tugas tes
Tugas 1 - 10. Vektor diberikan.
Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis ini:
Diberikan vektor ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Tunjukkan bahwa vektor-vektor membentuk basis ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor X dalam basis ini.
Tugas ini terdiri dari dua bagian. Pertama, Anda perlu memeriksa apakah vektor-vektor tersebut membentuk basis. Vektor membentuk basis jika determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut berbeda dari nol, jika tidak, vektor-vektor tersebut bukan basis dan vektor X tidak dapat diperluas pada basis ini.
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Mari kita hitung determinan matriksnya:
Penentu matriksnya adalah ∆ =37
Karena determinannya bukan nol, vektor-vektornya membentuk basis, oleh karena itu, vektor X dapat diperluas pada basis ini. Itu. ada bilangan α 1, α 2, α 3 yang persamaannya berlaku:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk koordinat:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Dengan menggunakan sifat-sifat vektor, kita memperoleh persamaan berikut:
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
Berdasarkan sifat persamaan vektor kita mempunyai:
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1 Kami memecahkan sistem persamaan yang dihasilkan metode Gaussian atau.
metode Cramer
X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3
Solusinya diterima dan diproses menggunakan layanan:
Koordinat vektor di dasar
Seiring dengan masalah ini, mereka juga memecahkan:
Memecahkan persamaan matriks
Metode Cramer
metode Gauss
Matriks invers menggunakan metode Jordano-Gauss
Matriks terbalik melalui komplemen aljabar
Perkalian matriks online
Contoh 8
Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis dalam ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis tersebut. Larutan:
Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor: 
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis ruang tiga dimensi.
! Penting: koordinat vektor Perlu tuliskan menjadi kolom penentu, bukan dalam string. Jika tidak, akan terjadi kebingungan dalam algoritma solusi selanjutnya.
Sekarang mari kita ingat bagian teoretisnya: jika vektor membentuk suatu basis, maka vektor apa pun dapat diperluas ke basis tertentu dengan cara yang unik: , di mana adalah koordinat vektor dalam basis.
Karena vektor kita membentuk basis ruang tiga dimensi (hal ini telah dibuktikan), vektor dapat diperluas dengan cara yang unik pada basis ini: 
, dimana koordinat vektor pada basisnya.
Sesuai dengan kondisi dan perlu dicari koordinatnya.
Untuk memudahkan penjelasan, saya akan menukar bagian-bagiannya: 
. Untuk menemukannya, Anda harus menuliskan persamaan koordinat demi koordinat ini: 
Atas dasar apa koefisien ditetapkan? Semua koefisien di ruas kiri dipindahkan secara tepat dari determinan 
, koordinat vektor ditulis di sisi kanan.
Hasilnya adalah sistem tiga persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahui. Biasanya diselesaikan dengan rumus Cramer, seringkali bahkan dalam rumusan masalah terdapat persyaratan seperti itu.
Penentu utama sistem telah ditemukan:
, yang berarti sistem memiliki solusi unik.
Berikut ini soal tekniknya: 
Dengan demikian:
– penguraian vektor menurut basisnya.
Menjawab: 
Seperti yang sudah saya catat, masalahnya bersifat aljabar. Vektor-vektor yang dipertimbangkan belum tentu vektor-vektor yang dapat digambar dalam ruang, tetapi, pertama-tama, vektor-vektor abstrak dari mata kuliah aljabar linier. Untuk kasus vektor dua dimensi, masalah serupa dapat dirumuskan dan diselesaikan; Namun, dalam praktiknya saya belum pernah menemui tugas seperti itu, itulah sebabnya saya melewatkannya di bagian sebelumnya.
Masalah yang sama dengan vektor tiga dimensi untuk solusi independen:
Contoh 9
Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut membentuk basis dan tentukan koordinat vektor pada basis tersebut. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.
Solusi lengkap dan contoh perkiraan desain akhir di akhir pelajaran.
Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan empat dimensi, lima dimensi, dan seterusnya. ruang vektor, dimana vektor masing-masing mempunyai 4, 5 atau lebih koordinat. Untuk ruang vektor ini juga ada konsep ketergantungan linier, kemandirian linier vektor, ada basis, termasuk basis ortonormal, perluasan suatu vektor terhadap suatu basis. Ya, ruang seperti itu tidak dapat digambar secara geometris, tetapi semua aturan, properti, dan teorema kasus dua dan tiga dimensi berlaku di dalamnya - aljabar murni. Sebenarnya saya sudah tergoda untuk membicarakan persoalan filosofis di artikel tersebut Turunan parsial dari fungsi tiga variabel, yang muncul sebelum pelajaran ini.
Cintai vektor, dan vektor akan mencintaimu!
Solusi dan jawaban:
Contoh 2: Larutan: mari kita membuat proporsi dari koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:
Menjawab:
pada
Contoh 4: Bukti: Rekstok gantung Segi empat disebut segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.
1) Mari kita periksa kesejajaran sisi-sisi yang berhadapan dan .
Mari kita cari vektornya:
, artinya vektor-vektor tersebut tidak segaris dan sisi-sisinya tidak sejajar.
2) Periksa kesejajaran sisi-sisi yang berhadapan dan .
Mari kita cari vektornya:
Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris, dan .
Kesimpulan:
Dua sisi suatu segiempat sejajar, tetapi dua sisi lainnya tidak sejajar, yang berarti segi empat menurut definisinya adalah trapesium. Q.E.D.
Contoh 5: Larutan:
b) Mari kita periksa apakah ada koefisien proporsionalitas untuk koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:
Sistem tidak mempunyai solusi, artinya vektor-vektornya tidak segaris.
Desain yang lebih sederhana:
– koordinat kedua dan ketiga tidak proporsional, artinya vektor-vektornya tidak segaris.
Menjawab:
vektor-vektornya tidak segaris.
c) Kami memeriksa vektor untuk kolinearitas 
. Mari kita buat sistem:
Koordinat vektor-vektor yang bersesuaian adalah proporsional, artinya
Di sinilah metode desain “foppish” gagal.
Menjawab:
Contoh 6: Larutan: b) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor (determinan terungkap pada baris pertama):
, artinya vektor-vektor tersebut bergantung linier dan tidak membentuk basis ruang tiga dimensi.
Menjawab
: vektor-vektor ini tidak membentuk basis
Contoh 9: Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis dalam ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis tersebut. Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:
Jadi, vektor-vektornya bebas linier dan membentuk basis.
Mari kita nyatakan vektor sebagai kombinasi linier dari vektor basis:
Secara koordinatif:
Mari selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer:
, yang berarti sistem memiliki solusi unik.
Menjawab:Vektor membentuk basis,
Matematika yang lebih tinggi untuk siswa korespondensi dan banyak lagi >>>
(Buka halaman utama)
Perkalian silang vektor.
Produk campuran vektor
Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor. Tidak apa-apa, terkadang hal itu terjadi untuk kebahagiaan total produk skalar vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Ini adalah kecanduan vektor. Tampaknya kita memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Pada bagian matematika tingkat tinggi ini umumnya hanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih rumit dari materi yang sama produk titik, tugas-tugas tipikal bahkan akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang diyakini atau sudah diyakini banyak orang, adalah JANGAN MEMBUAT KESALAHAN DALAM PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra dan Anda akan bahagia =)
Jika vektor bersinar di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif; Saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek
Apa yang akan membuatmu bahagia saat itu juga? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua atau bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang Anda tidak perlu melakukan juggling sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya hanya vektor spasial, dan vektor datar dengan dua koordinat akan diabaikan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Ini sudah lebih mudah!
Vektor dapat direpresentasikan secara grafis dengan segmen terarah. Panjangnya dipilih pada skala tertentu untuk ditunjukkan besaran vektor , dan arah segmen mewakili arah vektor . Misalnya, jika kita berasumsi bahwa 1 cm mewakili 5 km/jam, maka angin timur laut dengan kecepatan 15 km/jam akan diwakili oleh segmen arah dengan panjang 3 cm, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Vektor di bidang itu adalah segmen terarah. Dua vektor setara jika mereka memiliki hal yang sama ukuran Dan arah.
Perhatikan sebuah vektor yang ditarik dari titik A ke titik B. Titik tersebut disebut titik awal vektor, dan titik B disebut titik akhir. Notasi simbolis untuk vektor ini adalah (dibaca “vektor AB”). Vektor juga diwakili dengan huruf tebal seperti U, V, dan W. Keempat vektor pada gambar di sebelah kiri memiliki panjang dan arah yang sama. Oleh karena itu mereka mewakili setara angin; yaitu, 
Dalam konteks vektor, kita menggunakan = untuk menunjukkan bahwa keduanya sama.
Panjang, atau besarnya dinyatakan sebagai ||. Untuk menentukan apakah vektor-vektor tersebut sama besar, kita mencari besar dan arahnya.
Contoh 1 Vektor u, , w ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Buktikan bahwa kamu = = w. 
Larutan Pertama kita mencari panjang masing-masing vektor menggunakan rumus jarak:
|kamu| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Dari sini
|kamu| = | = |w|.
Vektor u, , dan w, seperti terlihat pada gambar, tampaknya mempunyai arah yang sama, tetapi kita akan memeriksa kemiringannya. Jika garis-garis tempat kedua garis tersebut berada mempunyai gradien yang sama, maka vektor-vektornya mempunyai arah yang sama. Kami menghitung kemiringannya: 
Karena u, , dan w mempunyai besar yang sama dan arah yang sama,
kamu = = w.
Perlu diingat bahwa vektor yang sama hanya memerlukan besaran dan arah yang sama, bukan lokasi yang sama. Gambar paling atas menunjukkan contoh persamaan vektor.
Misalkan seseorang mengambil 4 langkah ke timur dan kemudian 3 langkah ke utara. Orang tersebut kemudian akan berada 5 langkah dari titik awal ke arah yang ditunjukkan di sebelah kiri. Sebuah vektor dengan panjang 4 satuan dengan arah ke kanan melambangkan 4 langkah ke timur dan sebuah vektor dengan panjang 3 satuan dengan arah ke atas melambangkan 3 langkah ke utara. Jumlah dari kedua vektor tersebut terdapat vektor yang besarnya 5 langkah dan searah dengan yang ditunjukkan. Jumlahnya disebut juga dihasilkan dua vektor.
Secara umum, dua vektor tak nol u dan v dapat dijumlahkan secara geometri dengan menempatkan titik awal vektor v ke titik akhir vektor u, kemudian mencari vektor yang mempunyai titik awal yang sama dengan vektor u dan akhiran yang sama. titik sebagai vektor v seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. 
Jumlahnya adalah vektor yang diwakili oleh segmen berarah dari titik A vektor u ke titik akhir C vektor v. Jadi, jika u = dan v = , maka
kamu + v = + =
Kita juga dapat mendeskripsikan penjumlahan vektor dengan menyatukan titik-titik awal vektor-vektor, membuat jajar genjang, dan mencari diagonal jajar genjang. (pada gambar di bawah.) Penambahan ini kadang-kadang disebut sebagai aturan jajaran genjang
penambahan vektor. Penjumlahan vektor bersifat komutatif. Seperti terlihat pada gambar, kedua vektor u + v dan v + u diwakili oleh ruas garis berarah yang sama. 
Jika dua gaya F 1 dan F 2 bekerja pada satu benda, dihasilkan gaya adalah jumlah F 1 + F 2 dari dua gaya yang terpisah. 
Contoh Dua gaya masing-masing sebesar 15 newton dan 25 newton bekerja pada suatu benda yang saling tegak lurus. Temukan jumlah mereka, atau gaya yang dihasilkan, dan sudut yang dibentuknya dengan gaya yang lebih besar.
Larutan Mari kita menggambar kondisi masalahnya, dalam hal ini persegi panjang, menggunakan v atau untuk menyatakan resultannya. Untuk mencari nilainya, kita menggunakan teorema Pythagoras:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Di sini |v| menunjukkan panjang atau besarnya v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29.2.
Untuk mencari arah, perhatikan bahwa karena OAB siku-siku,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Dengan menggunakan kalkulator, kita mencari θ, sudut antara gaya yang lebih besar dengan gaya total:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Resultannya memiliki besaran 29,2 dan sudut 31° dengan gaya yang lebih besar.
Pilot dapat mengatur arah penerbangannya jika terjadi crosswind. Angin dan kecepatan pesawat dapat direpresentasikan sebagai angin.
Contoh 3. Kecepatan dan arah pesawat. Pesawat bergerak dengan azimuth 100° dengan kecepatan 190 km/jam, kecepatan angin 48 km/jam dan azimutnya 220°. Temukan kecepatan absolut pesawat dan arah pergerakannya, dengan memperhitungkan angin.
Larutan Ayo buat gambarnya dulu. Angin diwakili dan vektor kecepatan pesawat adalah. Vektor kecepatan yang dihasilkan adalah v, jumlah kedua vektor. Sudut θ antara v dan disebut sudut melayang
.
Perhatikan bahwa nilai COA = 100° - 40° = 60°. Maka nilai CBA juga sama dengan 60° (sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar). Karena jumlah semua sudut jajar genjang adalah 360° dan COB serta OAB besarnya sama, maka masing-masing sudutnya pasti 120°. Oleh aturan kosinus
di OAB, kami punya
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47.524
|v| = 218
Lalu, |v| sama dengan 218 km/jam. Menurut aturan sinus
, dalam segitiga yang sama,
48
/sinθ = 218
/dosa 120°,
atau
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Maka, θ = 11°, ke sudut bilangan bulat terdekat. Kecepatan absolutnya adalah 218 km/jam, dan arah pergerakannya dengan memperhitungkan angin: 100° - 11°, atau 89°.
Diberikan sebuah vektor w, kita dapat mencari dua vektor lain u dan v yang jumlahnya w. Vektor u dan v disebut komponen w dan proses menemukannya disebut penguraian , atau representasi vektor berdasarkan komponen vektornya.
Saat kita memperluas suatu vektor, kita biasanya mencari komponen yang tegak lurus. Namun seringkali, satu komponen sejajar dengan sumbu x dan komponen lainnya sejajar dengan sumbu y. Oleh karena itu, mereka sering dipanggil horisontal
Dan vertikal
komponen vektor. Pada gambar di bawah, vektor w = didekomposisi sebagai jumlah dari u = dan v =. 
Komponen horizontal w adalah u dan komponen vertikal adalah v.
Contoh 4 Vektor w memiliki besaran 130 dan kemiringan relatif 40° terhadap horizontal. Uraikan vektor menjadi komponen horizontal dan vertikal.
Larutan Pertama kita akan menggambar gambar dengan vektor horizontal dan vertikal u dan v yang jumlahnya w. 
Dari ABC kita mencari |u| dan |v|, menggunakan definisi cosinus dan sinus:
cos40° = |u|/130, atau |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, atau |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Maka komponen horizontal w bernilai 100 ke kanan dan komponen vertikal w bernilai 84 ke atas.
Dasar ruang mereka menyebut sistem vektor di mana semua vektor lain dalam ruang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor yang termasuk dalam basis.
Dalam praktiknya, semua ini diterapkan dengan cukup sederhana. Basis, sebagai suatu peraturan, diperiksa pada bidang atau ruang, dan untuk ini Anda perlu mencari determinan matriks orde kedua dan ketiga yang terdiri dari koordinat vektor. Di bawah ini ditulis secara skematis kondisi di mana vektor membentuk basis
Ke memperluas vektor b menjadi vektor basis
e,e...,e[n] perlu dicari koefisien x, ..., x[n] yang kombinasi linear dari vektor-vektor e,e...,e[n] sama dengan vektor B:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Untuk melakukan ini, persamaan vektor harus diubah menjadi sistem persamaan linier dan solusinya harus ditemukan. Hal ini juga cukup sederhana untuk diterapkan.
Koefisien yang ditemukan x, ..., x[n] disebut koordinat vektor b pada basis e,e...,e[n].
Mari kita beralih ke sisi praktis dari topik ini.
Penguraian suatu vektor menjadi vektor basis
Tugas 1. Periksa apakah vektor a1, a2 membentuk basis pada bidang tersebut
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Solusi: Kami membuat determinan dari koordinat vektor dan menghitungnya
Penentunya bukan nol, karena itu vektor-vektornya bebas linier, artinya vektor-vektor tersebut membentuk basis.
2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Solusi: Kami menghitung determinan yang terdiri dari vektor 
Penentunya sama dengan 13 (tidak sama dengan nol) - maka vektor a1, a2 adalah basis pada bidang.
---=================---
Mari kita lihat contoh khas dari program MAUP pada disiplin ilmu “Matematika Tinggi”.
Tugas 2. Tunjukkan bahwa vektor a1, a2, a3 membentuk basis ruang vektor tiga dimensi, dan perluas vektor b berdasarkan basis ini (gunakan metode Cramer ketika menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Penyelesaian: Pertama, perhatikan sistem vektor a1, a2, a3 dan periksa determinan matriks A
dibangun di atas vektor bukan nol. Matriksnya mengandung satu elemen nol, sehingga lebih tepat menghitung determinannya sebagai grafik pada kolom pertama atau baris ketiga. 
Oleh karena itu, dari hasil perhitungan, kami menemukan bahwa determinannya berbeda dari nol vektor a1, a2, a3 bebas linier.
Menurut definisinya, vektor membentuk basis di R3. Mari kita tuliskan jadwal vektor b berdasarkan 
Vektor dikatakan sama bila koordinat-koordinat yang bersesuaian sama.
Oleh karena itu, dari persamaan vektor diperoleh sistem persamaan linier 
Mari selesaikan SLAE metode Cramer. Untuk melakukan ini, kita menulis sistem persamaan dalam bentuk
Penentu utama SLAE selalu sama dengan penentu yang terdiri dari vektor basis
Oleh karena itu, dalam prakteknya tidak dihitung dua kali. Untuk mencari determinan bantu, kita letakkan kolom suku bebas di tempat setiap kolom determinan utama. Penentu dihitung menggunakan aturan segitiga 
Mari kita substitusikan determinan yang ditemukan ke dalam rumus Cramer 
Jadi, pemuaian vektor b terhadap basis berbentuk b=-4a1+3a2-a3. Koordinat vektor b pada basis a1, a2, a3 adalah (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Solusi: Kami memeriksa vektor untuk suatu basis - kami membuat determinan dari koordinat vektor dan menghitungnya 
Oleh karena itu, determinannya tidak sama dengan nol vektor membentuk basis dalam ruang. Masih mencari jadwal vektor b melalui dasar ini. Untuk melakukan ini, kita menulis persamaan vektor 
dan mentransformasikannya ke sistem persamaan linear 
Kami menulis persamaan matriks
Selanjutnya, untuk rumus Cramer kita menemukan determinan bantu 
Kami menerapkan rumus Cramer 
Jadi suatu vektor b mempunyai jadwal melalui dua vektor basis b=-2a1+5a3, dan koordinatnya pada basis sama dengan b(-2,0, 5).
