, Euler memberikan kontribusi yang berharga terhadap teori stabilitas. Penemuan Euler penting dalam mekanika langit (misalnya, dalam teori gerak Bulan), mekanika kontinum (persamaan dasar gerak fluida ideal dalam bentuk Euler dan dalam apa yang disebut variabel Lagrange, osilasi gas dalam pipa , dll.). Dalam bidang optik, Euler memberikan (1747) rumus untuk lensa bikonveks dan mengusulkan metode untuk menghitung indeks bias suatu medium. Euler menganut teori gelombang cahaya. Dia percaya bahwa warna yang berbeda berhubungan dengan panjang gelombang cahaya yang berbeda. Euler mengusulkan cara untuk menghilangkan penyimpangan kromatik lensa dan memberikan metode untuk menghitung komponen optik mikroskop. Euler mengabdikan serangkaian karyanya yang luas, dimulai pada tahun 1748, untuk fisika matematika: masalah getaran tali, pelat, membran, dll. Semua penelitian ini merangsang pengembangan teori persamaan diferensial, metode analisis perkiraan, dan teknik khusus. . fungsi, geometri diferensial, dll. Banyak penemuan matematika Euler terkandung dalam karya-karya ini.

Karya utama Euler sebagai ahli matematika adalah pengembangan analisis matematika. Dia meletakkan dasar-dasar beberapa disiplin matematika, yang hanya dalam bentuk dasar atau sama sekali tidak ada dalam kalkulus yang sangat kecil dari I. Newton, G. Leibniz, dan Bernoulli bersaudara. Jadi, Euler adalah orang pertama yang memperkenalkan fungsi argumen kompleks dan menyelidiki sifat-sifat fungsi dasar dasar variabel kompleks (fungsi eksponensial, logaritma, dan trigonometri); khususnya, ia menurunkan rumus yang menghubungkan fungsi trigonometri dengan fungsi eksponensial. Karya Euler ke arah ini meletakkan dasar bagi teori fungsi variabel kompleks.

Euler adalah pencipta kalkulus variasi, yang dituangkan dalam karyanya “Metode menemukan garis lengkung yang memiliki sifat maksimum atau minimum. "(1744). Metode yang digunakan Euler pada tahun 1744 untuk memperoleh kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsi - persamaan Euler - adalah prototipe metode langsung kalkulus variasi abad ke-20. Euler menciptakan teori persamaan diferensial biasa sebagai disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan meletakkan dasar bagi teori persamaan diferensial parsial. Di sini dia bertanggung jawab atas sejumlah besar penemuan: metode klasik penyelesaian persamaan linier dengan koefisien konstan, metode variasi konstanta sembarang, penjelasan sifat dasar persamaan Riccati, integrasi persamaan linier dengan koefisien variabel menggunakan deret tak hingga , kriteria penyelesaian khusus, doktrin faktor pengintegrasi, berbagai metode perkiraan dan sejumlah teknik penyelesaian persamaan diferensial parsial. Euler mengumpulkan sebagian besar hasil ini dalam “Kalkulus Integral” miliknya.

Euler juga memperkaya kalkulus diferensial dan integral dalam arti sempit (misalnya doktrin perubahan variabel, teorema fungsi homogen, konsep integral rangkap dan perhitungan banyak integral khusus). Dalam “Kalkulus Diferensial,” Euler mengungkapkan dan mendukung dengan contoh keyakinannya akan kelayakan menggunakan deret divergen dan metode yang diusulkan untuk penjumlahan deret yang digeneralisasi, mengantisipasi ide-ide teori deret divergen modern yang ketat, yang diciptakan pada pergantian abad ke-19 dan ke-19. abad ke-20. Selain itu, Euler memperoleh banyak hasil konkrit dalam teori deret. Dia menemukan apa yang disebut. rumus penjumlahan Euler–Maclaurin, mengusulkan transformasi deret yang menyandang namanya, menentukan jumlah deret dalam jumlah besar, dan memperkenalkan jenis deret baru yang penting ke dalam matematika (misalnya deret trigonometri). Hal ini juga mencakup penelitian Euler tentang teori pecahan lanjutan dan proses tak hingga lainnya.

Euler adalah pendiri teori fungsi khusus. Dia adalah orang pertama yang menganggap sinus dan kosinus sebagai fungsi, dan bukan sebagai segmen dalam lingkaran. Dia memperoleh hampir semua perluasan klasik fungsi dasar menjadi deret dan hasil kali tak hingga. Karya-karyanya menciptakan teori fungsi γ. Ia mempelajari sifat-sifat integral elips, fungsi hiperbolik dan silinder, fungsi ζ, beberapa fungsi θ, logaritma integral, dan kelas penting polinomial khusus.

Menurut P. Chebyshev, Euler meletakkan dasar bagi semua penelitian yang membentuk bagian umum teori bilangan. Dengan demikian, Euler membuktikan sejumlah pernyataan yang dibuat oleh P. Fermat (misalnya teorema kecil Fermat), mengembangkan landasan teori sisa daya dan teori bentuk kuadrat, menemukan (tetapi tidak membuktikan) hukum timbal balik kuadrat, dan mempelajari sejumlah masalah dalam analisis Diophantine. Dalam karyanya tentang pembagian bilangan menjadi suku-suku dan teori bilangan prima, Euler adalah orang pertama yang menggunakan metode analisis, sehingga menjadi pencipta teori bilangan analitik. Secara khusus, ia memperkenalkan fungsi ζ dan membuktikan apa yang disebut. Identitas Euler yang menghubungkan bilangan prima dengan semua bilangan asli.

Euler juga menorehkan prestasi besar di bidang matematika lainnya. Dalam aljabar, ia menulis karya tentang penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi dalam radikal dan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, serta apa yang disebut. Identitas empat persegi Euler. Euler secara signifikan memajukan geometri analitik, khususnya doktrin permukaan orde kedua. Dalam geometri diferensial, ia mempelajari secara rinci sifat-sifat garis geodesik, merupakan orang pertama yang menerapkan persamaan kurva alami, dan yang terpenting, meletakkan dasar bagi teori permukaan. Dia memperkenalkan konsep arah utama pada suatu titik pada suatu permukaan, membuktikan ortogonalitasnya, memperoleh rumus untuk kelengkungan setiap bagian normal, memulai studi tentang permukaan yang dapat dikembangkan, dll.; dalam salah satu karya yang diterbitkan secara anumerta (1862), ia sebagian mengantisipasi penelitian K. Gauss tentang geometri internal permukaan. Euler juga menangani pertanyaan-pertanyaan tertentu tentang topologi dan membuktikan, misalnya, teorema penting tentang polihedra cembung. Euler sang ahli matematika sering digambarkan sebagai “kalkulator” yang brilian. Memang, dia adalah ahli perhitungan dan transformasi formal yang tak tertandingi; dalam karyanya, banyak rumus matematika dan simbolisme mendapat tampilan modern (misalnya, dia memiliki notasi untuk e dan π). Namun, Euler juga memperkenalkan sejumlah gagasan mendalam ke dalam sains, yang kini dibuktikan secara ketat dan menjadi contoh kedalaman penetrasi ke dalam subjek penelitian.

Menurut P. Laplace, Euler adalah guru matematikawan pada paruh kedua abad ke-18.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, sekarang Jerman, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Ia belajar di Paris dan memelihara hubungan persahabatan dengan ahli matematika terkemuka, khususnya dengan Fourier. Setelah menerima gelar akademisnya, dia menjadi profesor di universitas Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) dan Göttingen, di mana dia menjadi kepala departemen matematika setelah kematian ilmuwan Carl Friedrich Gauss. Kontribusinya yang paling menonjol terhadap sains berkaitan dengan teori bilangan, terutama studi tentang deret. Hal ini memungkinkan dia untuk mengembangkan teori deret yang dikemukakan oleh Fourier. Membuat bukti teorema Fermat versinya sendiri, menggunakan fungsi analitik untuk menyelesaikan masalah aritmatika, dan memperkenalkan kriteria konvergensi untuk deret. Di bidang analisis matematis, ia menyempurnakan definisi dan konsep suatu fungsi; di bidang mekanika teoretis, ia fokus pada studi tentang stabilitas sistem dan konsep potensial Newton.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Matematikawan Rusia, pendiri sekolah ilmiah St. Petersburg, akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg (1856). Karya Chebyshev meletakkan dasar bagi pengembangan banyak cabang baru matematika.

Karya Chebyshev yang paling banyak terdapat di bidang analisis matematis. Secara khusus, disertasi tentang hak untuk memberikan kuliah dikhususkan untuknya, di mana Chebyshev menyelidiki keterpaduan ekspresi irasional tertentu dalam fungsi aljabar dan logaritma. Chebyshev juga mengabdikan sejumlah karyanya pada integrasi fungsi aljabar. Dalam salah satunya (1853), diperoleh teorema terkenal tentang kondisi keterintegrasian dalam fungsi dasar binomial diferensial. Bidang penelitian penting dalam analisis matematika terdiri dari karyanya tentang konstruksi teori umum polinomial ortogonal. Alasan penciptaannya adalah interpolasi parabola menggunakan metode kuadrat terkecil. Penelitian Chebyshev tentang masalah momen dan rumus kuadratur berdekatan dengan lingkaran gagasan yang sama. Untuk mereduksi perhitungan, Chebyshev mengusulkan (1873) untuk mempertimbangkan rumus kuadratur dengan koefisien yang sama (perkiraan integrasi). Penelitian rumus kuadratur dan teori interpolasi berkaitan erat dengan tugas yang diberikan kepada Chebyshev di departemen artileri komite ilmiah militer.

Dalam teori probabilitas, Chebyshev dikreditkan dengan secara sistematis memasukkan variabel acak ke dalam pertimbangan dan menciptakan teknik baru untuk membuktikan teorema limit dalam teori probabilitas - yang disebut. metode momen (1845, 1846, 1867, 1887). Ia membuktikan hukum bilangan besar dalam bentuk yang sangat umum; Terlebih lagi, buktinya sangat mencolok dalam kesederhanaan dan kedasarannya. Chebyshev tidak menyelesaikan studi tentang kondisi konvergensi fungsi distribusi jumlah variabel acak independen ke hukum normal. Namun, melalui beberapa tambahan pada metode Chebyshev, A. A. Markov berhasil melakukan hal ini. Tanpa kesimpulan yang tegas, Chebyshev juga menguraikan kemungkinan untuk memperjelas teorema limit ini dalam bentuk perluasan asimtotik dari fungsi distribusi jumlah suku-suku bebas dalam pangkat n21/2, di mana n adalah banyaknya suku. Karya Chebyshev tentang teori probabilitas merupakan tahapan penting dalam perkembangannya; selain itu, mereka adalah dasar berkembangnya aliran teori probabilitas Rusia, yang awalnya terdiri dari siswa langsung Chebyshev.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selaska, dekat Intra, Italia 66)

matematikawan Jerman. Pada tahun 1846 ia masuk Universitas Göttingen: ia mendengarkan ceramah K. Gauss, yang sebagian besar idenya kemudian dikembangkan olehnya. Pada tahun 1847–1849 dia menghadiri kuliah di Universitas Berlin; pada tahun 1849 ia kembali ke Göttingen, di mana ia menjadi dekat dengan kolaborator Gauss, fisikawan W. Weber, yang membangkitkan minatnya yang mendalam pada pertanyaan-pertanyaan ilmu matematika.

Pada tahun 1851 ia mempertahankan disertasi doktoralnya “Dasar-dasar teori umum fungsi satu variabel kompleks.” Sejak tahun 1854, privatdozent, sejak tahun 1857, profesor di Universiti Göttingen.

Karya-karya Riemann mempunyai pengaruh yang besar terhadap perkembangan matematika pada paruh kedua abad ke-19. dan pada abad ke-20. Dalam disertasi doktoralnya, Riemann meletakkan dasar bagi arah geometri teori fungsi analitik; ia memperkenalkan apa yang disebut permukaan Riemann, yang penting dalam studi fungsi multi-nilai, mengembangkan teori pemetaan konformal dan dalam hal ini memberikan ide-ide dasar topologi, mempelajari kondisi keberadaan fungsi analitik di dalam domain berbagai jenis (yang disebut prinsip Dirichlet), dll. Metode yang dikembangkan oleh Riemann banyak digunakan dalam karya selanjutnya tentang teori fungsi aljabar dan integral, pada teori analitik persamaan diferensial (khususnya, persamaan yang mendefinisikan fungsi hipergeometri), pada teori bilangan analitik (misalnya, Riemann menunjukkan hubungan antara distribusi bilangan prima dan sifat-sifat fungsi, khususnya, dengan distribusi angka nol di wilayah kompleks - yang disebut hipotesis Riemann, the yang keabsahannya belum terbukti), dsb.

Dalam sejumlah karyanya, Riemann menyelidiki penguraian fungsi menjadi deret trigonometri dan, dalam hal ini, menentukan kondisi perlu dan cukup untuk keterintegrasian dalam pengertian Riemann, yang penting untuk teori himpunan dan fungsi variabel nyata. Riemann juga mengusulkan metode untuk mengintegrasikan persamaan diferensial parsial (misalnya, menggunakan apa yang disebut invarian Riemann dan fungsi Riemann).

Dalam kuliahnya yang terkenal pada tahun 1854 “Tentang Hipotesis Yang Mendasari Geometri” (1867), Riemann memberikan gambaran umum tentang ruang matematika (dalam kata-katanya, “manifold”), termasuk ruang fungsional dan topologi. Di sini ia menganggap geometri dalam arti luas sebagai studi tentang lipatan n-dimensi kontinu, yaitu kumpulan objek homogen apa pun dan, dengan menggeneralisasi hasil Gauss pada geometri internal suatu permukaan, ia memberikan konsep umum elemen linier (diferensial jarak antar titik suatu manifold), sehingga mendefinisikan apa yang disebut ruang Finsler. Riemann meneliti secara lebih rinci apa yang disebut ruang Riemannian, menggeneralisasi ruang geometri elips Euclidean, Lobachevsky dan Riemannian, yang dicirikan oleh jenis elemen linier khusus, dan mengembangkan doktrin kelengkungannya. Membahas penerapan gagasannya pada ruang fisik, Riemann mengajukan pertanyaan tentang “penyebab sifat metrik” ruang fisik, seolah mengantisipasi apa yang dilakukan dalam teori relativitas umum.

Ide dan metode yang dikemukakan oleh Riemann membuka jalur baru dalam perkembangan matematika dan diterapkan dalam mekanika dan teori relativitas umum. Ilmuwan tersebut meninggal pada tahun 1866 karena TBC.

Definisi 1. Bilangan prima− adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1.

Dengan kata lain, suatu bilangan dikatakan prima jika hanya mempunyai dua faktor alam yang berbeda.

Definisi 2. Setiap bilangan asli yang mempunyai pembagi lain selain bilangan itu sendiri dan bilangan satu disebut sebuah bilangan komposit.

Dengan kata lain, bilangan asli yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Dari Definisi 1 dapat disimpulkan bahwa suatu bilangan komposit mempunyai lebih dari dua faktor alam. Bilangan 1 bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit karena hanya memiliki satu pembagi 1 dan, sebagai tambahan, banyak teorema mengenai bilangan prima tidak berlaku untuk kesatuan.

Dari Definisi 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau bilangan komposit.

Di bawah ini adalah program untuk menampilkan bilangan prima hingga 5000. Isi sel, klik tombol "Buat" dan tunggu beberapa detik.

Tabel bilangan prima

Penyataan 1. Jika P- bilangan prima dan A bilangan bulat apa pun, lalu salah satunya A dibagi dengan P, atau P Dan A bilangan koprima.

Benar-benar. Jika P Suatu bilangan prima hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1 jika A tidak habis dibagi P, maka pembagi persekutuan terbesar A Dan P sama dengan 1. Lalu P Dan A bilangan koprima.

Penyataan 2. Jika hasil kali beberapa bilangan adalah bilangan A 1 , A 2 , A 3, ... habis dibagi bilangan prima P, maka setidaknya salah satu angkanya A 1 , A 2 , A 3, ... habis dibagi P.

Benar-benar. Jika tidak ada satupun bilangan yang habis dibagi P, lalu angkanya A 1 , A 2 , A 3, ... akan menjadi bilangan koprima terhadap P. Tapi dari Akibat wajar 3 () berikut ini produk mereka A 1 , A 2 , A 3, ... juga relatif prima terhadap P, yang bertentangan dengan ketentuan pernyataan. Oleh karena itu, paling sedikit salah satu bilangan tersebut habis dibagi P.

Dalil 1. Bilangan komposit apa pun selalu dapat direpresentasikan, dan dengan cara yang unik, sebagai hasil kali sejumlah bilangan prima yang berhingga.

Bukti. Membiarkan k bilangan komposit, dan biarkan A 1 adalah salah satu pembaginya yang berbeda dari 1 dan dirinya sendiri. Jika A 1 adalah komposit, kemudian memiliki tambahan 1 dan A 1 dan pembagi lainnya A 2. Jika A 2 adalah bilangan komposit, maka ia mempunyai tambahan 1 dan A 2 dan pembagi lainnya A 3. Bernalar dengan cara ini dan memperhitungkan angka-angka itu A 1 , A 2 , A 3 , ... berkurang dan deret ini berisi sejumlah suku berhingga, kita akan mencapai suatu bilangan prima P 1. Kemudian k dapat direpresentasikan dalam bentuk

Misalkan ada dua penguraian suatu bilangan k:

Karena k=p 1 P 2 P 3 ...habis dibagi bilangan prima Q 1, maka paling sedikit salah satu faktornya, misalnya P 1 habis dibagi Q 1. Tetapi P 1 adalah bilangan prima dan hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Karena itu P 1 =Q 1 (karena Q 1 ≠1)

Kemudian dari (2) kita dapat mengecualikan P 1 dan Q 1:

Jadi, kita yakin bahwa setiap bilangan prima yang muncul sebagai faktor pada pemuaian pertama satu kali atau lebih juga muncul pada pemuaian kedua paling sedikit sebanyak kali, dan sebaliknya, bilangan prima apa pun yang muncul sebagai faktor pada pemuaian kedua satu kali atau lebih juga muncul dalam perluasan pertama setidaknya dalam jumlah yang sama. Oleh karena itu, bilangan prima apa pun muncul sebagai faktor dalam kedua pemuaian dengan jumlah yang sama dan, dengan demikian, kedua pemuaian tersebut adalah sama.■

Perluasan bilangan komposit k dapat ditulis dalam bentuk berikut

Di mana P 1 , P 2, ... berbagai bilangan prima, α, β, γ ... bilangan bulat positif.

Ekspansi (3) disebut perluasan kanonik angka.

Bilangan prima muncul secara tidak merata dalam rangkaian bilangan asli. Di beberapa bagian baris jumlahnya lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Semakin jauh kita menelusuri deret bilangan, semakin jarang bilangan prima tersebut. Timbul pertanyaan, apakah ada bilangan prima terbesar? Matematikawan Yunani kuno Euclid membuktikan bahwa bilangan prima ada tak terhingga banyaknya. Buktinya kami sajikan di bawah ini.

Dalil 2. Jumlah bilangan prima tidak terbatas.

Bukti. Misalkan ada sejumlah bilangan prima yang berhingga, dan biarkan bilangan prima terbesar menjadi P. Mari kita anggap semua angka lebih besar P. Berdasarkan asumsi pernyataan tersebut, bilangan-bilangan tersebut harus komposit dan harus habis dibagi oleh paling sedikit salah satu bilangan prima. Mari kita pilih bilangan yang merupakan hasil kali semua bilangan prima berikut ditambah 1:

Nomor z lagi P Karena 2p sudah lebih P. P tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima tersebut, karena bila dibagi masing-masing memberikan sisa 1. Jadi kita sampai pada kontradiksi. Oleh karena itu, jumlah bilangan prima tidak terhingga.

Teorema ini merupakan kasus khusus dari teorema yang lebih umum:

Dalil 3. Biarkan perkembangan aritmatika diberikan

Maka bilangan prima apa pun yang termasuk di dalamnya N, harus disertakan dalam M, oleh karena itu di N faktor prima lain yang tidak termasuk dalam M dan, terlebih lagi, faktor-faktor prima ini N disertakan tidak lebih dari pada M.

Hal sebaliknya juga terjadi. Jika setiap faktor prima suatu bilangan N disertakan setidaknya berkali-kali dalam nomor tersebut M, Itu M dibagi dengan N.

Penyataan 3. Membiarkan A 1 ,A 2 ,A 3,...berbagai bilangan prima yang termasuk di dalamnya M Jadi

Di mana Saya=0,1,...α , J=0,1,...,β ,k=0,1,..., γ . Perhatikan itu saya menerima α nilai +1, β j menerima β nilai +1, γ k menerima γ nilai +1, ... .

Pada artikel ini kita akan menjelajah bilangan prima dan komposit. Pertama, kami akan memberikan pengertian bilangan prima dan bilangan komposit, serta memberikan contohnya. Setelah ini kita akan membuktikan bahwa bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga. Selanjutnya, kita akan menuliskan tabel bilangan prima, dan mempertimbangkan metode untuk menyusun tabel bilangan prima, dengan memberikan perhatian khusus pada metode yang disebut saringan Eratosthenes. Sebagai kesimpulan, kami akan menyoroti poin-poin utama yang perlu diperhatikan ketika membuktikan bahwa suatu bilangan adalah bilangan prima atau komposit.

Navigasi halaman.

Bilangan Prima dan Komposit – Pengertian dan Contohnya

Konsep bilangan prima dan bilangan komposit mengacu pada bilangan yang lebih besar dari satu. Bilangan bulat tersebut, bergantung pada jumlah pembagi positifnya, dibagi menjadi bilangan prima dan bilangan komposit. Jadi untuk memahami definisi bilangan prima dan komposit, Anda perlu memahami dengan baik apa itu pembagi dan kelipatan.

Definisi.

Bilangan prima adalah bilangan bulat, satuan besar, yang hanya mempunyai dua pembagi positif, yaitu dirinya sendiri dan 1.

Definisi.

Bilangan komposit adalah bilangan bulat, bilangan besar, yang mempunyai paling sedikit tiga pembagi positif.

Secara terpisah, kami mencatat bahwa angka 1 tidak berlaku untuk bilangan prima atau komposit. Satuan hanya mempunyai satu pembagi positif, yaitu angka 1 itu sendiri. Hal ini membedakan angka 1 dari semua bilangan bulat positif lainnya yang memiliki setidaknya dua pembagi positif.

Mengingat bilangan bulat positif adalah , dan bilangan bulat positif hanya mempunyai satu pembagi positif, maka kita dapat memberikan rumusan lain dari definisi bilangan prima dan bilangan komposit.

Definisi.

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai dua pembagi positif.

Definisi.

Bilangan komposit adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua pembagi positif.

Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu adalah bilangan prima atau bilangan komposit. Dengan kata lain, tidak ada satu pun bilangan bulat yang bukan bilangan prima maupun komposit. Hal ini mengikuti sifat habis dibagi, yang menyatakan bahwa bilangan 1 dan a selalu merupakan pembagi bilangan bulat a.

Berdasarkan keterangan pada paragraf sebelumnya, berikut dapat kami berikan pengertian bilangan komposit.

Definisi.

Bilangan asli yang bukan bilangan prima disebut gabungan.

Mari kita memberi contoh bilangan prima dan komposit.

Contoh bilangan komposit antara lain 6, 63, 121, dan 6.697. Pernyataan ini juga perlu diklarifikasi. Bilangan 6 selain pembagi positif 1 dan 6 juga mempunyai pembagi 2 dan 3, karena 6 = 2 3 maka 6 benar-benar bilangan komposit. Faktor positif dari 63 adalah angka 1, 3, 7, 9, 21 dan 63. Bilangan 121 sama dengan hasil kali 11·11, jadi pembagi positifnya adalah 1, 11, dan 121. Dan bilangan 6.697 adalah bilangan komposit, karena pembagi positifnya selain 1 dan 6.697 juga merupakan bilangan 37 dan 181.

Sebagai penutup poin ini, saya juga ingin menarik perhatian pada fakta bahwa bilangan prima dan bilangan koprima bukanlah hal yang sama.

Tabel bilangan prima

Bilangan prima, untuk memudahkan penggunaan selanjutnya, dicatat dalam suatu tabel yang disebut tabel bilangan prima. Dibawah ini adalah tabel bilangan prima hingga 1.000.

Timbul pertanyaan logis: “Mengapa kita mengisi tabel bilangan prima hanya sampai 1.000, apakah tidak mungkin membuat tabel semua bilangan prima yang ada”?

Mari kita jawab bagian pertama dari pertanyaan ini terlebih dahulu. Untuk sebagian besar soal yang memerlukan penggunaan bilangan prima, bilangan prima dalam seribu saja sudah cukup. Dalam kasus lain, kemungkinan besar, Anda harus menggunakan beberapa solusi khusus. Meskipun kita tentu saja dapat membuat tabel bilangan prima hingga bilangan bulat positif berhingga yang besarnya sembarang, baik itu 10.000 atau 1.000.000.000, pada paragraf berikutnya kita akan membahas tentang metode membuat tabel bilangan prima, khususnya kita akan melihat metode ditelepon.

Sekarang mari kita lihat kemungkinan (atau lebih tepatnya, ketidakmungkinan) menyusun tabel semua bilangan prima yang ada. Kita tidak dapat membuat tabel semua bilangan prima karena jumlah bilangan prima tidak terhingga banyaknya. Pernyataan terakhir merupakan teorema yang akan kita buktikan setelah teorema bantu berikut.

Dalil.

Pembagi positif terkecil selain 1 dari suatu bilangan asli yang lebih besar dari satu disebut bilangan prima.

Bukti.

Membiarkan a adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, dan b adalah pembagi positif terkecil dari a yang berbeda dengan satu. Mari kita buktikan bahwa b adalah bilangan prima dengan kontradiksi.

Misalkan b adalah bilangan komposit. Lalu ada pembagi dari bilangan b (sebut saja b 1), yang berbeda dari 1 dan b. Jika kita juga memperhitungkan bahwa nilai mutlak pembagi tidak melebihi nilai mutlak pembagian (kita mengetahuinya dari sifat-sifat pembagian), maka syarat 1 harus dipenuhi.

Karena bilangan a habis dibagi b sesuai dengan syarat, dan kita katakan bahwa b habis dibagi b 1, konsep habis dibagi memungkinkan kita berbicara tentang keberadaan bilangan bulat q dan q 1 sedemikian rupa sehingga a=b q dan b=b 1 q 1 , dari mana a= b 1 ·(q 1 ·q) . Oleh karena itu hasil kali dua bilangan bulat adalah bilangan bulat, maka persamaan a=b 1 ·(q 1 ·q) menunjukkan bahwa b 1 adalah pembagi bilangan a. Mempertimbangkan ketidaksetaraan di atas 1

Sekarang kita dapat membuktikan bahwa bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga.