Fakta menarik tentang rasio emas. Dari sejarah kuno rasio emas

Sering dikatakan bahwa matematika memiliki keindahan tersendiri, namun pada pertengahan abad ke-5 SM. e. atau bahkan jauh lebih awal diketahui bahwa ada banyak sekali matematika dalam keindahan.

nomor Phi

Menghitung Rasio Emas

Ada banyak cara untuk menyatakan rasio emas secara matematis, dan semua metode ini memiliki kesederhanaan, ketepatan, dan daya tarik tersendiri. Euclid menggambarkannya sebagai “bagian dalam rasio ekstrim dan rata-rata.” Ekspresi yang lebih “matematis” terlihat seperti ini: jika rasio emas sama dengan x, maka . Atau seperti ini: x/1 = 1/x -1. Dengan kata lain, rasio emas didefinisikan sebagai proporsi di mana “panjang seluruh garis berhubungan dengan bagian yang lebih besar dan juga berhubungan dengan bagian yang lebih kecil.”

Fakta menarik tentang rasio emas No.3. Persegi panjang emas dapat dibagi menjadi persegi panjang emas yang jumlahnya tak terbatas dan semakin kecil ukurannya, “memotong” bagian-bagiannya sepanjang garis terpendek. Dalam terminologi sekolah matematikawan Yunani, sifat ini menjadikan persegi panjang emas sebagai gnomon - sebuah benda yang mampu mempertahankan bentuknya seiring pertumbuhan (atau penyusutan).

Contoh rasio emas yang baik adalah kartu kredit, yang memiliki ukuran standar seragam di seluruh dunia. Menurut aturan rasio emas, perbandingan sisi pendek dan panjang sama dengan perbandingan sisi panjang dengan jumlah panjang sisi pendek dan panjang. Hal ini membuat kartu kredit berbentuk persegi panjang emas. Bentuk ini dipilih karena penampilannya yang seimbang - tidak terlihat terlalu panjang atau terlalu lebar. Salah satu cara untuk memeriksa apakah sebuah persegi panjang berwarna emas adalah dengan menempatkan dua persegi panjang secara berdampingan, yang satu “berdiri” secara vertikal pada tepi yang kecil, yang lainnya “berdiri” menyentuh yang pertama pada tepi yang panjang. Jika diagonal yang melewati sudut-sudut persegi panjang horizontal terus mencapai sudut atas persegi panjang vertikal, maka persegi panjang tersebut berwarna emas. Prinsip ini lebih sering terlihat dalam arsitektur. Jadi, persegi panjang emas tersebut adalah fasad gedung PBB di New York.

Matematika dalam Seni dan Alam

Ada sesuatu yang membosankan tentang rasio emas - setidaknya bagi mereka yang tidak tertarik secara matematis. Kita berbicara tentang ekspresi numeriknya. Nilai x pada persamaan aljabar x 2 – x – 1 = 0 adalah 1,6180339887... dan seterusnya tanpa henti. Namun, rasio emas memiliki hubungan paling langsung dengan seni Barat. Sebagian besar hubungan ini muncul berkat karya Luca Pacioli pada pergantian abad ke-16. Pacioli adalah seorang kontemporer, dan beberapa gambar sang maestro - termasuk gambar Manusia Vitruvian yang paling terkenal - muncul dalam buku Pacioli De Divina Proportione ("The Divine Proportion"), yang diterbitkan pada tahun 1509. Buku ini menguraikan aturan-aturan geometri dasar dari kecantikan, dan menginspirasi pencipta nomor phi. Jadi, dalam proporsi tubuh manusia yang sempurna, rasio tinggi badan terhadap pusar dan tinggi badan penuh adalah emas. Sayangnya, pengukuran sebenarnya menunjukkan bahwa pada kenyataannya tidak ada tubuh yang “sempurna”. Pada abad ke-20 rasio emas dicari dalam bentuk alami. Mereka yang melakukan hal ini dengan cukup gigih menemukannya dalam proporsi daun, distribusi kuncup pada batang (pola alami secara kasar mengikuti prinsip deret Fibonacci), dan juga dalam lintasan menyelam elang pemburu. Bagi sebagian orang, ini adalah bukti yang mendukung adanya suatu rencana tertentu, yang sesuai dengan pengaturan alam itu sendiri. Bagi yang lain, ini berarti bahwa persepsi kita tentang keindahan (atau setidaknya proporsionalitas yang enak dipandang) ditentukan oleh matematika pertumbuhan, yang mewakili struktur yang bertambah besar tanpa kehilangan bentuk keseluruhannya.

Fakta menarik #5. Pengukuran sebenarnya menunjukkan bahwa pada kenyataannya tidak ada benda “sempurna” yang memenuhi aturan bagian emas.

Spiral emas

Sebuah spiral yang terbentang sesuai dengan prinsip rasio emas dapat dibuat dengan menggunakan serangkaian persegi panjang emas. Ini adalah kasus khusus spiral logaritmik yang menyimpang dari titik sumbu pada sudut konstan (Secara matematis, lebih tepat dirumuskan seperti ini: kurva yang garis singgungnya membentuk sudut yang sama dengan vektor jari-jari di setiap titik). Spiral ini dikaitkan dengan nama Jacob Bernoulli (terlepas dari kenyataan bahwa dialah orang pertama yang menguraikannya), peneliti utama sifat-sifatnya. Bernoulli juga ingin spiral seperti itu diukir di batu nisannya, tetapi tukang batu, yang kurang berpengalaman dalam geometri, mereproduksi spiral Archimedean di sana dengan lintasan divergensi yang lebih datar.

Seseorang membedakan benda-benda disekitarnya berdasarkan bentuknya. Ketertarikan terhadap bentuk suatu benda dapat ditentukan oleh kebutuhan vitalnya, atau dapat pula disebabkan oleh keindahan bentuknya. Bentuknya, yang didasarkan pada kombinasi simetri dan rasio emas, mendorong persepsi visual terbaik dan munculnya rasa keindahan dan harmoni. Keseluruhan selalu terdiri dari bagian-bagian, bagian-bagian yang berbeda ukuran berada dalam hubungan tertentu satu sama lain dan dengan keseluruhan. Asas rasio emas merupakan perwujudan tertinggi kesempurnaan struktural dan fungsional keseluruhan dan bagian-bagiannya dalam seni, ilmu pengetahuan, teknologi, dan alam.

Rasio emas - proporsi harmonis

Segmen lurus AB dapat dibagi menjadi dua bagian dengan cara sebagai berikut:

menjadi dua bagian yang sama - AB : AC = AB : Matahari;





menjadi dua bagian yang tidak sama dalam hal apa pun (bagian tersebut tidak membentuk proporsi);





jadi, kapan AB : AC = AC : Matahari.

Rasio emas adalah pembagian suatu segmen secara proporsional menjadi bagian-bagian yang tidak sama, di mana seluruh segmen berhubungan dengan bagian yang lebih besar sebagaimana bagian yang lebih besar berhubungan dengan bagian yang lebih kecil; atau dengan kata lain, segmen yang lebih kecil terhadap segmen yang lebih besar dan segmen yang lebih besar terhadap keseluruhan

A : B = B : C atau Dengan : B = B : A.

Beras. 1. Citra geometris dari rasio emas

Pengenalan praktis tentang rasio emas dimulai dengan membagi ruas garis lurus dalam proporsi emas menggunakan kompas dan penggaris.

Beras. 2. Membagi ruas garis lurus menggunakan rasio emas. SM = 1/2 AB; CD = SM

Dari titik DI DALAM tegak lurus yang sama dengan setengahnya dipulihkan AB. Poin yang diterima DENGAN dihubungkan oleh sebuah garis ke suatu titik A. Sebuah segmen diplot pada garis yang dihasilkan Matahari diakhiri dengan titik D. Segmen IKLAN ditransfer ke langsung AB. Poin yang dihasilkan E membagi sebuah segmen AB dalam rasio rasio emas.

Segmen rasio emas dinyatakan sebagai pecahan irasional tak hingga A.E.= 0,618..., jika AB ambil sebagai satu MENJADI= 0,382... Untuk tujuan praktis, nilai perkiraan 0,62 dan 0,38 sering digunakan. Jika segmen AB diambil 100 bagian, maka bagian yang lebih besar sama dengan 62 bagian, dan bagian yang lebih kecil adalah 38 bagian.

Sifat-sifat rasio emas dijelaskan dengan persamaan:

X 2 - X - 1 = 0.

Solusi persamaan ini:

Sifat rasio emas telah menciptakan aura romantis misteri dan pemujaan nyaris mistis di sekitar angka ini.

Rasio emas kedua

Proporsi ini ditemukan dalam arsitektur, dan juga terjadi ketika membangun komposisi gambar dengan format horizontal memanjang.

Beras. 3. Konstruksi rasio emas kedua

Pembagiannya dilakukan sebagai berikut (lihat Gambar 3). Segmen AB dibagi menurut rasio emas. Dari titik DENGAN tegak lurus dipulihkan CD. Radius AB ada benarnya D, yang dihubungkan oleh sebuah garis ke suatu titik A. Sudut kanan ACD dibagi dua. Dari titik DENGAN sebuah garis ditarik sampai berpotongan dengan garis tersebut IKLAN. Dot E membagi sebuah segmen IKLAN sehubungan dengan 56:44.

Beras. 4. Membagi persegi panjang dengan garis rasio emas kedua

Pada Gambar. Gambar 4 menunjukkan posisi garis rasio emas kedua. Letaknya di tengah-tengah antara garis rasio emas dan garis tengah persegi panjang.

Segitiga Emas

Beras. 5. Konstruksi segi lima dan pentagram beraturan

Untuk membuat pentagram, Anda perlu membuat pentagon biasa. Metode pembangunannya dikembangkan oleh pelukis dan seniman grafis Jerman Albrecht Durer (1471...1528). Membiarkan HAI- pusat lingkaran, A- sebuah titik pada lingkaran dan E- bagian tengah segmen OA. Tegak lurus terhadap radius OA, dipulihkan pada intinya TENTANG, memotong lingkaran di titik tersebut D. Dengan menggunakan kompas, gambarkan segmen pada diameternya M.E. = ED. Panjang sisi segi lima beraturan yang terdapat dalam lingkaran adalah DC. Letakkan segmen pada lingkaran DC dan kita mendapat lima poin untuk menggambar segi lima beraturan. Kami menghubungkan sudut-sudut segi lima satu sama lain dengan diagonal dan mendapatkan pentagram. Semua diagonal segi lima membagi satu sama lain menjadi segmen-segmen yang dihubungkan oleh rasio emas.

Setiap ujung bintang pentagonal melambangkan segitiga emas. Sisi-sisinya membentuk sudut 36° di puncaknya, dan alasnya, diletakkan di samping, membaginya sesuai dengan proporsi rasio emas.

Beras. 6. Konstruksi segitiga emas

Kami melakukan langsung AB. Dari titik A letakkan satu ruas di atasnya tiga kali TENTANG nilai sewenang-wenang, melalui titik yang dihasilkan R menggambar garis tegak lurus AB, pada garis tegak lurus kanan dan kiri titik R sisihkan ruas-ruasnya TENTANG. Poin yang diterima D Dan D 1 sambungkan dengan garis lurus ke suatu titik A. Segmen hh letakkan 1 di telepon Iklan 1, mendapat satu poin DENGAN. Dia membagi garisnya Iklan 1 sebanding dengan rasio emas. Garis Iklan 1 dan hh 1 digunakan untuk membuat persegi panjang "emas".

Sejarah rasio emas

Orang-orang Yunani adalah ahli geometri yang terampil. Mereka bahkan mengajarkan aritmatika kepada anak-anaknya dengan menggunakan bangun-bangun geometris. Persegi Pythagoras dan diagonal persegi ini menjadi dasar pembuatan persegi panjang dinamis.

Beras. 7. Persegi panjang dinamis

Plato (427...347 SM) juga mengetahui tentang pembagian emas. Dialognya "Timaeus" dikhususkan untuk pandangan matematika dan estetika sekolah Pythagoras dan, khususnya, pada isu-isu pembagian emas.

Fasad kuil Parthenon Yunani kuno menampilkan proporsi emas. Selama penggaliannya, ditemukan kompas yang digunakan oleh arsitek dan pematung dunia kuno. Kompas Pompeian (museum di Napoli) juga memuat proporsi pembagian emas.

Beras. 8. Kompas rasio emas antik

Dalam literatur kuno yang sampai kepada kita, pembagian emas pertama kali disebutkan dalam Elemen Euclid. Dalam buku ke-2 “Prinsip” diberikan konstruksi geometris pembagian emas. Setelah Euclid, studi tentang pembagian emas dilakukan oleh Hypsicles (abad II SM), Pappus (abad III M), dan lain-lain Eropa abad pertengahan, dengan pembagian emas Kami bertemu melalui terjemahan bahasa Arab dari Elemen Euclid. Penerjemah J. Campano dari Navarre (abad III) memberikan komentar atas terjemahan tersebut. Rahasia divisi emas dijaga ketat dan dijaga kerahasiaannya. Mereka hanya diketahui oleh para inisiat.

Pada masa Renaisans, minat terhadap pembagian emas meningkat di kalangan ilmuwan dan seniman karena penggunaannya baik dalam geometri maupun seni, khususnya dalam arsitektur. Leonardo da Vinci, seorang seniman dan ilmuwan, melihat bahwa seniman Italia memiliki banyak pengalaman empiris, tetapi sedikit pengetahuan . Ia menyusun dan mulai menulis buku tentang geometri, tetapi pada saat itu sebuah buku karya biksu Luca Pacioli muncul, dan Leonardo meninggalkan idenya. Menurut orang-orang sezaman dan sejarawan sains, Luca Pacioli adalah seorang termasyhur sejati, ahli matematika terhebat di Italia pada periode antara Fibonacci dan Galileo. Luca Pacioli adalah murid seniman Piero della Franceschi, yang menulis dua buku, salah satunya berjudul “On Perspective in Painting.” Ia dianggap sebagai pencipta geometri deskriptif.

Luca Pacioli sangat memahami pentingnya sains bagi seni. Pada tahun 1496, atas undangan Duke of Moreau, dia datang ke Milan, di mana dia memberi kuliah tentang matematika. Leonardo da Vinci juga bekerja di Milan di istana Moro saat itu. Pada tahun 1509, buku Luca Pacioli “The Divine Proportion” diterbitkan di Venesia dengan ilustrasi yang dieksekusi dengan cemerlang, itulah sebabnya diyakini bahwa itu dibuat oleh Leonardo da Vinci. Buku itu merupakan himne antusias untuk rasio emas. Di antara banyak keuntungan dari proporsi emas, biksu Luca Pacioli tidak lupa menyebut "esensi ilahi" sebagai ekspresi dari trinitas ilahi - Tuhan putra, Tuhan ayah, dan Tuhan roh suci (tersirat bahwa proporsi emas kecil segmen adalah personifikasi Tuhan anak, segmen yang lebih besar - Tuhan ayah, dan seluruh segmen - Tuhan Roh Kudus).

Leonardo da Vinci juga menaruh banyak perhatian pada kajian divisi emas. Dia membuat bagian-bagian benda stereometrik yang dibentuk oleh segi lima beraturan, dan setiap kali dia memperoleh persegi panjang dengan rasio aspek dalam pembagian emas. Itu sebabnya dia memberi nama divisi ini rasio emas. Jadi masih tetap menjadi yang paling populer.

Pada saat yang sama, di Eropa utara, di Jerman, Albrecht Dürer sedang menangani masalah yang sama. Dia membuat sketsa pengantar versi pertama risalah tentang proporsi. Durer menulis. “Adalah perlu bahwa seseorang yang mengetahui bagaimana melakukan sesuatu harus mengajarkannya kepada orang lain yang membutuhkannya. Inilah yang ingin saya lakukan."

Dilihat dari salah satu surat Dürer, dia bertemu dengan Luca Pacioli saat berada di Italia. Albrecht Durer mengembangkan secara rinci teori proporsi tubuh manusia. Dürer memberikan tempat penting dalam sistem hubungannya dengan bagian emas. Tinggi badan seseorang dibagi dalam proporsi emas dengan garis ikat pinggang, serta dengan garis yang ditarik melalui ujung jari tengah tangan yang diturunkan, bagian bawah wajah melalui mulut, dll. Kompas proporsional Dürer sudah terkenal.

Astronom hebat abad ke-16. Johannes Kepler menyebut rasio emas sebagai salah satu khazanah geometri. Dia adalah orang pertama yang menarik perhatian pada pentingnya proporsi emas bagi botani (pertumbuhan tanaman dan strukturnya).

Kepler menyebut proporsi emas itu berkelanjutan. “Ini terstruktur sedemikian rupa,” tulisnya, “bahwa dua suku terendah dari proporsi yang tidak pernah berakhir ini akan dijumlahkan dengan suku ketiga, dan dua suku terakhir mana pun, jika dijumlahkan. , berikan suku berikutnya, dan proporsi yang sama dipertahankan hingga tak terhingga."

Konstruksi rangkaian ruas-ruas proporsi emas dapat dilakukan baik dalam arah naik (rangkaian naik) maupun dalam arah turun (rangkaian menurun).

Jika berada pada garis lurus yang panjangnya berubah-ubah, sisihkan ruas tersebut M, letakkan segmen di sebelahnya M. Berdasarkan dua segmen ini, kami membuat skala segmen proporsi emas dari deret menaik dan menurun

Beras. 9. Konstruksi skala segmen proporsi emas

Pada abad-abad berikutnya, aturan proporsi emas berubah menjadi kanon akademis, dan ketika, seiring berjalannya waktu, perjuangan melawan rutinitas akademis dimulai dalam seni, di tengah panasnya perjuangan “mereka membuang bayi itu bersama air mandinya.” Rasio emas “ditemukan” kembali pada pertengahan abad ke-19. Pada tahun 1855, peneliti rasio emas Jerman, Profesor Zeising, menerbitkan karyanya “Studi Estetika”. Apa yang terjadi pada Zeising adalah apa yang pasti terjadi pada seorang peneliti yang menganggap suatu fenomena seperti itu, tanpa ada kaitannya dengan fenomena lain. Dia memutlakkan proporsi bagian emas, menyatakannya universal untuk semua fenomena alam dan seni. Zeising mempunyai banyak pengikut, namun ada juga penentang yang menyatakan doktrinnya tentang proporsi sebagai “estetika matematis”.

Beras. 10. Proporsi emas di beberapa bagian tubuh manusia

Zeising melakukan pekerjaan luar biasa. Dia mengukur sekitar dua ribu tubuh manusia dan sampai pada kesimpulan bahwa rasio emas menyatakan hukum statistik rata-rata. Pembagian tubuh dengan titik pusar merupakan indikator terpenting dari rasio emas. Proporsi tubuh laki-laki berfluktuasi dengan perbandingan rata-rata 13:8 = 1,625 dan agak mendekati rasio emas dibandingkan dengan proporsi tubuh perempuan, yang nilai rata-rata proporsinya dinyatakan dalam perbandingan 8: 5 = 1,6. Pada bayi baru lahir proporsinya adalah 1:1, pada usia 13 tahun menjadi 1,6, dan pada usia 21 tahun setara dengan laki-laki. Proporsi bagian emas juga muncul dalam kaitannya dengan bagian tubuh lainnya - panjang bahu, lengan dan tangan, tangan dan jari, dll.

Beras. 11. Proporsi emas pada sosok manusia

Zeising menguji validitas teorinya pada patung-patung Yunani. Dia mengembangkan proporsi Apollo Belvedere dengan sangat rinci. Vas Yunani, struktur arsitektur dari berbagai era, tumbuhan, hewan, telur burung, nada musik, dan meteran puisi dipelajari. Zeising memberikan definisi rasio emas dan menunjukkan bagaimana hal itu dinyatakan dalam segmen garis lurus dan angka. Ketika angka-angka yang menyatakan panjang segmen diperoleh, Zeising melihat bahwa angka-angka tersebut merupakan deret Fibonacci, yang dapat dilanjutkan tanpa batas ke satu arah atau arah lainnya. Buku berikutnya berjudul “Pembagian Emas sebagai Hukum Morfologi Dasar dalam Alam dan Seni”. Pada tahun 1876, sebuah buku kecil, hampir seperti brosur, diterbitkan di Rusia yang menguraikan karya Zeising ini. Penulis berlindung dengan inisial Yu.F.V. Edisi kali ini tidak menyebut satu pun karya seni lukis.

Pada akhir abad ke-19 – awal abad ke-20. Banyak teori formalistik murni muncul tentang penggunaan rasio emas dalam karya seni dan arsitektur. Dengan berkembangnya desain dan estetika teknis, hukum rasio emas meluas ke desain mobil, furnitur, dll.

Deret Fibonacci

Rangkaian angka 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, dst. dikenal dengan deret Fibonacci. Keunikan barisan bilangan adalah bahwa masing-masing anggotanya, mulai dari bilangan ketiga, sama dengan jumlah dua bilangan sebelumnya 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34, dst., dan perbandingan bilangan-bilangan yang berdekatan dalam deret tersebut mendekati perbandingan pembagian emas. Jadi, 21:34 = 0,617, dan 34:55 = 0,618. Hubungan ini dilambangkan dengan simbol F. Hanya rasio ini - 0,618: 0,382 - yang memberikan pembagian terus menerus dari suatu segmen garis lurus dalam proporsi emas, menambah atau menguranginya hingga tak terhingga, ketika segmen yang lebih kecil dihubungkan dengan segmen yang lebih besar sebagaimana segmen yang lebih besar berhubungan dengan keseluruhan.

Fibonacci juga membahas kebutuhan praktis perdagangan: berapa jumlah timbangan terkecil yang dapat digunakan untuk menimbang suatu produk? Fibonacci membuktikan bahwa sistem bobot optimal adalah: 1, 2, 4, 8, 16...

Rasio emas umum

Para ilmuwan terus aktif mengembangkan teori bilangan Fibonacci dan rasio emas. Yu.Matiyasevich memecahkan soal ke-10 Hilbert menggunakan bilangan Fibonacci. Metode elegan bermunculan untuk memecahkan sejumlah masalah cybernetic (teori pencarian, permainan, pemrograman) dengan menggunakan angka Fibonacci dan rasio emas. Di AS, bahkan Mathematical Fibonacci Association sedang dibentuk, yang telah menerbitkan jurnal khusus sejak tahun 1963.

Salah satu prestasi dalam bidang ini adalah ditemukannya bilangan Fibonacci tergeneralisasi dan rasio emas tergeneralisasi.

Deret Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) dan deret bobot “biner” yang ditemukannya 1, 2, 4, 8, 16... sekilas sangatlah berbeda. Tetapi algoritma konstruksinya sangat mirip satu sama lain: dalam kasus pertama, setiap angka adalah jumlah dari angka sebelumnya dengan dirinya sendiri 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., yang kedua adalah jumlah dari dua bilangan sebelumnya 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Apakah mungkin menemukan matematika umum rumus dari mana kita memperoleh dan “ deret biner dan deret Fibonacci? Atau mungkin rumus ini akan memberi kita himpunan numerik baru yang memiliki beberapa properti unik baru?

Memang benar, mari kita atur parameter numeriknya S, yang dapat mengambil nilai apa pun: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Perhatikan deret bilangan, S+ 1 yang suku pertamanya satuan, dan masing-masing suku berikutnya sama dengan jumlah dua suku sebelumnya dan dipisahkan dari suku sebelumnya dengan S tangga. Jika N Suku ke deret ini dilambangkan dengan φ S ( N), maka kita peroleh rumus umum φ S ( N) = φ S ( N- 1) + φ S ( N - S - 1).

Jelas sekali kapan S= 0 dari rumus ini kita mendapatkan deret “biner”, dengan S= 1 - Deret Fibonacci, dengan S= 2, 3, 4. barisan bilangan baru yang disebut S-Angka Fibonacci.

Secara keseluruhan emas S-proporsi adalah akar positif dari persamaan emas S-bagian x S+1 - x S - 1 = 0.

Sangat mudah untuk menunjukkan kapan S= 0, ruas tersebut dibagi dua, dan kapan S= 1 - rasio emas klasik yang sudah dikenal.

Hubungan antar tetangga S- Angka Fibonacci bertepatan dengan akurasi matematis absolut dalam batas emas S-proporsi! Dalam kasus seperti itu, ahli matematika mengatakan emas S-bagian adalah invarian numerik S-Angka Fibonacci.

Fakta yang membenarkan keberadaan emas S-bagian di alam, mengutip ilmuwan Belarusia E.M. Soroko dalam buku “Structural Harmony of Systems” (Minsk, “Science and Technology”, 1984). Ternyata, misalnya, paduan biner yang dipelajari dengan baik memiliki sifat fungsional khusus yang nyata (stabil termal, keras, tahan aus, tahan terhadap oksidasi, dll.) hanya jika gravitasi spesifik dari komponen aslinya berhubungan satu sama lain. oleh salah satu emas S-proporsi. Hal ini memungkinkan penulis untuk mengajukan hipotesis bahwa emas S-bagian adalah invarian numerik dari sistem yang mengatur dirinya sendiri. Setelah dikonfirmasi secara eksperimental, hipotesis ini mungkin sangat penting untuk pengembangan sinergi - bidang ilmu baru yang mempelajari proses dalam sistem yang mengatur dirinya sendiri.

Menggunakan kode emas S-proporsi dapat dinyatakan dengan bilangan real apa pun sebagai jumlah pangkat emas S-proporsi dengan koefisien bilangan bulat.

Perbedaan mendasar antara metode pengkodean angka ini adalah dasar kode barunya berwarna emas S-proporsi, dengan S> 0 ternyata bilangan irasional. Dengan demikian, sistem bilangan baru dengan basis irasional tampaknya menempatkan hierarki hubungan antara bilangan rasional dan irasional yang sudah ada secara historis “dari ujung kepala hingga ujung kaki”. Faktanya adalah bilangan asli pertama kali “ditemukan”; maka rasionya adalah bilangan rasional. Dan baru kemudian - setelah penemuan segmen yang tidak dapat dibandingkan oleh orang Pythagoras - lahirlah bilangan irasional. Misalnya, dalam sistem bilangan posisional desimal, kuiner, biner, dan klasik lainnya, bilangan asli dipilih sebagai semacam prinsip dasar - 10, 5, 2 - dari mana, menurut aturan tertentu, semua bilangan asli lainnya, serta bilangan rasional dan bilangan irasional, dibangun.

Semacam alternatif terhadap metode notasi yang ada adalah sistem irasional baru, sebagai prinsip dasar, yang awalnya adalah bilangan irasional (yang, ingat, merupakan akar persamaan rasio emas); bilangan real lainnya sudah dinyatakan melaluinya.

Dalam sistem bilangan seperti itu, bilangan asli apa pun selalu dapat direpresentasikan sebagai bilangan terbatas - dan bukan bilangan tak terbatas, seperti yang diperkirakan sebelumnya! - jumlah derajat emas mana pun S-proporsi. Inilah salah satu alasan mengapa aritmatika “irasional”, yang memiliki kesederhanaan dan keanggunan matematika yang luar biasa, tampaknya telah menyerap kualitas terbaik dari aritmatika biner klasik dan “Fibonacci”.

Prinsip pembentukan di alam

Cangkangnya dipelintir menjadi spiral. Jika Anda membuka lipatannya, Anda akan mendapatkan panjangnya sedikit lebih pendek dari panjang ular. Cangkang kecil berukuran sepuluh sentimeter memiliki spiral sepanjang 35 cm. Spiral sangat umum di alam. Gagasan tentang rasio emas tidak akan lengkap tanpa membicarakan spiral.

Beras. 12. spiral Archimedes

Bentuk cangkangnya yang melengkung secara spiral menarik perhatian Archimedes. Dia mempelajarinya dan menghasilkan persamaan spiral. Spiral yang digambar menurut persamaan ini disebut dengan namanya. Peningkatan langkahnya selalu seragam. Saat ini spiral Archimedes banyak digunakan dalam bidang teknologi.

Goethe juga menekankan kecenderungan alam menuju spiralitas. Susunan daun yang heliks dan spiral pada dahan pohon telah diketahui sejak lama. Spiral terlihat pada susunan biji bunga matahari, pohon cemara, nanas, kaktus, dll. Kerja sama para ahli botani dan matematikawan telah menjelaskan fenomena alam yang menakjubkan ini. Ternyata deret Fibonacci diwujudkan dalam susunan daun pada suatu cabang (filotaksis), biji bunga matahari, dan buah pinus, sehingga hukum rasio emas juga terwujud. Laba-laba menjalin jaringnya dalam pola spiral. Badai berputar seperti spiral. Kawanan rusa kutub yang ketakutan bertebaran dalam bentuk spiral. Molekul DNA dipelintir dalam heliks ganda. Goethe menyebut spiral sebagai “kurva kehidupan”.

Di antara tumbuhan pinggir jalan tumbuh tanaman biasa-biasa saja - sawi putih. Mari kita lihat lebih dekat. Sebuah tunas telah terbentuk dari batang utama. Daun pertama terletak di sana.

Beras. 13. Chicory

Tunas tersebut melontarkan dengan kuat ke luar angkasa, berhenti, melepaskan sehelai daun, namun kali ini lebih pendek dari yang pertama, kembali melontarkan ke luar angkasa, namun dengan kekuatan yang lebih kecil, melepaskan sehelai daun yang ukurannya lebih kecil lagi dan terlontar lagi. . Jika emisi pertama diambil 100 unit, maka emisi kedua sama dengan 62 unit, emisi ketiga 38, emisi keempat 24, dst. Panjang kelopaknya juga tunduk pada proporsi emas. Dalam pertumbuhan dan penaklukan ruang, tanaman mempertahankan proporsi tertentu. Dorongan pertumbuhannya secara bertahap menurun sebanding dengan rasio emas.

Beras. 14. Kadal vivipar

Sekilas, kadal memiliki proporsi yang enak dipandang - panjang ekornya berhubungan dengan panjang seluruh tubuhnya yaitu 62 hingga 38.

Baik di dunia tumbuhan maupun hewan, kecenderungan formatif alam terus-menerus menerobos - simetri mengenai arah pertumbuhan dan pergerakan. Di sini rasio emas muncul pada proporsi bagian-bagian yang tegak lurus terhadap arah pertumbuhan.

Alam telah melakukan pembagian menjadi bagian-bagian yang simetris dan proporsi emas. Bagian-bagian tersebut mengungkapkan pengulangan struktur keseluruhan.

Beras. 15. telur burung

Goethe yang agung, seorang penyair, naturalis, dan seniman (ia menggambar dan melukis dengan cat air), bermimpi menciptakan doktrin terpadu tentang bentuk, pembentukan, dan transformasi benda organik. Dialah yang memperkenalkan istilah morfologi ke dalam penggunaan ilmiah.

Pierre Curie pada awal abad ini merumuskan sejumlah gagasan mendalam tentang simetri. Dia berpendapat bahwa seseorang tidak dapat mempertimbangkan simetri suatu benda tanpa memperhitungkan simetri lingkungan.

Hukum simetri “emas” diwujudkan dalam transisi energi partikel elementer, dalam struktur senyawa kimia tertentu, dalam sistem planet dan kosmik, dalam struktur gen organisme hidup. Pola-pola ini, sebagaimana ditunjukkan di atas, ada dalam struktur masing-masing organ manusia dan tubuh secara keseluruhan, dan juga memanifestasikan dirinya dalam bioritme dan fungsi otak serta persepsi visual.

Rasio emas dan simetri

Pembagian emas bukanlah manifestasi asimetri, kebalikan dari simetri. Menurut gagasan modern, pembagian emas adalah simetri asimetris. Ilmu simetri mencakup konsep-konsep seperti statis Dan simetri dinamis. Simetri statis melambangkan kedamaian dan keseimbangan, sedangkan simetri dinamis melambangkan gerak dan pertumbuhan. Jadi, di alam, simetri statis diwakili oleh struktur kristal, dan dalam seni ia mencirikan kedamaian, keseimbangan, dan imobilitas. Simetri dinamis mengekspresikan aktivitas, mencirikan gerakan, perkembangan, ritme, dan merupakan bukti kehidupan. Simetri statis dicirikan oleh segmen yang sama dan nilai yang sama. Simetri dinamis dicirikan oleh peningkatan atau penurunan segmen, dan ini dinyatakan dalam nilai bagian emas dari deret yang meningkat atau menurun.

Orang dahulu memandang rasio emas sebagai cerminan tatanan kosmis, dan Johannes Kepler menyebutnya sebagai salah satu khazanah geometri. Ilmu pengetahuan modern menganggap rasio emas sebagai “simetri asimetris”, menyebutnya dalam arti luas sebagai aturan universal yang mencerminkan struktur dan tatanan tatanan dunia kita.

Definisi

Definisi rasio emas yang paling komprehensif menyatakan bahwa bagian yang lebih kecil terhadap bagian yang lebih besar dan bagian yang lebih besar terhadap keseluruhan. Nilai perkiraannya adalah 1,6180339887. Dalam nilai persentase yang dibulatkan, proporsi bagian-bagian dari keseluruhan akan berkisar antara 62% hingga 38%. Hubungan ini beroperasi dalam bentuk ruang dan waktu.

Orang Mesir kuno memiliki gagasan tentang proporsi emas, mereka mengetahuinya di Rusia, tetapi untuk pertama kalinya rasio emas dijelaskan secara ilmiah oleh biksu Luca Pacioli dalam buku “Divine Proportion” (1509), yang ilustrasinya adalah konon dibuat oleh Leonardo da Vinci. Pacioli melihat di bagian emas trinitas ilahi: segmen kecil mempersonifikasikan Putra, segmen besar melambangkan Bapa, dan keseluruhan Roh Kudus. Nama matematikawan Italia Leonardo Fibonacci dikaitkan langsung dengan aturan rasio emas. Sebagai hasil dari pemecahan salah satu soal, ilmuwan tersebut menemukan barisan angka yang sekarang dikenal sebagai deret Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, dst. Kepler menarik perhatian pada hubungan barisan ini dengan proporsi emas: “Disusun sedemikian rupa sehingga dua suku yang lebih rendah dari proporsi yang tidak pernah berakhir ini dijumlahkan dengan suku ketiga, dan dua suku terakhir mana pun, jika dijumlahkan, menghasilkan suku berikutnya, dan proporsi yang sama dipertahankan ad infinitum " Sekarang deret Fibonacci menjadi dasar aritmatika untuk menghitung proporsi rasio emas dalam semua manifestasinya. Leonardo da Vinci juga mencurahkan banyak waktunya untuk mempelajari ciri-ciri rasio emas; kemungkinan besar, istilah itu sendiri adalah miliknya. Gambarnya tentang benda stereometrik yang dibentuk oleh segi lima beraturan membuktikan bahwa setiap persegi panjang yang diperoleh berdasarkan bagian memberikan rasio aspek dalam pembagian emas. Seiring waktu, aturan rasio emas menjadi rutinitas akademis, dan hanya filsuf Adolf Zeising yang menerapkannya lagi pada tahun 1855. Dia membawa proporsi bagian emas menjadi mutlak, menjadikannya universal untuk semua fenomena dunia sekitarnya. Namun, “estetika matematisnya” menimbulkan banyak kritik.

Bahkan tanpa harus menghitungnya, rasio emas dapat dengan mudah ditemukan di alam. Jadi perbandingan ekor dan badan cicak, jarak daun pada suatu dahan berada di bawahnya, terdapat perbandingan emas berbentuk telur jika ditarik garis bersyarat melalui bagian terlebarnya. Ilmuwan Belarusia Eduard Soroko, yang mempelajari bentuk-bentuk pembagian emas di alam, mencatat bahwa segala sesuatu yang tumbuh dan berusaha untuk mengambil tempatnya di ruang angkasa diberkahi dengan proporsi pembagian emas. Menurutnya, salah satu bentuk yang paling menarik adalah spiral twisting. Archimedes, dengan memperhatikan spiral, memperoleh persamaan berdasarkan bentuknya, yang masih digunakan dalam teknologi. Goethe kemudian mencatat ketertarikan alam terhadap bentuk spiral, dan menyebut spiral sebagai “kurva kehidupan”. Ilmuwan modern telah menemukan bahwa manifestasi bentuk spiral di alam seperti cangkang siput, susunan biji bunga matahari, pola jaring laba-laba, pergerakan badai, struktur DNA bahkan struktur galaksi mengandung deret Fibonacci.

Perancang busana dan perancang pakaian membuat semua perhitungan berdasarkan proporsi bagian emas. Manusia adalah bentuk universal untuk menguji hukum rasio emas. Tentu saja, secara alami, tidak semua orang memiliki proporsi yang ideal, sehingga menimbulkan kesulitan tertentu dalam pemilihan pakaian. Dalam buku harian Leonardo da Vinci terdapat gambar seorang pria telanjang yang ditulis dalam lingkaran, dalam dua posisi bertumpukan. Berdasarkan penelitian arsitek Romawi Vitruvius, Leonardo pun mencoba menetapkan proporsi tubuh manusia. Belakangan, arsitek Prancis Le Corbusier, menggunakan “Manusia Vitruvian” karya Leonardo, menciptakan skala “proporsi harmonis” miliknya sendiri, yang memengaruhi estetika arsitektur abad ke-20. Adolf Zeising, mempelajari proporsionalitas seseorang, melakukan pekerjaan yang sangat besar. Dia mengukur sekitar dua ribu tubuh manusia, serta banyak patung kuno, dan menyimpulkan bahwa rasio emas menyatakan hukum statistik rata-rata. Pada seseorang, hampir seluruh bagian tubuh berada di bawahnya, namun indikator utama rasio emas adalah pembagian tubuh dengan titik pusar. Dari hasil pengukuran, peneliti menemukan bahwa proporsi tubuh laki-laki 13:8 lebih mendekati rasio emas dibandingkan proporsi tubuh perempuan - 8:5.

Seni bentuk spasial

Seniman Vasily Surikov mengatakan "bahwa dalam komposisi ada hukum yang tidak dapat diubah, ketika dalam sebuah gambar Anda tidak dapat menghapus atau menambahkan apa pun, Anda bahkan tidak dapat menambahkan satu poin pun, ini adalah matematika nyata." Seniman telah lama mengikuti hukum ini secara intuitif, tetapi setelah Leonardo da Vinci, proses pembuatan lukisan tidak dapat lagi diselesaikan tanpa menyelesaikan masalah geometris. Misalnya, Albrecht Durer menggunakan kompas proporsional yang ia ciptakan untuk menentukan titik-titik bagian emas. Kritikus seni F.V. Kovalev, setelah memeriksa secara detail lukisan Nikolai Ge “Alexander Sergeevich Pushkin di desa Mikhailovskoe,” mencatat bahwa setiap detail kanvas, baik itu perapian, rak buku, kursi berlengan, atau penyair itu sendiri, tertulis dengan ketat dalam proporsi emas. Para peneliti rasio emas tanpa lelah mempelajari dan mengukur mahakarya arsitektur, mengklaim bahwa mahakarya tersebut menjadi seperti itu karena diciptakan menurut kanon emas: daftar mereka mencakup Piramida Agung Giza, Katedral Notre Dame, Katedral St. Basil, dan Parthenon. Dan saat ini, dalam seni bentuk spasial apa pun, mereka berusaha mengikuti proporsi bagian emas, karena menurut kritikus seni, mereka memudahkan persepsi karya dan membentuk perasaan estetis pada pemirsanya. Kata, suara, dan film Bentuk seni temporer dengan caranya sendiri menunjukkan kepada kita prinsip pembagian emas. Para sarjana sastra, misalnya, telah memperhatikan bahwa jumlah baris paling populer dalam puisi-puisi periode akhir karya Pushkin sesuai dengan deret Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34. Aturan rasio emas juga berlaku di karya individu klasik Rusia. Jadi, klimaks dari “The Queen of Spades” adalah adegan dramatis Herman dan Countess, yang berakhir dengan kematian Countess. Ceritanya memiliki 853 baris, dan klimaksnya terjadi pada baris 535 (853:535 = 1,6) - inilah titik rasio emas. Ahli musik Soviet E.K. Rosenov mencatat keakuratan luar biasa dari rasio rasio emas dalam bentuk yang ketat dan bebas dari karya Johann Sebastian Bach, yang sesuai dengan gaya sang master yang bijaksana, terkonsentrasi, dan terverifikasi secara teknis. Hal ini juga berlaku untuk karya-karya luar biasa dari komposer lain, di mana solusi musik yang paling mencolok atau tidak terduga biasanya terjadi pada titik rasio emas. Sutradara film Sergei Eisenstein sengaja mengoordinasikan naskah filmnya “Battleship Potemkin” dengan aturan rasio emas, membagi film menjadi lima bagian. Dalam tiga bagian pertama, aksi berlangsung di kapal, dan di dua bagian terakhir - di Odessa. Peralihan ke adegan kota menjadi bagian tengah emas film ini.

Rasio emas adalah manifestasi universal dari keselarasan struktural. Itu ditemukan di alam, sains, seni - dalam segala hal yang dapat bersentuhan dengan seseorang. Setelah mengenal aturan emas, umat manusia tidak pernah mengkhianatinya.

Definisi.

Orang dahulu memandang rasio emas sebagai cerminan tatanan kosmis, dan Johannes Kepler menyebutnya sebagai salah satu khazanah geometri. Ilmu pengetahuan modern menganggap rasio emas sebagai “Simetri Asimetris”, menyebutnya dalam arti luas sebagai aturan universal yang mencerminkan struktur dan tatanan tatanan dunia kita.

Cerita.
Orang Mesir kuno memiliki gagasan tentang proporsi emas, mereka mengetahuinya di Rusia, tetapi untuk pertama kalinya rasio emas dijelaskan secara ilmiah oleh biksu Luca Pacioli dalam buku “Divine Proportion” (1509), yang ilustrasinya adalah konon dibuat oleh Leonardo da Vinci. Pacioli melihat trinitas ilahi dalam bagian emas: bagian kecil melambangkan anak, bagian besar melambangkan ayah, dan keseluruhan roh kudus.

Nama matematikawan Italia Leonardo Fibonacci dikaitkan langsung dengan aturan rasio emas. Sebagai hasil dari penyelesaian salah satu soal, ilmuwan tersebut menemukan barisan bilangan yang sekarang dikenal sebagai deret Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, dst. Kepler memperhatikan hubungan barisan ini dengan rasio emas : “Disusun sedemikian rupa sehingga dua Anggota Muda dari Proporsi Tak Terbatas ini dalam Jumlahnya memberikan Anggota Ketiga, dan dua Anggota Terakhir mana pun, Jika Ditambahkan, Memberikan Anggota Berikutnya, Terlebih lagi , Proporsi yang sama Dipertahankan hingga Tak Terhingga.” Sekarang deret Fibonacci menjadi dasar aritmatika untuk menghitung proporsi rasio emas dalam semua manifestasinya

Angka Fibonacci adalah pembagian yang harmonis, ukuran keindahan. Rasio emas di alam, manusia, seni, arsitektur, patung, desain, matematika, musik https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet

Leonardo da Vinci juga mencurahkan banyak waktunya untuk mempelajari ciri-ciri rasio emas; kemungkinan besar, istilah itu sendiri adalah miliknya. Gambarnya tentang benda stereometrik yang dibentuk oleh segi lima beraturan membuktikan bahwa setiap persegi panjang yang diperoleh berdasarkan bagian memberikan rasio aspek dalam pembagian emas.

Seiring waktu, aturan rasio emas menjadi rutinitas akademis, dan hanya filsuf Adolf Zeising yang menerapkannya lagi pada tahun 1855. Dia membawa proporsi bagian emas menjadi mutlak, menjadikannya universal untuk semua fenomena dunia sekitarnya. Namun, “Estetika Matematika” miliknya menimbulkan banyak kritik.

Alam.
Bahkan tanpa harus menghitungnya, rasio emas dapat dengan mudah ditemukan di alam. Jadi perbandingan ekor dan badan cicak, jarak daun pada suatu dahan berada di bawahnya, terdapat perbandingan emas berbentuk telur jika ditarik garis bersyarat melalui bagian terlebarnya.

Ilmuwan Belarusia Eduard Soroko, yang mempelajari bentuk-bentuk pembagian emas di alam, mencatat bahwa segala sesuatu yang tumbuh dan berusaha untuk mengambil tempatnya di ruang angkasa diberkahi dengan proporsi pembagian emas. Menurutnya, salah satu bentuk yang paling menarik adalah spiral twisting.
Archimedes, dengan memperhatikan spiral, memperoleh persamaan berdasarkan bentuknya, yang masih digunakan dalam teknologi. Belakangan, Goethe mencatat ketertarikan alam pada bentuk spiral, dan menyebut spiral itu sebagai “Kurva Kehidupan”. Ilmuwan modern telah menemukan bahwa manifestasi bentuk spiral di alam seperti cangkang siput, susunan biji bunga matahari, pola jaring laba-laba, pergerakan badai, struktur DNA bahkan struktur galaksi mengandung deret Fibonacci.

Manusia.
Perancang busana dan perancang pakaian membuat semua perhitungan berdasarkan proporsi bagian emas. Manusia adalah bentuk universal untuk menguji hukum rasio emas. Tentu saja, secara alami, tidak semua orang memiliki proporsi yang ideal, sehingga menimbulkan kesulitan tertentu dalam pemilihan pakaian.

Dalam buku harian Leonardo da Vinci terdapat gambar seorang pria telanjang yang ditulis dalam lingkaran, dalam dua posisi bertumpukan. Berdasarkan penelitian arsitek Romawi Vitruvius, Leonardo pun mencoba menetapkan proporsi tubuh manusia. Belakangan, arsitek Prancis Le Corbusier, menggunakan "Manusia Vitruvian" karya Leonardo, menciptakan skala "proporsi harmonis" miliknya sendiri, yang memengaruhi estetika arsitektur abad ke-20.

Adolf Zeising, yang mengeksplorasi proporsionalitas manusia, melakukan pekerjaan yang sangat besar. Dia mengukur sekitar dua ribu tubuh manusia, serta banyak patung kuno, dan menyimpulkan bahwa rasio emas menyatakan hukum statistik rata-rata. Pada seseorang, hampir seluruh bagian tubuh berada di bawahnya, namun indikator utama rasio emas adalah pembagian tubuh dengan titik pusar.
Dari hasil pengukuran, peneliti menemukan bahwa proporsi tubuh laki-laki 13:8 lebih mendekati rasio emas dibandingkan proporsi tubuh perempuan - 8:5.

Seni bentuk spasial.
Seniman Vasily Surikov berkata, “bahwa dalam sebuah Komposisi terdapat Hukum yang Tidak Dapat Diubah, Ketika dalam sebuah Gambar Anda Tidak Dapat Menghapus atau Menambahkan Apa Pun, Anda Bahkan Tidak Dapat Memberi Poin Tambahan, Ini adalah Matematika Nyata.” Sejak lama, seniman mengikuti hukum ini secara intuitif, tetapi setelah Leonardo da Vinci, proses pembuatan lukisan tidak lengkap lagi tanpa penyelesaian masalah geometris. Misalnya, Albrecht Durer menggunakan kompas proporsional yang ia ciptakan untuk menentukan titik-titik bagian emas.

Kritikus seni F.v. Kovalev, setelah memeriksa secara detail lukisan Nikolai Ge “Alexander Sergeevich Pushkin di Desa Mikhailovskoe,” mencatat bahwa setiap detail kanvas, apakah itu perapian, rak buku, kursi berlengan, atau penyair itu sendiri, ditulis dengan ketat dalam proporsi emas .

Para peneliti rasio emas tanpa lelah mempelajari dan mengukur mahakarya arsitektur, mengklaim bahwa mahakarya tersebut menjadi seperti itu karena diciptakan menurut kanon emas: daftar mereka mencakup piramida besar Giza, Katedral Notre Dame, Katedral St. Basil, dan Parthenon.
Dan saat ini, dalam seni bentuk spasial apa pun, mereka berusaha mengikuti proporsi bagian emas, karena menurut kritikus seni, mereka memudahkan persepsi karya dan membentuk perasaan estetis pada pemirsanya.

Kata, suara dan film.
Formulir bersifat sementara? Seni Go, dengan caranya sendiri, menunjukkan kepada kita prinsip pembagian emas. Para sarjana sastra, misalnya, telah memperhatikan bahwa jumlah baris paling populer dalam puisi-puisi periode akhir karya Pushkin berhubungan dengan deret Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Aturan bagian emas juga berlaku dalam karya individu klasik Rusia. Jadi, klimaks dari “The Queen of Spades” adalah adegan dramatis Herman dan Countess, yang berakhir dengan kematian Countess. Ceritanya memiliki 853 baris, dan klimaksnya terjadi pada baris 535 (853:535 = 1, 6) - inilah titik rasio emas.

Ahli musik Soviet E. K. Rosenov mencatat keakuratan luar biasa dari hubungan bagian emas dalam bentuk yang ketat dan bebas dari karya Johann Sebastian Bach, yang sesuai dengan gaya sang master yang bijaksana, terkonsentrasi, dan diverifikasi secara teknis. Hal ini juga berlaku untuk karya-karya luar biasa dari komposer lain, di mana solusi musik yang paling mencolok atau tidak terduga biasanya terjadi pada titik rasio emas.
Sutradara film Sergei Eisenstein sengaja mengoordinasikan naskah filmnya “Battleship Potemkin” dengan aturan rasio emas, membagi film menjadi lima bagian. Dalam tiga bagian pertama, aksi berlangsung di kapal, dan di dua bagian terakhir - di Odessa. Peralihan ke adegan kota menjadi bagian tengah emas film ini.

Rasio emas adalah manifestasi universal dari keselarasan struktural. Itu ditemukan di alam, sains, seni - dalam segala hal yang dapat bersentuhan dengan seseorang. Setelah mengenal aturan emas, umat manusia tidak lagi mengkhianatinya.

Rasio emas adalah manifestasi universal dari keselarasan struktural. Itu ditemukan di alam, sains, seni - dalam segala hal yang dapat bersentuhan dengan seseorang. Setelah mengenal aturan emas, umat manusia tidak lagi mengkhianatinya.

Definisi
Definisi rasio emas yang paling komprehensif menyatakan bahwa bagian yang lebih kecil terhadap bagian yang lebih besar dan bagian yang lebih besar terhadap keseluruhan. Nilai perkiraannya adalah 1,6180339887. Dalam nilai persentase yang dibulatkan, proporsi bagian-bagian dari keseluruhan akan berkisar antara 62% hingga 38%. Hubungan ini beroperasi dalam bentuk ruang dan waktu.

Orang dahulu memandang rasio emas sebagai cerminan tatanan kosmis, dan Johannes Kepler menyebutnya sebagai salah satu khazanah geometri. Ilmu pengetahuan modern menganggap rasio emas sebagai “simetri asimetris”, menyebutnya dalam arti luas sebagai aturan universal yang mencerminkan struktur dan tatanan tatanan dunia kita.

Cerita
Orang Mesir kuno memiliki gagasan tentang proporsi emas, mereka mengetahuinya di Rusia, tetapi untuk pertama kalinya rasio emas dijelaskan secara ilmiah oleh biksu Luca Pacioli dalam buku “Divine Proportion” (1509), yang ilustrasinya adalah konon dibuat oleh Leonardo da Vinci. Pacioli melihat di bagian emas trinitas ilahi: segmen kecil mempersonifikasikan Putra, segmen besar melambangkan Bapa, dan keseluruhan Roh Kudus.

Nama matematikawan Italia Leonardo Fibonacci dikaitkan langsung dengan aturan rasio emas. Sebagai hasil dari penyelesaian salah satu soal, ilmuwan tersebut menghasilkan barisan angka yang sekarang dikenal sebagai deret Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3... dst. Kepler menarik perhatian pada hubungan barisan ini dengan proporsi emas: “Disusun sedemikian rupa sehingga dua suku yang lebih rendah dari proporsi yang tidak pernah berakhir ini dijumlahkan dengan suku ketiga, dan dua suku terakhir mana pun, jika dijumlahkan, menghasilkan suku berikutnya, dan proporsi yang sama dipertahankan ad infinitum " Sekarang deret Fibonacci menjadi dasar aritmatika untuk menghitung proporsi rasio emas dalam semua manifestasinya.

Leonardo da Vinci juga mencurahkan banyak waktunya untuk mempelajari ciri-ciri rasio emas; kemungkinan besar, istilah itu sendiri adalah miliknya. Gambarnya tentang benda stereometrik yang dibentuk oleh segi lima beraturan membuktikan bahwa setiap persegi panjang yang diperoleh berdasarkan bagian memberikan rasio aspek dalam pembagian emas.

Seiring waktu, aturan rasio emas menjadi rutinitas akademis, dan hanya filsuf Adolf Zeising yang menerapkannya lagi pada tahun 1855. Dia membawa proporsi bagian emas menjadi mutlak, menjadikannya universal untuk semua fenomena dunia sekitarnya. Namun, “estetika matematisnya” menimbulkan banyak kritik.

Alam
Bahkan tanpa harus menghitungnya, rasio emas dapat dengan mudah ditemukan di alam. Jadi perbandingan ekor dan badan cicak, jarak daun pada suatu dahan berada di bawahnya, terdapat perbandingan emas berbentuk telur jika ditarik garis bersyarat melalui bagian terlebarnya.

Ilmuwan Belarusia Eduard Soroko, yang mempelajari bentuk-bentuk pembagian emas di alam, mencatat bahwa segala sesuatu yang tumbuh dan berusaha untuk mengambil tempatnya di ruang angkasa diberkahi dengan proporsi pembagian emas. Menurutnya, salah satu bentuk yang paling menarik adalah spiral twisting.
Archimedes, dengan memperhatikan spiral, memperoleh persamaan berdasarkan bentuknya, yang masih digunakan dalam teknologi. Goethe kemudian mencatat ketertarikan alam terhadap bentuk spiral, dan menyebut spiral sebagai “kurva kehidupan”. Ilmuwan modern telah menemukan bahwa manifestasi bentuk spiral di alam seperti cangkang siput, susunan biji bunga matahari, pola jaring laba-laba, pergerakan badai, struktur DNA bahkan struktur galaksi mengandung deret Fibonacci.

Manusia
Perancang busana dan perancang pakaian membuat semua perhitungan berdasarkan proporsi bagian emas. Manusia adalah bentuk universal untuk menguji hukum rasio emas. Tentu saja, secara alami, tidak semua orang memiliki proporsi yang ideal, sehingga menimbulkan kesulitan tertentu dalam pemilihan pakaian.

Dalam buku harian Leonardo da Vinci terdapat gambar seorang pria telanjang yang ditulis dalam lingkaran, dalam dua posisi bertumpukan. Berdasarkan penelitian arsitek Romawi Vitruvius, Leonardo pun mencoba menetapkan proporsi tubuh manusia. Belakangan, arsitek Prancis Le Corbusier, menggunakan “Manusia Vitruvian” karya Leonardo, menciptakan skala “proporsi harmonis” miliknya sendiri, yang memengaruhi estetika arsitektur abad ke-20.

Adolf Zeising, mempelajari proporsionalitas seseorang, melakukan pekerjaan yang sangat besar. Dia mengukur sekitar dua ribu tubuh manusia, serta banyak patung kuno, dan menyimpulkan bahwa rasio emas menyatakan hukum statistik rata-rata. Pada seseorang, hampir seluruh bagian tubuh berada di bawahnya, namun indikator utama rasio emas adalah pembagian tubuh dengan titik pusar.
Dari hasil pengukuran, peneliti menemukan bahwa proporsi tubuh laki-laki 13:8 lebih mendekati rasio emas dibandingkan proporsi tubuh perempuan - 8:5.

Seni bentuk spasial
Seniman Vasily Surikov mengatakan "bahwa dalam komposisi ada hukum yang tidak dapat diubah, ketika dalam sebuah gambar Anda tidak dapat menghapus atau menambahkan apa pun, Anda bahkan tidak dapat menambahkan satu poin pun, ini adalah matematika nyata." Seniman telah lama mengikuti hukum ini secara intuitif, tetapi setelah Leonardo da Vinci, proses pembuatan lukisan tidak dapat lagi diselesaikan tanpa menyelesaikan masalah geometris. Misalnya, Albrecht Durer menggunakan kompas proporsional yang ia ciptakan untuk menentukan titik-titik bagian emas.

Kritikus seni F.V. Kovalev, setelah memeriksa secara detail lukisan Nikolai Ge “Alexander Sergeevich Pushkin di desa Mikhailovskoe,” mencatat bahwa setiap detail kanvas, baik itu perapian, rak buku, kursi berlengan, atau penyair itu sendiri, tertulis dengan ketat dalam proporsi emas.

Para peneliti rasio emas tanpa lelah mempelajari dan mengukur mahakarya arsitektur, mengklaim bahwa mahakarya tersebut menjadi seperti itu karena diciptakan menurut kanon emas: daftar mereka mencakup Piramida Agung Giza, Katedral Notre Dame, Katedral St. Basil, dan Parthenon.
Dan saat ini, dalam seni bentuk spasial apa pun, mereka berusaha mengikuti proporsi bagian emas, karena menurut kritikus seni, mereka memudahkan persepsi karya dan membentuk perasaan estetis pada pemirsanya.

Kata, suara dan film
Bentuk seni temporer dengan caranya sendiri menunjukkan kepada kita prinsip pembagian emas. Para sarjana sastra, misalnya, telah memperhatikan bahwa jumlah baris paling populer dalam puisi-puisi periode akhir karya Pushkin berhubungan dengan deret Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Aturan bagian emas juga berlaku dalam karya individu klasik Rusia. Jadi, klimaks dari “The Queen of Spades” adalah adegan dramatis Herman dan Countess, yang berakhir dengan kematian Countess. Ceritanya memiliki 853 baris, dan klimaksnya terjadi pada baris 535 (853:535 = 1,6) - inilah titik rasio emas.

Ahli musik Soviet E.K. Rosenov mencatat keakuratan luar biasa dari rasio rasio emas dalam bentuk yang ketat dan bebas dari karya Johann Sebastian Bach, yang sesuai dengan gaya sang master yang bijaksana, terkonsentrasi, dan terverifikasi secara teknis. Hal ini juga berlaku untuk karya-karya luar biasa dari komposer lain, di mana solusi musik yang paling mencolok atau tidak terduga biasanya terjadi pada titik rasio emas.
Sutradara film Sergei Eisenstein sengaja mengoordinasikan naskah filmnya “Battleship Potemkin” dengan aturan rasio emas, membagi film menjadi lima bagian. Dalam tiga bagian pertama, aksi berlangsung di kapal, dan di dua bagian terakhir - di Odessa. Peralihan ke adegan kota menjadi bagian tengah emas film ini.