Deskripsi solusi. Persamaan diferensial total Definisi persamaan diferensial total

beberapa fungsi. Jika kita mengembalikan suatu fungsi dari diferensial totalnya, kita akan menemukan integral umum persamaan diferensial tersebut. Di bawah ini kita akan membicarakannya metode memulihkan suatu fungsi dari diferensial totalnya.

Ruas kiri persamaan diferensial adalah diferensial total suatu fungsi kamu(x, kamu) = 0, jika syaratnya terpenuhi.

Karena fungsi diferensial penuh kamu(x, kamu) = 0 Ini , artinya bila syarat terpenuhi maka dinyatakan bahwa .

Kemudian, .

Dari persamaan pertama sistem kita peroleh . Kami menemukan fungsinya menggunakan persamaan kedua sistem:

Dengan cara ini kita akan menemukan fungsi yang diperlukan kamu(x, kamu) = 0.

Contoh.

Mari kita cari solusi umum DE .

Larutan.

Dalam contoh kita. Syarat tersebut terpenuhi karena:

Kemudian, ruas kiri persamaan diferensial awal adalah diferensial total suatu fungsi kamu(x, kamu) = 0. Kita perlu menemukan fungsi ini.

Karena adalah diferensial total dari fungsi tersebut kamu(x, kamu) = 0, Cara:

.

Kami berintegrasi dengan X persamaan pertama sistem dan bedakan terhadap kamu hasil:

.

Dari persamaan ke-2 sistem kita peroleh. Cara:

Di mana DENGAN- konstanta sewenang-wenang.

Jadi, integral umum dari persamaan yang diberikan adalah .

Ada yang kedua metode menghitung suatu fungsi dari diferensial totalnya. Ini terdiri dari mengambil integral garis dari suatu titik tetap (x 0 , kamu 0) ke suatu titik dengan koordinat variabel (x, kamu): . Dalam hal ini, nilai integral tidak bergantung pada jalur integrasi. Lebih mudah untuk mengambil jalur integrasi sebagai garis putus-putus yang hubungannya sejajar dengan sumbu koordinat.

Contoh.

Mari kita cari solusi umum DE .

Larutan.

Kami memeriksa pemenuhan kondisi:

Jadi, ruas kiri persamaan diferensial adalah diferensial lengkap suatu fungsi kamu(x, kamu) = 0. Mari kita cari fungsi ini dengan menghitung integral lengkung titik (1; 1) ke (x, kamu). Sebagai jalur integrasi kita mengambil garis putus-putus: bagian pertama dari garis putus-putus itu dilewatkan sepanjang garis lurus kamu = 1 dari titik (1, 1) ke (x, 1), sebagai bagian jalan yang kedua kita ambil ruas garis lurus dari titik tersebut (x, 1) ke (x, kamu):

Jadi, solusi umum dari remote control terlihat seperti ini: .

Contoh.

Mari kita tentukan solusi umum DE.

Larutan.

Karena , artinya syaratnya tidak terpenuhi, maka ruas kiri persamaan diferensial tersebut tidak akan merupakan diferensial fungsi sepenuhnya dan perlu menggunakan metode penyelesaian kedua (persamaan ini merupakan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan).

Diferensial disebut persamaan bentuk

P(x, y)dx + Q(x, y)mati = 0 ,

dimana ruas kiri adalah diferensial total dari setiap fungsi dua variabel.

Mari kita nyatakan fungsi dua variabel yang tidak diketahui (inilah yang perlu dicari saat menyelesaikan persamaan diferensial total) dengan F dan kami akan segera kembali melakukannya.

Hal pertama yang harus diperhatikan adalah harus ada angka nol di ruas kanan persamaan, dan tanda yang menghubungkan kedua suku di ruas kiri harus berupa tanda tambah.

Kedua, persamaan tertentu harus diperhatikan, yang menegaskan bahwa persamaan diferensial ini adalah persamaan diferensial total. Pemeriksaan ini adalah bagian wajib dari algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial total (ada di paragraf kedua pelajaran ini), jadi proses mencari suatu fungsi F cukup padat karya dan penting untuk memastikan pada tahap awal bahwa kita tidak membuang waktu.

Jadi, fungsi yang tidak diketahui yang perlu dicari dilambangkan dengan F. Jumlah diferensial parsial untuk semua variabel independen menghasilkan diferensial total. Oleh karena itu, jika persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total, maka ruas kiri persamaan tersebut adalah jumlah diferensial parsialnya. Kemudian menurut definisi

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)mati .

Mari kita mengingat kembali rumus menghitung diferensial total suatu fungsi dua variabel:

Menyelesaikan dua persamaan terakhir, kita dapat menulis

.

Kami membedakan persamaan pertama terhadap variabel "y", yang kedua - terhadap variabel "x":

.

yang merupakan syarat agar suatu persamaan diferensial tertentu benar-benar merupakan persamaan diferensial total.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total

Langkah 1. Pastikan persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total. Agar ekspresinya adalah diferensial total suatu fungsi F(x, kamu) perlu dan cukup sehingga . Dengan kata lain, Anda perlu mengambil turunan parsial terhadap X dan turunan parsial terhadap kamu suku lain dan jika turunannya sama, maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total.

Langkah 2. Tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Integrasikan persamaan pertama sistem - oleh X (kamu F:

,
kamu.

Pilihan alternatif (jika lebih mudah mencari integral dengan cara ini) adalah dengan mengintegrasikan persamaan kedua sistem - by kamu (X tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Dengan cara ini fungsinya juga dikembalikan F:

,
dimana adalah fungsi yang belum diketahui X.

Langkah 4. Hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) dibedakan dengan kamu(sebagai alternatif - menurut X) dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

,

dan dalam versi alternatif - ke persamaan pertama sistem:

.

Dari persamaan yang dihasilkan kita tentukan (sebagai alternatif)

Langkah 5. Hasil dari langkah 4 adalah mengintegrasikan dan menemukan (sebagai alternatif, find ).

Langkah 6. Gantikan hasil langkah 5 ke hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C sering ditulis setelah tanda sama dengan - di sisi kanan persamaan. Dengan demikian kita memperoleh solusi umum persamaan diferensial dalam diferensial total. Itu, sebagaimana telah disebutkan, memiliki bentuk F(x, kamu) = C.

Contoh penyelesaian persamaan diferensial pada diferensial total

Contoh 1.

Langkah 1. persamaan dalam diferensial total X satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap kamu istilah lain
persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. F:

Langkah 3. Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. kamu

.

.

Langkah 5.

Langkah 6. F. Konstanta sewenang-wenang C :
.

Kesalahan apa yang paling mungkin terjadi di sini? Kesalahan yang paling umum adalah mengambil integral parsial atas salah satu variabel sebagai integral biasa dari suatu produk fungsi dan mencoba mengintegrasikannya dengan bagian-bagian atau variabel pengganti, dan juga mengambil turunan parsial dari dua faktor sebagai turunan dari a hasil kali fungsi dan cari turunannya menggunakan rumus yang sesuai.

Hal ini harus diingat: ketika menghitung integral parsial terhadap salah satu variabel, variabel lainnya adalah konstanta dan dikeluarkan dari tanda integral, dan ketika menghitung turunan parsial terhadap salah satu variabel, variabel lainnya. juga merupakan konstanta dan turunan dari ekspresi tersebut ditemukan sebagai turunan dari variabel “akting” dikalikan dengan konstanta.

Di antara persamaan dalam diferensial total Tidak jarang kita menemukan contoh dengan fungsi eksponensial. Ini adalah contoh berikutnya. Hal ini juga penting karena solusinya menggunakan opsi alternatif.

Contoh 2. Selesaikan persamaan diferensial

.

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap X satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap kamu istilah lain
. Turunan ini sama, artinya persamaannya adalah persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan kedua dari sistem - oleh kamu (X tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui X.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap X

dan menyamakannya dengan persamaan pertama sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:
.

Langkah 6. Kami mengganti hasil langkah 5 ke dalam hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C tulis setelah tanda sama dengan. Jadi kita mendapatkan totalnya menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total :
.

Dalam contoh berikut, kita kembali dari opsi alternatif ke opsi utama.

Contoh 3. Selesaikan persamaan diferensial

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap kamu satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap X istilah lain
. Turunan ini sama, artinya persamaannya adalah persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan pertama sistem - Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap kamu

dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:

Langkah 6. Kami mengganti hasil langkah 5 ke dalam hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C tulis setelah tanda sama dengan. Jadi kita mendapatkan totalnya menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total :
.

Contoh 4. Selesaikan persamaan diferensial

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap kamu satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap X istilah lain
. Turunan-turunan ini adalah sama, artinya persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total.

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan pertama sistem - Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap kamu

dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:

Langkah 6. Kami mengganti hasil langkah 5 ke dalam hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C tulis setelah tanda sama dengan. Jadi kita mendapatkan totalnya menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total :
.

Contoh 5. Selesaikan persamaan diferensial

.

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap kamu satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap X istilah lain
. Turunan ini sama, artinya persamaannya adalah persamaan dalam diferensial total .

Menunjukkan cara mengenali persamaan diferensial dalam diferensial total. Metode untuk menyelesaikannya diberikan. Contoh penyelesaian persamaan diferensial total dengan dua cara diberikan.

Perkenalan

Jika fungsi U ditemukan (x, kamu), maka persamaannya berbentuk:
dU (x, kamu) = 0.
Integral umumnya adalah:
kamu (x, y) = C,
dimana C adalah sebuah konstanta.

Jika persamaan diferensial orde pertama dituliskan dalam bentuk turunannya:
,
maka mudah untuk membentuknya (1) . Untuk melakukannya, kalikan persamaan tersebut dengan dx.
(1) .

Kemudian . Hasilnya, kita memperoleh persamaan yang dinyatakan dalam perbedaan:

Sifat persamaan diferensial dalam diferensial total (1) Agar persamaannya
(2) .

adalah persamaan diferensial total, maka perlu dan cukup agar relasi tersebut dapat dipertahankan:

Bukti Kami selanjutnya berasumsi bahwa semua fungsi yang digunakan dalam pembuktian terdefinisi dan memiliki turunan yang sesuai dalam rentang nilai variabel x dan y tertentu. Poin x

0 , kamu 0.
juga milik daerah ini. (1) Mari kita buktikan perlunya kondisi (2) (x, kamu):
.
Biarkan ruas kiri persamaan
;
.
adalah diferensial dari beberapa fungsi U
;
.
Kemudian (2) Karena turunan kedua tidak bergantung pada orde diferensiasi, maka

Oleh karena itu..
Kondisi kebutuhan (2) :
(2) .
terbukti. (x, kamu) Mari kita buktikan kecukupan kondisi (2)
.
Biarkan kondisinya terpenuhi (x, kamu) Mari kita tunjukkan bahwa fungsi U seperti itu dapat ditemukan
(3) ;
(4) .
bahwa perbedaannya adalah: (3) Artinya ada fungsi U 0 , yang memenuhi persamaan:
;
;
(5) .
Mari kita temukan fungsi seperti itu. Mari kita integrasikan persamaannya (2) :

.
oleh x dari x (4) ke x, dengan asumsi y adalah konstanta:
.
Kami membedakan terhadap y, dengan asumsi bahwa x adalah konstanta dan menerapkannya 0 Persamaan
;
;
.
akan dieksekusi jika (5) :
(6) .
Integrasikan y dari y
.
kepada kamu:

Gantikan (6) Jadi, kami telah menemukan fungsi yang diferensialnya Kecukupannya telah terbukti. Dalam rumusnya (x, kamu), kamu Kami selanjutnya berasumsi bahwa semua fungsi yang digunakan dalam pembuktian terdefinisi dan memiliki turunan yang sesuai dalam rentang nilai variabel x dan y tertentu.(x 0 , kamu 0)

adalah konstanta - nilai fungsi U

di titik x
(1) .
. (2) :
(2) .
Itu dapat diberi nilai apa pun.

Cara mengenali persamaan diferensial dalam diferensial total

Periksa apakah persamaannya termasuk dalam diferensial total:
.

Di Sini
, .
Kami membedakannya terhadap y, dengan mempertimbangkan konstanta x:


.
Mari kita bedakan


.
Karena:
,
maka persamaan yang diberikan adalah diferensial total.

Metode penyelesaian persamaan diferensial pada diferensial total

Metode ekstraksi diferensial berurutan

Metode paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan diferensial total adalah metode isolasi diferensial secara berurutan. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus diferensiasi yang ditulis dalam bentuk diferensial:
du±dv = d (kamu ± v);
v du + kamu dv = d (uv);
;
.
Dalam rumus ini, u dan v adalah ekspresi arbitrer yang terdiri dari kombinasi variabel apa pun.

Contoh 1

Selesaikan persamaan:
.

Sebelumnya kita menemukan bahwa persamaan ini adalah diferensial total. Mari kita ubah:
(P1) .
Kami menyelesaikan persamaan dengan mengisolasi diferensial secara berurutan.
;
;
;
;

.
akan dieksekusi jika (P1):
;
.

Metode integrasi berturut-turut

Dalam metode ini kita mencari fungsi U (x, kamu), memenuhi persamaan:
(3) ;
(4) .

Mari kita integrasikan persamaannya (3) di x, dengan mempertimbangkan konstanta y:
.
Di sini φ (kamu)- fungsi arbitrer dari y yang perlu ditentukan. Ini adalah konstanta integrasi. Substitusikan ke dalam persamaan (4) :
.
Dari sini:
.
Mengintegrasikan, kita menemukan φ (kamu) dan, dengan demikian, U (x, kamu).

Contoh 2

Selesaikan persamaan dalam diferensial total:
.

Sebelumnya kita menemukan bahwa persamaan ini adalah diferensial total. Mari kita perkenalkan notasi berikut:
, .
Mencari Fungsi U (x, kamu), yang diferensialnya adalah ruas kiri persamaan:
.
Kemudian:
(3) ;
(4) .
Mari kita integrasikan persamaannya (3) di x, dengan mempertimbangkan konstanta y:
(P2)
.
Bedakan terhadap y:

.
Mari kita gantikan (4) :
;
.
Mari berintegrasi:
.
Mari kita gantikan (P2):

.
Integral umum persamaan:
kamu (x, y) = konstanta.
Kami menggabungkan dua konstanta menjadi satu.

Metode integrasi sepanjang kurva

Fungsi U ditentukan oleh relasi:
dU = hal (x, y) dx + q(x, y) dy,
dapat ditemukan dengan mengintegrasikan persamaan ini sepanjang kurva yang menghubungkan titik-titik Kecukupannya telah terbukti. Dan (x, kamu):
(7) .
Karena
(8) ,
maka integralnya hanya bergantung pada koordinat awal Kecukupannya telah terbukti. dan terakhir (x, kamu) titik dan tidak bergantung pada bentuk kurva. Dari (7) Dan (8) kami menemukan:
(9) .
Di sini x 0 dan kamu 0 - permanen. Oleh karena itu kamu Kecukupannya telah terbukti.- juga konstan.

Contoh definisi U diperoleh dalam pembuktian:
(6) .
Di sini integrasi dilakukan terlebih dahulu sepanjang segmen yang sejajar sumbu y dari titik tersebut (x 0 , kamu 0 ) langsung ke intinya (x 0 , kamu). (x 0 , kamu) langsung ke intinya (x, kamu) .

Kemudian dilakukan integrasi sepanjang ruas yang sejajar sumbu x dari titik tersebut (x 0 , kamu 0 ) Dan (x, kamu) Secara umum, Anda perlu merepresentasikan persamaan kurva yang menghubungkan titik-titik
dalam bentuk parametrik: X 1 = s(t 1) ;;
dalam bentuk parametrik: kamu 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(T) 1 ; 0 kamu = r

dan mengintegrasikan lebih dari t (x 0 , kamu 0 ) Dan (x, kamu) dari t
dalam bentuk parametrik: ke t. 1 = s(t 1) Cara termudah untuk melakukan integrasi adalah melalui titik-titik penghubung segmen;
. 0 = 0 Dalam hal ini: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0)t 1 1 = (x - x 0) dt 1; mati.
1 = (kamu - kamu 0) dt 1 0 ke 1 .
Setelah substitusi, kita memperoleh integral atas t dari

Namun metode ini menghasilkan perhitungan yang agak rumit.
Sastra bekas:

V.V. Stepanov, Mata kuliah persamaan diferensial, “LKI”, 2015. Definisi 8.4.

Persamaan diferensial bentuk
Di mana

disebut persamaan diferensial total.
.

Perhatikan bahwa ruas kiri persamaan tersebut adalah diferensial total suatu fungsi

Secara umum persamaan (8.4) dapat direpresentasikan sebagai

,

Alih-alih persamaan (8.5), kita dapat mempertimbangkan persamaan tersebut
penyelesaiannya merupakan integral umum persamaan (8.4). Jadi, untuk menyelesaikan persamaan (8.4) perlu dicari fungsinya

(8.6)

. Sesuai dengan definisi persamaan (8.4), kita punya
Fungsi

Persamaan diferensial bentuk kita akan mencari fungsi yang memenuhi salah satu kondisi berikut (8.6): .

- fungsi sewenang-wenang yang tidak bergantung pada
Fungsi

(8.7)

didefinisikan sehingga kondisi kedua dari ekspresi (8.6) terpenuhi
Dari ekspresi (8.7) fungsinya ditentukan
. Menggantikannya ke dalam ekspresi untuk

dan dapatkan integral umum dari persamaan aslinya. Soal 8.3.

Integrasikan Persamaan
.

Di Sini
Oleh karena itu, persamaan ini termasuk dalam jenis persamaan diferensial diferensial total. Fungsi

.

kami akan mencarinya dalam formulir

.

Di sisi lain,
Dalam beberapa kasus, kondisinya

mungkin tidak terpenuhi. Kemudian persamaan tersebut direduksi menjadi tipe yang dipertimbangkan dengan mengalikannya dengan apa yang disebut faktor pengintegrasian, yang dalam kasus umum hanya merupakan fungsi saja. .

atau Jika suatu persamaan mempunyai faktor pengintegrasi, maka persamaan tersebut hanya bergantung pada

, maka ditentukan oleh rumus dimana hubungannya .

seharusnya hanya sebuah fungsi Demikian pula, faktor pengintegrasian hanya bergantung pada

, ditentukan oleh rumus
dimana hubungannya .

dimana hubungannya Tidak adanya variabel dalam relasi tertentu, dalam kasus pertama , dan yang kedua - variabel

, adalah tanda adanya faktor pengintegrasian suatu persamaan tertentu. Soal 8.4.

.

Kurangi persamaan ini menjadi persamaan diferensial total.

.

Perhatikan hubungannya:

Topik 8.2. Persamaan diferensial linier Definisi 8.5
. Persamaan diferensial disebut linier jika linier terhadap fungsi yang diinginkan , turunannya

dan tidak mengandung hasil kali fungsi yang diinginkan dan turunannya.

(8.8)

Bentuk umum persamaan diferensial linier diwakili oleh hubungan berikut:
Jika pada relasi (8.8) ruas kanan
, maka persamaan seperti itu disebut linier homogen. Dalam kasus ketika sisi kanan

Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (8.8) dapat diintegrasikan ke dalam kuadratur.

Pada tahap pertama, kita mempertimbangkan persamaan linier homogen.

Persamaan tersebut merupakan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Benar-benar,

;

/

Relasi terakhir menentukan solusi umum persamaan linier homogen.

Untuk mencari solusi umum persamaan linier tak homogen digunakan metode memvariasikan turunan suatu konstanta. Ide dari metode ini adalah bahwa solusi umum persamaan linier tidak homogen memiliki bentuk yang sama dengan solusi persamaan homogen yang bersesuaian, tetapi konstanta sembarang digantikan oleh beberapa fungsi
untuk ditentukan. Jadi kita punya:

(8.9)

Mengganti ke dalam relasi (8.8) ekspresi yang bersesuaian
Dan
, kita dapatkan

Mengganti ekspresi terakhir ke dalam relasi (8.9), kita memperoleh integral umum dari persamaan linier tak homogen.

Jadi, penyelesaian umum persamaan linier tak homogen ditentukan oleh dua kuadratur: penyelesaian umum persamaan linier homogen dan penyelesaian khusus persamaan linier tak homogen.

Soal 8.5. Integrasikan Persamaan

Dengan demikian, persamaan aslinya termasuk dalam jenis persamaan diferensial linier tidak homogen.

Pada tahap pertama, kita akan mencari solusi umum persamaan linier homogen.

;

Pada tahap kedua, kita menentukan solusi umum persamaan linear tak homogen yang dicari dalam bentuk

,

Persamaan diferensial bentuk
- fungsi yang akan ditentukan.

Jadi kita punya:

Mengganti relasi untuk Dan ke dalam persamaan linear tak homogen asli kita peroleh:

;

;

.

Solusi umum persamaan linear tak homogen akan berbentuk:

.

Memiliki bentuk standar $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, dengan ruas kiri adalah diferensial total dari beberapa fungsi $F \kiri( x,y\kanan)$ disebut persamaan diferensial total.

Persamaan diferensial total selalu dapat ditulis ulang sebagai $dF\left(x,y\right)=0$, dengan $F\left(x,y\right)$ adalah fungsi sehingga $dF\left(x, y\kanan)=P\kiri(x,y\kanan)\cdot dx+Q\kiri(x,y\kanan)\cdot dy$.

Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integral ruas kanan nol sama dengan konstanta sembarang $C$. Jadi, solusi umum persamaan ini dalam bentuk implisit adalah $F\left(x,y\right)=C$.

Agar persamaan diferensial tertentu menjadi persamaan diferensial total, syaratnya harus dan cukup $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ puas. Jika kondisi yang ditentukan terpenuhi, maka ada fungsi $F\left(x,y\right)$, yang dapat kita tulis: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, dari situ kita memperoleh dua relasi : $\frac(\ parsial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ dan $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Kita integrasikan relasi pertama $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ke $x$ dan dapatkan $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, dengan $U\left(y\right)$ adalah fungsi arbitrer dari $y$.

Mari kita pilih sehingga relasi kedua $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ terpenuhi. Untuk melakukan ini, kita membedakan relasi yang dihasilkan untuk $F\left(x,y\right)$ terhadap $y$ dan menyamakan hasilnya dengan $Q\left(x,y\right)$. Kita mendapatkan: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\kanan)$.

Solusi selanjutnya adalah:

• dari persamaan terakhir kita menemukan $U"\left(y\right)$;
• integrasikan $U"\left(y\right)$ dan temukan $U\left(y\right)$;
• gantikan $U\left(y\right)$ ke persamaan $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ dan akhirnya kita mendapatkan fungsi $F\left(x,y\right)$.

Kami menemukan perbedaannya:

Kami mengintegrasikan $U"\left(y\right)$ ke $y$ dan menemukan $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Temukan hasilnya: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Kita tuliskan solusi umumnya dalam bentuk $F\left(x,y\right)=C$, yaitu:

Temukan solusi tertentu $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, di mana $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$:

Solusi parsialnya berbentuk: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.