Apa penyebutnya? Aturan atau algoritma untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama

Tadinya saya ingin memasukkan teknik penyebut yang sama pada bagian Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan. Namun ternyata ada begitu banyak informasi, dan pentingnya informasi tersebut begitu besar (bagaimanapun juga, tidak hanya pecahan numerik yang memiliki penyebut yang sama), sehingga lebih baik mempelajari masalah ini secara terpisah.

Jadi, misalkan kita mempunyai dua pecahan yang penyebutnya berbeda. Dan kami ingin memastikan bahwa penyebutnya sama. Properti dasar pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, izinkan saya mengingatkan Anda, terdengar seperti ini:

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktor-faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut pengurangan ke penyebut yang sama. Dan bilangan-bilangan yang diperlukan, yang “meratakan” penyebutnya, disebut faktor tambahan.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Ada banyak cara untuk mencari bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tersebut akan membuat penyebut pecahan menjadi sama. Kami hanya akan mempertimbangkan tiga di antaranya - dalam urutan peningkatan kompleksitas dan, dalam arti tertentu, efektivitas.

Perkalian silang

Metode paling sederhana dan paling dapat diandalkan, yang dijamin dapat menyamakan penyebutnya. Kita akan bertindak “dengan cepat”: kita mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Hasilnya, penyebut kedua pecahan akan sama dengan hasil kali penyebut aslinya. Lihatlah:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Ya, sesederhana itu. Jika Anda baru mulai mempelajari pecahan, lebih baik bekerja menggunakan metode ini - dengan cara ini Anda akan memastikan diri Anda dari banyak kesalahan dan dijamin mendapatkan hasilnya.

Satu-satunya kelemahan cara ini adalah Anda harus banyak menghitung, karena penyebutnya dikalikan “sepanjang mungkin”, dan hasilnya bisa berupa angka yang sangat besar. Ini adalah harga yang harus dibayar untuk keandalan.

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ngomong-ngomong, saya tidak mengambil pecahan dalam contoh ini secara kebetulan. Jika Anda tertarik, coba hitung dengan metode silang-silang. Setelah reduksi, jawabannya akan sama, tetapi pekerjaan akan lebih banyak.

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Saat kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya kita mencoba mencari bilangan yang habis dibagi masing-masing penyebutnya. Kemudian kita bawa penyebut kedua pecahan ke bilangan ini.

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Jumlah ini jauh lebih sedikit dibandingkan hasil kali 8 · 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dinotasikan KPK(a ; b) . Misalnya KPK(16, 24) = 48 ; KPK(8; 12) = 24 .

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktor 2 dan 3 bersifat koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 adalah faktor persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 bersifat koprima, dan faktor 5 bersifat persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Untuk memahami seberapa besar perbedaan yang dihasilkan oleh metode kelipatan persekutuan terkecil, cobalah menghitung contoh-contoh yang sama menggunakan metode silang-silang. Tentu saja tanpa kalkulator. Saya pikir setelah ini komentar tidak diperlukan lagi.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Satu-satunya masalah adalah bagaimana menemukan NOC ini. Terkadang segala sesuatu dapat ditemukan dalam beberapa detik, secara harfiah “dengan mata”, tetapi secara umum ini adalah tugas komputasi kompleks yang memerlukan pertimbangan tersendiri. Kami tidak akan membahasnya di sini.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama dan menyelesaikan masalah tentang topik ini. Mari kita definisikan konsep penyebut persekutuan dan faktor tambahan, serta mengingat bilangan relatif prima. Mari kita definisikan konsep penyebut terkecil (LCD) dan selesaikan sejumlah masalah untuk menemukannya.

Topik: Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda

Pelajaran: Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Pengulangan. Sifat utama pecahan.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka diperoleh pecahan yang sama besarnya.

Misalnya, pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dibagi 2. Kita mendapatkan pecahannya. Operasi ini disebut pengurangan pecahan. Anda juga dapat melakukan transformasi terbalik dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 2. Dalam hal ini, kita katakan bahwa kita telah mereduksi pecahan tersebut menjadi penyebut baru. Angka 2 disebut faktor tambahan.

Kesimpulan. Suatu pecahan dapat direduksi menjadi penyebut apa pun yang merupakan kelipatan penyebut pecahan tersebut. Untuk membawa pecahan ke penyebut baru, pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan faktor tambahan.

1. Kurangi pecahan menjadi penyebut 35.

Bilangan 35 merupakan kelipatan 7, yaitu 35 habis dibagi 7 tanpa sisa. Artinya, transformasi ini mungkin terjadi. Mari kita cari faktor tambahan. Caranya, bagi 35 dengan 7. Kita mendapat 5. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan asal dengan 5.

2. Kurangi pecahan menjadi penyebut 18.

Mari kita cari faktor tambahan. Caranya, bagilah penyebut baru dengan penyebut aslinya. Kita mendapat 3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan 3.

3. Kurangi pecahan menjadi penyebut 60.

Membagi 60 dengan 15 memberikan faktor tambahan. Sama dengan 4. Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 4.

4. Kurangi pecahan menjadi penyebut 24

Dalam kasus sederhana, pengurangan ke penyebut baru dilakukan secara mental. Faktor tambahan biasanya dicantumkan di belakang tanda kurung sedikit ke kanan dan di atas pecahan asal.

Pecahan dapat direduksi menjadi penyebut 15 dan suatu pecahan dapat direduksi menjadi penyebut 15. Pecahan juga mempunyai penyebut yang sama yaitu 15.

Penyebut suatu pecahan dapat berupa kelipatan persekutuan apa pun dari penyebutnya. Untuk mempermudah, pecahan direduksi menjadi penyebut terkecilnya. Ini sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan tertentu.

Contoh. Kurangi ke penyebut terkecil dari pecahan dan .

Pertama, mari kita cari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan tersebut. Bilangan ini adalah 12. Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama dan kedua. Caranya, bagi 12 dengan 4 dan 6. Tiga adalah faktor tambahan untuk pecahan pertama, dan dua untuk pecahan kedua. Mari kita bawa pecahan ke penyebut 12.

Kami membawa pecahan ke penyebut yang sama, yaitu, kami menemukan pecahan yang sama yang memiliki penyebut yang sama.

Aturan. Untuk mereduksi pecahan ke penyebut terkecilnya, Anda harus melakukannya

Pertama, temukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan ini, itu akan menjadi penyebut terkecilnya;

Kedua, bagilah penyebut persekutuan terkecil dengan penyebut pecahan tersebut, yaitu cari faktor tambahan untuk setiap pecahan.

Ketiga, kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.

a) Kurangi pecahan dan menjadi penyebut yang sama.

Penyebut persekutuan terkecil adalah 12. Faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah 4, untuk pecahan kedua - 3. Kita kurangi pecahan tersebut menjadi penyebut 24.

b) Kurangi pecahan dan menjadi penyebut yang sama.

Penyebut persekutuan terkecil adalah 45. Membagi 45 dengan 9 dengan 15 menghasilkan 5 dan 3, masing-masing pecahan menjadi penyebut 45.

c) Kurangi pecahan dan menjadi penyebut yang sama.

Penyebutnya adalah 24. Faktor tambahannya masing-masing adalah 2 dan 3.

Terkadang sulit untuk menemukan secara lisan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan tertentu. Kemudian penyebut persekutuan dan faktor tambahannya dicari dengan menggunakan faktorisasi prima.

Kurangi pecahan dan menjadi penyebut yang sama.

Mari kita faktorkan bilangan 60 dan 168 menjadi faktor prima. Mari kita tuliskan pemuaian bilangan 60 dan tambahkan faktor 2 dan 7 yang hilang dari pemuaian kedua. Mari kita kalikan 60 dengan 14 dan mendapatkan penyebut yang sama dengan 840. Faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah 14. Faktor tambahan untuk pecahan kedua adalah 5. Mari kita bawa pecahan tersebut ke penyebut yang sama yaitu 840.

Referensi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dan lain-lain.Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika kelas 6. - Gimnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika. - Pencerahan, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tugas mata kuliah matematika untuk kelas 5-6. - ZSh MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Panduan untuk siswa kelas 6 di sekolah korespondensi MEPHI. - ZSh MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. dan lain-lain.Matematika: Buku teks-teman bicara untuk kelas 5-6 sekolah menengah. Perpustakaan guru matematika. - Pencerahan, 1989.

Anda dapat mengunduh buku-buku yang ditentukan dalam pasal 1.2. pelajaran ini.

Pekerjaan rumah

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dan lain-lain.Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link lihat 1.2)

Pekerjaan Rumah : No.297, No.298, No.300.

Tugas lainnya : No.270, No.290

Perkalian silang

Metode Pembagi Umum

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Untuk memahami seberapa besar perbedaan yang dihasilkan oleh metode kelipatan persekutuan terkecil, cobalah menghitung contoh-contoh yang sama menggunakan metode silang-silang.

Penyebut umum pecahan

Tentu saja tanpa kalkulator. Saya pikir setelah ini komentar tidak diperlukan lagi.

Lihat juga:

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut. Dan angka-angka yang diperlukan, “meratakan” penyebutnya, dipanggil.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Perkalian silang

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Angka ini jauh lebih kecil dibandingkan hasil kali 8 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a; b). Misalnya KPK(16, 24) = 48; KPK(8; 12) = 24.

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Cara Mencari Penyebut Persekutuan Terendah

Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 koprima, dan faktor 5 persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Lihat juga:

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut. Dan angka-angka yang diperlukan, “meratakan” penyebutnya, dipanggil.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama?

Penyebut umum, konsep dan definisi.

Berikut ini beberapa alasannya:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Perkalian silang

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Angka ini jauh lebih kecil dibandingkan hasil kali 8 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a; b). Misalnya KPK(16, 24) = 48; KPK(8; 12) = 24.

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 koprima, dan faktor 5 persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Lihat juga:

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut. Dan angka-angka yang diperlukan, “meratakan” penyebutnya, dipanggil.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Perkalian silang

Lihatlah:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Angka ini jauh lebih kecil dibandingkan hasil kali 8 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a; b). Misalnya KPK(16, 24) = 48; KPK(8; 12) = 24.

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 koprima, dan faktor 5 persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Lihat juga:

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut. Dan angka-angka yang diperlukan, “meratakan” penyebutnya, dipanggil.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Perkalian silang

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Satu-satunya kelemahan cara ini adalah Anda harus banyak menghitung, karena penyebutnya dikalikan “sepanjang mungkin”, dan hasilnya bisa berupa angka yang sangat besar.

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Ini adalah harga yang harus dibayar untuk keandalan.

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Angka ini jauh lebih kecil dibandingkan hasil kali 8 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a; b). Misalnya KPK(16, 24) = 48; KPK(8; 12) = 24.

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 koprima, dan faktor 5 persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Sebagian besar operasi pecahan aljabar, seperti penjumlahan dan pengurangan, memerlukan pengurangan pecahan tersebut terlebih dahulu menjadi penyebut yang sama. Penyebut seperti itu juga sering disebut sebagai “penyebut yang sama”. Dalam topik ini, kita akan melihat definisi konsep “penyebut persekutuan pecahan aljabar” dan “penyebut persekutuan terkecil pecahan aljabar (LCD)”, pertimbangkan algoritma untuk mencari penyebut persekutuan poin demi poin dan menyelesaikan beberapa masalah pada topik.

Yandex.RTB RA-339285-1

Penyebut umum pecahan aljabar

Jika kita berbicara tentang pecahan biasa, maka penyebutnya adalah bilangan yang habis dibagi salah satu penyebut pecahan aslinya. Untuk pecahan biasa 1 2 Dan 5 9 angka 36 dapat menjadi penyebut yang sama, karena habis dibagi 2 dan 9 tanpa sisa.

Penyebut pecahan aljabar ditentukan dengan cara yang sama, hanya polinomial yang digunakan sebagai pengganti angka, karena polinomial adalah pembilang dan penyebut pecahan aljabar.

Definisi 1

Penyebut umum suatu pecahan aljabar adalah polinomial yang habis dibagi penyebut suatu pecahan.

Karena kekhasan pecahan aljabar, yang akan dibahas di bawah, kita sering kali berurusan dengan penyebut yang sama yang direpresentasikan sebagai hasil kali, bukan sebagai polinomial standar.

Contoh 1

Polinomial ditulis sebagai produk 3 x 2 (x + 1), sesuai dengan polinomial bentuk standar 3x3 + 3x2. Polinomial ini dapat menjadi penyebut pecahan aljabar 2 x, - 3 x y x 2 dan y + 3 x + 1, karena habis dibagi X, pada x 2 dan seterusnya x+1. Informasi tentang pembagian polinomial tersedia di topik terkait di sumber kami.

Penyebut terkecil (LCD)

Untuk pecahan aljabar tertentu, jumlah penyebutnya bisa tidak terbatas.

Contoh 2

Mari kita ambil contoh pecahan 1 2 x dan x + 1 x 2 + 3. Persamaan mereka adalah 2 x (x 2 + 3), serta − 2 x (x 2 + 3), serta x (x 2 + 3), serta 6, 4 x (x 2 + 3) (kamu + kamu 4), serta − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, dll.

Saat menyelesaikan soal, Anda dapat mempermudah pekerjaan Anda dengan menggunakan penyebut yang sama, yang memiliki bentuk paling sederhana di antara seluruh himpunan penyebut. Penyebut ini sering disebut sebagai penyebut terkecil.

Definisi 2

Penyebut terkecil pecahan aljabar adalah penyebut pecahan aljabar yang mempunyai bentuk paling sederhana.

Omong-omong, istilah "penyebut yang sama terendah" tidak diterima secara umum, jadi lebih baik kita membatasi diri pada istilah "penyebut yang sama". Dan inilah alasannya.

Sebelumnya kami memusatkan perhatian Anda pada frasa “penyebut yang paling sederhana”. Arti utama dari frasa ini adalah sebagai berikut: penyebut bentuk paling sederhana harus membagi tanpa sisa penyebut umum lainnya dari data dalam kondisi soal pecahan aljabar. Dalam hal ini, dalam hasil kali, yang merupakan penyebut pecahan yang sama, berbagai koefisien numerik dapat digunakan.

Contoh 3

Mari kita ambil pecahan 1 2 · x dan x + 1 x 2 + 3 . Kita telah mengetahui bahwa akan lebih mudah bagi kita untuk bekerja dengan penyebut yang sama dalam bentuk 2 · x · (x 2 + 3). Juga, penyebut yang sama untuk kedua pecahan ini bisa jadi x (x 2 + 3), yang tidak mengandung koefisien numerik. Pertanyaannya adalah manakah di antara dua penyebut yang sama ini yang dianggap sebagai penyebut terkecil dari pecahan tersebut. Tidak ada jawaban pasti, oleh karena itu lebih tepat berbicara tentang penyebut yang sama, dan bekerja dengan opsi yang paling nyaman untuk digunakan. Jadi, kita bisa menggunakan penyebut yang sama seperti x 2 (x 2 + 3) (kamu + kamu 4) atau − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, yang memiliki tampilan lebih kompleks, namun mungkin lebih sulit untuk melakukan tindakan dengannya.

Menemukan penyebut pecahan aljabar: algoritma tindakan

Misalkan kita mempunyai beberapa pecahan aljabar yang perlu dicari penyebutnya. Untuk mengatasi masalah ini kita dapat menggunakan algoritma tindakan berikut. Pertama kita perlu memfaktorkan penyebut pecahan aslinya. Kemudian kami membuat sebuah karya yang secara berurutan kami sertakan:

semua faktor dari penyebut pecahan pertama beserta pangkatnya;
semua faktor yang ada pada penyebut pecahan kedua, tetapi tidak ada dalam hasil kali tertulis atau derajatnya tidak mencukupi;
semua faktor yang hilang dari penyebut pecahan ketiga, dan seterusnya.

Produk yang dihasilkan akan menjadi penyebut pecahan aljabar.

Sebagai faktor hasil kali, kita dapat mengambil semua penyebut pecahan yang diberikan dalam rumusan masalah. Namun pengganda yang akan kita peroleh pada akhirnya akan jauh dari arti NCD dan penggunaannya menjadi tidak rasional.

Contoh 4

Tentukan penyebut pecahan 1 x 2 y, 5 x + 1 dan y - 3 x 5 y.

Larutan

Dalam hal ini, kita tidak perlu memfaktorkan penyebut pecahan aslinya. Oleh karena itu, kami akan mulai menerapkan algoritma tersebut dengan menyusun karya.

Dari penyebut pecahan pertama kita ambil pengalinya x 2 tahun, dari penyebut pecahan kedua, pengalinya x+1. Kami mendapatkan produknya x 2 tahun (x + 1).

Penyebut pecahan ketiga bisa memberi kita pengali x 5 tahun Namun, produk yang kami kompilasi sebelumnya sudah memiliki faktor x 2 Dan kamu. Oleh karena itu, kami menambahkan lebih banyak x 5 − 2 = x 3. Kami mendapatkan produknya x 2 tahun (x + 1) x 3, yang dapat direduksi menjadi bentuk x 5 tahun (x + 1). Ini akan menjadi NOZ pecahan aljabar kita.

Menjawab: x 5 · kamu · (x + 1) .

Sekarang mari kita lihat contoh soal yang penyebut pecahan aljabar mengandung faktor bilangan bulat. Dalam kasus seperti ini, kami juga mengikuti algoritme, setelah sebelumnya menguraikan faktor bilangan bulat menjadi faktor sederhana.

Contoh 5

Tentukan penyebut pecahan 1 12 x dan 1 90 x 2.

Larutan

Membagi bilangan penyebut pecahan menjadi faktor prima, kita mendapatkan 1 2 2 · 3 · x dan 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Sekarang kita dapat melanjutkan ke kompilasi penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, dari penyebut pecahan pertama kita ambil produknya 2 2 3x dan tambahkan faktor 3, 5 dan X dari penyebut pecahan kedua. Kami mengerti 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Ini adalah persamaan kita.

Menjawab: 180x2.

Jika Anda mencermati hasil dari dua contoh yang dianalisis, Anda akan melihat bahwa penyebut pecahan yang sama berisi semua faktor yang ada pada pemuaian penyebutnya, dan jika ada faktor tertentu pada beberapa penyebut, maka faktor tersebut diambil. dengan eksponen terbesar yang tersedia. Dan jika penyebutnya mempunyai koefisien bilangan bulat, maka penyebut persekutuannya memuat faktor numerik yang sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien numerik tersebut.

Contoh 6

Penyebut kedua pecahan aljabar 1 12 x dan 1 90 x 2 mempunyai faktor X. Dalam kasus kedua, faktor x dikuadratkan. Untuk membuat penyebut yang sama, kita perlu memanfaatkan faktor ini semaksimal mungkin, yaitu. x 2. Tidak ada pengganda lain dengan variabel. Koefisien numerik bilangan bulat dari pecahan asal 12 Dan 90 , dan kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 180 . Ternyata penyebut umum yang diinginkan sudah berbentuk 180x2.

Sekarang kita dapat menuliskan algoritma lain untuk mencari faktor persekutuan pecahan aljabar. Untuk ini kami:

faktorkan penyebut semua pecahan;
kita menyusun hasil perkalian semua faktor huruf (jika ada faktor dalam beberapa perluasan, kita ambil opsi dengan eksponen terbesar);
kami menambahkan KPK dari koefisien numerik ekspansi ke produk yang dihasilkan.

Algoritma yang diberikan adalah setara, sehingga salah satu dari algoritma tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah. Penting untuk memperhatikan detailnya.

Ada kalanya faktor persekutuan dalam penyebut pecahan mungkin tidak terlihat di balik koefisien numerik. Di sini disarankan untuk terlebih dahulu menempatkan koefisien numerik pada pangkat yang lebih tinggi dari variabel di luar tanda kurung pada setiap faktor yang ada dalam penyebutnya.

Contoh 7

Berapakah penyebut pecahan 3 5 - x dan 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Larutan

Dalam kasus pertama, minus satu harus dikeluarkan dari tanda kurung. Kita peroleh 3 - x - 5 . Kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan - 1 untuk menghilangkan minus pada penyebutnya: - 3 x - 5.

Dalam kasus kedua, kita keluarkan keduanya dari tanda kurung. Hal ini memungkinkan kita memperoleh pecahan 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Jelaslah bahwa penyebut pecahan aljabar ini - 3 x - 5 dan 5 - x · y 2 2 · x - 5 adalah 2 (x − 5).

Menjawab:2 (x − 5).

Data dalam kondisi soal pecahan mungkin mempunyai koefisien pecahan. Dalam kasus ini, Anda harus menghilangkan koefisien pecahan terlebih dahulu dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka tertentu.

Contoh 8

Sederhanakan pecahan aljabar 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 dan - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 lalu tentukan penyebutnya.

Larutan

Mari kita hilangkan koefisien pecahan dengan mengalikan pembilang dan penyebut pada kasus pertama dengan 14, dalam kasus kedua dengan 3. Kami mendapatkan:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 dan - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Setelah transformasi, menjadi jelas bahwa penyebutnya adalah 2 (x 2 + 2).

Menjawab: 2 (x 2 + 2).

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter