Hari ini kita akan melihat besaran apa saja yang disebut berbanding terbalik, seperti apa grafik proporsionalitas terbalik, dan bagaimana semua ini dapat bermanfaat bagi Anda tidak hanya dalam pelajaran matematika, tetapi juga di luar sekolah.
Proporsi yang berbeda
Proporsionalitas sebutkan dua besaran yang saling bergantung satu sama lain.
Ketergantungannya bisa langsung dan terbalik. Oleh karena itu, hubungan antar besaran digambarkan dengan proporsionalitas langsung dan terbalik.
Proporsionalitas langsung– ini adalah hubungan antara dua besaran yang kenaikan atau penurunan salah satu besarannya menyebabkan kenaikan atau penurunan besaran yang lain. Itu. sikap mereka tidak berubah.
Misalnya, semakin banyak usaha yang Anda lakukan untuk belajar menghadapi ujian, semakin tinggi nilai Anda. Atau semakin banyak barang yang Anda bawa saat mendaki, semakin berat ransel Anda untuk dibawa. Itu. Besarnya usaha yang dikeluarkan untuk mempersiapkan ujian berbanding lurus dengan nilai yang diperoleh. Dan jumlah barang yang dikemas dalam tas ransel berbanding lurus dengan beratnya.
Proporsionalitas terbalik– ini adalah ketergantungan fungsional di mana penurunan atau peningkatan beberapa kali dalam nilai independen (disebut argumen) menyebabkan peningkatan atau penurunan nilai dependen secara proporsional (yaitu, dalam jumlah yang sama) (disebut a fungsi).
Mari kita ilustrasikan dengan contoh sederhana. Anda ingin membeli apel di pasar. Apel di konter dan jumlah uang di dompet Anda berbanding terbalik. Itu. Semakin banyak apel yang Anda beli, semakin sedikit uang yang tersisa.
Fungsi dan grafiknya
Fungsi proporsionalitas terbalik dapat digambarkan sebagai kamu = k/x. Di mana X≠ 0 dan k≠ 0.
Fungsi ini memiliki properti berikut:
- Domain definisinya adalah himpunan semua bilangan real kecuali X = 0. D(kamu): (-∞; 0) kamu (0; +∞).
- Kisarannya adalah semua bilangan real kecuali kamu= 0. E(kamu): (-∞; 0) kamu (0; +∞) .
- Tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.
- Ganjil dan grafiknya simetris terhadap titik asal.
- Non-periodik.
- Grafiknya tidak memotong sumbu koordinat.
- Tidak memiliki angka nol.
- Jika k> 0 (yaitu argumennya bertambah), fungsinya berkurang secara proporsional pada setiap intervalnya. Jika k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Ketika argumen meningkat ( k> 0) nilai negatif fungsi berada pada interval (-∞; 0), dan nilai positif berada pada interval (0; +∞). Ketika argumen berkurang ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Grafik fungsi proporsionalitas terbalik disebut hiperbola. Ditampilkan sebagai berikut:
Masalah proporsionalitas terbalik
Agar lebih jelas, mari kita lihat beberapa tugas. Hal ini tidak terlalu rumit, dan menyelesaikannya akan membantu Anda memvisualisasikan apa itu proporsionalitas terbalik dan bagaimana pengetahuan ini dapat berguna dalam kehidupan Anda sehari-hari.
Tugas No.1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 60 km/jam. Butuh waktu 6 jam untuk sampai ke tujuannya. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak yang sama jika ia bergerak dengan kecepatan dua kali lipat?
Kita bisa memulainya dengan menuliskan rumus yang menggambarkan hubungan antara waktu, jarak dan kecepatan: t = S/V. Setuju, ini sangat mengingatkan kita pada fungsi proporsionalitas terbalik. Dan ini menunjukkan bahwa waktu yang dihabiskan mobil di jalan dan kecepatan pergerakannya berbanding terbalik.
Untuk membuktikannya, carilah V 2 yang menurut kondisinya 2 kali lebih tinggi: V 2 = 60 * 2 = 120 km/jam. Kemudian kita hitung jaraknya dengan rumus S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sekarang tidak sulit untuk mengetahui waktu t 2 yang kita perlukan sesuai dengan kondisi soal: t 2 = 360/120 = 3 jam.
Seperti yang Anda lihat, waktu tempuh dan kecepatan memang berbanding terbalik: pada kecepatan 2 kali lebih tinggi dari kecepatan aslinya, mobil akan menghabiskan waktu 2 kali lebih sedikit di jalan.
Penyelesaian masalah ini juga dapat dituliskan secara proporsional. Jadi mari kita buat diagram ini terlebih dahulu:
↓ 60 km/jam – 6 jam
↓120 km/jam – x jam
Tanda panah menunjukkan hubungan berbanding terbalik. Mereka juga menyarankan bahwa ketika membuat proporsi, sisi kanan catatan harus dibalik: 60/120 = x/6. Dimana kita mendapatkan x = 60 * 6/120 = 3 jam.
Tugas No.2. Bengkel ini mempekerjakan 6 orang pekerja yang dapat menyelesaikan sejumlah pekerjaan tertentu dalam waktu 4 jam. Jika jumlah pekerja dikurangi setengahnya, berapa lama waktu yang dibutuhkan sisa pekerja untuk menyelesaikan jumlah pekerjaan yang sama?
Mari kita tuliskan kondisi permasalahan dalam bentuk diagram visual:
↓ 6 pekerja – 4 jam
↓ 3 pekerja – x jam
Mari kita tuliskan ini sebagai proporsi: 6/3 = x/4. Dan kita mendapatkan x = 6 * 4/3 = 8 jam. Jika pekerjanya 2 kali lebih sedikit, maka pekerja yang tersisa akan menghabiskan waktu 2 kali lebih banyak untuk melakukan semua pekerjaan.
Tugas No.3. Ada dua pipa yang menuju ke kolam. Melalui satu pipa, air mengalir dengan kecepatan 2 l/s dan memenuhi kolam dalam waktu 45 menit. Melalui pipa lain, kolam akan terisi dalam waktu 75 menit. Berapa kecepatan air masuk ke kolam melalui pipa ini?
Untuk memulainya, mari kita kurangi semua besaran yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi soal ke dalam satuan pengukuran yang sama. Untuk melakukannya, kita nyatakan kecepatan pengisian kolam dalam liter per menit: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/mnt.
Karena kondisi tersebut berarti kolam terisi lebih lambat melalui pipa kedua, sehingga laju aliran air menjadi lebih rendah. Proporsionalitasnya berbanding terbalik. Mari kita nyatakan kecepatan yang tidak diketahui melalui x dan buatlah diagram berikut:
↓ 120 l/mnt – 45 menit
↓ x l/mnt – 75 menit
Lalu kita membuat proporsinya: 120/x = 75/45, dari mana x = 120 * 45/75 = 72 l/mnt.
Dalam soal, kecepatan pengisian kolam dinyatakan dalam liter per detik; mari kita kurangi jawaban yang kita terima ke bentuk yang sama: 72/60 = 1,2 l/s.
Tugas No.4. Sebuah percetakan swasta kecil mencetak kartu nama. Seorang karyawan percetakan bekerja dengan kecepatan 42 kartu nama per jam dan bekerja sehari penuh - 8 jam. Jika dia bekerja lebih cepat dan mencetak 48 kartu nama dalam satu jam, berapa lama lagi dia bisa pulang?
Kami mengikuti jalur yang telah terbukti dan membuat diagram sesuai dengan kondisi masalah, menetapkan nilai yang diinginkan sebagai x:
↓ 42 kartu nama/jam – 8 jam
↓ 48 kartu nama/jam – x jam
Kita mempunyai hubungan yang berbanding terbalik: berapa kali lebih banyak kartu nama yang dicetak oleh seorang pegawai percetakan per jam, berapa kali lebih sedikit waktu yang dia perlukan untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama. Mengetahui hal ini, mari buat proporsinya:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 jam.
Dengan demikian, setelah menyelesaikan pekerjaan dalam waktu 7 jam, pegawai percetakan tersebut bisa pulang satu jam lebih awal.
Kesimpulan
Bagi kami, permasalahan proporsionalitas terbalik ini tampaknya sangat sederhana. Kami berharap sekarang Anda juga menganggapnya seperti itu. Dan yang terpenting, pengetahuan tentang ketergantungan besaran berbanding terbalik benar-benar dapat bermanfaat bagi Anda lebih dari satu kali.
Tidak hanya dalam pelajaran matematika dan ujian. Namun demikian, ketika Anda bersiap untuk melakukan perjalanan, berbelanja, memutuskan untuk mendapatkan sedikit uang tambahan selama liburan, dll.
Beri tahu kami di komentar contoh hubungan berbanding terbalik dan berbanding lurus apa yang Anda perhatikan di sekitar Anda. Biarlah ini menjadi permainan seperti itu. Anda akan melihat betapa menariknya itu. Jangan lupa untuk membagikan artikel ini ke media sosial agar teman dan teman sekelasmu juga bisa bermain.
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
Jenis Ketergantungan
Mari kita lihat pengisian baterai. Sebagai kuantitas pertama, mari kita ambil waktu yang diperlukan untuk mengisi daya. Nilai kedua adalah waktu pengoperasian setelah pengisian daya. Semakin lama Anda mengisi baterai, semakin lama pula daya tahannya. Proses akan berlanjut hingga baterai terisi penuh.
Ketergantungan waktu pengoperasian baterai pada waktu pengisiannya
Catatan 1
Ketergantungan ini disebut langsung:
Ketika satu nilai meningkat, nilai kedua juga meningkat. Ketika satu nilai menurun, nilai kedua juga menurun.
Mari kita lihat contoh lainnya.
Semakin banyak buku yang dibaca siswa, semakin sedikit kesalahan yang dilakukannya dalam dikte. Atau semakin tinggi Anda mendaki gunung, semakin rendah tekanan atmosfernya.
Catatan 2
Ketergantungan ini disebut balik:
Ketika satu nilai meningkat, nilai kedua menurun. Ketika satu nilai berkurang, nilai kedua meningkat.
Jadi, untuk berjaga-jaga ketergantungan langsung kedua besaran tersebut berubah secara merata (baik bertambah maupun berkurang), dan dalam hal ini hubungan terbalik– berlawanan (yang satu bertambah dan yang lain berkurang, atau sebaliknya).
Menentukan ketergantungan antar besaran
Contoh 1
Waktu yang diperlukan untuk mengunjungi teman adalah $20$ menit. Jika kecepatan (nilai pertama) meningkat sebesar $2$ kali, kita akan mengetahui bagaimana waktu (nilai kedua) yang akan dihabiskan dalam perjalanan menuju teman akan berubah.
Jelasnya, waktu akan berkurang $2$ kali.
Catatan 3
Ketergantungan ini disebut sebanding:
Berapa kali suatu besaran berubah, berapa kali besaran kedua berubah.
Contoh 2
Untuk $2$ potong roti di toko Anda harus membayar 80 rubel. Jika Anda perlu membeli $4$ potong roti (jumlah roti bertambah $2$ kali lipat), berapa kali lagi Anda harus membayar?
Jelas, biayanya juga akan meningkat $2$ kali lipat. Kita punya contoh ketergantungan proporsional.
Dalam kedua contoh tersebut, ketergantungan proporsional dipertimbangkan. Namun pada contoh roti, besarannya berubah ke satu arah, sehingga ketergantungannya adalah langsung. Dan pada contoh pergi ke rumah teman, hubungan antara kecepatan dan waktu adalah balik. Jadi ada hubungan berbanding lurus Dan hubungan berbanding terbalik.
Proporsionalitas langsung
Mari kita pertimbangkan jumlah proporsional $2$: jumlah roti dan biayanya. Misalkan $2$ potong roti berharga $80$ rubel. Jika jumlah roti bertambah $4$ kali ($8$ roti), total biayanya akan menjadi $320$ rubel.
Rasio jumlah roti: $\frac(8)(2)=4$.
Rasio biaya roti: $\frac(320)(80)=$4.
Seperti yang Anda lihat, hubungan ini setara satu sama lain:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definisi 1
Persamaan dua perbandingan disebut proporsi.
Dengan ketergantungan berbanding lurus, hubungan diperoleh jika perubahan besaran pertama dan kedua bertepatan:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Definisi 2
Kedua besaran tersebut disebut berbanding lurus, jika ketika salah satunya berubah (bertambah atau berkurang), nilai lainnya juga berubah (masing-masing bertambah atau berkurang) dengan jumlah yang sama.
Contoh 3
Mobil menempuh jarak $180$ km dalam $2$ jam. Tentukan waktu yang dibutuhkan dia untuk menempuh $2$ kali jarak dengan kecepatan yang sama.
Larutan.
Waktu berbanding lurus dengan jarak:
$t=\frac(S)(v)$.
Berapa kali jarak bertambah, dengan kelajuan konstan, dengan jumlah yang sama waktu bertambah:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Mobil menempuh jarak $180$ km dalam $2$ jam
Mobil akan menempuh jarak $180 \cdot 2=360$ km - dalam $x$ jam
Semakin jauh mobil menempuh perjalanan, semakin lama waktu yang dibutuhkan. Oleh karena itu, hubungan antar besaran berbanding lurus.
Mari kita buat proporsinya:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Menjawab: Mobil akan membutuhkan $4$ jam.
Proporsionalitas terbalik
Definisi 3
Larutan.
Waktu berbanding terbalik dengan kecepatan:
$t=\frac(S)(v)$.
Berapa kali kecepatan bertambah, dengan lintasan yang sama, waktu berkurang dengan jumlah yang sama:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam bentuk tabel:
Mobil menempuh jarak $60$ km - dalam $6$ jam
Mobil akan menempuh jarak $120$ km – dalam $x$ jam
Semakin cepat kecepatan mobil, semakin sedikit waktu yang dibutuhkan. Akibatnya hubungan antar besaran berbanding terbalik.
Mari kita membuat proporsinya.
Karena proporsionalitasnya berbanding terbalik, hubungan kedua dalam proporsi tersebut dibalik:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Menjawab: Mobil akan membutuhkan $3$ jam.
Kedua besaran tersebut disebut berbanding lurus, jika salah satunya meningkat beberapa kali, yang lain meningkat dengan jumlah yang sama. Oleh karena itu, ketika salah satu dari mereka berkurang beberapa kali, yang lain berkurang dengan jumlah yang sama.
Hubungan antara besaran-besaran tersebut merupakan hubungan berbanding lurus. Contoh ketergantungan proporsional langsung:
1) pada kecepatan tetap, jarak yang ditempuh berbanding lurus dengan waktu;
2) keliling persegi dan sisinya merupakan besaran berbanding lurus;
3) harga pokok suatu produk yang dibeli pada suatu harga berbanding lurus dengan kuantitasnya.
Untuk membedakan hubungan berbanding lurus dengan hubungan berbanding terbalik, kita dapat menggunakan pepatah: “Semakin jauh ke dalam hutan, semakin banyak kayu bakar.”
Akan lebih mudah untuk menyelesaikan soal-soal yang melibatkan besaran berbanding lurus dengan menggunakan proporsi.
1) Untuk membuat 10 bagian diperlukan 3,5 kg logam. Berapa banyak logam yang diperlukan untuk membuat 12 bagian ini?
(Kami beralasan seperti ini:
1. Pada kolom yang terisi, letakkan tanda panah dari angka terbesar ke angka terkecil.
2. Semakin banyak bagian, semakin banyak logam yang dibutuhkan untuk membuatnya. Artinya hubungan tersebut berbanding lurus.
Misalkan diperlukan x kg logam untuk membuat 12 bagian. Kami membuat proporsinya (dalam arah dari awal panah hingga ujungnya):
12:10=x:3,5
Untuk mencari , Anda perlu membagi hasil kali suku ekstrem dengan suku tengah yang diketahui:
Artinya diperlukan 4,2 kg logam.
Jawaban: 4,2kg.
2) Untuk kain sepanjang 15 meter mereka membayar 1.680 rubel. Berapa harga kain tersebut sepanjang 12 meter?
(1. Pada kolom yang terisi, letakkan tanda panah dari angka terbesar ke angka terkecil.
2. Semakin sedikit kain yang Anda beli, semakin sedikit Anda harus membayarnya. Artinya hubungan tersebut berbanding lurus.
3. Oleh karena itu, panah kedua searah dengan panah pertama).
Misalkan x rubel berharga 12 meter kain. Kami membuat proporsi (dari awal panah hingga akhir):
15:12=1680:x
Untuk mencari suku ekstrem suatu proporsi yang belum diketahui, bagilah hasil kali suku tengah dengan suku ekstrem yang diketahui dari proporsi tersebut:
Ini berarti 12 meter berharga 1.344 rubel.
Jawaban: 1344 rubel.
Kita bisa berbicara tanpa henti tentang keuntungan belajar menggunakan video pelajaran. Pertama, mereka menyajikan pemikirannya dengan jelas dan mudah dipahami, konsisten dan terstruktur. Kedua, hal-hal tersebut memakan waktu tertentu dan tidak memakan waktu lama, sering kali berlarut-larut dan membosankan. Ketiga, pelajaran ini lebih menarik bagi siswa dibandingkan pelajaran biasa yang biasa mereka lakukan. Anda dapat melihatnya di lingkungan yang tenang.
Dalam banyak permasalahan pada mata pelajaran matematika, siswa kelas 6 akan dihadapkan pada hubungan berbanding lurus dan berbanding terbalik. Sebelum Anda mulai mempelajari topik ini, ada baiknya mengingat apa itu proporsi dan sifat dasar apa yang dimilikinya.
Video pelajaran sebelumnya dikhususkan untuk topik “Proporsi”. Yang ini merupakan kelanjutan logis. Perlu dicatat bahwa topik ini cukup penting dan sering ditemui. Penting untuk dipahami dengan benar untuk selamanya.
Untuk menunjukkan pentingnya topik, video pelajaran dimulai dengan sebuah tugas. Kondisi tersebut muncul di layar dan diumumkan oleh penyiar. Rekaman data tersebut diberikan dalam bentuk semacam diagram agar siswa yang menonton rekaman video tersebut dapat memahaminya dengan sebaik-baiknya. Akan lebih baik jika pada awalnya dia menganut bentuk rekaman ini.
Yang tidak diketahui, seperti yang biasa dilakukan dalam banyak kasus, dilambangkan dengan huruf Latin x. Untuk menemukannya, Anda harus mengalikan nilainya terlebih dahulu. Dengan demikian akan diperoleh persamaan kedua perbandingan tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa ini berkaitan dengan proporsi dan perlu diingat sifat utamanya. Harap dicatat bahwa semua nilai ditunjukkan dalam satuan pengukuran yang sama. Jika tidak, maka perlu untuk menguranginya menjadi satu dimensi.
Setelah menonton metode solusi dalam video, Anda seharusnya tidak mengalami kesulitan dengan masalah seperti itu. Penyiar mengomentari setiap gerakan, menjelaskan semua tindakan, dan mengingat kembali materi yang dipelajari yang digunakan.
Segera setelah menonton bagian pertama dari video pelajaran “Ketergantungan proporsional langsung dan terbalik”, Anda dapat meminta siswa untuk menyelesaikan masalah yang sama tanpa bantuan petunjuk. Setelah itu, Anda bisa menawarkan tugas alternatif.
Tergantung pada kemampuan mental siswa, kesulitan tugas selanjutnya dapat ditingkatkan secara bertahap.
Setelah permasalahan pertama dibahas, diberikan definisi besaran berbanding lurus. Definisi tersebut dibacakan oleh penyiar. Konsep utama disorot dengan warna merah.
Selanjutnya, masalah lain diperlihatkan, yang menjadi dasar penjelasan hubungan proporsional terbalik. Yang terbaik bagi siswa untuk menuliskan konsep-konsep ini di buku catatan. Jika perlu, sebelum tes, siswa dapat dengan mudah menemukan semua aturan dan definisi dan membacanya kembali.
Setelah menonton video ini, siswa kelas 6 akan memahami cara menggunakan proporsi dalam tugas tertentu. Ini adalah topik yang cukup penting yang tidak boleh dilewatkan dalam keadaan apapun. Jika seorang siswa tidak mampu memahami materi yang disampaikan oleh guru selama pembelajaran di antara siswa lainnya, maka sumber daya pendidikan seperti itu akan menjadi penyelamat yang besar!
