Fungsi tersebut dapat ditentukan dalam beberapa cara. Hal ini tergantung pada aturan yang digunakan untuk menentukannya. Bentuk eksplisit dari penspesifikasian fungsi adalah y = f(x). Ada kalanya penjelasannya tidak mungkin atau tidak nyaman. Jika terdapat banyak pasangan (x; y) yang perlu dihitung untuk parameter t pada interval (a; b). Menyelesaikan sistem x = 3 cos t y = 3 sin t dengan 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Definisi fungsi parametrik
Dari sini kita mendapatkan bahwa x = φ (t), y = ψ (t) terdefinisi untuk suatu nilai t ∈ (a; b) dan mempunyai fungsi invers t = Θ (x) untuk x = φ (t), maka kita berbicara tentang menentukan persamaan parametrik dari suatu fungsi berbentuk y = ψ (Θ (x)) .
Ada kalanya, untuk mempelajari suatu fungsi, perlu mencari turunannya terhadap x. Mari kita perhatikan rumus turunan fungsi terdefinisi secara parametrik berbentuk y x " = ψ " (t) φ " (t), mari kita bicara tentang turunan orde ke-2 dan ke-n.
Penurunan rumus turunan fungsi yang ditentukan secara parametrik
Kita mempunyai x = φ (t), y = ψ (t), terdefinisi dan terdiferensiasi untuk t ∈ a; b, dimana x t " = φ " (t) ≠ 0 dan x = φ (t), maka terdapat fungsi invers berbentuk t = Θ (x).
Untuk memulainya, Anda harus beralih dari tugas parametrik ke tugas eksplisit. Untuk melakukan ini, Anda perlu mendapatkan fungsi kompleks dalam bentuk y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), di mana terdapat argumen x.
Berdasarkan aturan mencari turunan suatu fungsi kompleks, diperoleh bahwa y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
Hal ini menunjukkan bahwa t = Θ (x) dan x = φ (t) merupakan fungsi invers dari rumus fungsi invers Θ " (x) = 1 φ " (t), maka y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan penyelesaian beberapa contoh menggunakan tabel turunan menurut aturan diferensiasi.
Contoh 1
Tentukan turunan fungsi x = t 2 + 1 y = t.
Larutan
Dengan syarat kita mendapatkan φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, dari sini kita peroleh bahwa φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Anda harus menggunakan rumus turunan dan menuliskan jawabannya dalam bentuk:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Menjawab: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Saat bekerja dengan turunan suatu fungsi h, parameter t menentukan ekspresi argumen x melalui parameter yang sama t, agar tidak kehilangan hubungan antara nilai turunan dan fungsi yang ditentukan secara parametrik dengan argumen ke yang sesuai dengan nilai-nilai ini.
Untuk menentukan turunan orde kedua dari suatu fungsi yang diberikan secara parametrik, Anda perlu menggunakan rumus turunan orde pertama dari fungsi yang dihasilkan, maka kita mendapatkan bahwa
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Contoh 2
Tentukan turunan orde ke-2 dan ke-2 dari fungsi yang diberikan x = cos (2 t) y = t 2 .
Larutan
Dengan syarat kita peroleh bahwa φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .
Kemudian setelah transformasi
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Oleh karena itu y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Kita peroleh bentuk turunan orde 1 adalah x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Untuk menyelesaikannya, Anda perlu menerapkan rumus turunan orde kedua. Kami mendapatkan ekspresi formulir
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Kemudian tentukan turunan orde 2 menggunakan fungsi parametrik
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Solusi serupa dapat diselesaikan dengan menggunakan metode lain. Kemudian
φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 ton) " = 2
Dari sini kita mendapatkannya
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Menjawab: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Turunan orde tinggi dengan fungsi yang ditentukan secara parametrik ditemukan dengan cara yang sama.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Diferensiasi logaritma
Turunan dari fungsi dasar
Aturan dasar diferensiasi
Diferensial fungsi
Bagian linier utama dari kenaikan fungsi A D X dalam menentukan diferensiasi suatu fungsi
D f=f(X)- F(X 0)=SEBUAH(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
disebut diferensial fungsi F(X) pada intinya X 0 dan dilambangkan
df(X 0)=f¢(X 0)D x=SEBUAH D X.
Perbedaannya tergantung pada intinya X 0 dan dari kenaikan D X. Di D X pada saat yang sama mereka melihatnya sebagai variabel independen, jadi di setiap titik diferensialnya adalah fungsi linier dari kenaikan D X.
Jika kita menganggapnya sebagai sebuah fungsi F(X)=x, lalu kita dapatkan dx= D x,dy=Tambahanx. Hal ini sesuai dengan notasi Leibniz
Interpretasi geometris dari diferensial sebagai pertambahan ordinat suatu garis singgung.
Beras. 4.3
1) f= konstanta , f¢= 0,df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = kamu dv + v du.
Konsekuensi. (lih(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+cnfn(X))¢ = c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)
4) f=u/v, v(X 0)¹0 dan turunannya ada f¢=(u¢v-v¢ kamu)/ay 2 .
Untuk singkatnya kami akan menunjukkannya kamu = kamu(X), kamu 0 =kamu(X 0), lalu
Melewati batas di D x® 0 kami memperoleh kesetaraan yang diperlukan.
5) Turunan dari fungsi kompleks.
Dalil. Jika ada f¢(X 0), g¢(X 0)dan x 0 =g(T 0), lalu di beberapa lingkungan t 0 fungsi kompleks f didefinisikan(G(T)), terdiferensiasi di titik t 0 Dan
Bukti.
F(X)- F(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ kamu(X 0).
F(G(T))- F(G(T 0))= f¢(X 0)(G(T)- G(T 0))+ A( G(T))(G(T)- G(T 0)).
Mari kita bagi kedua ruas persamaan ini dengan ( t - t 0) dan mari kita pergi ke batas di t®t 0 .
6) Perhitungan turunan fungsi invers.
Dalil. Misalkan f kontinu dan monoton[a,b]. Misalkan pada titik x 0 Î( a,b)ada f¢(X 0)¹ 0 , maka fungsi invers x=f -1 (kamu)ada di titik y 0 turunan sama dengan
Bukti. Kami menghitung F kalau begitu, meningkat secara monoton F -1 (kamu) kontinu, meningkat secara monoton sebesar [ F(A),F(B)]. Ayo taruh kamu 0 =f(X 0), kamu=f(X), x - x 0 =D X,
Y y 0 =D kamu. Karena kontinuitas fungsi invers D kamu®0 Þ D X®0, sudah
Melewati batasnya, kita memperoleh kesetaraan yang diperlukan.
7) Turunan fungsi genap adalah ganjil, turunan fungsi ganjil adalah genap.
Memang benar jika x® - x 0 , Itu - x® x 0 , Itu sebabnya
Untuk fungsi genap untuk fungsi ganjil
1) f= konstanta, f¢(X)=0.
2) F(X)=x,f¢(X)=1.
3) F(X)=ex, f¢(X)= ex ,
4) F(X)=a x ,(sebuah x)¢ = kapak dalam A.
5) dalam A.
6) F(X)=dalam X,
Konsekuensi. (turunan fungsi genap adalah ganjil)
7) (X M )¢= M X m -1 , X>0, X M =e M dalam X .
8) (dosa X)¢= karena X,
9) (kos X)¢=- dosa X,(kos X)¢= (dosa( x+ hal/2)) ¢= karena( x+ p/2)=-dosa X.
10) (tg X)¢= 1/karena 2 X.
11) (ctg X)¢= -1/dosa 2 X.
16)sh X, bab X.
f(x),, dari situlah berikut ini f¢(X)=f(X)(ln F(X))¢ .
Rumus yang sama dapat diperoleh secara berbeda F(X)=e dalam F(X) , f¢=e dalam F(X) (ln F(X))¢.
Contoh. Menghitung turunan suatu fungsi f=xx .
=xx = xx = xx = xx(ln x+ 1).
Letak geometris titik-titik pada bidang
kita akan menyebutnya grafik suatu fungsi, diberikan secara parametrik. Mereka juga berbicara tentang spesifikasi parametrik suatu fungsi.
Catatan 1. Jika x, kamu terus menerus untuk [a,b] Dan X(T) sangat monoton di segmen tersebut (misalnya, meningkat secara monoton), lalu pada [ a,b], Sebuah=x(A) , b=x(B) fungsi ditentukan F(X)=kamu(T(X)), dimana t(X) – fungsi invers ke x(t). Grafik fungsi ini bertepatan dengan grafik fungsi
Jika domain definisi fungsi yang diberikan secara parametrik dapat dibagi menjadi sejumlah segmen yang terbatas ,k= 1,2,...,N, yang masing-masingnya mempunyai fungsi X(T) sangat monotonik, maka fungsi yang ditentukan secara parametrik terurai menjadi sejumlah fungsi biasa yang terbatas fk(X)=kamu(T -1 (X)) dengan domain [ X(A k), X(B k)] untuk menambah bagian X(T) dan dengan domain [ X(B k), X(A k)] untuk area yang mengalami penurunan fungsi X(T). Fungsi yang diperoleh dengan cara ini disebut cabang bernilai tunggal dari fungsi yang ditentukan secara parametrik.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang ditentukan secara parametrik
Dengan parameterisasi yang dipilih, area definisi dibagi menjadi lima bagian dengan fungsi monotonisitas yang ketat sin(2 T), tepat: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , dan, oleh karena itu, grafik akan dibagi menjadi lima cabang yang tidak ambigu sesuai dengan bagian ini.
Beras. 4.4
Beras. 4.5
Anda dapat memilih parameterisasi berbeda dari susunan titik geometris yang sama
Dalam hal ini hanya akan ada empat cabang tersebut. Mereka akan sesuai dengan area yang sangat monoton TÎ ,TÎ ,TÎ ,TÎ fungsi dosa(2 T).
Beras. 4.6
Empat bagian monotonisitas fungsi sin(2 T) pada segmen yang panjang.
Beras. 4.7
Penggambaran kedua grafik dalam satu gambar memungkinkan Anda untuk menggambarkan secara kasar grafik fungsi yang ditentukan secara parametrik, menggunakan area monotonisitas dari kedua fungsi.
Sebagai contoh, perhatikan cabang pertama yang sesuai dengan segmen tersebut TÎ . Di akhir bagian ini fungsinya x= dosa(2 T) mengambil nilai -1 dan 1 , jadi cabang ini akan ditentukan di [-1,1] . Setelah ini, Anda perlu melihat area monoton dari fungsi kedua kamu= karena( T), dia melanjutkan dua bagian monoton . Hal ini memungkinkan kita untuk mengatakan bahwa cabang pertama memiliki dua bagian monotonisitas. Setelah menemukan titik-titik akhir grafik, Anda dapat menghubungkannya dengan garis lurus untuk menunjukkan sifat monoton dari grafik tersebut. Setelah melakukan ini dengan setiap cabang, kami memperoleh area monotonisitas dari cabang-cabang grafik yang tidak ambigu (disorot dengan warna merah pada gambar)
Beras. 4.8
Cabang bernilai tunggal pertama F 1 (X)=kamu(T(X)) , sesuai dengan situs akan ditentukan untuk X tentang[-1,1] . Cabang bernilai tunggal pertama TÎ , X tentang[-1,1].
Ketiga cabang lainnya juga akan memiliki domain definisi [-1,1] .
Beras. 4.9
Cabang kedua TÎ X tentang[-1,1].
Beras. 4.10
Cabang ketiga TÎ X tentang[-1,1]
Beras. 4.11
Cabang keempat TÎ X tentang[-1,1]
Beras. 4.12
Komentar 2. Fungsi yang sama dapat memiliki pengaturan parametrik yang berbeda. Perbedaannya mungkin menyangkut fungsi itu sendiri X(T), kamu(T) , dan domain definisi fungsi-fungsi ini.
Contoh penugasan parametrik yang berbeda untuk fungsi yang sama
Dan T tentang[-1, 1] .
Catatan 3. Jika x,y kontinu , X(T)- sangat monoton di segmen tersebut dan ada turunannya kamu¢(T 0),x¢(T 0)¹0, maka ada f¢(X 0)= .
Benar-benar, .
Pernyataan terakhir juga berlaku untuk cabang bernilai tunggal dari fungsi yang ditentukan secara parametrik.
4.2 Derivatif dan diferensial dari orde yang lebih tinggi
Derivatif dan diferensial yang lebih tinggi. Diferensiasi fungsi ditentukan secara parametrik. rumus Leibniz.
Sampai saat ini, kita telah membahas persamaan garis pada bidang yang menghubungkan langsung koordinat titik-titik garis tersebut. Namun, metode lain untuk mendefinisikan garis sering digunakan, di mana koordinat saat ini dianggap sebagai fungsi dari variabel ketiga.
Biarkan dua fungsi variabel diberikan
dipertimbangkan untuk nilai t yang sama. Maka salah satu dari nilai t ini sesuai dengan nilai tertentu dan nilai y tertentu, dan oleh karena itu ke titik tertentu. Ketika variabel t melewati semua nilai dari domain definisi fungsi (73), titik tersebut menggambarkan garis tertentu C pada bidang sebuah parameter.
Mari kita asumsikan bahwa fungsi tersebut mempunyai fungsi invers. Dengan mensubstitusikan fungsi ini ke dalam persamaan kedua (73), kita memperoleh persamaan tersebut
mengekspresikan y sebagai sebuah fungsi
Mari kita sepakat untuk mengatakan bahwa fungsi ini diberikan secara parametrik melalui persamaan (73). Peralihan dari persamaan tersebut ke persamaan (74) disebut eliminasi parameter. Saat mempertimbangkan fungsi yang didefinisikan secara parametrik, tidak hanya tidak perlu mengecualikan parameter, tetapi juga tidak selalu memungkinkan secara praktis.
Dalam banyak kasus, jauh lebih mudah, mengingat nilai parameter yang berbeda, untuk kemudian menghitung nilai argumen dan fungsi y yang sesuai menggunakan rumus (73).
Mari kita lihat contohnya.
Contoh 1. Misalkan suatu titik sembarang pada lingkaran yang berpusat di titik asal dan jari-jari R. Koordinat Kartesius x dan y dari titik ini dinyatakan melalui jari-jari kutub dan sudut kutubnya, yang di sini kita nyatakan dengan t, sebagai berikut ( lihat Bab I, § 3, paragraf 3):
Persamaan (75) disebut persamaan parametrik lingkaran. Parameter di dalamnya adalah sudut kutub, yang bervariasi dari 0 hingga .
Jika persamaan (75) dikuadratkan suku demi suku dan dijumlahkan, maka berdasarkan identitas parameter tersebut dihilangkan dan diperoleh persamaan lingkaran dalam sistem koordinat Kartesius, yang mendefinisikan dua fungsi dasar:
Masing-masing fungsi ini ditentukan secara parametrik melalui persamaan (75), namun rentang parameter untuk fungsi ini berbeda. Untuk yang pertama; Grafik fungsi ini adalah setengah lingkaran atas. Untuk fungsi kedua, grafiknya adalah setengah lingkaran bawah.
Contoh 2. Pertimbangkan secara bersamaan sebuah elips
dan sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal dan berjari-jari a (Gbr. 138).
Untuk setiap titik M pada elips kita kaitkan sebuah titik N pada lingkaran, yang mempunyai absis yang sama dengan titik M dan terletak pada sisi yang sama pada sumbu Sapi. Posisi titik N, dan oleh karena itu titik M, sepenuhnya ditentukan oleh sudut kutub t titik tersebut. Dalam hal ini, untuk absis persekutuannya kita memperoleh persamaan berikut: x = a. Kita mencari ordinat di titik M dari persamaan elips:
Tanda tersebut dipilih karena ordinat titik M dan ordinat titik N harus mempunyai tanda yang sama.
Dengan demikian, diperoleh persamaan parametrik berikut untuk elips:
Di sini parameter t bervariasi dari 0 hingga .
Contoh 3. Perhatikan sebuah lingkaran yang berpusat di titik a) dan berjari-jari a, yang jelas menyentuh sumbu x di titik asal (Gbr. 139). Anggaplah lingkaran ini menggelinding tanpa tergelincir sepanjang sumbu x. Kemudian titik M lingkaran yang pada saat awalnya berimpit dengan titik asal koordinat, menggambarkan suatu garis yang disebut sikloid.
Mari kita turunkan persamaan parametrik sikloid, dengan mengambil sudut rotasi lingkaran sebagai parameter t sebagai parameter t ketika titik tetapnya berpindah dari posisi O ke posisi M. Kemudian untuk koordinat dan y dari titik M kita peroleh ekspresi berikut:
Karena lingkaran menggelinding sepanjang sumbunya tanpa tergelincir, maka panjang ruas OB sama dengan panjang busur BM. Karena panjang busur BM sama dengan hasil kali jari-jari a dan sudut pusat t, maka . Itu sebabnya. Tapi Oleh karena itu,
Persamaan ini merupakan persamaan parametrik dari sikloid. Ketika parameter t berubah dari 0 menjadi lingkaran akan melakukan satu putaran penuh. Titik M akan menggambarkan salah satu busur sikloid.
Mengecualikan parameter t di sini akan menghasilkan ekspresi yang rumit dan praktis tidak praktis.
Definisi parametrik garis sering digunakan dalam mekanika, dan peran parameter dimainkan oleh waktu.
Contoh 4. Mari kita tentukan lintasan proyektil yang ditembakkan dari senjata dengan kecepatan awal membentuk sudut a terhadap horizontal. Kami mengabaikan hambatan udara dan dimensi proyektil, menganggapnya sebagai masalah material.
Mari kita pilih sistem koordinat. Mari kita ambil titik berangkat proyektil dari moncongnya sebagai titik asal koordinat. Mari kita arahkan sumbu Ox secara horizontal, dan sumbu Oy secara vertikal, menempatkannya pada bidang yang sama dengan laras senjata. Jika tidak ada gaya gravitasi, maka proyektil akan bergerak lurus membentuk sudut a dengan sumbu Ox dan pada waktu t akan menempuh jarak. Koordinat proyektil pada waktu t masing-masing akan sama dengan: . Karena gravitasi, proyektil pada saat ini harus turun secara vertikal sebesar tertentu. Oleh karena itu, pada kenyataannya, pada waktu t, koordinat proyektil ditentukan dengan rumus:
Persamaan ini mengandung besaran yang konstan. Ketika t berubah maka koordinat pada titik lintasan proyektil juga akan berubah. Persamaan tersebut merupakan persamaan parametrik lintasan proyektil yang parameternya adalah waktu
Menyatakan dari persamaan pertama dan mensubstitusikannya ke dalam
persamaan kedua, kita peroleh persamaan lintasan proyektil yang berbentuk persamaan parabola.
Biarkan fungsi ditentukan secara parametrik:
(1)
dimana beberapa variabel disebut parameter. Dan biarkan fungsi tersebut memiliki turunan pada nilai variabel tertentu.
(2)
Selain itu, fungsi tersebut juga mempunyai fungsi invers di lingkungan titik tertentu.
;
.
Maka fungsi (1) mempunyai turunan di titik tersebut, yang dalam bentuk parametriknya ditentukan dengan rumus:
Di sini dan merupakan turunan dari fungsi dan terhadap variabel (parameter).
Mereka sering ditulis sebagai berikut:
.
Maka sistem (2) dapat ditulis sebagai berikut:
.
Bukti
.
Secara kondisi, fungsi tersebut memiliki fungsi invers. Mari kita nyatakan sebagai
Kemudian fungsi aslinya dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks:
Mari kita cari turunannya menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks dan invers:
.
Aturan itu sudah terbukti.
.
Buktikan dengan cara kedua
.
Mari kita cari turunannya dengan cara kedua, berdasarkan definisi turunan fungsi di titik:
Mari kita perkenalkan notasinya:
;
;
;
.
Maka rumus sebelumnya berbentuk:
.
Mari kita manfaatkan fakta bahwa fungsi tersebut memiliki fungsi invers di lingkungan titik.
.
Secara kondisi, fungsi tersebut memiliki fungsi invers. Mari kita nyatakan sebagai
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan:
(1)
Pada , . Kemudian
(2)
Derivatif tingkat tinggi
.
Untuk mencari turunan orde yang lebih tinggi, perlu dilakukan diferensiasi beberapa kali. Katakanlah kita perlu mencari turunan orde kedua dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik, dengan bentuk berikut:
(3)
Dengan menggunakan rumus (2) kita mencari turunan pertama, yang juga ditentukan secara parametrik:
Mari kita nyatakan turunan pertama dengan variabel:
.
Kemudian, untuk mencari turunan kedua suatu fungsi terhadap variabel, Anda perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut terhadap variabel.
.
Ketergantungan suatu variabel pada suatu variabel juga ditentukan secara parametrik:
Membandingkan (3) dengan rumus (1) dan (2), kita menemukan:
.
Sekarang mari kita nyatakan hasilnya melalui fungsi dan .
Perhatikan bahwa kita tidak perlu memperkenalkan notasi untuk turunannya.
;
.
Anda dapat menulisnya seperti ini:
Contoh 1
Temukan turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik:
Larutan
Kami menemukan turunan terhadap .
;
.
Dari tabel turunan kita temukan:
.
Kami melamar:
.
Kami melamar:
Di Sini .
.
Turunan yang diperlukan:
Menjawab
Contoh 2
Temukan turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik:
Temukan turunan dari fungsi yang dinyatakan melalui parameter:
.
Mari kita perluas tanda kurung menggunakan rumus fungsi pangkat dan akar:
.
Menemukan turunannya:
.
Menemukan turunannya.
.
Turunan yang diperlukan:
Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan variabel dan menerapkan rumus turunan fungsi kompleks.
Kami menemukan turunan yang diinginkan:
Temukan turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik:
Contoh 3
Temukan turunan orde kedua dan ketiga dari fungsi yang didefinisikan secara parametrik pada Contoh 1:
Dalam Contoh 1 kami menemukan turunan orde pertama:
Mari kita perkenalkan sebutannya.
.
Maka fungsinya merupakan turunan terhadap .
.
Ini ditentukan secara parametrik:
.
Untuk mencari turunan kedua terhadap , kita perlu mencari turunan pertama terhadap .
Mari kita bedakan berdasarkan.
Kami menemukan turunan dari dalam Contoh 1:
.
Turunan orde kedua terhadap sama dengan turunan orde pertama terhadap:
.
Jadi, kami menemukan turunan orde kedua terhadap bentuk parametrik:
.
Sekarang kita cari turunan orde ketiga. Mari kita perkenalkan sebutannya.
Kemudian kita perlu mencari turunan orde pertama dari fungsi tersebut, yang ditentukan secara parametrik:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Turunan yang diperlukan:
Carilah turunan terhadap .
Untuk melakukan ini, kami menulis ulang dalam bentuk yang setara:
