Rumus penyelesaian persamaan trigonometri sederhana. Cara menyelesaikan persamaan trigonometri

Tugas No.1

Logikanya sederhana: kita akan melakukan seperti yang kita lakukan sebelumnya, terlepas dari kenyataan bahwa sekarang fungsi trigonometri memiliki argumen yang lebih kompleks!

Jika kita menyelesaikan persamaan berbentuk:

Kemudian kami akan menuliskan jawaban berikut:

Atau (sejak)

Tapi sekarang peran kita dimainkan oleh ungkapan ini:

Kemudian kita dapat menulis:

Tujuan kami bersama Anda adalah memastikan bahwa sisi kiri berdiri dengan sederhana, tanpa “kotoran” apa pun!

Mari kita singkirkan mereka secara bertahap!

Pertama, hilangkan penyebutnya di: untuk melakukannya, kalikan persamaan kita dengan:

Sekarang mari kita hilangkan dengan membagi kedua bagian menjadi:

Sekarang mari kita singkirkan delapan:

Ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai 2 rangkaian solusi (dengan analogi dengan persamaan kuadrat, di mana kita menambah atau mengurangi diskriminan)

Kita perlu mencari akar negatif terbesar! Jelas bahwa kita perlu memilah-milahnya.

Mari kita lihat episode pertamanya dulu:

Yang jelas kalau kita ambil, maka hasilnya kita akan mendapat angka positif, tapi itu tidak menarik minat kita.

Jadi, Anda perlu menganggapnya negatif. Biarlah.

Ketika akarnya akan menyempit:

Dan kita perlu menemukan hal negatif terbesar!! Artinya, menuju ke arah negatif tidak lagi masuk akal di sini. Dan akar negatif terbesar dari deret ini adalah.

Sekarang mari kita lihat seri kedua:

Dan sekali lagi kita gantikan: , lalu:

Tidak tertarik!

Maka tidak ada gunanya menambah lagi! Ayo kurangi! Biarkan kemudian:

Cocok!

Biarlah. Kemudian

Lalu - akar negatif terbesar!

Menjawab:

Tugas No.2

Kita selesaikan lagi, terlepas dari argumen kosinus yang kompleks:

Sekarang kita ungkapkan lagi di sebelah kiri:

Kalikan kedua ruasnya dengan

Bagilah kedua sisinya

Yang tersisa hanyalah memindahkannya ke kanan, mengubah tandanya dari minus menjadi plus.

Kita kembali mendapatkan 2 rangkaian akar, satu dengan dan yang lainnya dengan.

Kita perlu mencari akar negatif terbesar. Mari kita lihat episode pertama:

Jelas bahwa kita akan mendapatkan akar negatif pertama di, itu akan sama dengan dan akan menjadi akar negatif terbesar dalam 1 deret.

Untuk seri kedua

Akar negatif pertama juga akan diperoleh di dan akan sama dengan. Karena, maka adalah akar negatif terbesar dari persamaan tersebut.

Menjawab: .

Tugas No.3

Kami menyelesaikannya, terlepas dari argumen singgung yang rumit.

Sekarang, sepertinya tidak rumit, bukan?

Seperti sebelumnya, kami nyatakan di sisi kiri:

Bagus sekali, hanya ada satu rangkaian akar di sini! Mari kita cari lagi negatif terbesarnya.

Jelas itu akan terjadi jika Anda meletakkannya. Dan akar ini sama.

Menjawab:

Sekarang cobalah selesaikan sendiri masalah berikut.

Pekerjaan rumah atau 3 tugas untuk diselesaikan secara mandiri.

Selesaikan persamaannya.
Selesaikan persamaannya.
Dalam jawaban akar pi-shi-th-yang-sekecil mungkin.
Selesaikan persamaannya.
Dalam jawaban akar pi-shi-th-yang-sekecil mungkin.

Siap? Mari kita periksa. Saya tidak akan menjelaskan secara rinci keseluruhan algoritma solusi; menurut saya ini sudah mendapat cukup perhatian di atas.

Nah, apakah semuanya baik-baik saja? Oh, sinus-sinus jahat itu, selalu ada masalah dengannya!

Nah, sekarang kamu bisa menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana!

Simak solusi dan jawabannya:

Tugas No.1

Mari berekspresi

Akar positif terkecil diperoleh jika kita meletakkan, sejak, maka

Menjawab:

Tugas No.2

Akar positif terkecil diperoleh pada.

Itu akan sama.

Menjawab: .

Tugas No.3

Saat kita mendapatkan, saat kita memilikinya.

Menjawab: .

Pengetahuan ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah yang akan Anda temui dalam ujian.

Jika Anda melamar untuk mendapatkan peringkat “5”, maka Anda hanya perlu melanjutkan membaca artikelnya tingkat menengah yang akan dikhususkan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang lebih kompleks (tugas C1).

LEVEL RATA-RATA

Pada artikel ini saya akan menjelaskannya menyelesaikan persamaan trigonometri yang lebih kompleks dan bagaimana memilih akarnya. Di sini saya akan membahas topik-topik berikut:

Persamaan trigonometri untuk tingkat pemula (lihat di atas).

Persamaan trigonometri yang lebih kompleks adalah dasar dari permasalahan tingkat lanjut. Mereka memerlukan penyelesaian persamaan itu sendiri dalam bentuk umum dan menemukan akar-akar persamaan ini yang termasuk dalam interval tertentu.

Menyelesaikan persamaan trigonometri terbagi menjadi dua subtugas:

Memecahkan persamaan
Seleksi akar

Perlu dicatat bahwa yang kedua tidak selalu diperlukan, tetapi dalam sebagian besar contoh, pemilihan masih diperlukan. Namun jika tidak diperlukan, maka kami dapat bersimpati dengan Anda - ini berarti persamaannya sendiri cukup rumit.

Pengalaman saya menganalisis masalah C1 menunjukkan bahwa masalah tersebut biasanya dibagi ke dalam kategori berikut.

Empat kategori tugas dengan kompleksitas yang meningkat (sebelumnya C1)

Persamaan yang direduksi menjadi faktorisasi.
Persamaan direduksi menjadi bentuk.
Persamaan diselesaikan dengan mengubah variabel.
Persamaan yang memerlukan pemilihan akar tambahan karena irasionalitas atau penyebutnya.

Sederhananya: jika Anda tertangkap salah satu persamaan dari tiga tipe pertama, maka anggaplah diri Anda beruntung. Bagi mereka, sebagai aturan, Anda juga perlu memilih akar yang termasuk dalam interval tertentu.

Jika Anda menemukan persamaan tipe 4, maka Anda kurang beruntung: Anda perlu mengotak-atiknya lebih lama dan lebih hati-hati, tetapi sering kali hal ini tidak memerlukan pemilihan akar tambahan. Namun demikian, saya akan menganalisis persamaan jenis ini di artikel berikutnya, dan artikel ini akan saya curahkan untuk menyelesaikan persamaan dari tiga jenis pertama.

Persamaan yang direduksi menjadi faktorisasi

Hal terpenting yang perlu Anda ingat untuk menyelesaikan persamaan jenis ini adalah

Seperti yang diperlihatkan oleh praktik, sebagai suatu peraturan, pengetahuan ini sudah cukup. Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1. Persamaan direduksi menjadi faktorisasi menggunakan rumus reduksi dan sinus sudut ganda

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di atas potongan tersebut

Di sini, seperti yang saya janjikan, rumus reduksi berfungsi:

Maka persamaan saya akan terlihat seperti ini:

Maka persamaan saya akan berbentuk sebagai berikut:

Seorang siswa yang berpikiran sempit mungkin berkata: sekarang saya akan mengurangi kedua sisi, mendapatkan persamaan paling sederhana dan menikmati hidup! Dan dia akan salah besar!

INGAT: ANDA TIDAK PERNAH BISA MENGURANGI KEDUA SISI PERSAMAAN TRIGONOMETRI DENGAN FUNGSI YANG MENGANDUNG YANG TIDAK DIKETAHUI! JADI ANDA KEHILANGAN AKAR ANDA!

Jadi apa yang harus dilakukan? Ya, sederhana saja, pindahkan semuanya ke satu sisi dan hilangkan faktor persekutuannya:

Nah, sudah kita faktorkan menjadi beberapa faktor, hore! Sekarang mari kita putuskan:

Persamaan pertama memiliki akar:

Dan yang kedua:

Ini menyelesaikan bagian pertama dari masalah ini. Sekarang Anda perlu memilih akarnya:

Kesenjangannya seperti ini:

Atau bisa juga ditulis seperti ini:

Baiklah, mari kita ambil akarnya:

Pertama, mari kita bekerja dengan episode pertama (dan ini lebih sederhana!)

Karena interval kita seluruhnya negatif, tidak perlu mengambil bilangan non-negatif, karena interval tersebut akan tetap menghasilkan akar-akar non-negatif.

Kalau begitu, mari kita ambil - terlalu banyak, tidak kena.

Kalau begitu biarlah - saya tidak memukulnya lagi.

Sekali lagi coba - lalu - ya, saya mengerti! Akar pertama telah ditemukan!

Saya menembak lagi: lalu saya memukul lagi!

Nah, sekali lagi : : - ini sudah penerbangan.

Jadi dari deret pertama terdapat 2 akar yang termasuk dalam interval tersebut: .

Kami sedang mengerjakan seri kedua (kami sedang membangun kepada kekuasaan menurut aturan):

Melemahkan!

Melewatkannya lagi!

Mengerti!

Penerbangan!

Jadi, interval saya memiliki akar sebagai berikut:

Ini adalah algoritma yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan semua contoh lainnya. Mari kita berlatih bersama dengan satu contoh lagi.

Contoh 2. Persamaan direduksi menjadi faktorisasi dengan menggunakan rumus reduksi

Selesaikan persamaannya

Larutan:

Sekali lagi rumus reduksi yang terkenal:

Jangan mencoba menguranginya lagi!

Persamaan pertama memiliki akar:

Dan yang kedua:

Sekarang lagi mencari akarnya.

Saya akan mulai dengan episode kedua, saya sudah tahu semuanya dari contoh sebelumnya! Perhatikan dan pastikan akar-akar yang termasuk dalam interval tersebut adalah sebagai berikut:

Sekarang episode pertama dan lebih sederhana:

Jika - cocok

Jika itu juga baik-baik saja

Jika sudah ada penerbangan.

Maka akarnya adalah sebagai berikut:

Pekerjaan mandiri. 3 persamaan.

Nah, apakah tekniknya sudah jelas bagi Anda? Apakah menyelesaikan persamaan trigonometri sepertinya tidak sulit lagi? Kemudian segera selesaikan sendiri soal-soal berikut, lalu kita akan selesaikan contoh lainnya:

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan ini yang terletak di atas interval.
Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar persamaan yang terletak di atas potongan
Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di antara keduanya.

Persamaan 1.

Dan lagi rumus reduksinya:

Rangkaian akar pertama:

Rangkaian akar kedua:

Kami memulai seleksi untuk kesenjangan tersebut

Menjawab: , .

Persamaan 2. Memeriksa pekerjaan mandiri.

Pengelompokan yang cukup rumit menjadi beberapa faktor (saya akan menggunakan rumus sinus sudut ganda):

lalu atau

Ini adalah solusi umum. Sekarang kita perlu memilih akarnya. Masalahnya adalah kita tidak dapat menentukan nilai pasti suatu sudut yang kosinusnya sama dengan seperempat. Oleh karena itu, saya tidak bisa menghilangkan arc cosinus begitu saja - sayang sekali!

Apa yang bisa saya lakukan adalah memikirkan hal itu, jadi, kalau begitu.

Mari kita buat tabel: interval:

Nah, melalui penelusuran yang melelahkan, kami sampai pada kesimpulan yang mengecewakan bahwa persamaan kami memiliki satu akar pada interval yang ditunjukkan: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Persamaan 3: Tes kerja mandiri.

Persamaan yang tampak menakutkan. Namun, hal ini dapat diselesaikan cukup sederhana dengan menerapkan rumus sinus sudut ganda:

Mari kita kurangi sebanyak 2:

Mari kita kelompokkan suku pertama dengan suku kedua dan suku ketiga dengan suku keempat dan keluarkan faktor persekutuannya:

Jelas bahwa persamaan pertama tidak mempunyai akar, dan sekarang mari kita pertimbangkan persamaan kedua:

Secara umum, saya akan membahas penyelesaian persamaan seperti itu nanti, tetapi karena persamaan tersebut muncul, tidak ada yang bisa dilakukan, saya harus menyelesaikannya...

Persamaan bentuk:

Persamaan ini diselesaikan dengan membagi kedua ruas dengan:

Jadi, persamaan kita memiliki serangkaian akar:

Kita perlu menemukan yang termasuk dalam interval: .

Mari kita buat tabel lagi, seperti yang saya lakukan sebelumnya:

Menjawab: .

Persamaan direduksi menjadi bentuk:

Nah, sekarang saatnya beralih ke persamaan bagian kedua, apalagi saya sudah menjelaskan apa saja isi penyelesaian persamaan trigonometri tipe baru. Namun patut diulangi bahwa persamaannya ada dalam bentuk

Diselesaikan dengan membagi kedua ruas dengan cosinus:

Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar persamaan yang terletak di atas potongan.
Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar-akar persamaan yang terletak di antara keduanya.

Contoh 1.

Yang pertama cukup sederhana. Pindah ke kanan dan terapkan rumus cosinus sudut ganda:

Ya! Persamaan bentuk: . Saya membagi kedua bagiannya

Kami melakukan penyaringan root:

Celah:

Menjawab:

Contoh 2.

Semuanya juga cukup sepele: mari kita buka tanda kurung di sebelah kanan:

Identitas trigonometri dasar:

Sinus sudut ganda:

Akhirnya kita mendapatkan:

Penyaringan akar: interval.

Menjawab: .

Nah, bagaimana dengan tekniknya, rumit bukan? Saya harap tidak. Kita dapat segera membuat reservasi: dalam bentuknya yang murni, persamaan yang langsung direduksi menjadi persamaan garis singgung cukup jarang terjadi. Biasanya, transisi ini (pembagian dengan kosinus) hanyalah sebagian dari masalah yang lebih kompleks. Berikut ini contoh untuk Anda praktikkan:

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di atas potongan tersebut.

Mari kita periksa:

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan segera; cukup membagi kedua ruas dengan:

Penyaringan akar:

Menjawab: .

Dengan satu atau lain cara, kita belum menemukan persamaan seperti yang baru saja kita periksa. Namun, masih terlalu dini bagi kita untuk mengakhirinya: masih ada satu “lapisan” persamaan lagi yang belum kita analisis. Jadi:

Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan mengubah variabel

Semuanya transparan di sini: kita perhatikan persamaannya, sederhanakan sebanyak mungkin, lakukan substitusi, selesaikan, lakukan substitusi terbalik! Dengan kata lain semuanya sangat mudah. Mari kita lihat aksinya:

Contoh.

Selesaikan persamaan: .
Temukan semua akar persamaan yang terletak di atas potongan tersebut.

Nah, di sini penggantinya sendiri menunjukkan dirinya kepada kita!

Maka persamaan kita akan berubah menjadi ini:

Persamaan pertama memiliki akar:

Dan yang kedua seperti ini:

Sekarang mari kita cari akar-akar yang termasuk dalam interval tersebut

Menjawab: .

Mari kita lihat contoh yang sedikit lebih rumit bersama-sama:

Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar-akar persamaan yang terletak di atas dan di antara keduanya.

Di sini penggantinya tidak langsung terlihat, apalagi tidak terlalu kentara. Pertama-tama mari kita berpikir: apa yang bisa kita lakukan?

Kita bisa, misalnya, membayangkan

Dan pada saat yang sama

Maka persamaan saya akan berbentuk:

Dan sekarang perhatian, fokus:

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan:

Tiba-tiba Anda dan saya memiliki persamaan kuadrat relatif! Mari kita lakukan penggantian, maka kita mendapatkan:

Persamaan tersebut memiliki akar-akar berikut:

Seri akar kedua yang tidak menyenangkan, tetapi tidak ada yang bisa dilakukan! Kami memilih akar dalam interval.

Kita juga perlu mempertimbangkan hal itu

Sejak itu, lalu

Menjawab:

Untuk memperkuat hal ini sebelum Anda menyelesaikan masalahnya sendiri, berikut latihan lain untuk Anda:

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di antara keduanya.

Di sini Anda harus tetap membuka mata: sekarang kita memiliki penyebut yang bisa nol! Oleh karena itu, Anda harus sangat memperhatikan akarnya!

Pertama-tama, saya perlu menyusun ulang persamaannya sehingga saya dapat membuat substitusi yang sesuai. Saya tidak dapat memikirkan hal yang lebih baik sekarang selain menulis ulang garis singgung dalam bentuk sinus dan kosinus:

Sekarang saya akan berpindah dari cosinus ke sinus menggunakan identitas trigonometri dasar:

Dan akhirnya, saya akan membawa semuanya ke kesamaan:

Sekarang saya bisa beralih ke persamaan:

Tapi di (yaitu, di).

Sekarang semuanya siap untuk diganti:

Lalu atau

Namun perlu diingat bahwa jika, maka pada saat yang sama!

Siapa yang menderita karena ini? Masalah dengan garis singgung adalah bahwa garis singgung tidak terdefinisi ketika kosinusnya sama dengan nol (terjadi pembagian dengan nol).

Jadi, akar persamaannya adalah:

Sekarang kita menyaring akar-akarnya dalam interval:


	- cocok
	- berlebihan

Jadi, persamaan kita mempunyai akar tunggal pada intervalnya, dan persamaan tersebut sama.

Anda lihat: kemunculan penyebut (seperti garis singgung, menyebabkan kesulitan tertentu dengan akar! Di sini Anda harus lebih berhati-hati!).

Nah, Anda dan saya hampir selesai menganalisis persamaan trigonometri, hanya ada sedikit yang tersisa - untuk menyelesaikan dua masalah sendiri. Di sini mereka.

Selesaikan persamaannya
Temukan semua akar persamaan yang terletak di atas potongan tersebut.
Selesaikan persamaannya
Tunjukkan akar-akar persamaan ini, yang terletak di atas potongan.

Diputuskan? Bukankah ini sangat sulit? Mari kita periksa:

Kami bekerja sesuai dengan rumus reduksi:
Substitusikan ke dalam persamaan:
Mari kita tulis ulang semuanya melalui cosinus agar lebih mudah melakukan penggantian:
Sekarang mudah untuk melakukan penggantian:
Jelas bahwa persamaan tersebut merupakan akar asing, karena persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Kemudian:
Kami mencari akar yang kami butuhkan di interval tersebut
Menjawab: .
Di sini penggantinya langsung terlihat:
Lalu atau

- cocok! - cocok!
- cocok! - cocok!
- banyak! - juga banyak!
Menjawab:

Nah, itu dia sekarang! Namun menyelesaikan persamaan trigonometri tidak berhenti sampai disitu saja; kita tertinggal dalam kasus-kasus yang paling sulit: ketika persamaan tersebut mengandung irasionalitas atau berbagai jenis “penyebut kompleks”. Kami akan melihat cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dalam artikel untuk tingkat lanjutan.

TINGKAT LANJUT

Selain persamaan trigonometri yang dibahas pada dua artikel sebelumnya, kita akan membahas golongan persamaan lain yang memerlukan analisis lebih cermat. Contoh-contoh trigonometri ini mengandung irasionalitas atau penyebut, sehingga membuat analisisnya menjadi lebih sulit. Namun, Anda mungkin menemukan persamaan ini di Bagian C kertas ujian. Namun, setiap awan memiliki hikmahnya: untuk persamaan seperti itu, sebagai suatu peraturan, pertanyaan tentang akar mana yang termasuk dalam interval tertentu tidak lagi diajukan. Jangan bertele-tele, tapi langsung saja ke contoh trigonometri.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan tersebut dan temukan akar-akar yang termasuk dalam ruas tersebut.

Larutan:

Kita mempunyai penyebut yang tidak boleh sama dengan nol! Maka menyelesaikan persamaan ini sama dengan menyelesaikan sistem

Mari kita selesaikan setiap persamaan:

Dan sekarang yang kedua:

Sekarang mari kita lihat serinya:

Jelas bahwa opsi ini tidak cocok untuk kita, karena dalam hal ini penyebut kita disetel ulang ke nol (lihat rumus akar persamaan kedua)

Jika, maka semuanya beres, dan penyebutnya bukan nol! Maka akar persamaannya adalah sebagai berikut: , .

Sekarang kita pilih akar yang termasuk dalam interval.


	- tidak cocok	- cocok
	- cocok	- cocok
	berlebihan	berlebihan

Maka akarnya adalah sebagai berikut:

Anda lihat, bahkan munculnya gangguan kecil pada bentuk penyebut secara signifikan mempengaruhi penyelesaian persamaan: kita membuang serangkaian akar yang meniadakan penyebutnya. Segalanya menjadi lebih rumit jika Anda menemukan contoh trigonometri yang tidak rasional.

Contoh 2.

Selesaikan persamaan:

Larutan:

Setidaknya Anda tidak perlu mencabut akarnya, dan itu bagus! Mari kita selesaikan dulu persamaannya, terlepas dari irasionalitasnya:

Jadi, apakah itu saja? Tidak, sayangnya, itu terlalu mudah! Kita harus ingat bahwa hanya bilangan non-negatif yang dapat muncul di bawah akar. Kemudian:

Solusi untuk ketimpangan ini adalah:

Sekarang tinggal mencari tahu apakah bagian dari akar-akar persamaan pertama secara tidak sengaja berakhir di tempat yang tidak memenuhi pertidaksamaan.

Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan tabel lagi:


	: , Tetapi	TIDAK!
		Ya!
		Ya!

Jadi, salah satu akar saya “rontok”! Ternyata jika Anda meletakkannya. Maka jawabannya dapat dituliskan sebagai berikut:

Menjawab:

Soalnya, root membutuhkan lebih banyak perhatian! Mari kita buat lebih rumit: sekarang saya mempunyai fungsi trigonometri di bawah akar saya.

Contoh 3.

Seperti sebelumnya: pertama-tama kita akan menyelesaikan masing-masing secara terpisah, dan kemudian kita akan memikirkan apa yang telah kita lakukan.

Sekarang persamaan kedua:

Sekarang hal yang paling sulit adalah mencari tahu apakah nilai negatif diperoleh di bawah akar aritmatika jika kita mensubstitusikan akar-akar dari persamaan pertama ke sana:

Angka tersebut harus dipahami sebagai radian. Karena satu radian kira-kira sama dengan derajat, maka radian berada pada urutan derajat. Ini adalah sudut kuarter kedua. Apa tanda kosinus suku kedua? dikurangi. Bagaimana dengan sinus? Plus. Jadi apa yang dapat kami katakan tentang ungkapan tersebut:

Ini kurang dari nol!

Artinya, ini bukan akar persamaan.

Sekarang saatnya.

Mari kita bandingkan angka ini dengan nol.

Kotangen adalah fungsi yang menurun dalam 1 kuarter (semakin kecil argumennya, semakin besar kotangennya). radian kira-kira derajat. Dalam waktu yang bersamaan

sejak, saat itu, dan karena itu
,

Menjawab: .

Bisakah ini menjadi lebih rumit? Silakan! Akan lebih sulit jika akarnya masih berupa fungsi trigonometri, dan bagian kedua persamaannya lagi-lagi merupakan fungsi trigonometri.

Semakin banyak contoh trigonometri semakin baik, lihat di bawah:

Contoh 4.

Akarnya tidak cocok karena kosinusnya terbatas

Sekarang yang kedua:

Pada saat yang sama, menurut definisi root:

Kita perlu mengingat lingkaran satuan: yaitu bagian yang sinusnya kurang dari nol. Apa sajakah tempat tinggal ini? Ketiga dan keempat. Kemudian kita akan tertarik pada solusi persamaan pertama yang ada pada kuartal ketiga atau keempat.

Deret pertama menghasilkan akar-akar yang terletak pada perpotongan kuarter ketiga dan keempat. Seri kedua - berlawanan secara diametral - memunculkan akar-akar yang terletak di perbatasan kuartal pertama dan kedua. Oleh karena itu, seri ini tidak cocok untuk kami.

Menjawab: ,

Dan lagi contoh trigonometri dengan "irasionalitas sulit". Kita tidak hanya mempunyai fungsi trigonometri di bawah akar lagi, tapi sekarang juga ada di penyebutnya!

Contoh 5.

Ya, tidak ada yang bisa dilakukan - kami melakukannya seperti sebelumnya.

Sekarang kita bekerja dengan penyebutnya:

Saya tidak ingin menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, jadi saya akan melakukan sesuatu yang cerdas: Saya akan mengambil dan mensubstitusikan rangkaian akar saya ke dalam pertidaksamaan tersebut:

Jika - genap, maka kita mempunyai:

karena semua sudut pandang terletak pada kuarter keempat. Dan lagi pertanyaan suci: apa tanda sinus pada kuarter keempat? Negatif. Kemudian ketimpangan

Jika -ganjil, maka:

Di bagian manakah sudutnya terletak? Ini adalah sudut kuarter kedua. Kemudian semua sudut kembali menjadi sudut kuarter kedua. Sinus di sana positif. Hanya apa yang Anda butuhkan! Jadi serinya:

Cocok!

Kami menangani rangkaian akar kedua dengan cara yang sama:

Kami mengganti ketidaksetaraan kami:

Jika - genap, maka

Tendangan penjuru kuarter pertama. Sinusnya positif, artinya deret tersebut cocok. Sekarang jika - ganjil, maka:

cocok juga!

Nah, sekarang kita tuliskan jawabannya!

Menjawab:

Ya, ini mungkin kasus yang paling memakan waktu. Sekarang saya menawarkan Anda masalah untuk diselesaikan sendiri.

Pelatihan

Selesaikan dan temukan semua akar persamaan yang dimiliki segmen tersebut.

Solusi:

Persamaan pertama:
atau
Akar ODZ:
Persamaan kedua:
Pemilihan akar yang termasuk dalam interval
Menjawab:

Atau
atau
Tetapi

Mari kita pertimbangkan: . Jika - genap, maka
- tidak cocok!
Jika - ganjil, : - cocok!
Artinya persamaan kita mempunyai rangkaian akar sebagai berikut:
atau
Pemilihan akar pada interval:


	- tidak cocok	- cocok
	- cocok	- banyak
	- cocok	banyak

Menjawab: , .

Atau
Karena garis singgungnya tidak terdefinisi. Kami segera membuang rangkaian akar ini!

Bagian kedua:

Pada saat yang sama, menurut DZ, diperlukan hal itu

Kami memeriksa akar-akar yang ditemukan pada persamaan pertama:

Jika tandanya:

Sudut seperempat pertama yang garis singgungnya positif. Tidak cocok!
Jika tandanya:

Tendangan penjuru kuarter keempat. Di sana garis singgungnya negatif. Cocok. Kami menuliskan jawabannya:

Menjawab: , .

Kita telah melihat contoh-contoh trigonometri kompleks bersama-sama di artikel ini, tetapi Anda harus menyelesaikan sendiri persamaannya.

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang tidak diketahui secara ketat berada di bawah tanda fungsi trigonometri.

Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan trigonometri:

Cara pertama adalah dengan menggunakan rumus.

Cara kedua adalah melalui lingkaran trigonometri.

Memungkinkan Anda mengukur sudut, menemukan sinus, cosinus, dll.

Metode penyelesaian persamaan trigonometri.

Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap: transformasi persamaan untuk mendapatkannya paling sederhana ketik (lihat di atas) dan larutanyang paling sederhana yang dihasilkan persamaan trigonometri. Ada tujuh metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

1. Metode aljabar.

(metode penggantian dan substitusi variabel).

2. Faktorisasi.

Contoh 1. Selesaikan persamaan: dosa X+karena X = 1 .

Solusi. Mari kita pindahkan semua suku persamaan ke kiri:

Dosa X+karena X – 1 = 0 ,

Mari kita ubah dan faktorkan ekspresi tersebut menjadi

Sisi kiri persamaan:

Contoh 2. Selesaikan persamaannya: karena 2 X+ dosa X karena X = 1.

Solusi: karena 2 X+ dosa X karena X– dosa 2 X– karena 2 X = 0 ,

Dosa X karena X– dosa 2 X = 0 ,

Dosa X· (kos X– dosa X ) = 0 ,

Contoh 3. Selesaikan persamaan: karena 2 X–karena 8 X+ karena 6 X = 1.

Solusi: karena 2 X+ karena 6 X= 1 + cos 8 X,

2 karena 4 X karena 2 X= 2cos² 4 X ,

Karena 4 X · (karena 2 X– karena 4 X) = 0 ,

Karena 4 X · 2 dosa 3 X dosa X = 0 ,

1). karena 4 X= 0, 2). dosa 3 X= 0, 3). dosa X = 0 ,

3. Pengurangan menjadi persamaan homogen.

Persamaannya ditelepon homogen dari tentang dosa Dan karena , Jika semua itu syarat-syarat yang derajatnya sama relatif terhadap dosa Dan karena sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, Anda memerlukan:

A) memindahkan semua anggotanya ke sisi kiri;

B) keluarkan semua faktor persekutuan dari tanda kurung;

V) samakan semua faktor dan tanda kurung dengan nol;

G) tanda kurung sama dengan nol memberi persamaan homogen yang derajatnya lebih kecil, yang harus dibagi

karena(atau dosa) di tingkat senior;

D) selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan untukberjemur .

dosa 2 X+ 4 dosa X karena X+ 5ko 2 X = 2.

Solusi: 3sin 2 X+ 4 dosa X karena X+ 5 karena 2 X= 2dosa 2 X+ 2karena 2 X ,

Dosa 2 X+ 4 dosa X karena X+ 3 karena 2 X = 0 ,

Tan 2 X+ 4 cokelat X + 3 = 0 , dari sini kamu 2 + 4kamu +3 = 0 ,

Akar persamaan ini adalah:kamu 1 = - 1, kamu 2 = - 3, maka

1) berjemur X= –1, 2) tan X = –3,

4. Transisi ke setengah sudut.

Mari kita lihat metode ini sebagai contoh:

CONTOH Selesaikan persamaan: 3 dosa X– 5 karena X = 7.

Solusi: 6 dosa ( X/ 2) karena ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 dosa² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 dosa² ( X/ 2) – 6 dosa ( X/ 2) karena ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan²( X/ 2) – 3 tan ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Pengenalan sudut bantu.

Pertimbangkan persamaan bentuk:

A dosa X + B karena X = C ,

Di mana A, B, C– koefisien;X- tidak dikenal.

Sekarang koefisien persamaan tersebut mempunyai sifat sinus dan cosinus, yaitu: modulus (nilai absolut) masing-masing yang tidak lebih dari 1, dan jumlah kuadratnya adalah 1. Lalu kita bisa menunjukkannya mereka sesuai dengan itu Bagaimana cos dan dosa (di sini - disebut sudut bantu), Danambil persamaan kita

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Apa yang dimaksud dengan persamaan trigonometri?

3. Dua metode utama penyelesaian persamaan trigonometri.
4. Persamaan trigonometri homogen.
5. Contoh.

Apa persamaan trigonometri?

Teman-teman, kita sudah mempelajari arcsinus, arccosine, arctangent, dan arccotangent. Sekarang mari kita lihat persamaan trigonometri secara umum.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang suatu variabel berada di bawah tanda fungsi trigonometri.

Mari kita ulangi bentuk penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana:

1)Jika |a|≤ 1, maka persamaan cos(x) = a mempunyai penyelesaian:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jika |a|≤ 1, maka persamaan sin(x) = a mempunyai penyelesaian:

3) Jika |a| > 1, maka persamaan sin(x) = a dan cos(x) = a tidak mempunyai penyelesaian 4) Persamaan tg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arctg(a)+ πk

5) Persamaan ctg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arcctg(a)+ πk

Untuk semua rumus, k adalah bilangan bulat

Persamaan trigonometri paling sederhana berbentuk: T(kx+m)=a, T adalah suatu fungsi trigonometri.

Contoh.

Selesaikan persamaan: a) sin(3x)= √3/2

Larutan:

A) Mari kita nyatakan 3x=t, lalu kita tulis ulang persamaan kita dalam bentuk:

Solusi persamaan ini adalah: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dari tabel nilai yang kita peroleh: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Mari kita kembali ke variabel kita: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Maka x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Jawab: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dimana n adalah bilangan bulat. (-1)^n – dikurangi satu pangkat n.

Lebih banyak contoh persamaan trigonometri.

Selesaikan persamaan: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Larutan:

A) Kali ini mari kita langsung beralih ke menghitung akar-akar persamaan:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Maka x/5= πk => x=5πk

Jawaban: x=5πk, dimana k adalah bilangan bulat.

B) Kita tuliskan dalam bentuk: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Kita tahu bahwa: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Jawaban: x=2π/9 + πk/3, dimana k adalah bilangan bulat.

Selesaikan persamaan: cos(4x)= √2/2. Dan temukan semua akar pada ruas tersebut.

Larutan:

Mari kita selesaikan persamaan kita dalam bentuk umum: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sekarang mari kita lihat akar apa yang ada di segmen kita. Pada k Pada k=0, x= π/16, kita berada pada segmen tertentu.
Dengan k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, kita pukul lagi.
Untuk k=2, x= π/16+ π=17π/16, namun di sini kita tidak memukul, artinya untuk k yang besar kita juga jelas tidak akan memukul.

Jawaban: x= π/16, x= 9π/16

Dua metode solusi utama.

Kita telah membahas persamaan trigonometri yang paling sederhana, tetapi ada juga persamaan yang lebih kompleks. Untuk menyelesaikannya digunakan metode pemasukan variabel baru dan metode faktorisasi. Mari kita lihat contohnya.

Mari selesaikan persamaannya:

Larutan:
Untuk menyelesaikan persamaan kita, kita akan menggunakan metode memasukkan variabel baru, yang menyatakan: t=tg(x).

Sebagai hasil penggantian kita mendapatkan: t 2 + 2t -1 = 0

Mari kita cari akar persamaan kuadrat: t=-1 dan t=1/3

Maka tg(x)=-1 dan tg(x)=1/3, kita peroleh persamaan trigonometri paling sederhana, cari akar-akarnya.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Jawaban: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Contoh penyelesaian persamaan

Selesaikan persamaan: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Larutan:

Mari kita gunakan identitasnya: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Persamaan kita akan berbentuk: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Mari kita perkenalkan penggantian t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=2 dan t=-1/2

Maka cos(x)=2 dan cos(x)=-1/2.

Karena cosinus tidak dapat mengambil nilai lebih dari satu, maka cos(x)=2 tidak mempunyai akar.

Untuk cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jawaban: x= ±2π/3 + 2πk

Persamaan trigonometri homogen.

Definisi: Persamaan bentuk a sin(x)+b cos(x) disebut persamaan trigonometri homogen derajat pertama.

Persamaan bentuk

persamaan trigonometri homogen derajat kedua.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat pertama, bagilah dengan cos(x): Anda tidak dapat membagi dengan cosinus jika sama dengan nol, pastikan hal ini tidak terjadi:
Misalkan cos(x)=0, maka asin(x)+0=0 => sin(x)=0, tetapi sinus dan cosinus tidak sama dengan nol pada saat yang sama, kita mendapatkan kontradiksi, sehingga kita dapat membagi dengan aman dengan nol.

Selesaikan persamaan:
Contoh: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Larutan:

Mari kita keluarkan faktor persekutuannya: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Maka kita perlu menyelesaikan dua persamaan:

Cos(x)=0 dan cos(x)+sin(x)=0

Karena(x)=0 di x= π/2 + πk;

Perhatikan persamaan cos(x)+sin(x)=0 Bagilah persamaan kita dengan cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jawaban: x= π/2 + πk dan x= -π/4+πk

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat kedua?
Teman-teman, selalu ikuti aturan ini!

1. Lihat berapa koefisien a, jika a=0 maka persamaan kita akan berbentuk cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), contoh penyelesaiannya ada pada slide sebelumnya

2. Jika a≠0, maka kedua ruas persamaan harus dibagi dengan kosinus kuadrat, kita mendapatkan:

Kami mengubah variabel t=tg(x) dan mendapatkan persamaan:

Selesaikan contoh No.:3

Selesaikan persamaan:
Larutan:

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan kosinus kuadrat:

Kita ubah variabelnya t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Mari kita cari akar persamaan kuadrat: t=-3 dan t=1

Maka: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Jawaban: x=-arctg(3) + πk dan x= π/4+ πk

Selesaikan contoh No.:4

Selesaikan persamaan:

Larutan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kita dapat menyelesaikan persamaan berikut: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Jawaban: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Selesaikan contoh no.:5

Selesaikan persamaan:

Larutan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Mari kita perkenalkan penggantian tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=-2 dan t=1/2

Kemudian kita mendapatkan: tg(2x)=-2 dan tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Jawaban: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dan x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Masalah untuk solusi mandiri.

1) Selesaikan persamaannya

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Selesaikan persamaan: sin(3x)= √3/2. Dan temukan semua akar pada ruas [π/2; π].

3) Selesaikan persamaan: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Selesaikan persamaan: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Selesaikan persamaan: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Selesaikan persamaan: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Contoh:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Cara menyelesaikan persamaan trigonometri:

Persamaan trigonometri apa pun harus direduksi menjadi salah satu dari jenis berikut:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

dimana \(t\) adalah ekspresi dengan x, \(a\) adalah angka. Persamaan trigonometri seperti ini disebut yang paling sederhana. Mereka dapat dengan mudah diselesaikan menggunakan () atau rumus khusus:

Lihat infografis penyelesaian persamaan trigonometri sederhana di sini :, dan.

Contoh . Selesaikan persamaan trigonometri \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Larutan:

Menjawab: \(\kiri[ \begin(berkumpul)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(berkumpul)\kanan.\) \(k,n∈Z\)

Arti setiap simbol dalam rumus akar persamaan trigonometri, lihat.

Perhatian! Persamaan \(\sin⁡x=a\) dan \(\cos⁡x=a\) tidak memiliki solusi jika \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Karena sinus dan kosinus untuk sembarang x lebih besar atau sama dengan \(-1\) dan lebih kecil atau sama dengan \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Contoh . Selesaikan persamaan \(\cos⁡x=-1,1\).
Larutan: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Menjawab : tidak ada solusi.

Contoh . Selesaikan persamaan trigonometri tg\(⁡x=1\).
Larutan:

Mari selesaikan persamaan menggunakan lingkaran bilangan. Untuk ini:
1) Buatlah lingkaran)
2) Buatlah sumbu \(x\) dan \(y\) serta sumbu singgungnya (melewati titik \((0;1)\) sejajar sumbu \(y\)).
3) Pada sumbu singgung, tandai titik \(1\).
4) Hubungkan titik ini dan titik asal koordinat – garis lurus.
5) Tandai titik potong garis ini dan lingkaran bilangan.
6) Mari kita tandatangani nilai titik-titik ini: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Mari kita tuliskan semua nilai titik-titik tersebut. Karena keduanya terletak pada jarak tepat \(π\) satu sama lain, semua nilai dapat ditulis dalam satu rumus:

Menjawab: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Contoh . Selesaikan persamaan trigonometri \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Larutan:

Mari kita gunakan lingkaran angka lagi.
1) Buatlah sebuah lingkaran, sumbu \(x\) dan \(y\).
2) Pada sumbu cosinus (sumbu\(x\)), tandai \(0\).
3) Gambarlah garis tegak lurus terhadap sumbu kosinus melalui titik ini.
4) Tandai titik potong garis tegak lurus dan lingkaran.
5) Mari kita tandatangani nilai titik-titik ini: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Kita tuliskan seluruh nilai titik-titik tersebut dan samakan dengan cosinus (dengan nilai di dalam cosinus).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Seperti biasa, kita akan menyatakan \(x\) dalam persamaan.
Jangan lupa untuk memperlakukan angka dengan \(π\), serta \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), dll. Ini adalah angka yang sama dengan angka lainnya. Tidak ada diskriminasi numerik!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Menjawab: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Mengurangi persamaan trigonometri menjadi yang paling sederhana adalah tugas kreatif; di sini Anda perlu menggunakan keduanya dan metode khusus untuk menyelesaikan persamaan:
- Metode (yang paling populer di Unified State Examination).
- Metode.
- Metode argumen tambahan.

Mari kita perhatikan contoh penyelesaian persamaan trigonometri kuadrat

Contoh . Selesaikan persamaan trigonometri \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Larutan:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Mari kita lakukan penggantian \(t=\cos⁡x\).

	Persamaan kami sudah menjadi tipikal. Anda dapat menyelesaikannya dengan menggunakan .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Kami melakukan penggantian terbalik.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Kami menyelesaikan persamaan pertama menggunakan lingkaran bilangan. Persamaan kedua tidak mempunyai solusi karena \(\cos⁡x∈[-1;1]\) dan tidak boleh sama dengan dua untuk x apa pun.
	Mari kita tuliskan semua angka yang terletak pada titik-titik ini.

Menjawab: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Contoh penyelesaian persamaan trigonometri dengan mempelajari ODZ:

Contoh (GUNAKAN) . Selesaikan persamaan trigonometri \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Ada pecahan dan ada kotangen, artinya kita perlu menuliskannya. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kotangen sebenarnya adalah pecahan: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Oleh karena itu, ODZ untuk ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Mari kita tandai “bukan solusi” pada lingkaran bilangan.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Mari hilangkan penyebut persamaan tersebut dengan mengalikannya dengan ctg\(x\). Kita bisa melakukan ini, karena kita menulis di atas bahwa ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Mari kita terapkan rumus sudut ganda untuk sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Jika tangan Anda terulur untuk membagi kosinus, tarik kembali! Anda dapat membagi dengan ekspresi dengan variabel jika variabel tersebut pasti tidak sama dengan nol (misalnya, ini: \(x^2+1.5^x\)). Sebagai gantinya, mari kita keluarkan \(\cos⁡x\) dari tanda kurung.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Mari kita “membagi” persamaan tersebut menjadi dua.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Mari kita selesaikan persamaan pertama menggunakan lingkaran bilangan. Mari kita bagi persamaan kedua dengan \(2\) dan pindahkan \(\sin⁡x\) ke ruas kanan.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Akar yang dihasilkan tidak termasuk dalam ODZ. Oleh karena itu, kami tidak akan menuliskannya sebagai tanggapan. Persamaan kedua adalah tipikal. Mari kita bagi dengan \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) tidak bisa menjadi solusi persamaan karena dalam kasus ini \(\cos⁡x=1\) atau \(\cos⁡ x=-1\)).
	Kami menggunakan lingkaran lagi.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Akar-akar ini tidak dikecualikan oleh ODZ, jadi Anda dapat menuliskannya di jawabannya.

Menjawab: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Kelas: 10

“Persamaan ini akan bertahan selamanya.”

A.Einstein

Tujuan pelajaran:

Pendidikan:
- memperdalam pemahaman tentang metode penyelesaian persamaan trigonometri;
- mengembangkan keterampilan membedakan dan memilih metode penyelesaian persamaan trigonometri dengan benar.
Pendidikan:
- memupuk minat kognitif dalam proses pendidikan;
- mengembangkan kemampuan menganalisis tugas yang diberikan;
- berkontribusi untuk meningkatkan iklim psikologis di kelas.
Pembangunan:
- mempromosikan pengembangan keterampilan perolehan pengetahuan secara mandiri;
- mempromosikan kemampuan siswa untuk memperdebatkan sudut pandang mereka;

Peralatan: poster dengan rumus dasar trigonometri, komputer, proyektor, layar.

1 pelajaran

I. Pemutakhiran pengetahuan referensi

Selesaikan persamaan secara lisan:

1) karenax = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) karenax = –;
4) dosa2x = 0;
5) sinx = –;
6) dosax = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – dosa 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = +k;
8) x = +k; ke Z.

II. Mempelajari materi baru

– Hari ini kita akan melihat persamaan trigonometri yang lebih kompleks. Mari kita lihat 10 cara untuk mengatasinya. Selanjutnya akan ada dua pembelajaran untuk konsolidasi, dan untuk pembelajaran berikutnya akan ada ulangan. Di stand “Untuk Pelajaran” terdapat tugas-tugas yang serupa dengan tugas-tugas yang akan ada dalam ujian; Anda harus menyelesaikannya sebelum ujian. (Sehari sebelum ujian, tempelkan solusi tugas-tugas ini di mimbar).

Jadi, mari kita beralih ke cara-cara menyelesaikan persamaan trigonometri. Beberapa cara ini mungkin terasa sulit bagi Anda, sementara cara lain mungkin tampak mudah, karena... Anda sudah mengetahui beberapa teknik untuk menyelesaikan persamaan.

Empat siswa di kelas menerima tugas individu: memahami dan menunjukkan 4 cara menyelesaikan persamaan trigonometri.

(Siswa yang berbicara telah menyiapkan slide terlebih dahulu. Anggota kelas lainnya menuliskan langkah-langkah utama untuk menyelesaikan persamaan di buku catatan.)

1 siswa: 1 cara. Menyelesaikan persamaan dengan memfaktorkan

sin 4x = 3 cos 2x

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita menggunakan rumus sinus sudut ganda sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Hasil kali faktor-faktor tersebut sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol.

2x = + k, k Z atau sin 2x = 1,5 – tidak ada penyelesaian karena | dosa| 1
x = +k; ke Z.
Jawaban: x = + k, k Z.

2 siswa. Metode 2. Menyelesaikan persamaan dengan mengubah jumlah atau selisih fungsi trigonometri menjadi produk

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita menggunakan rumus sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

cos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Persamaan yang dihasilkan setara dengan himpunan dua persamaan:

Himpunan penyelesaian persamaan kedua seluruhnya termasuk dalam himpunan penyelesaian persamaan pertama. Cara

Menjawab:

3 siswa. 3 cara. Menyelesaikan persamaan dengan mengubah hasil kali fungsi trigonometri menjadi penjumlahan

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita menggunakan rumus

Menjawab:

4 siswa. 4 cara. Menyelesaikan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 dosa x – 2 (1 – dosa 2 x) = 0,
2 dosa 2 x + 3 dosa x – 2 = 0,

Misalkan sin x = t, dimana | t |. Kita peroleh persamaan kuadrat 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Dengan demikian . tidak memenuhi syarat | t |.

Jadi dosa x = . Itu sebabnya .

Menjawab:

AKU AKU AKU. Konsolidasi dari apa yang telah dipelajari dari buku teks oleh A. N. Kolmogorov

1. No.164 (a), 167 (a) (persamaan kuadrat)
2. No. 168 (a) (faktorisasi)
3. No. 174 (a) (mengubah suatu penjumlahan menjadi suatu produk)
4. (konversi produk menjadi jumlah)

(Di akhir pelajaran, tunjukkan solusi persamaan ini di layar untuk verifikasi)

№ 164 (A)

2 dosa 2 x + dosa x – 1 = 0.
Misalkan sin x = t, | t | 1. Lalu
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Di mana

Menjawab: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Misalkan tg x = 1, maka diperoleh persamaan 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Menjawab:

№ 168 (A)

Menjawab:

№ 174 (A)

Selesaikan persamaan:

Menjawab:

Pelajaran 2 (pelajaran-ceramah)

IV. Mempelajari materi baru(kelanjutan)

– Jadi, mari kita terus mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri.

5 cara. Menyelesaikan persamaan trigonometri homogen

Persamaan bentuk a sin x + b cos x = 0, dimana a dan b adalah suatu bilangan, disebut persamaan homogen derajat pertama terhadap sin x atau cos x.

Pertimbangkan persamaannya

dosa x – cos x = 0. Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan cos x. Hal ini dapat dilakukan; kehilangan root tidak akan terjadi, karena , Jika karena x = 0, Itu dosa x = 0. Namun hal ini bertentangan dengan identitas dasar trigonometri dosa 2 x+cos 2 x = 1.

Kita mendapatkan tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Persamaan bentuk seperti dalam 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , Di mana a, b, c – beberapa bilangan disebut persamaan homogen derajat kedua terhadap sin x atau cos x.

Pertimbangkan persamaannya

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan cos x, dan akarnya tidak akan hilang, karena karena x = 0 bukanlah akar persamaan ini.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Misalkan tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Maka maka tg x = 2 atau tg x = 1.

Hasilnya, x = arctan 2 + , x =

Jawaban: arctg 2 + ,

Perhatikan persamaan lain: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Mari kita ubah ruas kanan persamaan tersebut menjadi 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Kemudian kita mendapatkan:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Kita mendapatkan persamaan ke-2 yang telah kita analisis).

Menjawab: arctan 2 + k,

6 cara. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Linier

Persamaan trigonometri linier merupakan persamaan bentuk a sin x + b cos x = c, dimana a, b, c adalah beberapa bilangan.

Pertimbangkan persamaannya dosa x + cos x= – 1.
Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi: