Penerapan aritmatika dari teori perbandingan. Tugas mengubah hasil operasi aritmatika tergantung pada perubahan komponennya

Halaman 2

Berdasarkan nilai transfer tersebut, dilakukan juga analisis terhadap overflow (p 27 - 1) atau hilangnya (p 3 0) order akibat operasi aritmatika. Benar, dalam model mesin yang berbeda, analisis ini diimplementasikan dengan cara yang berbeda, yang terutama disebabkan oleh pertimbangan rasionalitas pembuatan sirkuit tertentu.  

Hal ini disengaja karena lebih mudah untuk bekerja secara langsung dengan nilai yang disimpan dalam database dibandingkan dengan data yang dihasilkan dari operasi aritmatika pada nilai tersebut. Versi sistem INGRES yang lebih baru memperbolehkan ekspresi arbitrer, namun kami akan tetap berpegang pada batasan ini karena lebih dekat dengan kalkulus relasional Codd.  

Dalam aljabar (lebih tepatnya, dalam aritmatika), konsep limit muncul ketika melakukan operasi aritmatika pada bilangan irasional, yang hasilnya sebenarnya adalah limit barisan yang terdiri dari hasil operasi aritmatika yang bersesuaian pada perkiraan desimal dari bilangan irasional yang diberikan. Konsep limit juga terdapat ketika menentukan jumlah tak terhingga suku-suku suatu barisan geometri menurun, serta ketika menentukan fungsi eksponensial ax, dan O, x adalah bilangan real. Pertama, pangkat a ditentukan dengan eksponen rasional r, dan kemudian dikatakan bahwa nilai yang dihasilkan berlaku secara kontinuitas pada semua bilangan real. Ketika mempelajari lebih lanjut kursus matematika sekolah, definisi intuitif ini, sebagai suatu peraturan, tidak lagi dikembalikan.  

Operasi yang diperkenalkan di atas pada elemen ruang barang masuk akal untuk dimensi ruang apa pun; ini memungkinkan kita untuk menggunakan suku-suku geometri yang bersesuaian (terjemahan, homothety), memahaminya sebagai hasil operasi aritmatika yang bersesuaian.  

Pada tabel ini, salah satu suku ditulis pada baris paling atas, dan suku lainnya ditulis pada kolom pertama. Hasil operasi aritmatika dalam suatu tabel terdapat pada perpotongan baris dan kolom yang bersangkutan.  

Tanpa mencoba untuk segera menjawab pertanyaan ini, kita masih dapat mengenali situasi alamiah dimana, dalam kaitannya dengan harapan dan tujuan tertentu, aktivitas manajemen perusahaan selalu kurang lebih berhasil. Sebagai hasil dari operasi aritmatika penjumlahan, yang tidak selalu memperhitungkan semua sisi genap, diperoleh perkiraan rata-rata tertentu.  

Pada paragraf sebelumnya telah disebutkan bahwa hasil operasi aritmatika mengandung kesalahan pembulatan. Besarnya kesalahan ini harus diperhitungkan ketika menganalisis hasil operasi aritmatika lebih lanjut yang dilakukan pada komputer. Sebelum menelusuri penyebaran kesalahan komputasi, mari kita perhatikan kesalahan absolut dan relatif dari masing-masing empat operasi aritmatika.  

Yang pertama disebut hukum monotonisitas penjumlahan, dan yang kedua disebut hukum monotonisitas hasil kali. Sifat-sifat pertidaksamaan numerik yang dipertimbangkan merupakan ekspresi dari hukum monotonisitas hasil operasi aritmatika untuk himpunan bilangan real. Jadi, sifat kedua dan keempat menyatakan hukum monotonisitas suatu jumlah, sifat ketiga dan keenam - hukum monotonisitas suatu produk, sifat ketujuh - hukum monotonisitas suatu derajat, dan sifat kedelapan - hukum monotonisitas akar aritmatika.  

Indikator register ini membentuk garis 13 lampu, yang sesuai dengan kode 13-bit tunggal selama operasi pergeseran siklik dan interaksi register ini selama luapan HP (SM) sebagai akibat dari operasi aritmatika. Dengan menggunakan penambah, semua operasi aritmatika dan logika dalam mesin dilakukan, serta interaksi dengan register buffer perangkat eksternal dan dengan register kunci selama operasi otomatis.  

Pencarian langsung untuk batas dalam banyak kasus adalah operasi yang sangat rumit dan sulit. Tetapi jika Anda mengetahui - sekali dan untuk selamanya - turunan dari semua fungsi dasar dasar (sejauh ini kita hanya mengetahui turunan dari fungsi pangkat y x), serta aturan-aturan yang digunakan untuk membedakan fungsi kompleks, dan hasil aritmatika operasi, maka Anda dapat menemukan turunan dari fungsi dasar apa pun tanpa menyelesaikan batas yang ditentukan setiap kali.  

Pencarian langsung terhadap batas dalam banyak kasus adalah tindakan yang sangat rumit dan melelahkan. Tetapi jika Anda mengetahui - sekali dan untuk selamanya - turunan dari semua fungsi dasar dasar (sejauh ini kita hanya mengetahui turunan dari fungsi pangkat y - x), serta aturan yang digunakan untuk membedakan fungsi kompleks, dan hasilnya operasi aritmatika, maka Anda dapat mencari turunan dari fungsi dasar apa pun, tanpa harus selalu melewati batas yang ditentukan.  

Kebanyakan komputer modern memiliki bilangan bulat 2 atau 4 byte. Beberapa mesin baru memiliki bilangan bulat 8-byte. Karena hasil aritmatika penunjuk bergantung pada ukuran objek yang ditunjuk oleh penunjuk, aritmatika penunjuk tidak bergantung pada mesin.  

Kebanyakan komputer modern memiliki bilangan bulat 2 atau 4 byte. Beberapa mesin baru memiliki bilangan bulat 8-byte. Karena hasil aritmatika penunjuk bergantung pada ukuran objek yang ditunjuk oleh penunjuk, maka aritmatika penunjuk bergantung pada mesin.  

Soal-soal metodologi mempelajari operasi aritmatika akan kita bagi menjadi dua bagian. Pada bagian ini, kita akan melihat bagaimana membentuk gagasan siswa tentang penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, konsep operasi aritmatika, sifat-sifatnya, dan pada bagian selanjutnya bab ini, bagaimana mengembangkan keterampilan komputasi.

7.3.1. Tujuan dan hasil mempelajari operasi aritmatika. Operasi aritmatika adalah konsep kunci dalam teori bilangan dan karakteristik terpenting dari himpunan bilangan. Kajian mereka merupakan bagian integral dari pembentukan konsep bilangan dan keterampilan komputasi. Dalam matematika, generalisasi operasi aritmatika mengarah pada konsep operasi, dan kemudian pada konsep-konsep seperti struktur matematika, grup, ring, bidang, yang memainkan peran besar dalam matematika modern dan penerapannya dalam berbagai bidang kehidupan. Mempelajari operasi aritmatika memungkinkan anak-anak secara intuitif berhubungan dengan banyak ide matematika, khususnya dengan ide fungsionalitas, struktur matematika, pemodelan matematika, dan prinsip dualitas. Operasi aritmatika memiliki potensi yang kaya untuk pengembangan pemikiran, ucapan, pembentukan dan pengembangan tindakan pendidikan universal.

Operasi aritmatika dalam bentuk notasi modern berguna untuk mengamati dan menemukan pola serta membangun barisan numerik. Mereka memungkinkan penemuan metode untuk melakukan tindakan dan algoritma yang sesuai, metode untuk mengubah ekspresi numerik, dan oleh karena itu dapat berfungsi sebagai sarana untuk mengembangkan pemikiran mandiri dan kemampuan kreatif. Tugas mengajarkan perhitungan tidak kehilangan arti pentingnya, meskipun peran keterampilan komputasi kini telah berubah. Tujuan mempelajari operasi aritmatika dan syarat hasil belajarnya juga mengalami perubahan.

Tujuan pembelajaran operasi aritmatika anak sekolah yang lebih muda - pengembangan pribadi dan intelektual, pengembangan gagasan tentang bilangan dan operasi aritmatika, pembentukan keterampilan komputasi, pengenalan propaedeutik dengan ide-ide kunci matematika, pencapaian hasil yang direncanakan.

Hasil pribadi dan meta-mata pelajaran dijamin oleh a) sifat presentasi operasi aritmatika oleh siswa, termasuk pertimbangan tidak hanya aspek kemanusiaan yang bersifat substantif, tetapi juga interdisipliner; b) peningkatan perhatian pada makna operasi aritmatika, pada hubungan logis dan kesimpulan, pada penggunaan operasi aritmatika untuk menggambarkan dunia di sekitar kita; c) inklusi dalam proses mempelajari pengalaman numerik subyektif anak-anak yang ada dan muncul, pengalaman kognisi.

Hasil pribadi mempelajari operasi aritmatika – sikap yang terbentuk terhadap dunia, manusia, diri sendiri, pembelajaran, angka, dan operasi aritmatika. Hasil meta-subjek yang berkaitan dengan operasi aritmatika adalah kemampuan menggunakannya sebagai model tindakan objektif dan sarana memperoleh informasi baru dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari, inilah kemampuan menggunakan gambar, diagram, tabel sebagai sarana memahami makna dan sifat. operasi aritmatika; pengetahuan tentang metode aritmatika umum untuk memecahkan masalah; situasi pemodelan menggunakan operasi aritmatika. Hasil meta mata pelajaran mempelajari operasi aritmatika juga mencakup UUD yang terbentuk selama pembelajaran suatu materi pendidikan.

Hasil subjek- inilah yang akan diketahui setiap siswa tentang operasi aritmatika sebagai objek matematika, apa yang akan mereka pelajari dan mempunyai kesempatan untuk belajar dan belajar. Tanggung jawab guru adalah memastikan bahwa semua siswa, setelah lulus dari sekolah dasar, mencapai hasil yang direncanakan dalam mempelajari operasi aritmatika sesuai dengan persyaratan Standar Pendidikan Negara Federal NEO. Versi hasil mata pelajaran yang direncanakan disajikan di bawah ini.

Hasil mempelajari operasi aritmatika, lulusan sekolah dasar akan belajar: menggunakan operasi aritmatika untuk mendeskripsikan dan menjelaskan objek di sekitarnya, proses, fenomena, hubungan kuantitatif dan spasialnya, untuk memecahkan masalah kata (dalam 2 - 3 tindakan);

melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian lisan atas bilangan satu angka, dua angka, dan tiga angka dalam kasus yang dapat direduksi menjadi operasi dalam 100 (termasuk dengan nol dan angka 1); melakukan operasi aritmatika dengan bilangan multi-digit menggunakan algoritma perhitungan tertulis (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan satu digit, bilangan dua digit dalam 10.000), menggunakan kalkulator untuk memeriksa keakuratan perhitungan lisan dan tertulis; mengisolasi komponen operasi aritmatika yang tidak diketahui dan menemukan nilainya; menghitung nilai ekspresi numerik yang berisi 2-3 operasi aritmatika, dengan dan tanpa tanda kurung. Lulus akan mendapat kesempatan untuk belajar

: menggunakan sifat-sifat operasi aritmatika untuk menyederhanakan dan merasionalisasi perhitungan; melakukan tindakan dengan nilai nilai; memeriksa kebenaran perhitungan, termasuk kalkulator (menggunakan tindakan sebaliknya, memperkirakan dan mengevaluasi hasil tindakan).

Setelah merumuskan hasil yang direncanakan, perlu ditetapkan alat diagnostik dan bahan diagnostik yang memungkinkan untuk mengetahui sejauh mana lulusan sekolah dasar telah mencapai hasil yang direncanakan. Di bawah ini adalah salah satu opsi tugas untuk penilaian akhir mata pelajaran dan hasil meta-mata pelajaran. A..

1. Bagian model dinding rumah terbuat dari 5 balok kayu identik berbentuk paralelepiped. (Ukuran balok adalah 10 cm × 2 cm × 2 cm. Batang-batang tersebut ditumpuk di atas meja.) Dengan menggunakan pengukuran panjang sisi-sisinya dan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, cirikan bagian ini dari tembok dengan menjawab pertanyaan: 1.1. Berapa panjang, tebal, tinggi bagian dinding tersebut? 1.2. Berapa luas permukaan bagian dalam tembok tersebut? 1.3. Bandingkan panjang sisi-sisi balok dengan menggunakan pertanyaan “Apakah sama atau tidak sama?”, “Berapa sentimeter lebih banyak (lebih kecil)?”, “Berapa kali lebih banyak (lebih kecil)?”

2. 4560 kg menir beras dalam karung masing-masing 80 kg dan 64 karung soba dibawa ke gudang. Berapa kantong sereal yang dibawa ke gudang?

3. Temukan arti dari ungkapan: (360 – 24 ∙ 5) : 40; 450:50; 78:4; 73+89; 0 ∙ 256; (36:9 – 3) ∙ 17;

32 ∙ (1462 + 748) : (7846 – 7781) DI DALAM..

Peningkatan level

1. Bagian dinding model rumah terbuat dari 5 balok kayu identik berbentuk paralelepiped. (Ukuran batang adalah 10 cm × 2 cm × 2 cm. Batang tersebut ditumpuk di atas meja.)

Dengan mengukur panjang sisi dan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, ciri-ciri bagian dinding ini dengan menjawab pertanyaan: 1.1. Berapa panjang, lebar dan tebal bagian dinding tersebut? 1.2. Berapakah luas permukaan bagian dalam tembok tersebut? 1.3. Berapa volume balok tersebut? volume dinding? 1.4. Bandingkan panjang sisi balok dengan menggunakan pertanyaan “Berapa sentimeter lagi (lebih kecil)?”, “Berapa kali lebih banyak (lebih kecil)?” 1.5. Bandingkan volume sebagian dinding dan volume balok.

2. Di gudang terdapat 4.560 kg menir beras dalam karung masing-masing 80 kg dan 3.840 kg soba dalam 64 karung. Kantong sereal manakah yang lebih berat dan berapa banyak? Biji-bijian manakah yang memiliki kantong lebih banyak dan berapa banyak?

3. Temukan nilai ekspresi numerik menggunakan perhitungan mental dan sifat operasi aritmatika: (480 – 24 ∙ 6) : 16; 354+188; 162:4; 18∙4 – 1345∙0; 317:50; 45:45; (27 - 108:9) ∙ 17.

4. Temukan nilai ekspresi numerik menggunakan algoritma perhitungan tertulis: 26 (1672 + 1448) : (4825 – 4773) “Keterampilan yang diuji: kemampuan melakukan operasi aritmatika menggunakan algoritma yang dipelajari (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan angka satu digit dan dua digit dalam 10.000). Menetapkan garis dasar. Hitung: 2072: 37. Tugas tingkat lanjutan.

Tandai jawaban yang benar ✔.

« □ 0 □ 4 □ 5 □ 6.” Keahlian “Keterampilan yang diuji: kemampuan melakukan operasi aritmatika menggunakan algoritma yang dipelajari (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan angka satu digit dan dua digit dalam 10.000).: memahami arti pembagian dengan sisa, menonjolkan hasil bagi tidak lengkap dan sisa.

Kami membeli permen untuk hadiah. Totalnya ada 199 permen. Anda perlu memasukkan 5 permen ke dalam setiap hadiah. Berapa banyak permen yang tersisa? Kami membeli 18 tiket untuk satu gerbong kompartemen untuk tim sepak bola. Nomor tiket dari 1 hingga 18. Berapa kompartemen yang dapat menampung pemain sepak bola jika setiap kompartemen dapat menampung 4 orang?” “Kemampuan: memperkirakan dan memeriksa hasil operasi aritmatika. Tugas 31 tingkat dasar.

Berapakah hasil tindakan 12064:4? Lingkari nomor jawaban. 1) dua digit; 2) tiga digit; 3) empat digit; 4) lima digit. Tugas 32 tingkat lanjutan.

Apakah 1.000 rubel cukup untuk membeli empat buku dengan harga 199 rubel per buku dan kalender seharga 250 rubel? Tuliskan dan jelaskan jawaban Anda. Menjawab: …< 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. Penjelasan. Jawaban: tidak cukup. Contoh penjelasannya: setelah membeli empat buku, tersisa lebih dari dua ratus rubel. Uang ini tidak cukup untuk membeli kalender seharga 250 rubel. ... " 18 Penjelasan yang mungkin: “Itu tidak cukup. Dalam 1000 gosok. berisi 5 kali 200 rubel. Mereka membayar 4 kali untuk 1 rubel. kurang dari 200, mis. untuk 4 hal. kurang dari 4 kali untuk 200 rubel. Setelah membayar empat buku, hanya tersisa 4 rubel. lebih dari 200, yaitu kurang dari 250.” Jika penjelasan yang diberikan “Tidak cukup, karena: 199 ∙ 4 = 796 (r.); 1000 – 796 = 204 (r.); 204 Urutan pembelajaran operasi hitung di sekolah dasar.

Secara tradisional, operasi aritmatika dipelajari secara berurutan: penjumlahan dan pengurangan, perkalian, pembagian (keseluruhan) dan pembagian dengan sisa. Urutan ini banyak dilihat pada buku pelajaran matematika sekolah dasar. Namun, ada pendekatan lain untuk mengurutkan pembelajaran tindakan.

Tidak ada perbedaan pendapat mengenai urutan pengenalan perkalian dan pembagian. Perkalian biasanya diperkenalkan sedikit sebelum pembagian. Pembagian mulai dipelajari setelah siswa menguasai pengertian perkalian. Kadang-kadang, setelah mengenal perkalian, mereka mempelajari tabel perkalian, baru kemudian pembagian. Namun lebih sering pembagian tabel dianggap bersamaan dengan perkalian tabel dalam pelajaran yang sama atau berturut-turut setelah diperkenalkannya pembagian.

Ada sudut pandang berbeda mengenai urutan pembelajaran divisi penuh Dan pembagian dengan sisanya. Menurut salah satu dari mereka, seluruh pembagian, maknanya, dan kasus tabel pembagian pertama kali diperkenalkan. Setelah asimilasi, pembagian dengan sisa diperkenalkan sebagai tindakan khusus, dengan arti, properti, dan algoritmanya sendiri berdasarkan pembagian tabel secara keseluruhan. Kemudian metode dasar pembagian non-tabular dengan bilangan bulat dan pembagian dengan sisa dipertimbangkan, dan pembagian tertulis sebagai pembagian dengan sisa, kasus khusus di antaranya adalah pembagian dengan keseluruhan - dengan sisa 0.

Menurut sudut pandang lain, pembagian secara keseluruhan dan pembagian dengan sisanya dapat diperkenalkan sebagai sebutan untuk membagi sekelompok benda menjadi bagian-bagian yang sama dengan basis tertentu (sesuai dengan teori himpunan dan makna besaran dari tindakan pembagian. ) secara bersamaan atau dalam rangkaian pelajaran yang berurutan. Hasil dari pengenalan tersebut adalah kemampuan siswa dalam menentukan tindakan mata pelajaran membagi menurut isi dan menjadi bagian-bagian yang sama dengan catatan bentuk 12:3, 13:3, 12:3 = 4, 13:3 = 4 (istirahat 1), dan sebaliknya, melakukan tindakan objektif atau membuat gambar seperti yang tertulis.

Setelah menguasai pengertian pokok bahasan pembagian yang sama antara pembagian dengan bilangan bulat dan pembagian dengan sisa, mereka melanjutkan ke pembahasan bagaimana mencari hasil pembagian tanpa tindakan pokok. Jawabannya dicari dengan terlebih dahulu membangun hubungan antara pembagian dan perkalian untuk pembagian bilangan bulat dan berfokus pada kasus tabel, sifat-sifat pembagian bilangan bulat, dan sifat-sifat tabel perkalian/pembagian. Kasus-kasus pembagian dengan sisa dibahas secara kebetulan selama periode ini, mengkonsolidasikan pemahamannya, memberikan siswa kesempatan untuk menemukan hasil bagi dan sisa berdasarkan pemahaman intuitif tentang hubungan antara pembagian dengan bilangan bulat dan pembagian dengan sisa. Setelah menguasai tabel perkalian dan pembagian, dipertimbangkan fitur, properti, metode dan algoritma pembagian dengan sisanya.

Pembenaran bagi sudut pandang terakhir adalah bahwa ada atau tidaknya sisa tidak mengubah jalannya pembagian praktis. Misalnya, kita membagi 12 dan 13 kubus menjadi bagian yang sama yang masing-masing terdiri dari 3 kubus. Kami melanjutkan dengan cara yang sama dalam kedua kasus: ambil 3 kubus dan sisihkan. Kami ulangi tindakan ini sampai kami dapat mengambil 3 kubus. Ditunjuk: 12:3 dan 13:3. Begitu tidak ada lagi kubus yang tersisa atau kurang dari tiga, kita hitung bagian yang dihasilkan. Nomor mereka akan dirahasiakan. Dalam kedua kasus tersebut, 4 bagian yang sama dari 3 kubus masing-masing dibentuk - hasil bagi adalah angka 4. Dalam kasus 12 kubus, tidak akan ada kubus yang “tidak terbagi” lagi, dan ketika 13 kubus dibagi dengan 3, 1 kubus akan menjadi tetap tidak terbagi. Kita peroleh: 12:3 = 4, 13:3 = 4 (sisa 1).

Kami akan membagi 12 dan 13 kubus menjadi 3 bagian sama besar. Kami mengambil kubus sebanyak yang dibutuhkan bagian yang sama dan menyusunnya satu per satu. Lalu kita ambil lagi benda-benda sebanyak-banyaknya dan susun satu persatu sesuai dengan yang sudah ditata. Kami melanjutkan cara ini sampai tidak ada kubus yang tersisa atau jumlah potongan yang tersisa lebih sedikit dari jumlah potongan yang dibutuhkan. Dalam kedua kasus tersebut, hasil bagi adalah 4 (masing-masing dari tiga bagian yang sama memiliki 4 kubus). Bila pembagian 12:3 tidak ada sisa, bila pembagian 13:3 sisanya 1. Masuknya: 12:3 = 4 dan 13:3 = 4 (sisa 1).

Dalam kegiatan obyektif, ketika memulai proses pembagian, mereka seringkali tidak mengetahui apakah akan ada sisanya. Dalam pengalaman anak-anak, ada banyak situasi pembagian praktis. Anak-anak berbagi mainan, permen, dibagi menjadi beberapa tim dalam permainan dan masih banyak lagi. Pembagian penuh tidak selalu berhasil. Dengan hanya memperkenalkan pembagian yang lengkap, perlu untuk melindungi anak-anak dari situasi di mana pembagian yang lengkap tidak mungkin dilakukan. Dan jika periode pertemuan hanya dengan pembagian sangat lama, maka anak-anak mengembangkan stereotip: ketika membagi angka, mereka selalu mendapatkan satu angka - hasil bagi. Hal ini membuat pembagian dengan sisanya sulit untuk dipahami. Inilah sebabnya mengapa pembagian dengan sisa dianggap sebagai tindakan yang sulit, dan soal-soal kata yang dapat digunakan tidak dipertimbangkan (dengan pengecualian soal-soal sederhana ketika memperkenalkan pembagian dengan sisa), atau diklasifikasikan sebagai soal-soal yang diperbesar. kesulitan.

Berdasarkan alasan di atas, urutannya belajar perkalian dan pembagian mungkin terlihat seperti ini: memperkenalkan perkalian, menguasai maknanya; pengenalan pembagian secara keseluruhan dan sisanya, menguasai pengertian pembagian; tabel perkalian dan pembagian (bilangan bulat); algoritma komputasi lisan untuk pembagian dengan sisa berdasarkan pembagian tabel; algoritma perkalian dan pembagian di luar tabulasi (lisan), termasuk pembagian dengan sisa;

algoritma perkalian tertulis; algoritma pembagian tertulis sebagai algoritma pembagian dengan sisa, kasus khusus di antaranya adalah pembagian dengan sisa nol - pembagian dengan bilangan bulat; perkalian dan pembagian menggunakan kalkulator.

Kajian setiap operasi aritmatika dapat disajikan secara bertahap: persiapan pengenalan operasi atau tindakan aritmatika; pengenalan suatu tindakan (action), motivasi belajar, perencanaan kerja mempelajari suatu tindakan (atau tindakan) aritmatika, pembentukan makna dari tindakan yang dipelajari; mempelajari sifat-sifat operasi aritmatika; mempelajari algoritma untuk melakukan tindakan dan mengembangkan keterampilan komputasi. Bersiap untuk memperkenalkan operasi atau operasi aritmatika

terdiri dari penciptaan dasar aktivitas subjek untuk operasi aritmatika, yang diimplementasikan dalam tindakan dengan sekelompok objek (pendekatan teori himpunan) dan dengan objek sesuai dengan nilai tertentu (pendekatan besaran), dalam "berjalan" melalui serangkaian angka, termasuk angka 0 dan deret natural (pendekatan ordinal). Di sini perlu untuk memperjelas, memperdalam gagasan tentang bilangan, memperbarui metode tindakan objektif, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah teks yang berkaitan dengan operasi aritmatika. Tujuan utama pelajaran memperkenalkan suatu tindakan (atau tindakan) aritmatika dan membentuk makna dari tindakan yang dipelajari

Motif positif tindakan belajar dapat dibentuk melalui pengalaman emosional anak terhadap operasi aritmatika sebagai cara singkat dan cepat untuk melestarikan dan menyampaikan informasi tentang tindakan dengan benda, sebagai sarana memperkaya bahasa tulis, sebagai perluasan peluang komunikasi, sebagai sarana tugas pemodelan. situasi, dan sebagai sarana memperoleh informasi baru. Subjek yang menarik bagi anak-anak dapat dan harus berupa sifat-sifat tindakan, ciri-ciri perilaku bilangan individu dalam kaitannya dengan operasi aritmatika, metode penghitungan yang tidak biasa, barisan numerik yang dibangun berdasarkan pola yang diungkapkan dalam bahasa operasi aritmatika. Hal ini dimungkinkan melalui pengungkapan makna operasi aritmatika, melalui kemungkinan menghasilkan makna pribadinya sendiri.

Izinkan kami mengingatkan Anda: operasi aritmatika adalah operasi matematika pada himpunan bilangan (di sekolah dasar pada himpunan bilangan bulat non-negatif). Operasi adalah korespondensi antara himpunan pasangan bilangan dari himpunan bilangan dan anggota himpunan yang sama. Kecocokan dapat ditentukan dengan enumerasi dan properti karakteristik. Sifat-sifat tersebut termasuk dalam definisi suatu tindakan. Dalam rekaman hal ini ditunjukkan dengan tanda tindakan. Dalam entri 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12: 6, 17: 5, operasi ditentukan karena pasangan angka tertentu ditunjukkan, dan tanda menunjukkan metode untuk memperoleh nomor yang sesuai. Dalam persamaan 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12: 6 = 2, 17: 5 = 3 (sisa 2), bilangan atau bilangan yang bersesuaian tidak hanya ditentukan oleh sifat karakteristiknya , tetapi juga dengan pencacahan .

Perhatikan bahwa pada tahap awal penguasaan operasi aritmatika, serta ketika mempelajari properti, ketika menggeneralisasi beberapa karakteristik suatu tindakan, ada baiknya menggunakan simbol angka yang ditemukan oleh anak-anak, misalnya: ⌂ + ○; ⌂ – ○ = ◊ , ⌂ + ○ = ○ + ⌂ atau ☼ +☺; ☼ +☺=☻. Catatan semacam itu memungkinkan kita untuk mempertimbangkan suatu tindakan dan sifat-sifatnya ketika anak-anak belum dapat menuliskan angka-angka yang diperlukan, serta ketika karakteristik numerik tertentu dari kelompok benda atau suatu benda tidak dapat ditentukan secara akurat, bila perlu untuk menunjukkan bentuk umum ekspresi dan persamaan. Selain itu, tanda-tanda konvensional semacam itu membawa komponen emosional atau “pilihan” pembuatnya.

Sifat-sifat operasi aritmatika dapat ditemukan oleh siswa dalam proses kegiatan pendidikan dan penelitian yang diselenggarakan oleh guru. Penting agar setiap sifat merupakan solusi terhadap masalah yang diterima siswa, jawaban atas pertanyaan yang muncul di benak mereka. Hal ini dapat terjadi ketika sejak hari pertama pendidikan kita mengajarkan anak untuk memperhatikan dan mengidentifikasi persamaan dan perbedaan antara suatu benda, termasuk antara tindakan dengan benda, di antara catatannya.

Pertanyaan utama yang mengarah pada penemuan sifat-sifat operasi aritmatika adalah pertanyaan tentang kemungkinan mengganti beberapa ekspresi, dan oleh karena itu barisan operasi aritmatika, dengan ekspresi lain yang mengandung bilangan yang sama dan memiliki nilai numerik yang sama dengan ekspresi aslinya, tetapi tindakan yang berbeda atau urutan tindakan yang berbeda.

Daftar sifat-sifat operasi aritmatika (pada himpunan bilangan asli dan nol) adalah sebagai berikut:

Sifat-sifat hubungan relasi "(langsung) mengikuti" serta penjumlahan dan pengurangan: A + 1 = A′ Dan A′ – 1 = A(jika Anda menambahkan 1 ke suatu angka, Anda mendapatkan angka berikutnya; jika Anda mengurangi 1, Anda mendapatkan angka sebelumnya); sifat komutatif penjumlahan, perkalian 3 + 4 = 4 + 3, A + B = B + A, ab= BA; A + B) + sifat asosiatif penjumlahan ( = A + (B + sifat asosiatif penjumlahan ( C ab)sifat asosiatif penjumlahan ( = A(), perkalian ( SM ) atau berupa aturan penjumlahan suatu bilangan pada suatu penjumlahan dan penjumlahan pada suatu bilangan, mengalikan suatu bilangan dengan suatu hasil kali dan hasil kali dengan suatu bilangan; Dan ), perkalian ( aturan mengurangkan suatu bilangan dari suatu penjumlahan dan penjumlahan dari suatu bilangan: (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3; aturan membagi suatu hasil kali dengan suatu bilangan dan bilangan dengan suatu hasil kali: (12  8) : 4 = (12: 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24: (3  4) = (24: 3 ) : 4; aturan membagi suatu jumlah dengan suatu bilangan: jika A + B) : sifat asosiatif penjumlahan ( = A:sifat asosiatif penjumlahan ( + B:sifat asosiatif penjumlahan ( ac A + B = sifat asosiatif penjumlahan ( ↔ sifat asosiatif penjumlahan ( – B = A(- habis dibagi seluruhnya), maka ( sifat asosiatif penjumlahan ( – A = B; A : B = , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 atau dalam bentuk aturan mengalikan suatu penjumlahan dengan bilangan dan bilangan-bilangan yang dijumlahkan: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; aturan mengalikan selisihnya dengan suatu bilangan: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; sifat-sifat yang mencerminkan hubungan antara penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian: ↔ A = Dan Dan A : , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 atau dalam bentuk aturan mengalikan suatu penjumlahan dengan bilangan dan bilangan-bilangan yang dijumlahkan: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; aturan mengalikan selisihnya dengan suatu bilangan: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; sifat-sifat yang mencerminkan hubungan antara penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian: = B, A : B = , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 atau dalam bentuk aturan mengalikan suatu penjumlahan dengan bilangan dan bilangan-bilangan yang dijumlahkan: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; aturan mengalikan selisihnya dengan suatu bilangan: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; sifat-sifat yang mencerminkan hubungan antara penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian:Qbq), bq < B ↔ A = Dan + bq(istirahat. A + B = sifat asosiatif penjumlahan ( (A ± R) + B = sifat asosiatif penjumlahan ( ± R ; A + B = sifat asosiatif penjumlahan ( ↔ (A + R) + (B – R) = sifat asosiatif penjumlahan ( ketergantungan antara perubahan komponen dan hasil suatu tindakan: A – B = sifat asosiatif penjumlahan ( ↔ (A ± R) – (B ± R) = sifat asosiatif penjumlahan ( D ab = sifat asosiatif penjumlahan ( ↔ (A: R)  B = sifat asosiatif penjumlahan (: R; ab = sifat asosiatif penjumlahan ( ↔ (A: R)((jika suatu suku ditambah (dikurangi) dengan suatu bilangan, maka jumlahnya akan bertambah (dikurangi dengan bilangan yang sama);) = ((jika suku yang satu ditambah dan suku yang lain dikurangi dengan bilangan yang sama, maka jumlahnya tidak berubah);)(B: R) = sifat asosiatif penjumlahan (; A : B = , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 atau dalam bentuk aturan mengalikan suatu penjumlahan dengan bilangan dan bilangan-bilangan yang dijumlahkan: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; aturan mengalikan selisihnya dengan suatu bilangan: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; sifat-sifat yang mencerminkan hubungan antara penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian: ↔ (jika suku yang satu ditambah dan suku yang lain dikurangi dengan bilangan yang sama, maka jumlahnya tidak berubah); : B = (jika minuend dan pengurangnya ditambah (dikurangi) dengan angka yang sama, maka selisihnya tidak berubah);; sifat-sifat pembagian dengan sisa: pembagian dengan sisa dapat dilakukan untuk bilangan apa pun (kecuali pembagian dengan nol); sisanya lebih kecil dari pembagi; dividen sama dengan jumlah hasil bagi, pembagi, dan sisanya .

Jika kita mencermati persamaan yang menyatakan sifat-sifat operasi aritmatika, kita akan menemukan bahwa ada banyak kesamaan dalam sifat-sifat penjumlahan dan perkalian, pembagian dan pengurangan. Di sinilah “ prinsip dualitas 19, ..., yang terdiri dari fakta bahwa setiap pernyataan benar dari bagian ini berhubungan dengan pernyataan ganda, yang dapat diperoleh dari pernyataan pertama dengan mengganti konsep-konsep yang termasuk di dalamnya dengan konsep lain, yang disebut. konsep ganda bagi mereka."

Prinsip dualitas salah satu gagasan penting matematika yang bermakna, yang secara signifikan memperluas kemungkinan pengetahuan. Gagasan dualitas ditemukan oleh anak-anak jika guru mengatur pembelajaran suatu tindakan baru, sifat-sifat tindakan tersebut berdasarkan tindakan yang telah dipelajari, mendorong anak untuk memprediksi sifat-sifat, memeriksa prediksi, misalnya menggunakan pertanyaan sederhana dan tugas tentang persamaan dan perbedaan: “Bagaimana pengurangan sama dengan penjumlahan? Apa bedanya?”, ... “Apa kemiripan pembagian dengan operasi aritmatika lain yang kamu ketahui? Apa persamaan pembagian dengan pengurangan? Apa perbedaan pembagian dengan pengurangan?”, “Tahukah Anda bahwa penjumlahan mempunyai sifat komutatif dan kombinatif. Merumuskan sifat-sifat yang sama untuk perkalian. Periksa validitasnya dengan menggunakan beberapa contoh", "Rumuskan sifat komutatif dan asosiatif pembagian. Periksa validitasnya dengan beberapa contoh."

7.3.3. Belajar penjumlahan dan pengurangan. Isi kajian tindakan sangat bergantung pada pendekatan konsep bilangan yang dianut guru, pada makna-makna yang ia masukkan ke dalam konsep tersebut. Kami akan mengikuti pendekatan universal, menguji bilangan dengan siswa dalam semua pengertian dasarnya.

Teori himpunan arti tindakan tambahan dalam bahasa yang dapat diakses oleh siswa dapat disajikan melalui tugas, menggambarkan tindakan subjek yang sesuai dan gambarnya (Gbr. 7.7). Ada 4 buah apel di satu piring dan 3 buah apel di piring lainnya. (Tugas untuk menemukan jumlahnya). Ada 4 apel di satu piring, dan 3 apel lagi di piring lainnya. Berapa banyak apel di piring lainnya? Ada 4 buah apel dalam satu piring, berarti 3 buah apel lebih sedikit dibandingkan piring lainnya. Berapa banyak apel di piring lainnya? (Masalah dengan relasi “lebih (lebih sedikit) oleh” di mana angka yang lebih besar tidak diketahui.); Ada 4 apel di satu piring dan 3 apel di piring lainnya. Dalam berapa cara anda dapat memilih satu buah? (Masalah kombinatorial yang menentukan aturan penjumlahan untuk menghitung jumlah kombinasi).

Tugas mengungkapkan teori himpunan arti dari tindakan pengurangan. a) Ada 4 buah apel di piring, 3 buah apel dimakan. Berapa banyak apel yang tersisa? (Mencari sisa (selisih)); b) Ada 4 apel di satu piring, dan 3 apel lebih sedikit di piring lainnya. Berapa banyak apel di piring lainnya? Ada 4 apel di satu piring, artinya 3 apel lebih banyak daripada di piring lainnya. Berapa banyak apel di piring lainnya? Ada 4 apel di satu piring dan 3 apel di piring lainnya. Berapa lebih banyak apel di piring pertama dibandingkan di piring kedua? Berapa jumlah apel yang lebih sedikit pada piring kedua dibandingkan pada piring pertama? (Masalah dengan hubungan “lebih (lebih sedikit) dengan”) dengan bilangan lebih kecil yang tidak diketahui atau seberapa besar suatu bilangan lebih atau kurang dari bilangan lain (dengan perbandingan selisih. (Gbr. 7.8 a, b).

Pengertian penjumlahan dan pengurangan berdasarkan konsep besaran, menyatakan operasi menggabungkan dan menghilangkan benda-benda yang mempunyai panjang, luas, volume, massa dan besaran lain, yang dapat ditunjukkan dengan tindakan atau gambar praktis (Gbr. 7.9)

Arti ordinal penjumlahan dan pengurangan memanifestasikan dirinya dalam transisi berurutan dari suku pertama ke bilangan yang segera mengikutinya, dari suku tersebut ke suku berikutnya sebanyak suku kedua. Pengurangan dapat didefinisikan sebagai transisi berurutan dari minuend ke yang sebelumnya sebanyak pengurangannya. Saat memperkenalkan penjumlahan dan pengurangan, makna ini diwakili oleh aturan yang dirumuskan sebagai hasil pengamatan posisi suatu bilangan yang ditambah satuannya dengan menggunakan tindakan dengan benda (yang satuannya dikurangi) dan hasil dari tindakan tersebut. : “Jika Anda menambahkan satu ke suatu angka, Anda mendapatkan nomor berikut; Jika Anda mengurangi satu dari suatu angka, Anda mendapatkan angka sebelumnya.”

Bersiap untuk memperkenalkan penjumlahan dan pengurangan Latihan tindakan dengan objek yang sesuai dengan tindakan yang diperkenalkan, dan penghitungan objek dan ukuran yang menyertai tindakan ini ketika mengukur besaran dalam kasus paling sederhana, dipromosikan. Misalnya menghitung langkah ketika berjalan (mengukur panjang suatu jalan), menghitung segitiga siku-siku, persegi panjang yang membentuk suatu bangun (mengukur luas), menghitung gelas air yang dituangkan ke dalam atau dikeluarkan dari toples, gerakan tangan detik pada dial, dll. Menghitung dua, tiga, empat, dan lima berguna.

Jenis yang mungkin operasi objektif yang berhubungan dengan penjumlahan dan pengurangan mungkin seperti ini.

Tempatkan 3 kubus di sebelah kiri. Tempatkan kartu dengan nomor yang diinginkan di bawah. Tempatkan 5 kubus di sebelah kanan. Tempatkan kartu dengan nomor. Gabungkan kubus dengan mendekatkannya satu sama lain. Temukan strip yang terdiri dari 3 satuan panjang (3 ukuran yang terdiri dari tiga bagian yang sama besar) dan strip yang terdiri dari 5 satuan panjang yang sama. Buat satu strip panjang dari dua strip ini. Apa arti angka 3 dan 5 pada dadu? ... Untuk garis-garis? ...Apa yang kamu lakukan dengan kubus itu? ...Apa yang kamu lakukan dengan garis-garis itu? ...

Hitung semua segitiga. (8) Hitung semua segitiga merah. (3) Masukkan ke dalam amplop. Toples ini berisi 8 gelas air. Tuangkan 3 gelas air. Labeli dengan angka.

Melakukan penjumlahan dan pengurangan. Ciri operasi aritmatika, termasuk penjumlahan dan pengurangan, yang mendorong anak untuk mempelajarinya, adalah kemampuannya untuk mereduksi pencatatan informasi berkali-kali lipat. Untuk menunjukkan hal ini kepada siswa, ketika siswa menyelesaikan tugas di atas, teks muncul di papan tulis: Tempatkan 3 kubus di sebelah kiri. Tempatkan 5 kubus di sebelah kanan. Kubus gabungan. Kami mengambil strip dengan panjang 3 unit dan panjang strip 5 unit. Kami membuat satu strip panjang dari dua strip. (Jika pengurangan dilakukan bersamaan dengan penjumlahan, maka teks tersebut juga akan memuat kalimat-kalimat berupa: “Ada 8 segitiga. 3 segitiga dihilangkan”, “Ada 8 gelas air. Dituang 3 gelas”). Di bawah ini adalah angka-angka yang tertulis (atau tertera pada kartu): 3 5 (8 3).

Tertulis di papan apa yang baru saja Anda lakukan dengan kubus, bergaris, (dengan segitiga, dengan air). Apakah mudah bagi Anda untuk membaca teks ini? (Tidak mudah.) – Namun jika Anda menggunakan bahasa matematika, Anda bisa menuliskannya dengan lebih singkat. Mungkin ada yang sudah tahu bagaimana cara menyatakan tindakan kita dalam matematika? Bersama anak-anak, kami membuat catatan sampel (awalnya hanya ekspresi): 3 + 5 (8 – 5).

Entri ini menggantikan semua teks ini. Ada berapa angka dalam notasi matematika? (Total 3. Dengan pengenalan dan pengurangan secara bersamaan - 6.) - Berapa banyak karakter yang ada dalam teks?

Jika entri dibuat di papan tulis interaktif, maka dengan menyorot teksnya mudah untuk menentukan jumlah karakter: 163 (atau kurangi 236!): 163! (atau 236!) versus 3 (atau 6!) notasi matematikanya lebih dari 50 (hampir 40 kali) lebih pendek! Penemuan ini dapat menjadi suatu kejutan, yang akan memberikan warna emosional terhadap apa yang sedang dipelajari dan meningkatkan minat terhadapnya.

Mungkin sebagian dari Anda sudah mengetahui cara membaca entri ini dan apa artinya? (Anak-anak berbicara terlebih dahulu, lalu guru.) – Entri 3 + 5 biasanya dibaca “tambah lima menjadi tiga” (dan “kurangi lima dari delapan”). Bacalah lagi bersama saya. ... Entri ini berarti ada 3 benda dan 5 benda, lalu digabungkan (Ada 8 benda, 5 benda diambil dan dikeluarkan). Atau dari dua strip yang panjangnya 3 dan 5 satuan panjang dibentuk satu strip yang panjangnya 3 dan 5 satuan panjang. Mereka juga mengatakan bahwa 3 + 5 adalah notasi tindakan tambahan(8 – 5 adalah catatan tindakan pengurangan).

Selanjutnya, disusun tiga jenis tugas untuk mengembangkan kemampuan berpindah dari tindakan subjek ke tindakan dengan angka dan dari tindakan dengan angka ke tindakan subjek: (1) tindakan subjek didemonstrasikan (oleh guru, siswa, dalam gambar di buku teks atau buku kerja, di papan interaktif), dan siswa menunjuknya dengan ekspresi numerik yang sesuai, membaca ekspresi; (2) ekspresi numerik diberi nama atau diperlihatkan (menjumlahkan dua menjadi empat, mengurangi tiga dari empat, 4 + 2; 4 – 3), dan siswa melakukan tindakan dengan objek, menggambar atau memilih gambar tindakan objek yang dapat ditunjukkan dengan penjumlahan ( pengurangan ); (3) korespondensi dibuat antara gambar tindakan objektif dan ekspresi numerik (gambar dan ekspresi dapat dalam manual, pada lembar terpisah, di papan, interaktif atau teratur; ini dapat berupa dua set kartu - dengan gambar tindakan objektif dan dengan ekspresi numerik, atau kartu menurut jenis domino).

Mari kita perhatikan beberapa poin penting. Meskipun pengenalan terhadap penjumlahan dan pengurangan berasal dari mempelajari angka-angka dalam sepuluh besar, ada gunanya untuk mempertimbangkan situasi yang diwakili oleh penjumlahan dan pengurangan tidak hanya dengan angka-angka dalam sepuluh besar, tetapi juga dengan angka-angka dalam kumpulan angka lainnya. Misalnya, guru memperlihatkan satu kotak dengan 14 tombol, dan kotak lainnya dengan 26 tombol yang sama. Pada setiap kotak ditulis nomor yang sesuai besar. Anda harus meletakkan nomor yang sama di meja Anda dengan kartu bernomor. Kemudian dia menuangkan kancing dari kotak kedua ke kotak pertama dan meminta siswa meletakkan kartu dengan tanda yang sesuai di antara angka-angka tersebut. Entri yang dihasilkan adalah: 14 + 26. Dengan bantuan guru, anak-anak membaca entri tersebut dan mengatakan artinya.

Pada awal pengenalan operasi aritmatika, kami menyatakan tindakan objektif dengan ekspresi numerik atau ekspresi numerik dan persamaan. Kesetaraan memerlukan penamaan dan penulisan angka tertentu, hasil suatu tindakan, sedangkan anak belum mengetahui cara menemukannya, selain tindakan objektif dan berhitung. Ekspresi numerik tidak menyebutkan angka, hasil tindakan, tetapi menentukan metode memperolehnya dengan tanda tindakan. Dalam hal ini, kita mendapat kesempatan untuk mempertimbangkan tindakan untuk angka dan tindakan apa pun dengan model tindakan subjek apa pun. Hal ini penting untuk membentuk makna tindakan. Siswa juga mendapat kesempatan untuk menentukan batas penerapan perhitungan menggunakan objek, yang memotivasi mereka untuk menemukan metode dan algoritma tanpa berinteraksi dengan objek.

Pada pembelajaran tindakan tahap pertama, perlu memusatkan perhatian anak pada pertanyaan “ Apa Apa itu “penjumlahan”?”, “Apa itu “pengurangan?” Di sini lebih baik untuk menulis tindakan sebagai ekspresi numerik. Ketika jawaban atas pertanyaan “Apa…?” akan dipahami dan disesuaikan, kita dapat melanjutkan ke pertanyaan “ Bagaimana temukan hasil tindakan (nilai jumlah, selisih)? Sekarang penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis dan diucapkan sebagai persamaan.

Sebelum beralih ke persamaan dan menemukan hasil serta menulis persamaan, kami merangkumnya subtotal, memberikan kesempatan kepada siswa untuk menunjukkan pemahamannya tentang penjumlahan (dan pengurangan jika operasi-operasi tersebut diperkenalkan dalam pelajaran yang sama).

Jadi, sekarang Anda tahu cara menunjukkan tindakan dengan objek untuk menjumlahkan angka. Tunjukkan bagaimana Anda bisa melakukannya. Bacalah notasi matematika dan sebutkan arti masing-masingnya: 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼. (Di papan ada gambar yang sesuai, misalnya, untuk entri 1000 + 5000 ada gambar dua uang kertas, untuk entri dalam angka "ajaib" - dua kontainer dengan muatan di peron kereta api, menunjukkan massa dalam ton Ω dan ☼.).

Anda mengatakan dengan benar: penambahan itu menunjukkan situasi ketika sesuatu telah ditambahkan ke sesuatu, digabungkan. Bagaimana kita dapat menunjukkan hasil dari tindakan tersebut? - Amati gerak Dima, ukurlah panjang setiap bagian jalan, hitung langkahnya. (Dima mengambil 4 langkah dari meja ke papan, berhenti, lalu mengambil 3 langkah lagi menuju jendela). - Rekam aksinya. (4+3). – Dima, ulangi lagi, hitung semua langkahnya. Ada berapa langkah totalnya? (7) – Bagaimana cara menuliskannya? Lengkapi catatan apa yang Anda lakukan dengan hasil tindakannya. (Setelah saran anak-anak, kami menulis: 4 + 3 = 7. – Baca persamaan ini. (Dengan bantuan guru, baca: “Kami menambahkan tiga hingga empat dan mendapat tujuh.”)

Selanjutnya anak menyelesaikan tugas-tugas jenis di atas (1), (2) dan (3). Dalam hal banyaknya benda dalam suatu kombinasi atau banyaknya takaran pada suatu besaran dapat dihitung, siswa menuliskan persamaan, sebaliknya hanya menuliskan ekspresi saja.

Pada periode yang sama, istilah-istilah tersebut diperkenalkan istilah, istilah, jumlah; minuend, pengurangan, perbedaan. Berguna untuk mengawali pengenalan istilah dengan percakapan tentang nama. Masing-masing dari kita memiliki banyak nama dan gelar. Satu kelompok nama adalah nama diri: Tanya, Lena, Valentina Sergeevna. Nama juga diberikan sesuai dengan apa yang kita lakukan - pengendara sepeda, pejalan kaki, penumpang, orang yang lewat, pembaca; berdasarkan pekerjaan dan profesi - guru, pelajar, penjahit, tukang bubut, pilot dan banyak alasan lainnya - orang, karyawan, teman, saudara perempuan, anak perempuan, cucu.

Jika pendekatan ini diterapkan pada bilangan, maka nama diri adalah “satu”, “dua”, “tiga ratus tujuh puluh”, dst. Partisipasi bilangan dalam operasi aritmatika dan pelaksanaan fungsi atau peran tertentu memungkinkan kita memberi nama pada bilangan tersebut sesuai dengan fungsi tersebut. Pertama, biarkan anak mengusulkan nama mereka dan memberikan alasan. Anda bahkan dapat mengumumkan kompetisi! Hanya dalam konteks penciptaan kata-kata mereka sendiri maka istilah-istilah yang diterima secara umum akan menjadi “hidup”, mudah diingat, dan bermuatan emosional bagi anak-anak.

Ketika siswa berpindah dengan bebas dari situasi pelajaran ke notasi dengan penjumlahan dan pengurangan dan sebaliknya, pertanyaan “Bagaimana mencari hasil penjumlahan, pengurangan tanpa menggambar, menghitung dengan jari, mengukur?”

Pada periode yang sama, sudah perlu untuk mulai mengikutsertakan anak-anak merencanakan pekerjaan akademis Anda, mendorong refleksi terhadap ajaran dan hasil-hasilnya, yaitu. membentuk kegiatan pendidikan, secara bertahap, setelah mereka menguasai kegiatan belajar yang sesuai, memindahkannya dari kegiatan pendidikan yang dikendalikan secara eksternal ke kegiatan mandiri.

Misalnya, setelah memperkenalkan penjumlahan dan pengurangan, kita bertanya:

Tahukah kamu sekarang apa itu penjumlahan dan apa itu pengurangan? (Ya.) - Semuanya, kalian tahu segalanya tentang penjumlahan? Tentang pengurangan? (Tidak, tidak semua.) – Menurut Anda, apa lagi yang harus kita ketahui tentang tindakan ini? Apa yang bisa dilakukan? ... - Pertanyaan apa tentang penjumlahan dan pengurangan yang ingin Anda jawab? Apa yang harus dipelajari? ...

Berdasarkan dialog tersebut, dimana guru menuliskan pertanyaan dan saran anak di papan tulis, menyelenggarakan pertukaran pendapat, siswa dengan peran serta guru sebagai penyelenggara dan pembawa pengetahuan tentang kesepakatan yang ada, membangun urutan pembelajaran. penjumlahan dan pengurangan.

Tugas pedagogi selanjutnya adalah mengembangkan keterampilan menghitung tabel, dan tugas belajar siswa adalah belajar mencari hasil penjumlahan dan pengurangan, penjumlahan dan selisih (nilai penjumlahan dan nilai selisih), jelaskan perhitungan, uji diri Anda, rencanakan tindakan lebih lanjut.

Mempelajari sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan. Keunikan mempelajari sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan adalah bahwa ini adalah operasi aritmatika pertama yang dikenal anak-anak. Sifat-sifat tindakan dipertimbangkan selama periode penguasaan makna objektif dari tindakan dan dibenarkan oleh sifat-sifat tindakan yang objektif dan intuitif ini. Segala sifat dapat ditemukan oleh anak dalam proses kegiatan pendidikan yang diselenggarakan oleh guru. Penting agar pernyataan dan notasi properti tidak rumit.

Banyak perhitungan di kelas satu, terutama pada paruh pertama tahun ini, dilakukan dengan cara dimana sifat-sifat yang diketahui muncul pada tingkat intuitif. Properti ini disajikan dengan partisipasi anak-anak dalam bentuk yang dapat diakses oleh mereka. Misalnya cara penjumlahan dan pengurangan satu per satu per bagian: 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Sifat-sifat pertama yang tersedia bagi siswa dapat berupa sifat-sifat yang menghubungkan konsep “berikutnya”, “sebelumnya” (“segera mengikuti”) dengan operasi penjumlahan dan pengurangan. Ini sifat-sifat deret alam, yang mewujudkan arti ordinal suatu bilangan dalam operasi aritmatika yang telah kita rumuskan di atas. Hal ini didahului dengan ditemukannya metode penghitungan cepat suatu benda dalam kombinasi dua kelompok benda, misalnya menghitung kelompok benda yang satu dengan kelompok benda yang lain ke sejumlah benda yang diketahui banyaknya benda: ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. 9 item.

Konsekuensi dari cara ini adalah mencari hasil penjumlahan dan pengurangan dengan cara “melangkah” sepanjang deret natural, mula-mula dalam langkah tunggal, kemudian dalam langkah-langkah yang panjangnya berbeda (penjumlahan, pengurangan berkelompok).

Menemukan sifat komutatif penjumlahan atau penataan ulang istilah siswa dapat melakukannya dalam beberapa situasi.

1. Dengan menggunakan tindakan objektif, hitunglah nilai pasangan bentuk 4 + 3 dan 3 + 4. Tetapkan persamaan dan perbedaan. Buatlah asumsi tentang nilai penjumlahan serupa lainnya, periksa asumsi tersebut dengan menghitung nilainya menggunakan metode yang tersedia.

2. Dalam proses melakukan tindakan obyektif penggabungan dua kelompok benda, dua benda, zat, diketahui bahwa bila letak bagian-bagian atau urutan terjadinya penggabungan itu berubah, sifat-sifat kuantitatif dari hasil penggabungan itu berubah. jangan berubah. Dengan menyatakan tindakan objektif dengan ekspresi numerik, kita memperoleh dua ekspresi dengan urutan suku berbeda dan nilai yang identik.

3. Dua orang siswa, letaknya berhadapan pada meja, ditunjukkan dengan penjumlahan (jumlah dua suku) banyaknya benda pada meja (Chekin A.L. Mathematics, kelas 1 2011) dan mendapat dua ekspresi berbeda: 3 + 4 dan 4 + 3. Dengan menempatkan diri pada posisi masing-masing, anak-anak memastikan bahwa kedua entri dengan benar menunjukkan situasi yang sama, jumlah benda yang sama. Atas dasar ini, 3 + 4 = 4 + 3. Karena sejumlah benda lain dapat ditempatkan pada tabel, misalnya Ω dan ☼, maka Ω + ☼.= ☼ + Ω, di mana Ω dan ☼ adalah bilangan sembarang.

Ciri penting penjumlahan dan pengurangan adalah keduanya tindakan mengungkapkan hubungan « lebih (lebih sedikit) oleh" Salah satu persamaan bentuk A + B = sifat asosiatif penjumlahan ( Dan M – N = k mendefinisikan hubungan yang melibatkan tiga bilangan: semakin besar, semakin kecil, dan bilangan yang menjawab pertanyaan seberapa besar suatu bilangan lebih besar (lebih kecil) dari bilangan lainnya. Jika diberikan persamaan, misalnya 5 + 3 = 8, maka bilangan-bilangan yang dihubungkan dengan relasi “lebih (kurang) oleh” dapat berupa bilangan 5 dan 8, dan bilangan 3 akan menunjukkan berapa 5 lebih kecil dari 8 , dan 8 lebih dari 5. tee, atau 3 dan 8, maka 5 akan menunjukkan berapa banyak 3 yang kurang dari 8, dan 8 lebih dari 3.

Sifat-sifat lain dari operasi penjumlahan dan pengurangan juga dapat ditemukan oleh siswa dengan pengorganisasian yang tepat. Untuk menemukan properti, fokus tugas pada perbandingan, klasifikasi, dan pengamatan perubahan sangatlah penting. Dengan diperkenalkannya operasi perkalian dan pembagian, aturan urutan operasi, sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, aturan membagi jumlah, selisih suatu bilangan, hasil kali dengan suatu bilangan, bilangan dengan suatu hasil kali, dan properti lain yang terkait dengan satu atau lebih properti dipelajari.

Perluasan lebih lanjut dan pendalaman pengetahuan tentang penjumlahan dan pengurangan dikaitkan dengan perluasan himpunan numerik dan transfer teknik, algoritma, istilah, properti yang dipelajari sebelumnya, dengan studi tentang properti dan penguasaan keterampilan komputasi, dengan pengayaan terminologi dengan nama-nama sifat (sifat kombinatif, sifat distributif), nama pangkat dan kelas, nama bilangan multidigit, ciri-ciri bilangan.

7.3.4. Belajar perkalian dan pembagian. Pertama, mari kita ingat yang utama pengertian perkalian dan pembagian.

Teori himpunan pengertian operasi perkalian(- habis dibagi seluruhnya), maka ( divisi Mari kita sajikan kepada mereka soal teks dan gambar untuk mereka. a) “Ada 4 buah apel dalam satu piring. Berapa banyak apel di 3 piring seperti itu? (Gbr. 7.10 a); b) Turnamen catur diikuti oleh 3 tim yang masing-masing terdiri dari 4 pecatur – calon master olahraga dan pecatur kategori 1, 2 dan 3. Berapa banyak pecatur yang mengikuti turnamen tersebut?"; c) “Ada 4 apel di satu piring, dan 3 kali lebih banyak di piring lainnya. Berapa banyak apel di piring yang lain?”, “Ada 4 apel di satu piring, ini 3 kali lebih sedikit dibandingkan di piring lainnya. Berapa banyak apel di piring lainnya? (tugas dengan relasi “lebih (lebih sedikit) kali…”, di mana bilangan yang lebih besar tidak diketahui) (Gbr. 7.10, c); d) Berapa banyak cara membuat pasangan “amplop, prangko” jika ada 3 jenis amplop dan 4 jenis prangko? (tugas menghitung jumlah kombinasi, aturan perkalian) (Gbr. 7.10, d).

Membagi angka dalam pengertian teori himpunan muncul sebagai sebutan dua jenis pembagian praktis sekelompok objek menjadi bagian-bagian dengan jumlah item yang sama, yang dalam metode pengajaran matematika disebut pembagian berdasarkan konten Dan pembagian menjadi bagian yang sama. Pembagian berdasarkan konten: sekelompok benda dibagi menjadi bagian-bagian menurut jumlah benda yang sama pada setiap bagiannya dan diperlukan untuk mengetahui berapa banyak bagian-bagian tersebut yang terbentuk. Pembagian menjadi bagian yang sama: sekelompok benda dibagi menjadi beberapa bagian yang sama (sesuai dengan jumlah benda) dan diperlukan untuk mengetahui berapa banyak benda yang ada di setiap bagian.

Tindakan subjek pembagian berdasarkan konten- ini adalah penyingkiran sejumlah barang secara berurutan sampai semua barang ditata atau sampai barang yang tersisa lebih sedikit dari yang seharusnya dalam satu bagian. Tata cara penundaan sesuai dengan makna objektif pengurangan dan dapat dinyatakan dengan pengurangan. Pembagian bertindak sebagai notasi yang lebih pendek

1 Mikulina, G. G. Generalisasi ilmu matematika menggunakan tokoh dongeng / G. G. Mikulina. – Sekolah Dasar, 1986. - No. 6 - Dari 25-29..

2 Matematika. Vilenkin N.Ya., Pyshkalo A.M.

dan lain-lain.M., 1977.

3 Ondar Ch. Aspek etnokultural dalam pembentukan representasi numerik // Sekolah Dasar. 2010. Nomor 11. – S.

4 Persyaratan negara bagian federal untuk struktur program pendidikan umum dasar pendidikan prasekolah.

Perintah Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia tertanggal 23 November 2009 No. 655 http://www.rg.ru/2010/03/05/obr-dok.html Tanggal akses 26/10/2011

5 Piaget J. Karya psikologis terpilih, M., 1994.

6 Menchinskaya N.A. Psikologi pengajaran aritmatika. – M., 1955. Menchinskaya N. A. Psikologi perolehan pengetahuan di sekolah.

M., 1959. Menchinskaya N.A., Moreau. M.I.Soal metodologi dan psikologi pengajaran aritmatika di sekolah dasar. – M., 1965.

7 Kostyuk G.S. Tentang asal usul konsep bilangan pada anak / Naukovi zapiski, T. 1. Lembaga Penelitian Psikologi, Kyiv, 1949

8 L.S. Tsvetkova. Neuropsikologi berhitung, menulis dan membaca: gangguan dan pemulihan, M., 2000;

9 LF Magnitsky.

Hitung. 1703 / http://www.math.ru/lib/176 Tanggal akses: 29.09.2011

10 Galanin D.D. Sejarah ide metodologis dalam aritmatika di Rusia. Bagian I. Abad XVIII.

M., 1915.

sebelasGalanin D.D.

Pengantar metodologi aritmatika Moskow, 1911.

18 Menilai pencapaian hasil yang direncanakan di sekolah dasar. Sistem tugas. Pada jam 2 siang Bagian 1/ [M. Yu.Demidova, S.V. Ivanov, dan lainnya]; diedit oleh G. S. Kovaleva, O. B. Loginova - M. 2011. P. 58

19 http://slovari.yandex.ru/~books/TSB/Prinsip Dualitas/.

§ 1 Estimasi operasi aritmatika

Pada pelajaran kali ini kita akan membahas tentang bagaimana memperkirakan hasil operasi aritmatika.

Seringkali ada situasi dalam kehidupan ketika tidak perlu mengetahui hasil pasti dari suatu perhitungan, tetapi hanya nilai perkiraan atau perkiraan saja sudah cukup. Untuk mengevaluasi hasil operasi aritmatika dengan cara ini, Anda dapat menemukan "batas" -nya - angka-angka di mana hasil tersebut terkandung. Anda dapat menyederhanakan perhitungan dengan memperkirakan hasil operasi aritmatika.

Memperkirakan hasil suatu operasi aritmatika berarti mencari nilai perkiraan dari operasi aritmatika tersebut.

Dengan kata lain, carilah bilangan yang kira-kira sama dengan hasil suatu tindakan tertentu.

Untuk memperkirakan hasil operasi aritmatika, komponen ekspresi numerik perlu diganti dengan bilangan bulat yang nilainya mendekati.

§ 2 Contoh melakukan perhitungan operasi aritmatika

Sebagai contoh, mari kita perkirakan hasil bagi dari angka 32203 dan 76:

1. Gantikan pembagi 76 dengan bilangan bulat tutup 80.

2. Gantikan pembagian 32203 dengan bilangan bulat tertutup, 32000, yang sesuai untuk pembagian.

3. Mari kita bagi 32000: 80 = 400.

4. Kita simpulkan bahwa 32203:76 kira-kira sama dengan 400.

Estimasinya dicatat sebagai berikut: 32203: 76 ≈ 32000: 80 = 400.

Mari kita lihat contoh lainnya: mari kita hitung hasil kali bilangan 765 dan 435:

1. Gantikan faktor pertama 765 dengan bilangan bulat terdekat 800.

2. Gantikan faktor kedua 435 dengan bilangan bulat terdekat 400.

3. Kalikan 800 · 400 = 320000.

4. Kita simpulkan bahwa 765 · 435 ≈ 800 · 400 = 320000.

Perlu dicatat bahwa ketika memilih angka bulat, mereka mengandalkan aturan berikut:

jika angka kedua pada bilangan tersebut kurang dari 5, maka bilangan tersebut dibulatkan ke bawah; dan jika angka kedua pada bilangan tersebut lebih besar atau sama dengan 5, maka bilangan tersebut dibulatkan ke atas.

Misalnya:

Mari kita bulatkan angka 180760. Digit kedua pada notasi angka ini adalah 8, 8 > 5, artinya kita membulatkan 180760 ≈ 200000.

Mari kita bulatkan angka 422600. Digit kedua dalam notasi angka ini adalah 2, 2< 5, значит - округляем в меньшую сторону 422600 ≈ 400000.

Mari kita bulatkan angka 7584. Digit kedua pada notasi angka ini adalah 5, artinya kita membulatkan 7584 ≈ 8000.

§ 3 Ringkasan singkat pelajaran

Mari kita rangkum pelajaran ini:

Untuk memperkirakan hasil operasi aritmatika, Anda harus:

1. mengganti komponen ekspresi numerik dengan bilangan bulat yang nilainya mendekati;

2. temukan arti dari ekspresi yang dihasilkan dan catat perkiraannya.

Daftar literatur bekas:

1. Peterson L.G. Matematika. kelas 4. Bagian 1./L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014
2. Matematika. kelas 4. Rekomendasi metodologis untuk buku teks matematika “Belajar untuk Belajar” untuk kelas 4 SD. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014.
3. Zach S.M. Semua tugas untuk buku teks matematika untuk kelas 4 oleh L.G. Peterson dan serangkaian karya independen dan uji. Standar Pendidikan Negara Bagian Federal. – M.: UNWES, 2014.
4. CD-ROM. Matematika. kelas 4. Skenario pelajaran untuk buku teks bagian 1 Peterson L.G. – M.: Yuvent, 2013.

Mari kita pertimbangkan masalah teoritis dan praktis apa yang dipelajari dalam topik “Operasi Aritmatika”, apa tingkat pengungkapannya dan urutan pengenalannya.

Arti khusus dari operasi aritmatika, yaitu hubungan antara operasi pada himpunan dan operasi aritmatika yang bersesuaian (misalnya, hubungan antara operasi penggabungan himpunan lepas dan tindakan penjumlahan). Pengetahuan tentang arti khusus operasi aritmatika harus diperoleh pada tingkat generalisasi empiris: siswa harus belajar secara praktis membangun hubungan antara operasi pada himpunan dan operasi aritmatika ketika mencari hasil operasi aritmatika dalam beberapa kasus, serta memilih aritmatika operasi saat menyelesaikan masalah aritmatika teks.

Sifat-sifat operasi aritmatika. Ini adalah ketentuan matematika tentang transformasi ekspresi matematika yang identik, yang mencerminkan transformasi ekspresi matematika tertentu yang nilainya tidak berubah; Mata kuliah matematika awal mencakup sifat-sifat yang menjadi landasan teori teknik komputasi.

Pada mata kuliah awal matematika, sifat-sifat operasi aritmatika berikut dipelajari: sifat komutatif dan asosiatif penjumlahan, sifat mengurangkan suatu bilangan dari suatu jumlah, sifat mengurangkan suatu jumlah dari suatu bilangan, sifat-sifat mengurangkan suatu bilangan dari suatu penjumlahan, sifat-sifat pengurangan suatu bilangan dari suatu bilangan, sifat-sifat pengurangan suatu bilangan dari suatu bilangan. penjumlahan, sifat komutatif dan asosiatif perkalian, sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, sifat membagi suatu jumlah dengan bilangan, sifat membagi suatu bilangan dengan suatu hasil kali.

Sifat-sifat operasi aritmatika yang disediakan oleh program harus dikuasai pada tingkat generalisasi konseptual: siswa harus mengetahui rumusannya dan menerapkannya secara praktis ketika membenarkan teknik komputasi, ketika memecahkan masalah, persamaan, latihan transformasi identitas, dll.

Sifat-sifat lain dari operasi aritmatika (keberadaan dan keunikan hasil, monotonisitas jumlah dan hasil kali, dll.) terungkap pada tingkat generalisasi empiris: siswa secara praktis mengoperasikannya, rumusan sifat-sifatnya tidak diberikan.

Hubungan antar komponen dan hasil operasi aritmatika. Ini adalah pernyataan matematika yang mencerminkan bagaimana masing-masing komponen operasi aritmatika dinyatakan melalui hasil dan komponen lainnya.

Pada mata kuliah matematika awal dipelajari hubungan antara komponen dengan hasil tindakan penjumlahan, kemudian dipelajari hubungan antara komponen dengan hasil tindakan pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Pengetahuan tentang koneksi harus diperoleh pada tingkat generalisasi konseptual: siswa harus mengetahui rumusan yang tepat dan secara praktis menggunakan pengetahuan ini ketika memecahkan persamaan dan membenarkan teknik komputasi.

Mengubah hasil operasi aritmatika tergantung pada perubahan salah satu komponen, yaitu ketentuan matematika yang mencirikan bagaimana nilai suatu ekspresi berubah tergantung pada perubahan salah satu komponennya.

Sehubungan dengan materi ini, diberikan tingkat generalisasi empiris: siswa, melakukan latihan khusus, mengamati perubahan yang sesuai dan, dengan menggunakan contoh spesifik, menetapkan sifat perubahan hasil operasi aritmatika tergantung pada kenaikan atau penurunan. salah satu komponen, atau menetapkan perubahan kuantitatif - bagaimana hasilnya akan berubah jika salah satu komponen ditambah atau dikurangi beberapa unit atau beberapa kali. Pengamatan seperti itu nantinya akan menjadi dasar untuk memperkenalkan konsep fungsi; sekaligus merupakan latihan perkembangan yang sangat baik.

Hubungan antar komponen dan antar komponen serta hasil operasi aritmatika. Ini adalah ketentuan matematika yang mencerminkan hubungan “lebih besar dari”, “kurang dari”, “sama dengan”, baik antar komponen (minuend lebih besar atau sama dengan pengurang), atau antara komponen dan hasil operasi aritmatika ( jumlahnya mungkin lebih besar dari masing-masing suku, atau mungkin sama dengan salah satu atau masing-masing suku). Materi ini juga diserap pada tingkat generalisasi empiris: siswa menjalin hubungan yang sesuai dengan melakukan latihan-latihan khusus. Pengetahuan tentang hubungan ini digunakan untuk memeriksa perhitungan; mereka juga melayani tujuan propaedeutika fungsional.

Aturan. Pertama-tama, ketentuan-ketentuan yang merupakan konsekuensi dari pengertian operasi aritmatika dan makna spesifiknya: aturan penjumlahan dan pengurangan dengan angka 0, perkalian dan pembagian dengan angka 1 dan 0, serta ketentuan-ketentuan yang ditetapkan secara historis - aturan tentang urutan melakukan operasi aritmatika dalam ekspresi matematika. Siswa harus memahami susunan kata peraturan dan mampu menggunakannya secara praktis.

Istilah dan simbol. Sehubungan dengan kajian masalah-masalah yang berkaitan dengan materi teoritis, diperkenalkan terminologi dan simbolisme yang sesuai: nama operasi aritmatika, simbol yang menunjukkannya dan namanya, nama komponen dan hasil operasi aritmatika, nama dari ekspresi matematika yang sesuai. Istilah-istilah harus dimasukkan dalam kosakata aktif siswa dan digunakan oleh mereka ketika merumuskan pernyataan matematika; siswa juga harus belajar menggunakan simbol-simbol yang sesuai dengan benar; Istilah dan simbol diperkenalkan sehubungan dengan studi tentang operasi aritmatika yang bersesuaian.

Seiring dengan materi teoretis dan hubungan organik dengannya, pertanyaan praktis: teknik komputasi dan pemecahan masalah aritmatika. Teknik komputasi adalah teknik untuk mencari hasil operasi aritmatika. Teknik komputasi diungkapkan berdasarkan penggunaan eksplisit prinsip-prinsip teoritis yang relevan. Misalnya, berdasarkan sifat komutatif penjumlahan, teknik penataan ulang suku diperkenalkan. Dalam setiap konsentrasi, teknik komputasi dipelajari pada bilangan bulat non-negatif dari segmen deret alami yang sesuai (dalam konsentrasi pertama - dalam 10, pada konsentrasi kedua - dalam 100, dll.). Pada konsentrasi “Sepuluh” hanya dipelajari teknik penjumlahan dan pengurangan, dan pada konsentrasi sisanya dipelajari teknik keempat operasi aritmatika.

Urutan pengenalan semua pertanyaan ini tunduk pada tujuan utama mempelajari operasi aritmatika - pembentukan keterampilan komputasi yang sadar, kuat, dan otomatis.

3. Ketentuan umum tentang metodologi pembentukan konsep dan gagasan tentang operasi aritmatika pada anak sekolah dasar.

Asimilasi siswa terhadap materi teori bermuara pada asimilasi mereka terhadap aspek-aspek penting dari prinsip-prinsip matematika yang dipelajari pada tingkat generalisasi yang disediakan oleh program. Oleh karena itu, seluruh aktivitas siswa dalam memperoleh pengetahuan harus ditujukan untuk menyoroti dan memahami aspek-aspek penting dari prinsip-prinsip teoritis yang dipelajari. Hal ini dilakukan terutama oleh siswa yang melakukan sistem latihan yang sesuai, yang tunduk pada tujuan setiap tahap pembentukan pengetahuan. Dalam metodologi pembentukan pengetahuan ada tahapan sebagai berikut: tahap persiapan, pengenalan materi baru, pemantapan pengetahuan.

Pada tahap persiapan pengenalan materi teori baru Pertama-tama, latihan diberikan untuk mereproduksi pengetahuan yang diperoleh sebelumnya, yang merupakan sarana asimilasi pengetahuan baru. Dalam kebanyakan kasus, selama periode ini disarankan untuk membuat “model subjek” dari pengetahuan yang dibentuk dalam pikiran anak-anak dengan melakukan operasi pada himpunan. Misalnya, sebelum memahami arti spesifik dari tindakan penjumlahan, Anda harus melakukan latihan yang cukup untuk melakukan operasi menggabungkan himpunan lepas (tambahkan 3 bola ke 4 bola dan cari tahu berapa banyak bola yang ada), yang nantinya menjadi dasar untuk mengenal makna tindakan penjumlahan.

Pada tahap pengenalan materi baru aspek esensial dari proposisi matematika yang dipelajari diungkapkan dengan bantuan sistem latihan yang dilakukan oleh siswa. Ketika sudah familiar dengan sifat-sifat operasi aritmatika, hubungan dan ketergantungan antara komponen dan hasilnya, lebih disarankan untuk menggunakan metode percakapan heuristik, siswa yang gagal secara induktif pada “penemuan” pola yang sesuai dan meyakinkan validitasnya dengan menggunakan sarana visual. Saat membiasakan diri dengan aturan, saat memperkenalkan terminologi dan simbol, gunakan metode penjelasan, yaitu. Guru menyajikan materi, dan siswa mempersepsikannya.

Setelah ditinjau secara induktif dengan arti khusus dari operasi aritmatika, dengan sifat-sifatnya, hubungan dan ketergantungan antara komponen dan hasil, siswa ditawari latihan yang pola-polanya sesuai muncul ketika dilakukan. Menganalisisnya, siswa mengidentifikasi ciri-ciri penting dari pengetahuan yang sedang dibentuk dan, tergantung pada tingkat generalisasinya, merumuskan sejumlah kesimpulan khusus (pada tingkat empiris), atau beralih dari kesimpulan tersebut ke kesimpulan umum (pada tingkat konseptual). ). Penting untuk menyoroti tidak hanya fitur-fitur penting, tetapi juga sejumlah fitur yang tidak penting. Misalnya, pertimbangkan bagaimana Anda dapat memperkenalkan sifat komutatif perkalian. Siswa diminta menyusun 6 kotak yang tiap barisnya menjadi 4 baris dan mencari jumlah kotak yang disusunnya. Pada saat yang sama, perhatian siswa tertuju pada fakta bahwa penghitungan jumlah kuadrat dapat dilakukan dengan dua cara: 6*4=24 dan 4*6=24. Saat membandingkan catatan yang diterima, siswa menetapkan fitur serupa ( produk diberikan, faktor yang sama sama, nilai produk sama) dan ciri khas (pengganda ditukar). Selanjutnya dilakukan latihan serupa, satu atau dua di antaranya adalah anak-anak. Setelah menyelesaikan latihan yang cukup untuk membandingkan pasangan perkalian, siswa menetapkan bahwa semua pasangan perkalian mempunyai faktor yang sama dan nilai perkalian pada setiap pasangan adalah sama, dengan faktor-faktor yang ditukar. Pengamatan ini memungkinkan siswa sampai pada suatu kesimpulan yang bersifat generalisasi, yaitu rumusan sifat komutatif perkalian: “Jika faktor-faktornya ditukar, nilai hasil kali tidak akan berubah.”

Dengan metode pengenalan materi baru ini, sistem latihan harus memenuhi beberapa persyaratan:

· Sistem latihan harus memberikan dasar visual untuk pengetahuan yang sedang dibentuk. Oleh karena itu, saat melakukan latihan, dalam banyak kasus penting untuk menggunakan kejelasan: operasi pada himpunan (dalam contoh yang dipertimbangkan, gabungan himpunan persegi yang saling lepas sama) dan notasi matematika yang sesuai (6* 4 = 24 dan 4* 6 = 24). Hal ini menciptakan peluang bagi anak sendiri untuk “menemukan” pola-pola yang dipelajarinya.

· Latihan harus dipilih sedemikian rupa sehingga aspek-aspek esensial dari pengetahuan yang dibentuk tetap tidak berubah, dan aspek-aspek non-esensial berubah. Jadi, untuk sifat komutatif perkalian, ciri-ciri esensialnya adalah: hasil kali mempunyai faktor yang identik, hasil kali berbeda dalam urutan faktornya, nilai hasil kali sama; Ciri-ciri yang tidak penting adalah angka-angka itu sendiri dan rasionya. Oleh karena itu, ketika memilih pasangan produk, Anda perlu mengambilnya dengan nomor berbeda, dan angka dalam rasio berbeda (6* 4 dan 4* 6; 2*5 dan 5* 2; 7* 3 dan 3* 7, dst. ). Hal ini akan memungkinkan siswa untuk menyoroti tidak hanya fitur-fitur penting, tetapi juga non-esensial dari pengetahuan baru, yang akan berkontribusi pada generalisasi yang benar.

· Siswa hendaknya didorong untuk membuat latihan serupa dengan yang dibahas. Kemampuan menyusun latihan-latihan tersebut akan menunjukkan bahwa siswa telah mengidentifikasi aspek-aspek esensial dari pengetahuan yang dibentuk.

· Saat mempelajari materi baru, sering kali muncul situasi ketika pengalaman anak sebelumnya berdampak positif dan negatif dalam penguasaan materi baru. Hal ini harus diperhitungkan ketika memperkenalkan materi baru dan memberikan latihan khusus untuk membandingkan dan membedakan isu-isu yang memiliki beberapa kesamaan. Misalnya, sebelum mempelajari sifat komutatif perkalian, Anda perlu mengulangi sifat komutatif penjumlahan dan menggunakan teknik yang sama. Dalam hal ini, analogi akan membantu ketika menguasai suatu properti baru. Sebelum mempelajari sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, ada baiknya kita mengulang sifat asosiatif penjumlahan untuk mencegah kerancuan sifat-sifat tersebut dan terjadinya kesalahan saat mempelajari sifat baru.

Jadi, sebagai hasil dari melakukan latihan-latihan khusus, siswa diarahkan pada rumusan umum dari proposisi matematika yang dipelajari, atau hanya pada kesimpulan-kesimpulan tertentu.

Pada tahap konsolidasi pengetahuan Akibat siswa menyelesaikan suatu sistem latihan untuk menerapkan materi yang dipelajari, pengetahuannya diperkaya dengan konten baru yang spesifik dan dimasukkan ke dalam sistem pengetahuan yang ada. Konsolidasi pengetahuan setiap posisi matematika dicapai sebagai hasil dari kinerja siswa dalam sistem latihan khusus, dengan memperhatikan persyaratan umum:

· Setiap latihan sistem harus mempunyai potensi untuk menerapkan pengetahuan yang dihasilkan. Kemudian siswa, dengan melaksanakannya, setiap kali akan menyoroti sifat-sifat penting dari pengetahuan yang sedang dibentuk dan dengan demikian mengasimilasinya dengan lebih baik. Dalam hal ini yang pertama dimasukkan adalah latihan-latihan yang dapat dilakukan baik atas dasar penerapan ilmu yang sedang dibentuk, maupun pengetahuan lain yang diperoleh sebelumnya. Melakukan latihan seperti itu dengan metodologi yang tepat menciptakan peluang nyata bagi setiap siswa untuk menggeneralisasi pengetahuan yang diperoleh.

· Latihan untuk menerapkan pengetahuan harus didasarkan pada berbagai konten tertentu (menyelesaikan masalah aritmatika, membandingkan ekspresi matematika, dll). Hal ini akan menjamin terbentuknya pengetahuan yang bermakna dan fleksibel serta mencegah asimilasi formalnya.

· Sistem latihan harus memastikan terjalinnya hubungan intrakonseptual (hubungan antara operasi aritmatika, antara sifat-sifatnya, dll.) dan hubungan antarkonsep (hubungan antara komponen dan hasil operasi aritmatika dengan penyelesaian persamaan). Hal ini menentukan masuknya pengetahuan baru ke dalam sistem pengetahuan yang sudah ada.

· Harus ada jumlah latihan yang cukup untuk memastikan kekuatan pengetahuan yang dibentuk.

· Latihan harus dapat diakses oleh siswa dan berkisar dari yang sederhana hingga yang kompleks.

· Sistem harus menyediakan latihan khusus yang mempersiapkan siswa untuk menguasai pertanyaan-pertanyaan yang bersifat praktis: melakukan perhitungan, menyelesaikan masalah aritmatika, menyelesaikan persamaan, dll.

· Pada tahap ini, lebih dari tahap sebelumnya, latihan harus diberikan untuk membandingkan dan membedakan materi baru dengan materi yang telah dipelajari sebelumnya, yang akan mencegah kebingungan atas masalah serupa dan membantu membangun hubungan intra-konseptual dan antar-konseptual.

· Ketika mengatur kegiatan siswa pada tahap ini, metode kerja mandiri harus lebih sering digunakan dan perkembangan mental siswa harus difasilitasi dengan segala cara.

· Selain itu, kita harus memperhitungkan bahwa siswa yang lebih muda mempelajari materi dengan lebih baik jika dimasukkan dalam pelajaran dalam bagian-bagian kecil, tetapi untuk waktu yang cukup lama.

Lampiran No.1

Operasi aritmatika

Lampiran No.2

Informasi terkait.