Konstruksi bidang p yang tegak lurus bidang a dapat dilakukan dengan dua cara: I) bidang p ditarik melalui garis lurus yang tegak lurus bidang a; 2) bidang p ditarik tegak lurus terhadap garis yang terletak pada bidang a atau sejajar dengan bidang tersebut. Untuk mendapatkan solusi unik, diperlukan kondisi tambahan. Gambar 148 menunjukkan konstruksi bidang yang tegak lurus terhadap bidang yang dibatasi oleh segitiga CDE. Syarat tambahannya adalah bidang yang diinginkan harus melalui garis lurus AB. Oleh karena itu, bidang yang diinginkan ditentukan oleh garis lurus AB dan tegak lurus bidang segitiga. Untuk menggambar garis tegak lurus terhadap bidang CDE, diambil bagian depan CN dan CM horizontal: jika B"F" ± C"N" dan B"G 1 CM\ maka BFX bidang CDF. Bidang yang dibentuk oleh perpotongan garis lurus AB dan BF tegak lurus terhadap bidang CDE, Bagaimana garis lurus tersebut melalui garis tegak lurus bidang tersebut? Apakah tegak lurus bidang yang bernama sama dapat menjadi tanda tegak lurus bidang itu sendiri? hal ini juga mencakup saling tegak lurus dari dua bidang yang menonjol secara horizontal, yang mana jejak-jejak horizontalnya saling tegak lurus. dengan saling tegak lurus dari jejak-jejak bagian depan dari bidang-bidang yang menonjol ke depan itu saling tegak lurus bidang p tegak lurus bidang kedudukan umum a. Jika bidang p tegak lurus bidang i dan bidang a, maka p 1 sebagai k. 0a 1р dan, oleh karena itu, h"0u 1 р", untuk salah satu garis lurus pada bidang р. Jadi, tegak lurus jejak horizontal bidang posisi umum dan bidang yang menonjol secara horizontal berhubungan dengan saling tegak lurus bidang-bidang tersebut. Jelasnya, tegak lurus jejak frontal dari bidang yang menonjol ke depan dan bidang posisi umum juga berhubungan dengan saling tegak lurus dari bidang-bidang ini. Tetapi jika jejak-jejak dua bidang yang mempunyai nama yang sama pada kedudukan yang sama saling tegak lurus, maka bidang-bidang itu sendiri tidak tegak lurus satu sama lain, karena tidak ada syarat-syarat yang disebutkan di awal bagian ini yang terpenuhi. Soal untuk tes mandiri 1. Bagaimana bidang didefinisikan dalam gambar? 2. Berapakah jejak suatu bidang pada bidang proyeksi? 3. Di manakah letak proyeksi frontal jejak horizontal dan proyeksi horizontal jejak frontal bidang? L. Bagaimana dalam gambar ditentukan apakah suatu garis lurus termasuk dalam suatu bidang tertentu? 5. Bagaimana cara membuat titik pada gambar yang termasuk dalam bidang tertentu? 6. Bagaimana lokasi nt di sistem? dan 713 posisi umum pesawat? 7. Apa yang dimaksud dengan bidang proyeksi frontal, proyeksi horizontal, dan proyeksi profil? 8. Bagaimana bidang proyeksi bagian depan yang ditarik melalui garis lurus pada posisi umum ditunjukkan pada gambar? 9. Posisi relatif manakah yang dapat ditempati oleh dua bidang? 10. Apa tanda kesejajaran dua bidang? 11. Bagaimana letak lintasan dua bidang yang sejajar satu sama lain dengan nama yang sama? 12. Bagaimana cara menentukan posisi relatif garis lurus dan bidang? 13. Apa cara umum untuk membuat garis perpotongan dua bidang? 14. Apa cara umum untuk menentukan titik potong garis dengan bidang? 15. Bagaimana cara menentukan “visibilitas” ketika sebuah garis memotong sebuah bidang? 16. Apa yang menentukan kesejajaran timbal balik antara dua bidang? 17. Bagaimana cara menggambar bidang yang sejajar dengan bidang tertentu melalui suatu titik? 18. Di manakah letak proyeksi tegak lurus bidang? 19. Bagaimana cara membuat bidang yang saling tegak lurus?
Konstruksi garis dan bidang yang saling tegak lurus merupakan operasi grafis yang penting dalam menyelesaikan masalah metrik.
Konstruksi tegak lurus suatu garis atau bidang lurus didasarkan pada sifat-sifat sudut siku-siku, yang dirumuskan sebagai berikut: jika salah satu sisi sudut siku-siku sejajar dengan bidang proyeksi dan sisi lainnya tidak tegak lurus terhadap bidang proyeksi. , maka sudutnya diproyeksikan dalam ukuran penuh ke bidang ini.
Gambar 28
Sisi BC sudut siku-siku ABC, ditunjukkan pada Gambar 28, sejajar dengan bidang P 1. Oleh karena itu, proyeksi sudut ABC pada bidang ini akan mewakili sudut siku-siku A 1 B 1 C 1 =90.
Suatu garis dikatakan tegak lurus terhadap suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang tersebut. Saat membuat garis tegak lurus dari sekumpulan garis lurus milik bidang, pilih garis lurus yang rata - horizontal dan frontal. Dalam hal ini, proyeksi horizontal tegak lurus dilakukan tegak lurus terhadap horizontal, dan proyeksi frontal tegak lurus ke depan. Contoh yang ditunjukkan pada Gambar 29 menunjukkan konstruksi tegak lurus bidang yang dibatasi oleh segitiga ABC dari titik K. Untuk melakukannya, pertama-tama gambarlah garis horizontal dan garis depan pada bidang tersebut. Kemudian, dari proyeksi frontal titik K kita menggambar garis tegak lurus terhadap proyeksi frontal frontal, dan dari proyeksi horizontal titik tersebut - tegak lurus terhadap proyeksi horizontal horizontal. Kemudian kita buat titik potong tegak lurus tersebut dengan bidang menggunakan bidang potong bantu Σ. Titik yang diperlukan adalah F. Jadi, ruas KF yang dihasilkan tegak lurus bidang ABC.
Gambar 29
Gambar 29 menunjukkan konstruksi KF yang tegak lurus terhadap bidang ABC.
Dua bidang dikatakan tegak lurus jika sebuah garis yang terletak pada suatu bidang tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang lainnya. Konstruksi bidang yang tegak lurus bidang ABC ditunjukkan pada Gambar 30. Sebuah garis lurus MN ditarik melalui titik M, tegak lurus bidang ABC. Proyeksi horizontal garis ini tegak lurus AC, karena AC horizontal, dan proyeksi frontal tegak lurus AB, karena AB frontal. Kemudian ditarik garis lurus sembarang EF melalui titik M. Jadi, bidang tersebut tegak lurus ABC dan dibatasi oleh dua garis berpotongan EF dan MN.
Gambar 30
Metode ini digunakan untuk menentukan nilai alami segmen pada posisi umum, serta sudut kemiringannya terhadap bidang proyeksi. Untuk menentukan ukuran alami suatu ruas dengan menggunakan metode ini, perlu dibuat segitiga siku-siku pada salah satu proyeksi ruas tersebut. Kaki lainnya adalah perbedaan ketinggian atau kedalaman titik akhir segmen, dan sisi miring adalah nilai alaminya.
Mari kita perhatikan sebuah contoh: Gambar 31 menunjukkan segmen AB pada posisi umum. Diperlukan untuk menentukan ukuran alaminya dan sudut kemiringannya terhadap bidang proyeksi frontal dan horizontal.
Kami menggambar garis tegak lurus ke salah satu ujung segmen pada bidang horizontal. Kami memplot perbedaan ketinggian (ZA-ZB) dari ujung-ujung ruas di atasnya dan menyelesaikan konstruksi segitiga siku-siku. Sisi miringnya adalah nilai natural segmen tersebut, dan sudut antara nilai natural dan proyeksi segmen adalah nilai natural sudut kemiringan segmen terhadap bidang P 1. Urutan konstruksi pada bidang frontal adalah sama. Sepanjang garis tegak lurus kita memplot perbedaan kedalaman ujung-ujung ruas (YA-YB). Sudut yang dihasilkan antara ukuran alami ruas dan proyeksi depannya adalah sudut kemiringan ruas terhadap bidang P2.
Gambar 31
1. Nyatakan teorema tentang sifat-sifat sudut siku-siku.
2. Dalam hal apa garis lurus tegak lurus bidang?
3. Berapa banyak garis lurus dan berapa banyak bidang yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu yang dapat ditarik melalui suatu titik dalam ruang?
4. Untuk apa metode segitiga siku-siku digunakan?
5. Bagaimana cara menggunakan metode ini untuk menentukan sudut kemiringan suatu segmen pada posisi umum terhadap bidang proyeksi horizontal?
| Bentuk lisan | Bentuk grafis |
| 1. Diketahui bahwa untuk membuat garis lurus yang tegak lurus suatu bidang, perlu dibuat garis horizontal dan garis depan pada bidang tersebut. a) Perhatikan bahwa konstruksi garis tegak lurus disederhanakan, karena sisi-sisi bidang Q(D ABC) adalah garis lurus sejajar: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – depan AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – mendatar . b) Ambil garis lurus | |
| aku titik sewenang-wenang K 2. Melalui titik K yang termasuk dalam garis aku, kami melakukan langsung a) Perhatikan bahwa konstruksi garis tegak lurus disederhanakan, karena sisi-sisi bidang Q(D ABC) adalah garis lurus sejajar: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – depan AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – mendatar . N aku,^Q, yaitu. a) Perhatikan bahwa konstruksi garis tegak lurus disederhanakan, karena sisi-sisi bidang Q(D ABC) adalah garis lurus sejajar: AB (A 1 B 1; A 2 B 2) – depan AC (A 1 C 1; A 2 C 2) – mendatar . n 1 ^ A 1 C 1 dan n 2 ^ A 2 B 2 . |  |
Bidang yang diinginkan akan ditentukan oleh dua garis berpotongan, salah satunya diberikan -
, dan yang lainnya -
tegak lurus terhadap bidang tertentu: P(
n)^Q (D ABC)
Akhir pekerjaan -
Topik ini termasuk dalam bagian:
| Geometri deskriptif - T.V. Khrustalev |
Jika Anda memerlukan materi tambahan tentang topik ini, atau Anda tidak menemukan apa yang Anda cari, kami sarankan untuk menggunakan pencarian di database karya kami:
Apa yang akan kami lakukan dengan materi yang diterima:
Jika materi ini bermanfaat bagi Anda, Anda dapat menyimpannya ke halaman Anda di jejaring sosial:
Menciak
Semua topik di bagian ini:
GEOMETRI DESKRIPTIF
Direkomendasikan oleh Pusat Pendidikan dan Metodologi Regional Timur Jauh sebagai buku teks untuk siswa khusus 210700 “Otomasi, telemekanik, dan komunikasi kereta api”
Gambar geometris
1. Bidang proyeksi: p – sewenang-wenang;
p1 – horisontal;
p2 – depan;
p3 – profil;
S – proyeksi tengah
Notasi teori himpunan
Inti dari metode proyeksi adalah proyeksi Ap dari suatu gambar geometris
Pusat proyeksi
Pembalikan gambar, seperti yang disebutkan sebelumnya, yaitu penentuan posisi suatu titik dalam ruang berdasarkan proyeksinya, dapat dipastikan dengan proyeksi ke dua titik yang saling tegak lurus.
Sistem tiga bidang yang saling tegak lurus
Dalam praktik, penelitian dan pencitraan, sistem dua bidang yang saling tegak lurus tidak selalu memberikan kemungkinan solusi yang jelas. Jadi, misalnya, jika Anda memindahkan titik A sepanjang sumbunya
Gambar kompleks dan representasi visual suatu titik dalam oktan I – IV
Mari kita perhatikan contoh pembuatan titik A, B, C, D dalam berbagai oktan (Tabel 2.4).
Tabel 2.4 Representasi Visual Oktan
Ketentuan umum
Garis adalah gambaran geometri satu dimensi yang mempunyai panjang; himpunan semua posisi berturut-turut dari suatu titik bergerak. Menurut definisi Euclid: “Sebuah garis adalah panjang tanpa lebar.”
Lantai
Tingkat langsung
Definisi Representasi visual Gambar kompleks Garis horizontal adalah garis apa pun yang sejajar dengan garis horizontal
Memproyeksikan garis lurus
Definisi Representasi visual Gambar kompleks Garis yang menonjol secara horizontal adalah garis lurus yang tegak lurus
Konstruksi proyeksi ketiga suatu segmen berdasarkan dua hal yang diberikan
Dalam contoh kita, kita akan mempertimbangkan pembangunan jalur umum pada kuartal pertama (Tabel 3.3).
Tabel 3.3 Bentuk verbal
Metode segitiga siku-siku. Penentuan ukuran alami suatu ruas garis lurus dan sudut kemiringan garis lurus terhadap bidang proyeksi
Tabel 2.4 Representasi Visual Oktan
Membangun proyeksi segmen garis lurus pada posisi umum dan tertentu memungkinkan untuk menyelesaikan tidak hanya masalah posisi (lokasi relatif terhadap bidang proyeksi), tetapi juga masalah metrik - menentukan panjang dari
Penentuan nilai alami suatu ruas garis pada posisi umum
Untuk menentukan nilai natural suatu ruas garis lurus pada posisi umum dari proyeksinya digunakan metode segitiga siku-siku.
Mari kita perhatikan urutan posisi ini (Tabel.
Dua garis lurus dalam ruang dapat mempunyai letak yang berbeda: berpotongan (terletak pada bidang yang sama). Kasus perpotongan khusus terjadi pada sudut siku-siku; mungkin paralel
Menentukan visibilitas garis relatif terhadap bidang proyeksi
Definisi Gambar visual Gambar kompleks Bidang yang menonjol secara horizontal adalah bidang yang tegak lurus
Pesawat datar
Ciri-ciri Diagram Representasi Visual Bidang frontal merupakan bidang yang sejajar dengan bidang p2. Ini
Garis lurus dengan posisi khusus pada bidang
Garis-garis yang letaknya khusus pada bidang adalah h mendatar, f bagian depan, dan garis-garis yang kemiringannya paling besar terhadap bidang proyeksi. Mari kita lihat representasi grafis dari garis-garis ini (Tabel 5.6).
Ta
Algoritma konstruksi frontal
Bentuk verbal Bentuk grafis Diberikan sebuah bidang a (a|| b), maka a1 || b1; a2
Algoritma untuk membuat proyeksi kedua titik K
Bentuk verbal Bentuk grafik Bidang a – ditentukan oleh gambar datar a (D ABC), K2 – proyeksi frontal titik K
Algoritma untuk membuat bidang yang sejajar dengan bidang tertentu
Bentuk verbal Bentuk grafik 1. Untuk menyelesaikan soal pada bidang tertentu P(D ABC), diambil sembarang garis yang berpotongan. Misalnya AB
Pesawat berpotongan
Dua bidang berpotongan pada suatu garis lurus. Untuk membuat garis perpotongannya, perlu dicari dua titik yang termasuk dalam garis tersebut. Permasalahan menjadi lebih sederhana jika salah satu bidang yang berpotongan terisi
Algoritma untuk membuat garis lurus yang sejajar dengan bidang
Bentuk verbal Bentuk grafik 1. Mari kita buat pada bidang P(D ABC) sebuah garis lurus A1, yang termasuk dalam bidang P
Algoritma perpotongan garis lurus dengan bidang umum
Bentuk verbal Bentuk grafik 1. Membangun titik potong garis lurus l dengan bidang
Algoritma untuk membuat tegak lurus bidang
Bentuk verbal Bentuk grafik 1. Untuk membuat garis tegak lurus bidang P(D ABC) melalui titik D, Anda harus terlebih dahulu
Ke Bab 3
1. Buatlah proyeksi garis AB (Gbr. 3) jika: a) sejajar dengan p1;
b) sejajar dengan p2;
c) sejajar dengan OX;
d) tegak lurus terhadap p1
Ke Bab 5
Pada bidang yang dibatasi oleh dua garis lurus sejajar, buatlah bagian depan pada jarak 15 mm dari p1 (Gbr. 9):
Ke Bab 6
1. Diketahui sebuah bidang P(a|| b) dan proyeksi frontal m2 dari sebuah garis m yang melalui titik D. Buatlah proyeksi horizontal dari garis m1 sehingga garis m sejajar dengan bidang tersebut
Tes untuk Bab 3
1.GOST 2.001-70. Ketentuan umum // Dalam koleksi. Sistem dokumentasi desain terpadu. Ketentuan dasar. – M.: Standards Publishing House, 1984. – Hal.3–5.
2.GOST 2.104-68. Prasasti utama // B
Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa konstruksi garis dan bidang yang saling tegak lurus, serta penentuan jarak antara dua titik, merupakan operasi grafik utama dalam menyelesaikan masalah metrik.
Prasyarat teoretis untuk membuat proyeksi garis dan bidang yang tegak lurus satu sama lain dalam ruang pada diagram Monge adalah sifat yang disebutkan sebelumnya (lihat 6)
proyeksi sudut siku-siku, yang salah satu sisinya sejajar dengan bidang proyeksi apa pun:
1. Garis yang saling tegak lurus.
Agar dapat menggunakan properti yang disebutkan untuk membuat dua garis lurus yang berpotongan pada sudut 90° pada diagram Monge, salah satunya harus sejajar dengan bidang proyeksi. Mari kita jelaskan apa yang telah dikatakan dengan contoh.
CONTOH 1. Melalui titik A, tariklah garis lurus l yang memotong garis mendatar h membentuk sudut siku-siku (Gbr. 249).
Karena salah satu sisi h sudut siku-siku sejajar dengan bidang π 1, maka sudut siku-siku akan diproyeksikan ke bidang ini tanpa distorsi. Oleh karena itu, melalui A" kita menggambar proyeksi horizontal l" ⊥ h". Kami menandai titik M" = l" ∩ h". Kita temukan M" (M" ∈ h"). Titik A" dan M" tentukan l" (lihat Gambar 249, a).
Jika alih-alih garis horizontal diberikan f bagian depan, maka konstruksi geometri untuk menggambar garis lurus l ⊥ f serupa dengan yang baru saja dibahas, satu-satunya perbedaan adalah bahwa konstruksi proyeksi sudut siku-siku yang tidak terdistorsi harus dimulai dengan a proyeksi frontal (lihat Gambar 249, b).
CONTOH 2. Melalui titik A, tariklah garis lurus l yang memotong garis lurus a, yang dibatasi oleh ruas [BC], dengan sudut 90° (Gbr. 250).
Karena segmen ini menempati posisi sembarang dalam kaitannya dengan bidang proyeksi, seperti pada contoh sebelumnya, kita tidak dapat menggunakan properti tentang kasus khusus memproyeksikan sudut siku-siku, jadi pertama-tama kita perlu memindahkan [BC] ke posisi yang sejajar dengan beberapa bidang proyeksi.
Akibat penggantian tersebut pada sistem baru, x 1 π 2 /π 3 [BC] mendefinisikan garis horizontal, oleh karena itu semua konstruksi selanjutnya dilakukan dengan cara yang sama seperti yang dilakukan pada contoh sebelumnya: setelah titik M “1 ditemukan, dipindahkan ke bidang proyeksi asli pada posisi M" dan M", titik-titik ini bersama dengan A" dan A" menentukan proyeksi garis lurus l.
CONTOH 3. Lakukan proyeksi mendatar sisi [BC] sudut siku-siku ABC, jika diketahui proyeksi depannya ∠A"B"C" dan proyeksi mendatar sisi [A"B"] (Gbr. 251) .
1. Pindahkan sisi sudut [BA] ke posisi || π 3 dengan berpindah dari sistem bidang proyeksi xπ 2 /π 1 ke x 1 π 3 /π 2 yang baru
2. Tentukan proyeksi frontal baru.
Dari B" 1 kita buat garis tegak lurus [B" 1 A" 1]. Pada garis tegak lurus ini kita tentukan titik C" 1 (C" 1 dikeluarkan dari sumbu x 1 dengan jarak |C x 1 C" 1 | = |CxC"| ).
4. Proyeksi mendatar C" didefinisikan sebagai titik potong garis (C" 1 C x 1) ∩ (C"C x) = C".
2. Garis lurus dan bidang yang saling tegak lurus.
Dari mata kuliah stereometri kita mengetahui bahwa suatu garis lurus tegak lurus suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap paling sedikit dua garis yang berpotongan pada bidang tersebut.
Jika kita tidak mengambil garis-garis berpotongan sembarangan pada suatu bidang, melainkan garis-garis horizontal dan frontalnya, maka sifat proyeksi sudut siku-siku dapat digunakan, seperti yang dilakukan pada Contoh 1, Gambar. 249.
Perhatikan contoh berikut; Mari kita asumsikan bahwa dari titik A ∈ α kita perlu mengembalikan garis tegak lurus terhadap bidang α (Gbr. 252).
Melalui titik A kita tarik garis mendatar h dan bagian depan bidang f. Maka menurut definisi (AB), tegak lurus bidang , harus tegak lurus terhadap garis lurus h dan f, yaitu . Tapi sisi AM ∠ ANDA || π 1 , oleh karena itu ∠VAM diproyeksikan ke bidang π 1 , tanpa distorsi, mis. 
. Sisi AK ∠ VAK || π 2 dan, oleh karena itu, sudut ini juga diproyeksikan ke bidang π 2 tanpa distorsi, mis. 
. Alasan di atas dapat dirumuskan sebagai teorema berikut: Agar suatu garis lurus dalam ruang tegak lurus terhadap suatu bidang, maka pada diagram itu proyeksi horizontal garis lurus tersebut harus tegak lurus terhadap proyeksi horizontal bidang horizontal, dan proyeksi frontal terhadap bidang tersebut. proyeksi frontal dari bagian depan bidang ini.
Jika bidang diberikan jejak, maka teorema dapat dirumuskan secara berbeda: Agar suatu garis dalam ruang tegak lurus terhadap suatu bidang, proyeksi garis tersebut harus tegak lurus terhadap jejak-jejak yang bernama sama pada bidang tersebut.
Hubungan yang ditetapkan oleh teorema antara garis dalam ruang yang tegak lurus bidang dan proyeksi garis tersebut terhadap proyeksi garis datar (jejak) bidang mendasari algoritma grafis untuk menyelesaikan masalah menggambar garis tegak lurus bidang, serta membangun bidang yang tegak lurus terhadap garis tertentu.
CONTOH 1. Kembalikan tegak lurus AD ke bidang ΔАВС di titik sudut A (Gbr. 253).
Untuk menentukan arah proyeksi tegak lurus, kita menggambar proyeksi h horizontal dan f frontal pada bidang ABC. Setelah ini, dari titik A" kita kembalikan tegak lurus ke h", dan dari A" - ke f".
CONTOH 2. Dari titik A yang termasuk dalam bidang α (m || n), buatlah garis tegak lurus terhadap bidang tersebut (Gbr. 254).
LARUTAN. Untuk menentukan arah proyeksi tegak lurus l" dan l", seperti pada contoh sebelumnya, tarik garis horizontal h(h", h") melalui titik A (A", A"), yang termasuk dalam bidang α. Mengetahui arah h", kita membuat proyeksi horizontal tegak lurus l" (l" ⊥ h"). Untuk menentukan arah proyeksi frontal tegak lurus yang melalui titik A (A", A"), gambarlah frontal f (f", f") bidang . Karena paralelisme f dengan bidang proyeksi frontal, sudut siku-siku antara l dan f diproyeksikan ke π 2 tanpa distorsi, jadi kita menggambar l" ⊥ f".
Pada Gambar. 255 masalah yang sama diselesaikan untuk kasus ketika bidang α diberikan oleh jejak. Untuk menentukan arah proyeksi tegak lurus, tidak perlu menggambar garis horizontal dan garis depan.
pinggang, karena fungsinya dilakukan oleh jejak bidang h 0α dan f 0α . Seperti dapat dilihat dari gambar, penyelesaiannya direduksi menjadi menggambar proyeksi l" ⊥ h 0α dan l" ⊥ f 0α melalui titik A" dan A".
CONTOH 3. Bangunlah sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis l tertentu dan melalui titik A tertentu (Gbr. 256).
LARUTAN. Melalui titik A kita tarik garis mendatar h dan garis depan f. Kedua garis berpotongan ini mendefinisikan sebuah bidang; agar tegak lurus garis lurus l, garis lurus h dan f harus membentuk sudut 90° dengan lurus l. Untuk melakukan ini, kita menggambar h" ⊥ l" dan f" ⊥ l". Proyeksi frontal h" dan proyeksi horizontal f" sejajar sumbu x.
Kasus yang dipertimbangkan memungkinkan kita untuk menyelesaikan masalah yang diberikan dalam Contoh 3 dengan cara yang berbeda (hal. 175 Gambar 251). Sisi [BC] ∠ABC harus berada pada bidang γ ⊥ [AB] dan melalui titik B (Gbr. 257).
Kondisi ini menentukan jalannya penyelesaian masalah, yaitu sebagai berikut: kita lampirkan titik B pada bidang γ ⊥ [AB], untuk itu melalui titik B kita gambar bidang mendatar dan bagian depan bidang γ sehingga h" ⊥ A "B" dan f" ⊥ A "B".
Titik C ∈ (BC), yang termasuk dalam bidang γ, oleh karena itu, untuk mencari proyeksi horizontalnya, kita menggambar garis sembarang 1"2" melalui C" yang termasuk dalam bidang γ; tentukan proyeksi horizontal garis 1"2" ini dan tandai titik C di atasnya" (C "ditentukan oleh perpotongan garis sambungan - garis tegak lurus yang dijatuhkan dari C" dengan proyeksi horizontal garis lurus 1"2"). C" bersama B" tentukan proyeksi mendatar (BC) ⊥ (AB).
3. Bidang yang saling tegak lurus..
Dua bidang dikatakan tegak lurus jika salah satu bidang mempunyai garis yang tegak lurus terhadap bidang lainnya.
Berdasarkan definisi tegak lurus bidang, kita menyelesaikan masalah membangun bidang β tegak lurus bidang α dengan cara sebagai berikut: menggambar garis lurus l tegak lurus bidang α; kita lampirkan garis l pada bidang β. Bidang β ⊥ α, karena β ⊃ l ⊥ α.
Banyak bidang yang dapat ditarik melalui garis l, sehingga permasalahan tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Untuk membuat jawaban lebih spesifik, ketentuan tambahan harus ditentukan.
CONTOH 1. Melalui suatu garis lurus a, gambarlah sebuah bidang β yang tegak lurus bidang α (Gbr. 258).
LARUTAN. Kita tentukan arah proyeksi tegak lurus bidang , untuk ini kita cari proyeksi horizontal (h") dan proyeksi frontal (f"); Dari proyeksi suatu titik sembarang A ∈ α kita menggambar proyeksi garis tegak lurus l" ⊥ h" dan l" ⊥ f". Bidang β ⊥ α, karena β ⊃ l ⊥ α.
CONTOH 2. Melalui suatu titik A, gambarlah sebuah bidang yang menonjol secara horizontal γ, tegak lurus terhadap bidang α, yang ditentukan oleh lintasan (Gbr. 259, a).
Bidang yang diperlukan γ harus memuat garis yang tegak lurus bidang α, atau tegak lurus terhadap garis yang termasuk dalam bidang α. Karena bidang γ harus menonjol secara horizontal, maka garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang tersebut harus sejajar dengan bidang π 1, yaitu menjadi bidang horizontal α atau (yang sama) jejak horizontal bidang ini - h 0α Oleh karena itu, melalui titik proyeksi horizontal A" gambarlah jejak horizontal h 0γ ⊥ h 0α jejak frontal f 0γ ⊥ sumbu x.
Pada Gambar. 259, b menunjukkan bidang yang menonjol ke depan γ, melewati titik B dan tegak lurus terhadap bidang π 2.
Jelas dari gambar bahwa ciri khas diagram, di mana dua bidang yang saling tegak lurus ditentukan, salah satunya menonjol ke depan, adalah tegak lurus jejak depannya f 0γ ⊥ f 0α , jejak horizontal dari bidang yang menonjol ke depan bidang tegak lurus terhadap sumbu x.
Tanda tegak lurus suatu garis dan bidang memungkinkan kita untuk membuat garis dan bidang yang saling tegak lurus, yaitu membuktikan keberadaan garis dan bidang tersebut. Mari kita mulai dengan membuat bidang yang tegak lurus terhadap garis tertentu dan melalui suatu titik tertentu. Mari kita selesaikan dua soal konstruksi yang berhubungan dengan dua kemungkinan lokasi suatu titik dan garis tertentu.
Soal 1. Melalui suatu titik A pada suatu garis a tertentu, gambarlah sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis tersebut.
Mari kita menggambar dua bidang apa saja melalui garis lurus a dan pada masing-masing bidang tersebut melalui titik A kita menggambar sepanjang garis lurus yang tegak lurus terhadap garis a, yang melambangkan b dan c (Gbr. 2.17). Bidang a yang melalui garis lurus bis memuat titik A dan tegak lurus garis lurus a (berdasarkan tegak lurus garis lurus dan bidang). Oleh karena itu, pesawat a adalah yang diinginkan. Masalahnya terpecahkan.
Masalahnya hanya mempunyai satu solusi (yaitu unik). Memang benar, anggap saja sebaliknya. Kemudian, selain bidang a, bidang P lainnya melewati titik A yang tegak lurus garis a (Gbr. 2.18). Mari kita ambil pada bidang P setiap garis lurus yang melalui titik A dan tidak terletak pada bidang a. Mari kita gambar bidang y melalui perpotongan garis a dan . Bidang y memotong bidang a sepanjang garis lurus q. Garis q tidak berimpit dengan garis , karena q terletak di dan tidak terletak di a. Kedua garis ini terletak pada bidang y, melalui titik A dan tegak lurus terhadap garis a sejak dan demikian pula sejak dan. Namun hal ini bertentangan dengan teorema planimetri yang terkenal, yang menyatakan bahwa dalam suatu bidang hanya satu garis lurus yang melewati setiap titik, tegak lurus terhadap garis lurus tertentu.
Jadi, dengan asumsi dua bidang yang tegak lurus garis a melewati titik A, kita sampai pada kontradiksi. Oleh karena itu, permasalahan tersebut mempunyai solusi yang unik.
Soal 2. Melalui suatu titik A, yang tidak terletak pada garis tertentu a, gambarlah sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis tersebut.
Melalui titik A kita tarik garis b yang tegak lurus garis a. Misalkan B adalah titik potong a dan b. Melalui titik B kita tarik juga garis lurus c yang tegak lurus garis lurus a (Gbr. 2.19). Sebuah bidang yang melalui kedua garis yang ditarik akan tegak lurus a menurut kriteria tegak lurus (Teorema 2).
Seperti pada Soal 1, bidang yang dibangun adalah unik. Mari kita ambil bidang apa pun yang melalui titik A tegak lurus garis a. Pada bidang tersebut terdapat garis yang tegak lurus garis a dan melalui titik A. Namun hanya ada satu garis tersebut. Ini adalah garis b yang melalui titik B. Artinya, bidang yang melalui A dan tegak lurus garis a harus memuat titik B, dan hanya satu bidang yang melalui titik B yang tegak lurus garis a (masalah 1). Jadi, setelah memecahkan masalah konstruksi ini dan membuktikan keunikan solusinya, kami telah membuktikan teorema penting berikut.
Teorema 3 (tentang bidang yang tegak lurus garis). Melalui setiap titik melewati sebuah bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu, dan, terlebih lagi, hanya satu bidang.
Akibat wajar (tentang bidang tegak lurus). Garis-garis yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu pada suatu titik tertentu terletak pada bidang yang sama dan menutupinya.
Misalkan a adalah suatu garis dan A adalah sembarang titik pada garis tersebut. Sebuah pesawat melewatinya. Menurut definisi tegak lurus suatu garis dan bidang, bidang tersebut tertutup
ditutupi oleh garis lurus yang tegak lurus garis lurus a di titik A, yaitu. melalui setiap titik pada bidang a melewati sebuah garis yang tegak lurus garis a.
Misalkan suatu garis lurus melalui titik A dan tidak terletak pada bidang a. Mari kita menggambar sebuah bidang P melaluinya dan garis lurus a. Bidang P akan memotong a sepanjang garis lurus tertentu c (Gbr. 2.20). Dan ternyata melalui titik A pada bidang P melewati dua garis lurus b dan c yang tegak lurus garis lurus a. Ini tidak mungkin. Artinya tidak ada garis yang tegak lurus garis a di titik A dan tidak terletak pada bidang a. Mereka semua terbaring di pesawat ini.
Contoh akibat wajar dari Teorema 3 diberikan oleh jari-jari pada roda yang tegak lurus terhadap sumbunya: ketika berputar, mereka menggambar sebuah bidang (lebih tepatnya, lingkaran), mengambil semua posisi tegak lurus terhadap sumbu rotasi.
Teorema 2 dan 3 membantu memberikan solusi sederhana untuk masalah berikut.
Soal 3. Melalui sebuah titik pada suatu bidang tertentu, tariklah garis yang tegak lurus terhadap bidang tersebut.
Misalkan sebuah bidang a dan sebuah titik A pada bidang a diberikan. Mari kita tarik garis a pada bidang a melalui titik A. Melalui titik A kita menggambar sebuah bidang yang tegak lurus garis a (masalah 1). Bidang tersebut akan memotong bidang a sepanjang suatu garis lurus b (Gbr. 2.21). Mari kita tarik garis c pada bidang P melalui titik A yang tegak lurus garis b. Sejak (karena c terletak pada bidang
Dan), kemudian menurut Teorema 2. Keunikan solusinya dijelaskan di bagian 2.1.
Komentar. Tentang konstruksi di luar angkasa. Mari kita ingat bahwa di Bab 1 kita mempelajari “geometri struktural”. Dan pada titik ini kami memecahkan tiga masalah yang melibatkan konstruksi di luar angkasa. Apa yang dimaksud dalam stereometri dengan istilah “membangun”, “menggambar”, “menulis”, dll? Pertama, mari kita ingat tentang konstruksi pada sebuah bidang. Dengan menunjukkan, misalnya, bagaimana membuat lingkaran yang dibatasi pada sebuah segitiga, kita dengan demikian membuktikan keberadaannya. Secara umum, ketika memecahkan masalah konstruksi, kami membuktikan teorema keberadaan suatu bangun dengan sifat-sifat tertentu. Solusi ini bermuara pada menyusun algoritma tertentu untuk membangun bangun yang diinginkan, yaitu menunjukkan barisan melakukan operasi paling sederhana yang menghasilkan hasil yang diinginkan. Operasi paling sederhana adalah menggambar segmen dan menemukan titik potongnya, kemudian, dengan menggunakan alat menggambar, gambar tersebut langsung dibuat di atas kertas atau di papan.
Jadi, dalam planimetri, penyelesaian masalah konstruksi seolah-olah memiliki dua sisi: teoritis - algoritma konstruksi - dan praktis - implementasi algoritma ini, misalnya, dengan kompas dan penggaris.
Tugas konstruksi stereometrik hanya memiliki satu sisi tersisa - teoritis, karena tidak ada alat untuk konstruksi di ruang angkasa, mirip dengan kompas dan penggaris.
Konstruksi dasar dalam ruang dianggap berasal dari aksioma dan teorema keberadaan garis lurus dan bidang. Ini adalah menggambar garis melalui dua titik, menggambar sebuah bidang (proposisi klausa 1.1 dan aksioma 1 klausa 1.4), serta membuat garis perpotongan dua bidang yang dibangun (aksioma 2 klausa 1.4). Selain itu, kita secara alami akan berasumsi bahwa konstruksi planimetrik dapat dilakukan pada bidang yang sudah dibangun.
Menyelesaikan suatu masalah konstruksi dalam ruang berarti menunjukkan urutan konstruksi dasar yang menghasilkan gambar yang diinginkan. Biasanya, tidak semua konstruksi dasar disebutkan secara eksplisit, tetapi referensi dibuat untuk masalah konstruksi yang sudah diselesaikan, yaitu. pada proposisi dan teorema yang sudah terbukti tentang kemungkinan konstruksi tersebut.
Selain konstruksi - teorema keberadaan dalam stereometri, ada dua jenis masalah lagi yang terkait dengan konstruksi.
Pertama, tugasnya ada pada gambar atau gambar. Ini adalah masalah untuk memotong polihedra atau benda lainnya. Kami sebenarnya tidak membuat bagian itu sendiri, tetapi hanya menggambarkannya saja
menggambar atau menggambar yang sudah kita miliki. Konstruksi semacam itu dilakukan secara planimetri, dengan mempertimbangkan aksioma dan teorema stereometri serta aturan gambar. Masalah jenis ini terus-menerus dipecahkan dalam praktik menggambar dan desain.
Kedua, tugas membangun benda di permukaan. Tugas: “Bangunlah titik-titik pada permukaan kubus yang jauh dari titik sudut tertentu pada jarak tertentu” - dapat diselesaikan dengan menggunakan kompas (bagaimana caranya?). Tugas: “Bangunlah titik-titik pada permukaan bola yang jauh dari suatu titik tertentu pada jarak tertentu” - juga dapat diselesaikan dengan menggunakan kompas (bagaimana caranya?). Masalah jenis ini tidak diselesaikan dalam pelajaran geometri - masalah tersebut terus-menerus diselesaikan dengan penanda, tentu saja, dengan keakuratan yang dapat dicapai oleh alatnya. Namun ketika memecahkan masalah seperti itu, dia mengandalkan geometri.
