- Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal trapesium sama dengan setengah selisih alasnya
- Segitiga-segitiga yang dibentuk oleh alas trapesium dan ruas-ruas diagonalnya sampai titik potongnya adalah sebangun
- Segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas diagonal trapesium yang sisi-sisinya terletak pada sisi lateral trapesium, berukuran sama (mempunyai luas yang sama)
- Jika sisi-sisi trapesium dipanjangkan ke arah alas yang lebih kecil, maka trapesium tersebut akan berpotongan di satu titik dengan garis lurus yang menghubungkan titik tengah alasnya.
- Ruas yang menghubungkan alas trapesium dan melalui titik potong diagonal-diagonal trapesium dibagi dengan titik ini dengan perbandingan yang sama dengan perbandingan panjang alas trapesium.
- Sebuah segmen yang sejajar dengan alas trapesium dan ditarik melalui titik potong diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik ini, dan panjangnya sama dengan 2ab/(a + b), di mana a dan b adalah alas trapesium. trapesium
Sifat-sifat ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal trapesium
Mari kita hubungkan titik tengah diagonal-diagonal trapesium ABCD, sehingga kita akan mendapatkan ruas LM.
Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal trapesium terletak di garis tengah trapesium.
Segmen ini sejajar dengan alas trapesium.
Panjang ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal trapesium sama dengan setengah selisih alasnya.
LM = (AD - SM)/2
atau
LM = (ab)/2
Sifat-sifat segitiga yang dibentuk oleh diagonal-diagonal trapesium
Segitiga yang dibentuk oleh alas trapesium dan titik potong diagonal-diagonal trapesium - serupa.
Segitiga BOC dan AOD sebangun. Karena sudut BOC dan AOD adalah vertikal, maka keduanya sama besar.
Sudut OCB dan OAD adalah sudut dalam yang terletak bersilangan dengan garis sejajar AD dan BC (alas trapesium sejajar satu sama lain) dan garis potong AC, sehingga sama besar.
Sudut OBC dan ODA sama besar karena alasan yang sama (internal melintang).
Karena ketiga sudut suatu segitiga sama dengan sudut-sudut yang bersesuaian pada segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.
Apa yang berikut ini?
Untuk menyelesaikan permasalahan geometri digunakan persamaan segitiga sebagai berikut. Jika kita mengetahui panjang dua elemen yang bersesuaian dari segitiga sebangun, maka kita mencari koefisien kemiripannya (kita membagi satu dengan yang lain). Dari situlah panjang semua elemen lainnya dihubungkan satu sama lain dengan nilai yang persis sama.
Sifat-sifat segitiga yang terletak pada sisi lateral dan diagonal-diagonal trapesium
Perhatikan dua segitiga yang terletak pada sisi lateral trapesium AB dan CD. Ini adalah segitiga AOB dan COD. Terlepas dari kenyataan bahwa ukuran masing-masing sisi segitiga ini mungkin sangat berbeda, namun luas segitiga yang dibentuk oleh sisi-sisi lateral dan titik potong diagonal-diagonal trapesium adalah sama, yaitu segitiga-segitiga tersebut berukuran sama.
Jika sisi-sisi trapesium dipanjangkan ke arah alas yang lebih kecil, maka titik potong sisi-sisinya adalah berimpit dengan garis lurus yang melalui titik tengah alasnya.
Jadi, trapesium apa pun dapat diperluas menjadi segitiga. Dalam hal ini:
- Segitiga-segitiga yang dibentuk oleh alas-alas trapesium yang mempunyai titik sudut yang sama pada titik potong sisi-sisi yang diperpanjang adalah sebangun
- Garis lurus yang menghubungkan titik tengah alas trapesium juga merupakan median segitiga yang dibangun.
Sifat-sifat ruas yang menghubungkan alas trapesium
Jika kita menggambar suatu ruas yang ujung-ujungnya terletak pada alas trapesium yang terletak pada titik potong diagonal-diagonal trapesium tersebut (KN), maka perbandingan ruas-ruas penyusunnya dari sisi alas ke titik potong tersebut diagonal (KO/ON) akan sama dengan rasio alas trapesium(SM/AD).
KO/ON = SM/AD
Sifat ini berasal dari kesamaan segitiga-segitiga yang bersesuaian (lihat di atas).
Sifat-sifat segmen yang sejajar dengan alas trapesium
Jika kita menggambar sebuah ruas garis yang sejajar dengan alas trapesium dan melewati titik potong diagonal-diagonal trapesium tersebut, maka sifat-sifatnya adalah sebagai berikut:
- Jarak yang ditentukan (KM) dibagi dua oleh titik potong diagonal trapesium
- Panjang bagian melalui titik potong diagonal-diagonal trapesium dan sejajar alasnya adalah sama dengan KM = 2ab/(a + b)
Rumus mencari diagonal trapesium
a, b- alas trapesium
CD- sisi trapesium
d1 d2- diagonal trapesium
α β - sudut yang alas trapesiumnya lebih besar
Rumus mencari diagonal-diagonal trapesium melalui alas, sisi, dan sudut alasnya
Kelompok rumus pertama (1-3) mencerminkan salah satu sifat utama diagonal trapesium:
1. Jumlah kuadrat diagonal-diagonal trapesium sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya ditambah dua kali hasil kali alas-alasnya. Sifat diagonal trapesium ini dapat dibuktikan dengan teorema tersendiri
2 . Rumus ini diperoleh dengan mentransformasikan rumus sebelumnya. Kuadrat diagonal kedua dilempar melalui tanda sama dengan, setelah itu akar kuadrat diekstraksi dari sisi kiri dan kanan ekspresi.
3 . Rumus mencari panjang diagonal trapesium ini mirip dengan rumus sebelumnya, bedanya diagonal lain tertinggal di sisi kiri persamaan.
Kelompok rumus berikutnya (4-5) memiliki arti yang serupa dan mengungkapkan hubungan yang serupa.
Kelompok rumus (6-7) memungkinkan Anda mencari diagonal trapesium jika alas trapesium yang lebih besar, salah satu sisinya, dan sudut alasnya diketahui.
Rumus mencari diagonal trapesium melalui tinggi
Tugas.
Diagonal trapesium ABCD (AD | | BC) berpotongan di titik O. Hitunglah panjang alas BC trapesium tersebut jika alas AD = 24 cm, panjang AO = 9 cm, panjang OS = 6 cm.
Larutan.
Pemecahan masalah ini secara ideologis sama persis dengan masalah-masalah sebelumnya.
Segitiga AOD dan BOC sebangun pada tiga sudut - AOD dan BOC vertikal, dan sudut-sudut lainnya berpasangan sama besar, karena dibentuk oleh perpotongan satu garis dan dua garis sejajar.
Karena segitiga-segitiga itu sebangun, maka semua dimensi geometrinya berhubungan satu sama lain, seperti halnya dimensi geometri segmen AO dan OC yang kita ketahui sesuai dengan kondisi soal. Yaitu
AO/OC = IKLAN/BC
9/6 = 24 / SM
SM = 24*6/9 = 16
Menjawab: 16cm
Tugas .
Pada trapesium ABCD diketahui AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Temukan luas trapesium. 
Solusi.
Untuk mencari tinggi trapesium dari titik sudut alas B dan C yang lebih kecil, kita turunkan dua tinggi ke alas yang lebih besar. Karena trapesium tidak sama panjang, maka panjang AM = a, panjang KD = b ( jangan bingung dengan notasi dalam rumus mencari luas trapesium). Karena alas trapesium sejajar, dan kita menjatuhkan dua ketinggian tegak lurus alas yang lebih besar, maka MBCK adalah persegi panjang.
Cara
IKLAN = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Segitiga DBM dan ACK berbentuk persegi panjang, sehingga sudut siku-sikunya dibentuk oleh tinggi trapesium. Mari kita nyatakan tinggi trapesium dengan h. Kemudian, dengan teorema Pythagoras
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Dan
jam 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Misalkan a = 16 - b, maka pada persamaan pertama
jam 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
jam 2 = 425 - (8 + b) 2
Mari kita substitusikan nilai kuadrat tinggi ke dalam persamaan kedua yang diperoleh dengan menggunakan Teorema Pythagoras. Kami mendapatkan:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Jadi KD = 12
Di mana
jam 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
jam = 5
Temukan luas trapesium melalui tingginya dan setengah jumlah alasnya
, dimana a b - alas trapesium, h - tinggi trapesium
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2
Menjawab: luas trapesium adalah 80 cm2.
Trapesium adalah kasus khusus segiempat yang sepasang sisinya sejajar. Istilah "trapesium" berasal dari kata Yunani τράπεζα, yang berarti "meja", "meja". Pada artikel kali ini kita akan melihat jenis-jenis trapesium dan sifat-sifatnya. Selain itu, kita akan mengetahui cara menghitung elemen individualnya. Misalnya diagonal trapesium sama kaki, garis tengah, luas, dll. Materi disajikan dalam gaya geometri dasar populer, yaitu dalam bentuk yang mudah diakses .
Informasi umum
Pertama, mari kita cari tahu apa itu segi empat. Gambar ini adalah kasus khusus dari poligon yang mempunyai empat sisi dan empat titik sudut. Dua titik sudut pada suatu segiempat yang tidak bertetangga disebut berhadapan. Hal yang sama juga berlaku untuk dua sisi yang tidak berdekatan. Jenis utama segi empat adalah jajar genjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi, trapesium, dan deltoid.
Jadi mari kita kembali ke trapesium. Seperti yang telah kami katakan, gambar ini memiliki dua sisi yang sejajar. Mereka disebut pangkalan. Dua lainnya (tidak sejajar) adalah sisi lateral. Dalam materi ujian dan berbagai ulangan, seringkali kita menemukan soal-soal yang berkaitan dengan trapesium, yang penyelesaiannya seringkali mengharuskan siswa memiliki pengetahuan yang tidak disediakan dalam program. Mata kuliah geometri sekolah mengenalkan siswa pada sifat-sifat sudut dan diagonal, serta garis tengah trapesium sama kaki. Namun, selain itu, bangun geometri tersebut memiliki ciri-ciri lain. Tetapi lebih banyak tentang mereka nanti...
Jenis trapesium
Ada banyak jenis figur ini. Namun, dua di antaranya paling sering dianggap - sama kaki dan persegi panjang.
1. Trapesium persegi panjang adalah bangun datar yang salah satu sisinya tegak lurus alasnya. Kedua sudutnya selalu sama dengan sembilan puluh derajat.
2. Trapesium sama kaki adalah bangun datar yang sisi-sisinya sama panjang. Artinya sudut-sudut pada alasnya juga berpasangan sama besar.
Prinsip utama metodologi mempelajari sifat-sifat trapesium
Prinsip utamanya mencakup penggunaan apa yang disebut pendekatan tugas. Faktanya, tidak perlu memperkenalkan sifat-sifat baru dari gambar ini ke dalam mata kuliah teoritis geometri. Mereka dapat ditemukan dan dirumuskan dalam proses pemecahan berbagai masalah (sebaiknya masalah sistem). Pada saat yang sama, sangat penting bagi guru untuk mengetahui tugas-tugas apa yang perlu diberikan kepada siswa pada suatu waktu selama proses pendidikan. Selain itu, setiap properti trapesium dapat direpresentasikan sebagai tugas utama dalam sistem tugas.
Prinsip kedua adalah apa yang disebut organisasi spiral dalam mempelajari sifat-sifat trapesium yang “luar biasa”. Ini menyiratkan kembalinya proses pembelajaran ke ciri-ciri individu dari bangun geometri tertentu. Hal ini memudahkan siswa untuk mengingatnya. Misalnya sifat empat titik. Hal ini dapat dibuktikan baik ketika mempelajari kesamaan maupun selanjutnya menggunakan vektor. Dan persamaan segitiga-segitiga yang berdekatan dengan sisi-sisi lateral suatu bangun dapat dibuktikan dengan menerapkan tidak hanya sifat-sifat segitiga yang ditarik sama tingginya pada sisi-sisi yang terletak pada garis lurus yang sama, tetapi juga dengan menggunakan rumus S = 1/2( ab*sinα). Selain itu, Anda dapat mengerjakan trapesium bertulisan atau segitiga siku-siku pada trapesium bertulisan, dll.
Penggunaan ciri-ciri “ekstrakurikuler” bangun ruang dalam isi mata pelajaran sekolah merupakan teknologi berbasis tugas untuk mengajar mereka. Mengacu secara terus-menerus pada sifat-sifat yang dipelajari sambil mempelajari topik lain memungkinkan siswa memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang trapesium dan menjamin keberhasilan penyelesaian masalah yang diberikan. Jadi, mari kita mulai mempelajari sosok luar biasa ini.
Unsur dan sifat trapesium sama kaki
Seperti yang telah kita ketahui, bangun geometri ini memiliki sisi-sisi yang sama besar. Ia juga dikenal sebagai trapesium biasa. Mengapa begitu luar biasa dan mengapa mendapat nama seperti itu? Keunikan gambar ini adalah tidak hanya sisi dan sudut alasnya yang sama besar, tetapi juga diagonalnya. Selain itu, jumlah sudut trapesium sama kaki adalah 360 derajat. Tapi bukan itu saja! Dari semua trapesium yang diketahui, hanya trapesium sama kaki yang dapat digambarkan sebagai lingkaran. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa jumlah sudut yang berhadapan pada gambar ini sama dengan 180 derajat, dan hanya dalam kondisi ini lingkaran mengelilingi segi empat dapat digambarkan. Sifat selanjutnya dari bangun geometri yang ditinjau adalah jarak dari titik sudut alas ke proyeksi titik sudut yang berlawanan pada garis lurus yang memuat alas tersebut akan sama dengan garis tengah.
Sekarang mari kita cari tahu cara mencari sudut trapesium sama kaki. Mari kita pertimbangkan solusi untuk masalah ini, asalkan dimensi sisi-sisi gambar tersebut diketahui.
Larutan
Biasanya segi empat biasanya dilambangkan dengan huruf A, B, C, D, dengan BS dan AD sebagai alasnya. Pada trapesium sama kaki, sisi-sisinya sama panjang. Kita asumsikan ukurannya sama dengan X, dan ukuran alasnya sama dengan Y dan Z (masing-masing lebih kecil dan lebih besar). Untuk melakukan perhitungannya perlu menggambar tinggi H dari sudut B. Hasilnya adalah segitiga siku-siku ABN, dengan AB adalah sisi miringnya, dan BN serta AN adalah kaki-kakinya. Kita hitung ukuran kaki AN: kita kurangi yang lebih kecil dari alas yang lebih besar, lalu bagi hasilnya dengan 2. Kita tuliskan dalam bentuk rumus: (Z-Y)/2 = F. Sekarang, untuk menghitung lancip sudut segitiga, kita menggunakan fungsi cos. Kita mendapatkan entri berikut: cos(β) = X/F. Sekarang kita menghitung sudutnya: β=arcos (X/F). Selanjutnya, dengan mengetahui satu sudut, kita dapat menentukan sudut kedua, untuk ini kita melakukan operasi aritmatika dasar: 180 - . Semua sudut ditentukan.
Ada solusi kedua untuk masalah ini. Pertama kita turunkan dari sudut ke ketinggian H. Kita hitung nilai kaki BN. Kita tahu bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Kita peroleh: BN = √(X2-F2). Selanjutnya kita menggunakan fungsi trigonometri tg. Hasilnya, kita mendapatkan: β = arctan (BN/F). Sudut lancip telah ditemukan. Selanjutnya, kita mendefinisikannya mirip dengan metode pertama.
Sifat diagonal trapesium sama kaki
Pertama, mari kita tuliskan empat aturan. Jika diagonal-diagonal trapesium sama kaki tegak lurus, maka:
Tinggi bangun tersebut akan sama dengan jumlah alas dibagi dua;
Tinggi dan garis tengahnya sama;
Pusat lingkaran adalah titik dimana ;
Jika sisi lateral dibagi dengan titik singgung menjadi segmen H dan M, maka sama dengan akar kuadrat hasil kali segmen tersebut;
Segi empat yang dibentuk oleh titik singgung, titik sudut trapesium, dan pusat lingkaran adalah persegi yang sisi-sisinya sama dengan jari-jarinya;
Luas suatu bangun sama dengan hasil kali alas dan hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya.
Trapesium serupa
Topik ini sangat berguna untuk mempelajari sifat-sifatnya. Misalnya, diagonal-diagonal membagi trapesium menjadi empat segitiga, dan segitiga-segitiga yang berdekatan dengan alasnya sebangun, dan diagonal-diagonal yang berdekatan dengan sisi-sisinya sama besar. Pernyataan ini dapat disebut sifat-sifat segitiga yang trapesiumnya dibagi dengan diagonal-diagonalnya. Bagian pertama pernyataan ini dibuktikan melalui tanda keserupaan pada dua sudut. Untuk membuktikan bagian kedua, ada baiknya menggunakan cara yang diberikan di bawah ini.
Bukti teorema
Kita asumsikan bangun ABSD (AD dan BS adalah alas trapesium) dibagi dengan diagonal VD dan AC. Titik perpotongannya adalah O. Kita mendapatkan empat segitiga: AOS - di alas bawah, BOS - di alas atas, ABO dan SOD di samping. Segitiga SOD dan BOS mempunyai tinggi yang sama jika ruas BO dan OD adalah alasnya. Kita menemukan bahwa selisih luas area (P) sama dengan selisih antara segmen-segmen berikut: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Oleh karena itu, PSOD = PBOS/K. Demikian pula segitiga BOS dan AOB mempunyai tinggi yang sama. Kami mengambil segmen CO dan OA sebagai basisnya. Kita mendapatkan PBOS/PAOB = CO/OA = K dan PAOB = PBOS/K. Oleh karena itu PSOD = PAOB.
Untuk memantapkan materi, siswa dianjurkan untuk mencari hubungan antara luas segitiga-segitiga yang membagi trapesium dengan diagonal-diagonalnya dengan menyelesaikan soal berikut. Diketahui segitiga BOS dan AOD mempunyai luas yang sama; maka perlu dicari luas trapesium. Karena PSOD = PAOB, berarti PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Dari persamaan segitiga BOS dan AOD diperoleh BO/OD = √(PBOS/PAOD). Jadi PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Kita peroleh PSOD = √(PBOS*PAOD). Maka PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Sifat kesamaan
Dengan terus mengembangkan topik ini, kita dapat membuktikan ciri-ciri menarik lainnya dari trapesium. Jadi, dengan menggunakan persamaan, seseorang dapat membuktikan sifat-sifat suatu segmen yang melalui suatu titik yang dibentuk oleh perpotongan diagonal-diagonal bangun geometri tersebut, sejajar dengan alasnya. Untuk melakukannya, mari kita selesaikan soal berikut: kita perlu mencari panjang ruas RK yang melalui titik O. Dari persamaan segitiga AOD dan BOS maka AO/OS = AD/BS. Dari persamaan segitiga AOP dan ASB maka AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Dari sini kita mendapatkan RO=BS*BP/(BS+BP). Demikian pula dari persamaan segitiga DOC dan DBS diperoleh OK = BS*AD/(BS+AD). Dari sini kita mendapatkan RO=OK dan RK=2*BS*AD/(BS+AD). Suatu ruas garis yang melalui titik potong diagonal-diagonalnya, sejajar alasnya dan menghubungkan dua sisi lateralnya, dibagi dua oleh titik potongnya. Panjangnya adalah rata-rata harmonik dari alas gambar tersebut.
Perhatikan sifat trapesium berikut yang disebut sifat empat titik. Titik potong diagonal (O), perpotongan lanjutan sisi-sisinya (E), serta titik tengah alasnya (T dan F) selalu terletak pada garis yang sama. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan metode kesamaan. Segitiga yang dihasilkan BES dan AED sebangun, dan pada masing-masing segitiga tersebut median ET dan EJ membagi sudut puncak E menjadi bagian yang sama besar. Jadi titik E, T dan F terletak pada satu garis lurus. Demikian pula, titik T, O, dan Zh terletak pada garis lurus yang sama. Semua ini mengikuti persamaan segitiga BOS dan AOD. Dari sini kita menyimpulkan bahwa keempat titik - E, T, O dan F - akan terletak pada garis lurus yang sama.
Dengan menggunakan trapesium sejenis, Anda dapat meminta siswa mencari panjang ruas (LS) yang membagi bangun datar menjadi dua bangun datar yang sebangun. Segmen ini harus sejajar dengan alasnya. Karena trapesium ALFD dan LBSF yang dihasilkan sebangun, maka BS/LF = LF/AD. Oleh karena itu LF=√(BS*AD). Kita menemukan bahwa ruas yang membagi trapesium menjadi dua trapesium yang sebangun memiliki panjang yang sama dengan rata-rata geometri panjang alas bangun tersebut.
Perhatikan sifat kesamaan berikut. Hal ini didasarkan pada segmen yang membagi trapesium menjadi dua bangun datar yang sama besar. Kita asumsikan trapesium ABSD dibagi oleh ruas EH menjadi dua ruas yang sebangun. Ketinggian dihilangkan dari titik B, yang dibagi oleh segmen EN menjadi dua bagian - B1 dan B2. Kita mendapatkan: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 dan PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Selanjutnya kita buat sistem yang persamaan pertamanya adalah (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 dan persamaan kedua (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Maka B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) dan BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Diketahui bahwa panjang segmen yang membagi trapesium menjadi dua sama besar sama dengan rata-rata akar kuadrat panjang alasnya: √((BS2+AD2)/2).
Temuan kesamaan
Jadi, kami telah membuktikan bahwa:
1. Ruas yang menghubungkan titik tengah sisi lateral trapesium sejajar dengan AD dan BS dan sama dengan rata-rata aritmatika BS dan AD (panjang alas trapesium).
2. Garis yang melalui titik O pada perpotongan diagonal-diagonal yang sejajar AD dan BS sama dengan mean harmonik bilangan AD dan BS (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Ruas yang membagi trapesium menjadi trapesium serupa mempunyai panjang rata-rata geometri alas BS dan AD.
4. Suatu unsur yang membagi suatu bangun datar menjadi dua sama besar mempunyai panjang akar rata-rata kuadrat bilangan AD dan BS.
Untuk mengkonsolidasikan materi dan memahami hubungan antara segmen-segmen yang dipertimbangkan, siswa perlu membangunnya untuk trapesium tertentu. Dia dapat dengan mudah menampilkan garis tengah dan ruas yang melalui titik O - perpotongan diagonal gambar - sejajar dengan alasnya. Tapi di manakah lokasi ketiga dan keempat? Jawaban ini akan mengarahkan siswa pada penemuan hubungan yang diinginkan antara nilai rata-rata.
Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal trapesium
Perhatikan properti berikut dari gambar ini. Diasumsikan ruas MH sejajar alas dan membagi dua diagonalnya. Sebut saja titik potong Ш dan Ш. Ruas ini akan sama dengan setengah selisih alasnya. Mari kita lihat ini lebih terinci. MS adalah garis tengah segitiga ABS sama dengan BS/2. MSH adalah garis tengah segitiga ABD sama dengan AD/2. Kemudian kita mendapatkan bahwa ShShch = MSh-MSh, oleh karena itu, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
Titik berat
Mari kita lihat bagaimana elemen ini ditentukan untuk bangun geometri tertentu. Untuk melakukan ini, perlu untuk memperluas pangkalan ke arah yang berlawanan. Apa maksudnya? Anda perlu menambahkan alas bawah ke alas atas - ke segala arah, misalnya ke kanan. Dan kami memperpanjang yang lebih rendah dengan panjang yang atas ke kiri. Selanjutnya, kita menghubungkannya secara diagonal. Titik potong ruas tersebut dengan garis tengah gambar merupakan pusat gravitasi trapesium.
Trapesium bertulis dan berbatas
Mari kita daftar fitur-fitur dari gambar-gambar tersebut:
1. Sebuah trapesium hanya dapat dibuat melingkar jika berbentuk lingkaran sama kaki.
2. Trapesium dapat digambarkan mengelilingi lingkaran, asalkan jumlah panjang alasnya sama dengan jumlah panjang sisinya.
Akibat dari lingkaran dalam:
1. Tinggi trapesium yang dibatasi selalu sama dengan dua jari-jari.
2. Sisi trapesium yang dibatasi diamati dari pusat lingkaran membentuk sudut siku-siku.
Akibat wajar yang pertama sudah jelas, tetapi untuk membuktikan yang kedua perlu dipastikan bahwa sudut SOD tepat, yang sebenarnya juga tidak sulit. Tetapi pengetahuan tentang sifat ini akan memungkinkan Anda menggunakan segitiga siku-siku saat menyelesaikan masalah.
Sekarang mari kita tentukan konsekuensi ini untuk trapesium sama kaki yang tertulis dalam lingkaran. Kita mengetahui bahwa tinggi adalah rata-rata geometrik alas bangun tersebut: H=2R=√(BS*AD). Saat mempraktikkan teknik dasar menyelesaikan soal trapesium (prinsip menggambar dua ketinggian), siswa harus menyelesaikan tugas berikut. Kita asumsikan BT adalah tinggi dari bangun sama kaki ABSD. Kita perlu mencari segmen AT dan TD. Dengan menggunakan rumus yang dijelaskan di atas, hal ini tidak akan sulit dilakukan.
Sekarang mari kita cari tahu cara menentukan jari-jari lingkaran menggunakan luas trapesium yang dibatasi. Kita turunkan tinggi dari titik B ke alas AD. Karena lingkaran berada pada trapesium, maka BS+AD = 2AB atau AB = (BS+AD)/2. Dari segitiga ABN kita temukan sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Kita peroleh PABSD = (BS+BP)*R, maka R = PABSD/(BS+BP).
Semua rumus garis tengah trapesium
Sekarang saatnya beralih ke elemen terakhir dari bangun geometris ini. Mari kita cari tahu berapa garis tengah trapesium (M):
1. Melalui basa: M = (A+B)/2.
2. Melalui tinggi, alas dan sudut:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Melalui tinggi, diagonal dan sudut di antara keduanya. Misalnya, D1 dan D2 adalah diagonal trapesium; α, β - sudut di antara keduanya:
M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.
4. Luas dan tinggi tembus: M = P/N.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
\[(\Besar(\teks(Trapesium bebas)))\]
Definisi
Trapesium adalah segi empat cembung yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.
Sisi-sisi sejajar trapesium disebut alasnya, dan dua sisi lainnya disebut sisi lateral.
Tinggi trapesium adalah garis tegak lurus yang diturunkan dari suatu titik pada alas yang satu ke alas yang lain.
Teorema: sifat-sifat trapesium
1) Jumlah sudut pada sisinya adalah \(180^\circ\) .
2) Diagonal membagi trapesium menjadi empat segitiga, dua di antaranya sebangun, dan dua lainnya sama besar.
Bukti
1) Karena \(AD\parallel BC\), maka sudut \(\angle BAD\) dan \(\angle ABC\) adalah satu sisi untuk garis-garis tersebut dan garis transversal \(AB\), oleh karena itu, \(\sudut BURUK +\sudut ABC=180^\circ\).
2) Karena \(AD\parallel BC\) dan \(BD\) merupakan garis potong, maka \(\angle DBC=\angle BDA\) terletak melintang.
Juga \(\angle BOC=\angle AOD\) sebagai vertikal.
Oleh karena itu, pada dua sudut \(\segitiga Dewan Komisaris \sim \segitiga AOD\).
Mari kita buktikan itu \(S_(\segitiga AOB)=S_(\segitiga COD)\). Misalkan \(h\) adalah tinggi trapesium. Kemudian \(S_(\segitiga ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\segitiga ACD)\). Kemudian: \
Definisi
Garis tengah trapesium adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya.
Dalil
Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan setengah jumlah trapesium tersebut.
Bukti*
1) Mari kita buktikan paralelisme.
Mari kita tarik garis lurus melalui titik \(M\) \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Kemudian menurut teorema Thales (sejak \(MN"\paralel AD\paralel BC, AM=MB\)) titik \(N"\) berada di tengah segmen \(CD\). Artinya titik \(N\) dan \(N"\) akan berimpit.
2) Mari kita buktikan rumusnya.
Ayo lakukan \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Membiarkan \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
Kemudian, berdasarkan teorema Thales, \(M"\) dan \(N"\) masing-masing adalah titik tengah segmen \(BB"\) dan \(CC"\). Artinya \(MM"\) adalah garis tengah \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) adalah garis tengah \(\triangle DCC"\) . Itu sebabnya: \
Karena \(MN\paralel AD\paralel BC\) dan \(BB", CC"\perp AD\) , maka \(B"M"N"C"\) dan \(BM"N"C\) adalah persegi panjang. Menurut teorema Thales, dari \(MN\parallel AD\) dan \(AM=MB\) maka \(B"M"=M"B\) . Oleh karena itu, \(B"M"N"C "\) dan \(BM"N"C\) adalah persegi panjang yang sama, oleh karena itu, \(M"N"=B"C"=BC\) .
Dengan demikian:
\ \[=\dfrac12 \kiri(AB"+B"C"+BC+C"D\kanan)=\dfrac12\kiri(AD+BC\kanan)\]
Dalil: sifat trapesium sembarang
Titik tengah alas, titik potong diagonal-diagonal trapesium, dan titik potong perpanjangan sisi-sisi lateralnya terletak pada satu garis lurus.
Bukti*
Disarankan agar Anda membiasakan diri dengan pembuktian setelah mempelajari topik “Persamaan Segitiga”.
1) Mari kita buktikan bahwa titik \(P\) , \(N\) dan \(M\) terletak pada garis yang sama.
Mari kita tarik garis lurus \(PN\) (\(P\) adalah titik potong perpanjangan sisi-sisinya, \(N\) adalah titik tengah \(BC\)). Biarkan ia memotong sisi \(AD\) di titik \(M\) . Mari kita buktikan bahwa \(M\) adalah titik tengah \(AD\) .
Pertimbangkan \(\segitiga BPN\) dan \(\segitiga APM\) . Kedua sudut tersebut sebangun pada dua sudut (\(\angle APM\) – umum, \(\angle PAM=\angle PBN\) yang bersesuaian pada \(AD\parallel BC\) dan \(AB\) garis potong). Cara: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Pertimbangkan \(\triangle CPN\) dan \(\triangle DPM\) . Kedua sudut tersebut sebangun pada dua sudut (\(\angle DPM\) – umum, \(\angle PDM=\angle PCN\) yang bersesuaian pada \(AD\parallel BC\) dan \(CD\) garis potong). Cara: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Dari sini \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Tapi \(BN=NC\) karena itu \(AM=DM\) .
2) Mari kita buktikan bahwa titik-titik \(N, O, M\) terletak pada garis yang sama.
Misalkan \(N\) adalah titik tengah \(BC\) dan \(O\) adalah titik potong diagonal-diagonalnya. Mari kita tarik garis lurus \(NO\) , garis tersebut akan memotong sisi \(AD\) di titik \(M\) . Mari kita buktikan bahwa \(M\) adalah titik tengah \(AD\) .
\(\segitiga BNO\sim \segitiga DMO\) sepanjang dua sudut (\(\angle OBN=\angle ODM\) terletak melintang di \(BC\parallel AD\) dan \(BD\) garis potong; \(\angle BON=\angle DOM\) vertikal). Cara: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
Juga \(\segitiga CON\sim \segitiga AOM\). Cara: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
Dari sini \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Tapi \(BN=CN\) oleh karena itu \(AM=MD\) .
\[(\Besar(\teks(Trapesium sama kaki)))\]
Definisi
Trapesium disebut persegi panjang jika salah satu sudutnya siku-siku.
Trapesium disebut sama kaki jika sisi-sisinya sama panjang.
Teorema: sifat-sifat trapesium sama kaki
1) Trapesium sama kaki mempunyai sudut alas yang sama besar.
2) Diagonal-diagonal trapesium sama kaki adalah sama besar.
3) Dua buah segitiga yang dibentuk oleh diagonal-diagonalnya dan alasnya adalah sama kaki.
Bukti
1) Perhatikan trapesium sama kaki \(ABCD\) .
Dari simpul \(B\) dan \(C\), kita turunkan garis tegak lurus \(BM\) dan \(CN\) ke sisi \(AD\). Karena \(BM\perp AD\) dan \(CN\perp AD\) , maka \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , maka \(MBCN\) adalah jajar genjang, maka \(BM = CN\) .
Perhatikan segitiga siku-siku \(ABM\) dan \(CDN\) . Karena sisi miringnya sama besar dan kaki \(BM\) sama dengan kaki \(CN\), maka kedua segitiga tersebut sama besar, maka \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2) 
Karena \(AB=CD, \sudut A=\sudut D, AD\)- umum, lalu sesuai tanda pertama. Oleh karena itu, \(AC=BD\) .
3) Karena \(\segitiga ABD=\segitiga ACD\), lalu \(\angle BDA=\angle CAD\) . Oleh karena itu, segitiga \(\segitiga AOD\) adalah segitiga sama kaki. Demikian pula dibuktikan bahwa \(\segitiga BOC\) adalah sama kaki.
Teorema: tanda-tanda trapesium sama kaki
1) Jika trapesium mempunyai sudut alas yang sama besar, maka trapesium tersebut sama kaki.
2) Jika trapesium mempunyai diagonal-diagonal yang sama besar, maka trapesium tersebut sama kaki.
Bukti
Perhatikan trapesium \(ABCD\) sehingga \(\angle A = \angle D\) .
Mari kita selesaikan trapesium pada segitiga \(AED\) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Karena \(\angle 1 = \angle 2\) , maka segitiga \(AED\) adalah sama kaki dan \(AE = ED\) . Sudut \(1\) dan \(3\) sama besar sudut yang bersesuaian untuk garis sejajar \(AD\) dan \(BC\) dan garis transversal \(AB\). Demikian pula, sudut \(2\) dan \(4\) sama besar, tetapi \(\sudut 1 = \sudut 2\), maka \(\sudut 3 = \sudut 1 = \sudut 2 = \sudut 4\), oleh karena itu, segitiga \(BEC\) juga sama kaki dan \(BE = EC\) .
Pada akhirnya \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), yaitu \(AB = CD\), yang perlu dibuktikan.
2) Misalkan \(AC=BD\) . Karena \(\segitiga AOD\sim \segitiga Dewan Komisaris\), lalu kita nyatakan koefisien kemiripannya sebagai \(k\) . Lalu jika \(BO=x\) , maka \(OD=kx\) . Mirip dengan \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Karena \(AC=BD\) , lalu \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Artinya \(\triangle AOD\) sama kaki dan \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Jadi, menurut tanda pertama \(\segitiga ABD=\segitiga ACD\) (\(AC=BD, \sudut OAD=\sudut ODA, IKLAN\)- umum). Jadi, \(AB=CD\) , kenapa.
