Rumus pengurangan vektor. Penjumlahan dan pengurangan vektor yang komponennya diketahui

ov, pertama-tama Anda perlu memahami konsep seperti menunda vektor dari suatu titik tertentu.

Definisi 1

Jika titik $A$ adalah titik awal dari sembarang vektor $\overrightarrow(a)$, maka vektor $\overrightarrow(a)$ dikatakan tertunda dari titik $A$ (Gbr. 1).

Gambar 1. $\overrightarrow(a)$ diplot dari titik $A$

Mari kita perkenalkan teorema berikut:

Teorema 1

Dari titik mana pun $K$ seseorang dapat menggambar sebuah vektor $\overrightarrow(a)$ dan, terlebih lagi, hanya satu.

Bukti.

Adanya: Ada dua kasus yang perlu dipertimbangkan di sini:

Vektor $\overrightarrow(a)$ adalah nol.

Dalam hal ini, jelas bahwa vektor yang diinginkan adalah vektor $\overrightarrow(KK)$.

Vektor $\overrightarrow(a)$ bukan nol.

Mari kita nyatakan dengan titik $A$ awal dari vektor $\overrightarrow(a)$, dan dengan titik $B$ akhir dari vektor $\overrightarrow(a)$. Mari kita tarik garis lurus $b$ melalui titik $K$ sejajar dengan vektor $\overrightarrow(a)$. Mari kita plot segmen $\left|KL\right|=|AB|$ dan $\left|KM\right|=|AB|$ pada baris ini. Perhatikan vektor $\overrightarrow(KL)$ dan $\overrightarrow(KM)$. Dari kedua vektor ini, vektor yang diinginkan adalah vektor yang searah dengan vektor $\overrightarrow(a)$ (Gbr. 2)

Gambar 2. Ilustrasi Teorema 1

Keunikan: keunikan langsung muncul dari konstruksi yang dilakukan pada titik “keberadaan”.

Teorema tersebut telah terbukti.

Pengurangan vektor. Aturan satu

Mari kita diberi vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$.

Definisi 2

Selisih dua vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$ adalah vektor $\overrightarrow(c)$ yang jika dijumlahkan dengan vektor $\overrightarrow(b)$ akan menghasilkan vektor $\ overrightarrow(a)$ , yaitu

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Penamaan:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Mari kita pertimbangkan untuk membuat perbedaan antara dua vektor menggunakan soal.

Contoh 1

Misalkan vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$ diberikan. Buatlah vektor $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Larutan.

Mari kita buat titik sembarang $O$ dan plot vektor $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ dari titik tersebut. Dengan menghubungkan titik $B$ dengan titik $A$, kita memperoleh vektor $\overrightarrow(BA)$ (Gbr. 3).

Gambar 3. Selisih dua buah vektor

Dengan menggunakan aturan segitiga untuk menyusun jumlah dua vektor, kita melihatnya

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Dari Definisi 2, kita mendapatkannya

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Menjawab:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Dari soal ini kita memperoleh aturan berikut untuk mencari selisih dua vektor. Untuk menemukan perbedaan $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ Anda perlu memplot vektor $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b) dari titik sembarang $O$ )$ dan menghubungkan ujung vektor kedua ke ujung vektor pertama.

Pengurangan vektor. Aturan kedua

Mari kita ingat konsep berikut yang kita butuhkan.

Definisi 3

Vektor $\overrightarrow(a_1)$ disebut sembarang untuk vektor $\overrightarrow(a)$ jika vektor-vektor tersebut berlawanan arah dan mempunyai panjang yang sama.

Penamaan: Vektor $(-\overrightarrow(a))$ merupakan kebalikan dari vektor $\overrightarrow(a)$.

Untuk memperkenalkan aturan kedua selisih dua vektor, pertama-tama kita perlu memperkenalkan dan membuktikan teorema berikut.

Teorema 2

Untuk dua vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$ persamaan berikut berlaku:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Bukti.

Menurut definisi 2, kita punya

Kita menambahkan vektor $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ ke kedua bagian, kita peroleh

Karena vektor $\overrightarrow(b)$ dan $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ berlawanan, maka $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ panah atas (0)$. Kita punya

Teorema tersebut telah terbukti.

Dari teorema ini kita memperoleh aturan selisih antara dua vektor sebagai berikut: Untuk mencari selisih $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, kita perlu memplot vektor $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ dari titik sembarang $O$, kemudian, dari titik hasil $A$, plot vektor $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ dan hubungkan awal vektor pertama dengan akhir vektor kedua.

Contoh soal konsep beda vektor

Contoh 2

Misalkan diberikan jajar genjang $ADCD$ yang diagonal-diagonalnya berpotongan di titik $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (Gbr. 4). Nyatakan vektor-vektor berikut melalui vektor $\overrightarrow(a)$ dan $\overrightarrow(b)$:

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Gambar 4. Jajar Genjang

Larutan.

a) Kita melakukan penjumlahan sesuai aturan segitiga, kita peroleh

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Dari aturan pertama untuk selisih dua vektor, kita peroleh

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Karena $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, kita peroleh

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

Berdasarkan Teorema 2, kita punya

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Dengan menggunakan aturan segitiga, akhirnya kita punya

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Bagaimana penjumlahan vektor terjadi tidak selalu jelas bagi siswa. Anak-anak tidak tahu apa yang tersembunyi di balik mereka. Anda hanya perlu mengingat aturannya, dan tidak memikirkan esensinya. Oleh karena itu, justru tentang prinsip penjumlahan dan pengurangan besaran vektor dibutuhkan banyak pengetahuan.

Penjumlahan dua vektor atau lebih selalu menghasilkan satu vektor lagi. Selain itu, akan selalu sama, tidak peduli bagaimana cara menemukannya.

Paling sering, dalam kursus geometri sekolah, penambahan dua vektor dipertimbangkan. Hal ini dapat dilakukan sesuai dengan aturan segitiga atau jajaran genjang. Gambar-gambar ini terlihat berbeda, tetapi hasil tindakannya sama.

Bagaimana penjumlahan terjadi dengan menggunakan aturan segitiga?

Digunakan bila vektor-vektornya tidak segaris. Artinya, keduanya tidak terletak pada satu garis lurus atau sejajar.

Dalam hal ini, vektor pertama harus diplot dari suatu titik sembarang. Dari ujungnya perlu menggambar sejajar dan sama dengan detik. Hasilnya akan berupa vektor yang dimulai dari awal vektor pertama dan berakhir di akhir vektor kedua. Polanya menyerupai segitiga. Oleh karena itu nama aturannya.

Jika vektor-vektornya segaris, maka aturan ini juga dapat diterapkan. Hanya gambar yang akan ditempatkan sepanjang satu garis.

Bagaimana penjumlahan dilakukan dengan menggunakan aturan jajar genjang?

Lagi? hanya berlaku untuk vektor yang tidak segaris. Konstruksi dilakukan berdasarkan prinsip yang berbeda. Meski awalnya sama. Kita perlu mengesampingkan vektor pertama. Dan sejak awal - yang kedua. Berdasarkan hal tersebut, lengkapi jajaran genjang dan gambarlah diagonal dari awal kedua vektor. Inilah hasilnya. Beginilah cara penjumlahan vektor dilakukan menurut aturan jajaran genjang.

Sejauh ini sudah ada dua. Tapi bagaimana jika jumlahnya 3 atau 10? Gunakan teknik berikut.

Bagaimana dan kapan aturan poligon berlaku?

Jika Anda perlu melakukan penjumlahan vektor yang jumlahnya lebih dari dua, jangan takut. Cukup dengan mengesampingkan semuanya secara berurutan dan menghubungkan awal rantai dengan ujungnya. Vektor ini akan menjadi jumlah yang dibutuhkan.

Properti apa yang valid untuk operasi dengan vektor?

Tentang vektor nol. Yang menyatakan bahwa ketika ditambahkan ke dalamnya, diperoleh yang asli.

Tentang vektor sebaliknya. Artinya, benda yang arahnya berlawanan dan besarnya sama. Jumlahnya akan menjadi nol.

Tentang komutatifitas penjumlahan. Sesuatu yang sudah dikenal sejak bangku sekolah dasar. Mengubah posisi istilah tidak mengubah hasilnya. Dengan kata lain, tidak masalah vektor mana yang harus ditunda terlebih dahulu. Jawabannya akan tetap benar dan unik.

Tentang asosiatif penjumlahan. Hukum ini memungkinkan Anda menjumlahkan vektor apa pun dari tripel berpasangan dan menambahkan sepertiganya. Jika Anda menulis ini menggunakan simbol, Anda mendapatkan yang berikut:

pertama + (kedua + ketiga) = kedua + (pertama + ketiga) = ketiga + (pertama + kedua).

Apa yang diketahui tentang perbedaan vektor?

Tidak ada operasi pengurangan terpisah. Hal ini disebabkan fakta bahwa itu pada dasarnya adalah tambahan. Hanya yang kedua yang diberikan arah sebaliknya. Dan kemudian semuanya dilakukan seolah-olah penambahan vektor dipertimbangkan. Oleh karena itu, praktis tidak ada pembicaraan tentang perbedaan mereka.

Untuk menyederhanakan pekerjaan pengurangannya, aturan segitiga diubah. Sekarang (saat mengurangkan) vektor kedua harus dikesampingkan dari awal vektor pertama. Jawabannya adalah yang menghubungkan titik akhir dari minuend dengan titik yang sama dengan pengurangnya. Meskipun Anda bisa menundanya seperti yang dijelaskan sebelumnya, cukup dengan mengubah arah yang kedua.

Bagaimana cara mencari jumlah dan selisih vektor dalam koordinat?

Soal tersebut memberikan koordinat vektor dan memerlukan penentuan nilainya untuk hasil akhir. Dalam hal ini, tidak perlu melakukan konstruksi. Artinya, Anda bisa menggunakan rumus sederhana yang menjelaskan aturan penjumlahan vektor. Mereka terlihat seperti ini:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Sangat mudah untuk melihat bahwa koordinat hanya perlu ditambahkan atau dikurangi tergantung pada tugas spesifiknya.

Contoh pertama dengan solusi

Kondisi. Diketahui persegi panjang ABCD. Sisi-sisinya sama dengan 6 dan 8 cm, titik potong diagonal-diagonalnya dilambangkan dengan huruf O. Diperlukan untuk menghitung selisih antara vektor AO dan VO.

Larutan. Pertama, Anda perlu menggambar vektor-vektor ini. Mereka diarahkan dari titik sudut persegi panjang ke titik perpotongan diagonal.

Jika Anda perhatikan lebih dekat gambarnya, Anda dapat melihat bahwa vektor-vektor tersebut telah digabungkan sehingga vektor kedua bersentuhan dengan ujung vektor pertama. Hanya saja arahnya salah. Ini harus dimulai dari titik ini. Ini terjadi jika vektor-vektornya dijumlahkan, tetapi masalahnya melibatkan pengurangan. Berhenti. Tindakan ini berarti Anda perlu menjumlahkan vektor yang arahnya berlawanan. Artinya VO perlu diganti dengan OV. Dan ternyata kedua vektor tersebut sudah membentuk sepasang sisi dari aturan segitiga. Oleh karena itu, hasil penjumlahannya, yaitu selisih yang diinginkan, adalah vektor AB.

Dan itu bertepatan dengan sisi persegi panjang. Untuk menuliskan jawaban numerik Anda, Anda memerlukan yang berikut ini. Gambarlah sebuah persegi panjang memanjang sehingga sisi yang lebih besar horizontal. Mulailah memberi nomor pada simpul dari kiri bawah dan lakukan berlawanan arah jarum jam. Maka panjang vektor AB adalah 8 cm.

Menjawab. Selisih AO dan VO adalah 8 cm.

Contoh kedua dan solusi detailnya

Kondisi. Diagonal belah ketupat ABCD adalah 12 dan 16 cm, titik potongnya ditandai dengan huruf O. Hitunglah panjang vektor yang dibentuk oleh selisih antara vektor AO dan VO.

Larutan. Misalkan penunjukan titik sudut belah ketupat sama seperti pada soal sebelumnya. Mirip dengan penyelesaian contoh pertama, ternyata selisih yang dibutuhkan sama dengan vektor AB. Dan panjangnya tidak diketahui. Pemecahan masalah dilakukan dengan menghitung salah satu sisi belah ketupat.

Untuk tujuan ini, Anda perlu memperhatikan segitiga ABO. Berbentuk persegi panjang karena diagonal-diagonal belah ketupat berpotongan membentuk sudut 90 derajat. Dan kakinya sama dengan setengah diagonalnya. Artinya, 6 dan 8 cm Sisi yang dicari dalam soal berimpit dengan sisi miring segitiga ini.

Untuk menemukannya, Anda memerlukan teorema Pythagoras. Kuadrat sisi miringnya sama dengan jumlah angka 6 2 dan 8 2. Setelah dikuadratkan, diperoleh nilai: 36 dan 64. Jumlahnya adalah 100. Maka sisi miringnya adalah 10 cm.

Menjawab. Selisih antara vektor AO dan VO adalah 10 cm.

Contoh ketiga dengan solusi terperinci

Kondisi. Hitung selisih dan jumlah dua vektor. Koordinatnya diketahui: yang pertama memiliki 1 dan 2, yang kedua memiliki 4 dan 8.

Larutan. Untuk mencari jumlahnya, Anda perlu menjumlahkan koordinat pertama dan kedua secara berpasangan. Hasilnya adalah angka 5 dan 10. Jawabannya adalah vektor dengan koordinat (5; 10).

Untuk perbedaannya, Anda perlu mengurangi koordinatnya. Setelah melakukan tindakan ini, akan diperoleh angka -3 dan -6. Mereka akan menjadi koordinat vektor yang diinginkan.

Menjawab. Jumlah vektornya adalah (5; 10), selisihnya adalah (-3; -6).

Contoh keempat

Kondisi. Panjang vektor AB 6 cm, BC 8 cm, vektor kedua diberhentikan dari ujung vektor pertama dengan sudut 90 derajat. Hitung: a) selisih modul vektor VA dan BC dan modul selisih VA dan BC; b) jumlah modul yang sama dan modul jumlah.

Penyelesaian: a) Panjang vektor sudah diberikan pada soal. Oleh karena itu, menghitung perbedaannya tidaklah sulit. 6 - 8 = -2. Situasi dengan modul perbedaan agak lebih rumit. Pertama, Anda perlu mencari vektor mana yang akan menjadi hasil pengurangan. Untuk itu perlu dikesampingkan vektor BA yang arahnya berlawanan dengan AB. Kemudian gambarlah vektor BC dari ujungnya, arahkan ke arah yang berlawanan dengan arah semula. Hasil pengurangannya adalah vektor CA. Modulusnya dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras. Perhitungan sederhana menghasilkan nilai 10 cm.

b) Jumlah modulus vektor-vektor tersebut sama dengan 14 cm. Untuk mencari jawaban kedua, diperlukan beberapa transformasi. Vektor BA berlawanan arah dengan vektor yang diberikan - AB. Kedua vektor diarahkan dari titik yang sama. Dalam situasi ini, Anda dapat menggunakan aturan jajaran genjang. Hasil penjumlahannya akan berbentuk diagonal, bukan hanya jajar genjang, melainkan persegi panjang. Diagonal-diagonalnya sama, artinya modulus penjumlahannya sama seperti pada paragraf sebelumnya.

Jawaban: a) -2 dan 10 cm; b) 14 dan 10cm.

Dalam matematika dan fisika, siswa dan anak sekolah sering kali menjumpai permasalahan yang berkaitan dengan besaran vektor dan melakukan berbagai operasi terhadapnya. Apa perbedaan antara besaran vektor dan besaran skalar yang biasa kita kenal, yang ciri-cirinya hanyalah nilai numeriknya? Faktanya adalah mereka punya arah.

Penggunaan besaran vektor dijelaskan paling jelas dalam fisika. Contoh paling sederhana adalah gaya (gaya gesekan, gaya elastis, berat), kecepatan dan percepatan, karena selain nilai numerik juga memiliki arah aksi. Sebagai perbandingan, mari kita berikan contoh besaran skalar: Ini bisa berupa jarak antara dua titik atau massa suatu benda. Mengapa perlu melakukan operasi besaran vektor seperti penjumlahan atau pengurangan? Hal ini diperlukan agar dapat ditentukan hasil kerja suatu sistem vektor yang terdiri dari 2 unsur atau lebih.

Definisi matematika vektor

Mari kita perkenalkan definisi utama yang digunakan saat melakukan operasi linier.

1. Vektor adalah segmen berarah (memiliki titik awal dan titik akhir).
2. Panjang (modulus) adalah panjang ruas berarah.
3. Collinear adalah dua vektor yang sejajar pada garis yang sama atau terletak bersamaan pada garis tersebut.
4. Vektor yang berarah berlawanan disebut segaris dan sekaligus diarahkan ke arah yang berbeda. Jika arahnya bertepatan, maka keduanya searah.
5. Vektor dikatakan sama jika arahnya searah dan besarnya sama.
6. Jumlah dua vektor A Dan B adalah vektor seperti itu C, yang permulaannya bertepatan dengan permulaan yang pertama, dan akhir dengan akhir yang kedua, asalkan B dimulai pada titik yang sama di mana ia berakhir A.
7. Perbedaan vektor A Dan B sebutkan jumlahnya A Dan ( - B ), Di mana ( - B ) - berlawanan arah dengan vektor B. Selain itu, definisi selisih dua vektor dapat diberikan sebagai berikut: selisih C pasangan vektor A Dan B mereka menyebutnya ini C, yang bila ditambahkan ke pengurang B membentuk minend A.

Metode analitis

Metode analisis melibatkan perolehan koordinat selisih menggunakan rumus tanpa membuat plot. Dimungkinkan untuk melakukan perhitungan untuk ruang datar (dua dimensi), volumetrik (tiga dimensi) atau n-dimensi.

Untuk ruang dua dimensi dan besaran vektor A {a₁;a₂) Dan B {b₁;b₂} perhitungannya akan terlihat seperti ini: C {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

Dalam hal menjumlahkan koordinat ketiga, perhitungan akan dilakukan dengan cara yang sama, dan untuk A {a₁;a₂; sebuah₃) Dan B {b₁;b₂; b₃) koordinat selisihnya juga akan diperoleh dengan pengurangan berpasangan: C {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃ – b₃}.

Menghitung selisihnya secara grafis

Untuk membuat perbedaan secara grafis, Anda harus menggunakan aturan segitiga. Untuk melakukannya, Anda harus melakukan urutan tindakan berikut:

1. Dengan menggunakan koordinat yang diberikan, buatlah vektor-vektor yang ingin Anda cari perbedaannya.
2. Gabungkan ujung-ujungnya (yaitu, buatlah dua segmen berarah yang sama dengan yang diberikan, yang akan berakhir pada titik yang sama).
3. Hubungkan awal dari kedua segmen berarah dan tunjukkan arahnya; resultannya akan dimulai pada titik yang sama dimana vektor yang diminuend dimulai dan berakhir pada titik dimana pengurangnya dimulai.

Hasil operasi pengurangan ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Ada juga metode untuk membangun perbedaan, yang sedikit berbeda dari metode sebelumnya. Esensinya terletak pada penerapan teorema beda vektor, yang dirumuskan sebagai berikut: untuk mencari selisih sepasang ruas berarah, cukup mencari jumlah ruas pertama yang berarah berlawanan dengan ruas tersebut. Kedua. Algoritma konstruksi akan terlihat seperti ini:

1. Bangun segmen terarah awal.
2. Yang dikurangi harus dicerminkan, yaitu membentuk suatu ruas yang arahnya berlawanan dan sama besarnya; lalu gabungkan permulaannya dengan minuend.
3. Buatlah penjumlahan: hubungkan awal segmen pertama dengan akhir segmen kedua.

Hasil dari keputusan ini ditunjukkan pada gambar:

Pemecahan masalah

Untuk mengkonsolidasikan keterampilan, kami akan menganalisis beberapa tugas di mana Anda perlu menghitung perbedaannya secara analitis atau grafis.

Masalah 1. Ada 4 titik yang diberikan pada bidang: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Tentukan koordinat vektor q = AB - CD, dan hitung juga panjangnya.

Larutan. Pertama, Anda perlu menemukan koordinatnya AB Dan CD. Caranya, kurangi koordinat titik awal dari koordinat titik akhir. Untuk AB awalnya adalah A(1; -3), dan akhir – B(0; 4). Mari kita hitung koordinat segmen berarah:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Perhitungan serupa dilakukan untuk CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Sekarang, dengan mengetahui koordinatnya, Anda dapat mencari perbedaan antara vektor-vektor tersebut. Rumus solusi analitis masalah bidang telah dibahas sebelumnya: untuk C = A- B koordinatnya berbentuk ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Untuk kasus tertentu, Anda dapat menulis:

Q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Untuk mencari panjangnya Q, mari kita gunakan rumus | Q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Masalah 2. Gambar tersebut menunjukkan vektor m, n dan p.

Penting untuk membangun perbedaan bagi mereka: hal- N; M- N; M- N- P. Cari tahu mana yang memiliki modulus terkecil.

Larutan. Masalahnya memerlukan tiga konstruksi. Mari kita lihat setiap bagian tugas secara lebih rinci.

Bagian 1. Untuk menggambarkan P- N, Mari kita gunakan aturan segitiga. Untuk melakukan ini, dengan menggunakan terjemahan paralel, kami menghubungkan segmen-segmen tersebut sehingga titik akhirnya bertepatan. Sekarang mari kita hubungkan titik awal dan tentukan arahnya. Dalam kasus kita, vektor selisih dimulai di tempat yang sama dengan pengurangnya N.

Bagian 2. Mari kita gambarkan M N. Sekarang untuk menyelesaikannya kita akan menggunakan teorema selisih vektor. Untuk melakukan ini, buatlah vektor yang berlawanan N, lalu cari jumlahnya dengan M. Hasil yang dihasilkan akan terlihat seperti ini:

Bagian 3. Untuk menemukan perbedaannya m - n - hal, Anda harus membagi ekspresi menjadi dua tindakan. Karena aljabar vektor memiliki hukum yang mirip dengan hukum aritmatika, pilihan berikut mungkin dilakukan:

• m - (n + p): dalam hal ini, jumlahnya diplot terlebih dahulu n+p, yang kemudian dikurangkan dari M;
• (m - n) - hal: di sini Anda harus mencarinya terlebih dahulu M N, lalu kurangi selisihnya P;
• (m - p) - n: tindakan pertama ditentukan m - hal, setelah itu Anda perlu mengurangi dari hasil yang diperoleh N.

Karena pada soal bagian sebelumnya kita sudah menemukan perbedaannya M N, kita hanya perlu menguranginya P. Mari kita buat perbedaan antara dua vektor tertentu menggunakan teorema perbedaan. Jawabannya ditunjukkan pada gambar di bawah ini (merah menunjukkan hasil antara, dan hijau menunjukkan hasil akhir).

Masih menentukan segmen mana yang memiliki modulus terkecil. Ingatlah bahwa konsep panjang dan modulus dalam matematika vektor adalah identik. Mari kita perkirakan panjangnya secara visual P- n, m- N Dan M- N- P. Tentunya jawaban terpendek dan modulus terkecil adalah jawaban pada bagian terakhir soal yaitu M- N- P.

Skalar dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dibagi seperti halnya bilangan biasa.

Karena vektor dicirikan tidak hanya oleh nilai numerik, tetapi juga oleh arah, penjumlahan vektor tidak mengikuti aturan penjumlahan bilangan. Misalnya, panjang suatu vektor A= 3m, B= 4 m, maka A + B= 3 m + 4 m = 7 m. Tetapi panjang vektor \(\vec c = \vec a + \vec b\) tidak akan sama dengan 7 m (Gbr. 1).

Beras. 1.

Untuk membuat vektor \(\vec c = \vec a + \vec b\) (Gbr. 2), aturan khusus untuk menjumlahkan vektor diterapkan.

Dan panjang vektor penjumlahan \(\vec c = \vec a + \vec b\) ditentukan oleh teorema kosinus \(c = \sqrt(a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \ cos \alpha)\ ), dimana \(\alpha\,\) adalah sudut antara vektor \(\vec a\) dan \(\vec b\).

Aturan segitiga

Dalam literatur asing cara ini disebut “tail to head”.

Untuk menjumlahkan dua vektor \(\vec a\) dan \(\vec b\) (Gbr. 3, a) Anda perlu memindahkan vektor \(\vec b\) sejajar dengan dirinya sendiri sehingga permulaannya bertepatan dengan ujung vektor \(\vec a\) (Gbr. 3, b). Maka jumlahnya akan menjadi vektor \(\vec c\), yang awalnya berimpit dengan awal vektor \(\vec a\), dan berakhir dengan akhir vektor \(\vec b\) (Gbr. 3, c).

Hasilnya tidak akan berubah jika Anda memindahkan vektor \(\vec a\) alih-alih vektor \(\vec b\) (Gbr. 4), mis. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) ( sifat komutatif vektor).

Dengan menggunakan aturan segitiga, Anda dapat menjumlahkan dua vektor sejajar \(\vec a\) dan \(\vec b\) (Gbr. 6, a) dan \(\vec a\) dan \(\vec d\) ( Gambar 7, a). Jumlah vektor-vektor \(\vec c = \vec a + \vec b\) dan \(\vec f = \vec a + \vec d\) ditunjukkan pada Gambar. 6,b dan 7,b. Selain itu, modul vektor \(c = a + b\) dan \(f=\left|a-d\right|\).

Aturan segitiga dapat diterapkan saat menjumlahkan tiga vektor atau lebih. Misalnya, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (Gbr. 8).

Aturan jajaran genjang

Untuk menjumlahkan dua vektor \(\vec a\) dan \(\vec b\) (Gbr. 9, a) Anda perlu memindahkan keduanya sejajar satu sama lain sehingga titik awal vektor \(\vec a\) dan \(\ vec b\) berada pada satu titik (Gbr. 9, b). Kemudian buatlah jajar genjang yang sisi-sisinya akan menjadi vektor-vektor ini (Gbr. 9, c). Maka jumlah \(\vec a+ \vec b\) akan menjadi vektor \(\vec c\), yang awalnya berimpit dengan titik asal vektor-vektor tersebut, dan berakhir pada titik sudut yang berlawanan dari jajaran genjang (Gbr. .9, d).

Pengurangan vektor

Untuk mencari selisih antara dua vektor \(\vec a\) dan \(\vec b\) (Gbr. 11), Anda perlu mencari vektor \(\vec c = \vec a + \left(- \vec b \kanan) \) (cm.

X dan kamu disebut vektor z seperti yang z+y=x.

Pilihan 1. Titik awal semua vektor berimpit dengan titik asal koordinat.

Mari kita buat perbedaan vektor dan .

Untuk memplot perbedaan vektor z=x-y, Anda perlu menambahkan vektor X dengan kebalikannya kamu vektor kamu". Vektor berlawanan kamu" mudah untuk membangunnya:

Vektor kamu" berlawanan dengan vektor kamu, Karena kamu+kamu"= 0, dimana 0 adalah vektor nol dengan ukuran yang sesuai. Selanjutnya dilakukan penjumlahan vektor X Dan kamu":

Dari persamaan (1) jelas bahwa untuk membangun selisih antar vektor, cukup menghitung selisih koordinat vektor-vektor tersebut. X Dan kamu.

Beras. 1

Pada gambar Gambar. 1 dalam ruang dua dimensi perbedaan vektor diwakili X=(10.3) dan kamu=(2,4).

Mari kita hitung z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Mari kita bandingkan hasil yang diperoleh dengan interpretasi geometris. Memang, setelah membuat vektor kamu" dan pergerakan paralel dari titik awal vektor kamu" ke titik akhir vektor X, kita mendapatkan vektor kamu"", dan setelah menambahkan vektor X Dan kamu"", kita mendapatkan vektor z.

pilihan 2. Titik awal vektor bersifat arbitrer.

Beras. 2

Pada gambar Gambar. 2 dalam ruang dua dimensi perbedaan vektor diwakili X=AB Dan kamu=CD, Di mana A(1,0), B(11,3), C(1,2), D(3.6). Untuk menghitung vektor z=x-y, dibangun berlawanan dengan vektor kamu vektor kamu":

Selanjutnya Anda perlu menambahkan vektor X Dan kamu". Vektor kamu" bergerak sejajar sehingga titik C" bertepatan dengan intinya B. Untuk melakukan ini, perbedaan koordinat titik dihitung B Dan DENGAN.