Lingkaran terdiri dari apa? II

Materi demo: kompas, bahan percobaan: benda bulat dan tali (untuk setiap siswa) dan penggaris; model lingkaran, krayon warna.

Target: Mempelajari konsep “lingkaran” dan elemen-elemennya, membangun hubungan di antara mereka; pengenalan istilah baru; mengembangkan kemampuan melakukan observasi dan menarik kesimpulan dengan menggunakan data eksperimen; menumbuhkan minat kognitif dalam matematika.

Kemajuan pelajaran

I. Momen organisasi

Salam. Menetapkan tujuan.

II. Penghitungan lisan

AKU AKU AKU. materi baru

Di antara semua jenis bangun datar, ada dua bangun utama yang menonjol: segitiga dan lingkaran. Angka-angka ini sudah Anda kenal sejak kecil. Bagaimana cara mendefinisikan segitiga? Melalui segmen! Bagaimana cara kita menentukan apa itu lingkaran? Bagaimanapun, garis ini melengkung di setiap titik! Matematikawan terkenal Grathendieck, mengingat masa sekolahnya, mencatat bahwa ia menjadi tertarik pada matematika setelah mempelajari definisi lingkaran.

Mari menggambar lingkaran menggunakan perangkat geometris - kompas. Membuat lingkaran dengan demonstrasi kompas di papan tulis:

tandai suatu titik di pesawat;
Kami menyelaraskan kaki kompas dengan ujungnya dengan titik yang ditandai, dan memutar kaki dengan stylus di sekitar titik ini.

Hasilnya adalah sosok geometris - lingkaran.

(Slide No.1)

Jadi apa itu lingkaran?

Definisi. Keliling - adalah garis lengkung tertutup yang semua titiknya berada pada jarak yang sama dari suatu titik tertentu pada bidang, disebut tengah lingkaran.

(Slide No.2)

Sebuah bidang membagi lingkaran menjadi berapa bagian?

Titik O- tengah lingkaran.

ATAU - radius lingkaran (ini adalah segmen yang menghubungkan pusat lingkaran dengan titik mana pun di atasnya). Dalam bahasa Latin radius- roda berbicara.

AB – akord lingkaran (ini adalah segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran).

DC – diameter lingkaran (ini adalah tali busur yang melalui pusat lingkaran). Diameter berasal dari bahasa Yunani “diameter”.

DR– busur lingkaran (ini adalah bagian lingkaran yang dibatasi oleh dua titik).

Berapa jari-jari dan diameter yang dapat digambarkan dalam sebuah lingkaran?

Bagian bidang yang berada di dalam lingkaran dan lingkaran itu sendiri membentuk lingkaran.

Definisi. Lingkaran - Ini adalah bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran. Jarak titik mana pun pada lingkaran ke pusat lingkaran tidak melebihi jarak dari pusat lingkaran ke titik mana pun pada lingkaran.

Apa perbedaan antara lingkaran dan lingkaran, dan apa persamaannya?

Bagaimana hubungan panjang jari-jari (r) dan diameter (d) suatu lingkaran?

d = 2 * hal (D– panjang diameter; R - panjang radius)

Bagaimana hubungan panjang diameter dan tali busur?

Diameter adalah tali busur lingkaran yang terbesar!

Lingkaran adalah sosok yang sangat harmonis; orang Yunani kuno menganggapnya paling sempurna, karena lingkaran adalah satu-satunya kurva yang dapat “meluncur dengan sendirinya”, berputar mengelilingi pusatnya. Sifat dasar lingkaran menjawab pertanyaan mengapa kompas digunakan untuk menggambarnya dan mengapa roda dibuat bulat, bukan persegi atau segitiga. Berbicara tentang roda. Ini adalah salah satu penemuan terbesar umat manusia. Ternyata membuat roda tidak semudah yang dibayangkan. Lagi pula, bahkan suku Aztec, yang tinggal di Meksiko, tidak mengenal roda sampai hampir abad ke-16.

Lingkaran dapat digambar di atas kertas kotak-kotak tanpa kompas, yaitu dengan tangan. Benar, lingkaran itu ternyata berukuran tertentu. (Guru menunjukkan di papan kotak-kotak)

Aturan untuk menggambarkan lingkaran seperti itu ditulis 3-1, 1-1, 1-3.

Gambarlah seperempat lingkaran tersebut dengan tangan.

Berapa sel yang sama dengan jari-jari lingkaran ini? Mereka mengatakan bahwa seniman besar Jerman Albrecht Dürer dapat menggambar lingkaran dengan sangat akurat dengan satu gerakan tangannya (tanpa aturan) sehingga pemeriksaan selanjutnya dengan kompas (pusat ditunjukkan oleh seniman) tidak menunjukkan adanya penyimpangan.

Pekerjaan laboratorium

Anda sudah mengetahui cara mengukur panjang suatu ruas, mencari keliling poligon (segitiga, persegi, persegi panjang). Bagaimana cara mengukur panjang lingkaran jika lingkaran itu sendiri adalah garis lengkung, dan satuan panjang adalah ruas?

Ada beberapa cara untuk mengukur keliling.

Jejak dari lingkaran (satu putaran) pada suatu garis lurus.

Guru menggambar garis lurus di papan tulis, menandai suatu titik di atasnya dan pada batas model lingkaran. Gabungkan keduanya, lalu gulung lingkaran dengan mulus dalam garis lurus hingga titik yang ditandai A pada lingkaran tidak akan berada pada garis lurus di suatu titik DI DALAM. Segmen AB maka akan sama dengan keliling.

Leonardo da Vinci: "Pergerakan gerobak selalu menunjukkan kepada kita bagaimana meluruskan keliling lingkaran."

Tugas kepada siswa:

a) menggambar lingkaran dengan melingkari bagian bawah benda bulat;

b) bungkus bagian bawah benda dengan benang (satu kali) sehingga ujung benang berimpit dengan permulaan pada titik yang sama pada lingkaran;

c) luruskan benang ini menjadi satu ruas dan ukur panjangnya dengan penggaris, ini akan menjadi kelilingnya.

Guru tertarik dengan hasil pengukuran beberapa siswa.

Namun, metode pengukuran keliling secara langsung tidak nyaman dan memberikan hasil perkiraan kasar. Oleh karena itu, sejak zaman dahulu, mereka mulai mencari cara yang lebih maju untuk mengukur keliling. Selama proses pengukuran, kami memperhatikan bahwa ada hubungan tertentu antara panjang lingkaran dan panjang diameternya.

d) Ukur diameter bagian bawah benda (tali busur lingkaran yang terbesar);

e) tentukan perbandingan C:d (akurat sampai sepersepuluh).

Tanyakan kepada beberapa siswa mengenai hasil perhitungannya.

Banyak ilmuwan dan ahli matematika mencoba membuktikan bahwa rasio ini adalah bilangan konstan, tidak bergantung pada ukuran lingkaran. Ahli matematika Yunani kuno Archimedes adalah orang pertama yang melakukan hal ini. Ia menemukan arti yang cukup akurat untuk rasio ini.

Hubungan ini mulai dilambangkan dengan huruf Yunani (baca “pi”) - huruf pertama dari kata Yunani “pinggiran” adalah lingkaran.

C – keliling;

d – panjang diameter.

Informasi sejarah tentang bilangan π:

Archimedes yang tinggal di Syracuse (Sisilia) pada tahun 287 hingga 212 SM menemukan makna tanpa pengukuran, hanya dengan penalaran.

Faktanya, bilangan π tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan eksak. Matematikawan abad ke-16, Ludolf, memiliki kesabaran untuk menghitungnya dengan 35 angka desimal dan mewariskan nilai π tersebut untuk diukir pada tugu makamnya. Pada tahun 1946 – 1947 dua ilmuwan secara independen menghitung 808 tempat desimal pi. Kini lebih dari satu miliar digit angka π telah ditemukan di komputer.

Perkiraan nilai π, akurat hingga lima tempat desimal, dapat diingat menggunakan baris berikut (berdasarkan jumlah huruf dalam kata):

π ≈ 3.14159 – “Saya tahu dan mengingat ini dengan sempurna.”

Pengantar Rumus Keliling

Diketahui C:d = π, berapakah panjang lingkaran C?

(Slide nomor 3) C = πd C = 2πr

Bagaimana rumus kedua muncul?

Membaca: lingkar sama dengan hasil kali bilangan π dan diameternya (atau dua kali hasil kali bilangan π dan jari-jarinya).

Luas lingkaran sama dengan hasil kali bilangan π dan kuadrat jari-jarinya.

S= πr 2

IV. Pemecahan masalah

№1. Hitunglah keliling lingkaran yang berjari-jari 24 cm. Bulatkan bilangan π ke perseratus terdekat.

Larutan:π ≈ 3,14.

Jika r = 24 cm, maka C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72(cm).

Menjawab: keliling 150,72 cm.

No.2 (secara lisan): Bagaimana cara mencari panjang busur yang sama dengan setengah lingkaran?

Tugas: Jika kawat dililitkan pada bola bumi di sepanjang garis khatulistiwa dan panjangnya ditambah 1 meter, apakah seekor tikus dapat menyelinap di antara kawat dan tanah?

Larutan: C = 2 πR, C+1 = 2π(R+x)

Tidak hanya tikus, kucing besar juga akan tergelincir ke dalam celah tersebut. Dan nampaknya, apa artinya 1 m dibandingkan dengan 40 juta meter garis khatulistiwa bumi?

V.Kesimpulan

Poin utama apa yang harus Anda perhatikan saat membuat lingkaran?
Bagian pelajaran manakah yang paling menarik bagi Anda?
Hal baru apa yang Anda pelajari dalam pelajaran ini?

Solusi teka-teki silang dengan gambar(Slide nomor 3)

Disertai dengan pengulangan definisi lingkaran, tali busur, busur, jari-jari, diameter, rumus keliling. Dan hasilnya - kata kunci: “LINGKARAN” (secara horizontal).

Ringkasan pelajaran: penilaian, komentar pada pekerjaan rumah. Pekerjaan rumah: hal.24, No.853, 854. Lakukan percobaan untuk mencari bilangan π 2 kali lagi.

Untuk mendapatkan gambaran umum tentang apa itu lingkaran, lihatlah sebuah cincin atau lingkaran. Anda juga dapat mengambil gelas dan cangkir bundar, letakkan terbalik di atas selembar kertas dan jiplak dengan pensil. Dengan pembesaran berulang kali, garis yang dihasilkan akan menjadi tebal dan tidak sepenuhnya mulus, serta tepinya akan kabur. Lingkaran sebagai bangun ruang tidak mempunyai ciri-ciri ketebalan.

Lingkaran: definisi dan sarana dasar deskripsi

Lingkaran adalah kurva tertutup yang terdiri dari banyak titik yang terletak pada bidang yang sama dan berjarak sama dari pusat lingkaran. Dalam hal ini, pusatnya berada pada bidang yang sama. Biasanya dilambangkan dengan huruf O.

Jarak suatu titik pada lingkaran ke pusat disebut jari-jari dan dilambangkan dengan huruf R.

Jika dua titik pada lingkaran dihubungkan, maka ruas yang dihasilkan disebut tali busur. Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut diameter, dilambangkan dengan huruf D. Diameter membagi lingkaran menjadi dua busur yang sama besar dan dua kali panjang jari-jarinya. Jadi, D = 2R, atau R = D/2.

Properti akord

Jika sebuah tali busur ditarik melalui dua titik mana pun pada lingkaran, dan kemudian jari-jari atau diameter ditarik tegak lurus terhadap titik tersebut, maka ruas ini akan membagi tali busur dan busur yang dipotong olehnya menjadi dua bagian yang sama besar. Pernyataan sebaliknya juga benar: jika jari-jari (diameter) membagi tali busur menjadi dua, maka tali busur tersebut tegak lurus.
Jika dua tali busur sejajar ditarik dalam lingkaran yang sama, maka busur-busur yang dipotong oleh tali busur tersebut, serta busur-busur yang berada di antara keduanya, akan sama besar.
Mari kita menggambar dua tali busur PR dan QS yang berpotongan dalam lingkaran di titik T. Hasil kali ruas tali busur yang satu akan selalu sama dengan hasil kali ruas tali busur yang lain, yaitu PT x TR = QT x TS.

Keliling: konsep umum dan rumus dasar

Salah satu ciri dasar bangun geometri ini adalah keliling. Rumusnya diturunkan menggunakan besaran seperti jari-jari, diameter, dan konstanta "π", yang mencerminkan keteguhan rasio keliling terhadap diameternya.

Jadi, L = πD, atau L = 2πR, dengan L adalah keliling, D adalah diameter, R adalah jari-jari.

Rumus keliling dapat dianggap sebagai rumus awal ketika mencari jari-jari atau diameter keliling tertentu: D = L/π, R = L/2π.

Apa itu lingkaran: postulat dasar

tidak memiliki kesamaan;
mempunyai satu titik persekutuan, dan garis lurus tersebut disebut garis singgung: jika kita menggambar jari-jari melalui pusat dan titik singgung tersebut, maka garis tersebut akan tegak lurus terhadap garis singgung tersebut;
mempunyai dua titik persekutuan, dan garis tersebut disebut garis potong.

2. Melalui tiga titik sembarang yang terletak pada bidang yang sama, tidak lebih dari satu lingkaran yang dapat dibuat.

3. Dua buah lingkaran hanya dapat bersentuhan pada satu titik, yaitu terletak pada ruas yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran tersebut.

4. Untuk setiap rotasi relatif terhadap pusat, lingkaran berubah menjadi dirinya sendiri.

5. Apa yang dimaksud dengan lingkaran ditinjau dari simetrinya?

kelengkungan garis yang sama pada titik mana pun;
relatif terhadap titik O;
simetri cermin relatif terhadap diameter.

6. Jika Anda membuat dua sudut sembarang berdasarkan busur lingkaran yang sama, keduanya akan sama besar. Sudut yang bertumpu pada busur sama dengan setengahnya, yaitu dipotong oleh diameter tali busur, selalu sama dengan 90°.

7. Jika kita bandingkan garis lengkung tertutup yang panjangnya sama, ternyata lingkaran membatasi bagian bidang yang luasnya paling besar.

Lingkaran yang terdapat di dalamnya dan dibatasi oleh sebuah segitiga

Gagasan tentang apa itu lingkaran tidak akan lengkap tanpa uraian tentang ciri-ciri hubungannya dengan segitiga.

Ketika membuat lingkaran pada segitiga, pusatnya akan selalu berimpit dengan titik potong segitiga tersebut.
Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar suatu segitiga terletak pada perpotongan median tegak lurus masing-masing sisi segitiga.
Jika Anda menggambarkan sebuah lingkaran, pusatnya akan berada di tengah sisi miring, yaitu yang terakhir adalah diameternya.
Pusat-pusat lingkaran bertulis dan berbatas akan berada pada titik yang sama jika alas konstruksinya berada

Pernyataan dasar tentang lingkaran dan segiempat

Sebuah lingkaran dapat digambarkan mengelilingi segiempat cembung hanya jika jumlah sudut dalam yang berhadapan sama dengan 180°.
Lingkaran pada segiempat cembung dapat dibuat jika jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan sama.
Anda dapat menggambarkan lingkaran di sekitar jajar genjang jika sudut-sudutnya siku-siku.
Suatu lingkaran dapat dimasukkan ke dalam jajar genjang jika semua sisinya sama panjang, yaitu belah ketupat.
Anda dapat membuat lingkaran melalui sudut-sudut trapesium hanya jika trapesium tersebut sama kaki. Dalam hal ini, pusat lingkaran yang dibatasi akan terletak di perpotongan segi empat dan median tegak lurus yang ditarik ke samping.

Ini adalah garis datar tertutup, yang setiap titiknya berjarak sama dari titik yang sama ( HAI), ditelepon tengah.

Lurus ( O.A., O.B., sistem operasi. ..) menghubungkan pusat dengan titik-titik lingkaran tersebut jari-jari.

Dari sini kita mendapatkan:

1. Semua jari-jarinya satu lingkaran sama.

2. Dua lingkaran yang jari-jarinya sama akan sama besar.

3. Diameter sama dengan dua jari-jari.

4. Dot, yang terletak di dalam lingkaran lebih dekat ke pusat, dan suatu titik yang terletak di luar lingkaran lebih jauh dari pusat daripada titik-titik pada lingkaran.

5. Diameter, tegak lurus terhadap tali busur, membagi tali busur ini dan kedua busur yang dikontraknya menjadi dua.

6. Busur, tertutup di antara paralel akord, sama.

Saat bekerja dengan lingkaran, teorema berikut berlaku:

1. Dalil . Garis lurus dan lingkaran tidak boleh mempunyai lebih dari dua titik yang sama.

Dari teorema ini kita memperoleh dua hal berikut secara logis konsekuensi:

Tidak ada bagian lingkaran tidak dapat digabungkan dengan suatu garis, karena jika tidak, lingkaran dengan garis tersebut akan mempunyai lebih dari dua titik yang sama.

Garis yang tidak ada bagiannya yang dapat digabungkan dengan garis lurus disebut bengkok.

Dari sebelumnya dapat disimpulkan bahwa lingkaran adalah garis bengkok.

2. Dalil . Melalui tiga titik mana pun yang tidak terletak pada garis yang sama, dapat dibuat sebuah lingkaran, dan hanya satu.

Bagaimana konsekuensi dari teorema ini kita peroleh:

Tiga tegak lurus ke samping segi tiga tertulis dalam sebuah lingkaran yang ditarik melalui titik tengahnya berpotongan di satu titik, yaitu pusat lingkaran.

Mari kita selesaikan masalahnya. Hal ini diperlukan untuk menemukan pusat usulan lingkaran.

Mari kita tandai tiga titik A, B dan C pada titik yang diusulkan, tarik dua titik melaluinya akord, misalnya AB dan CB, dan dari tengah akord ini kami tunjukkan tegak lurus MN dan PQ. Pusat yang diinginkan, yang berjarak sama dari A, B dan C, harus terletak pada MN dan PQ, oleh karena itu, terletak pada perpotongan garis tegak lurus ini, yaitu. di titik O.

Lingkaran- bangun datar yang terdiri dari semua titik pada bidang yang terletak pada jarak tertentu dari suatu titik tertentu.

Titik (O) ini disebut pusat lingkaran.
Jari-jari lingkaran- ini adalah segmen yang menghubungkan pusat dengan titik mana pun pada lingkaran. Semua jari-jari memiliki panjang yang sama (menurut definisi).
Akord- segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut tali busur diameter. Pusat lingkaran adalah titik tengah dari setiap diameter.
Dua titik mana pun pada lingkaran membaginya menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini disebut busur lingkaran. Busur itu disebut setengah lingkaran, jika ruas yang menghubungkan ujung-ujungnya adalah diameter.
Panjang setengah lingkaran satuan dilambangkan dengan π .
Jumlah derajat dua busur lingkaran yang ujung-ujungnya sama adalah 360º.
Bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran disebut di sekitar.
Sektor melingkar- bagian lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dan dua jari-jari yang menghubungkan ujung-ujung busur dengan pusat lingkaran. Busur yang membatasi suatu sektor disebut busur sektor ini.
Dua lingkaran yang mempunyai pusat yang sama disebut konsentris.
Dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus disebut ortogonal.

Posisi relatif garis lurus dan lingkaran

Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih kecil dari jari-jari lingkaran ( d), maka garis lurus dan lingkaran mempunyai dua titik persekutuan. Dalam hal ini saluran tersebut disebut garis potong sehubungan dengan lingkaran.
Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran hanya mempunyai satu titik persekutuan. Baris ini disebut bersinggungan dengan lingkaran, dan titik persekutuannya disebut titik singgung antara garis dan lingkaran.
Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai poin yang sama

Sudut pusat dan tertulis

Sudut tengah adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran.
Sudut tertulis- sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran.

Teorema sudut tertulis

Sudut tertulis diukur dengan setengah busur tempat sudut itu berada.

Akibat wajar 1.
Sudut-sudut tertulis yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.

Akibat wajar 2.
Sudut tertulis yang ditunjang setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

Teorema hasil kali segmen-segmen tali busur yang berpotongan.

Jika dua tali busur suatu lingkaran berpotongan, maka hasil kali ruas tali busur yang satu sama dengan hasil kali ruas tali busur yang lain.

Rumus dasar

Lingkar:

C = 2∙π∙R

Panjang busur lingkaran:

R = С/(2∙π) = D/2

Diameter:

D = C/π = 2∙R

Panjang busur lingkaran:

aku = (π∙R) / 180∙α,
Di mana α - ukuran derajat panjang busur lingkaran)

Daerah lingkaran:

S = π∙R 2

Luas sektor melingkar:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Persamaan lingkaran

Pada sistem koordinat persegi panjang, persamaan lingkaran yang berjari-jari adalah R terpusat pada suatu titik C(x o;y o) berbentuk:

(x - x o) 2 + (y - yo) 2 = r 2

Persamaan lingkaran berjari-jari r yang berpusat di titik asal berbentuk:

x 2 + kamu 2 = r 2

Pertama, mari kita pahami perbedaan antara lingkaran dan lingkaran. Untuk melihat perbedaannya, cukup dengan memperhatikan kedua angka tersebut. Ini adalah titik-titik yang jumlahnya tak terbatas pada bidang yang terletak pada jarak yang sama dari satu titik pusat. Namun jika lingkaran juga terdiri dari ruang dalam, maka lingkaran tersebut tidak termasuk dalam lingkaran. Ternyata lingkaran adalah lingkaran yang membatasinya (lingkaran(r)), dan titik-titik yang berada di dalam lingkaran yang tak terhitung banyaknya.

Untuk setiap titik L yang terletak pada lingkaran, berlaku persamaan OL=R. (Panjang ruas OL sama dengan jari-jari lingkaran).

Segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut segmennya akord.

Tali busur yang melalui titik pusat lingkaran adalah diameter lingkaran ini (D). Diameternya dapat dihitung dengan rumus: D=2R

Lingkar dihitung dengan rumus: C=2\pi R

Luas lingkaran: S=\pi R^(2)

Busur lingkaran disebut bagian yang terletak di antara dua titiknya. Kedua titik ini menentukan dua busur lingkaran. CD akord mencakup dua busur: CMD dan CLD. Tali busur yang identik membentuk busur yang sama.

Sudut tengah Sudut yang terletak di antara dua jari-jari disebut.

Panjang busur dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Menggunakan ukuran derajat: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Menggunakan ukuran radian: CD = \alpha R

Diameter yang tegak lurus terhadap tali busur membagi tali busur dan busur yang dikontraknya menjadi dua.

Jika tali busur AB dan CD lingkaran berpotongan di titik N, maka hasil kali segmen tali busur yang dipisahkan oleh titik N adalah sama besar.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Bersinggungan dengan lingkaran

Bersinggungan dengan lingkaran Garis lurus yang memiliki satu titik persekutuan biasanya disebut dengan lingkaran.

Jika suatu garis mempunyai dua titik persekutuan disebut garis potong.

Jari-jari titik singgung tersebut ditarik tegak lurus terhadap garis singgung lingkaran.

Mari kita menggambar dua garis singgung dari titik ini ke lingkaran kita. Ternyata ruas-ruas garis singgungnya akan sama besar satu sama lain, dan pusat lingkaran akan terletak pada garis bagi sudut dengan titik puncak di titik tersebut.

AC = CB

Sekarang mari kita menggambar garis singgung dan garis potong lingkaran dari titik kita. Kita memperoleh bahwa kuadrat panjang ruas garis singgung akan sama dengan hasil kali seluruh ruas garis potong dan bagian luarnya.

AC^(2) = CD \cdot BC

Kita dapat menyimpulkan: hasil kali seluruh ruas garis potong pertama dan bagian luarnya sama dengan hasil kali seluruh ruas garis potong kedua dan bagian luarnya.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Sudut dalam lingkaran

Besar derajat sudut pusat dan busur tempatnya bertumpu adalah sama.

\sudut COD = \cangkir CD = \alpha ^(\circ)

Sudut tertulis adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya terdapat tali busur.

Anda dapat menghitungnya dengan mengetahui ukuran busur, karena sama dengan setengah busur tersebut.

\sudut AOB = 2 \sudut ADB

Berdasarkan diameter, sudut tertulis, sudut siku-siku.

\sudut CBD = \sudut CED = \sudut CAD = 90^ (\circ)

Sudut-sudut bertulisan yang membentuk busur yang sama adalah sama besar.

Sudut-sudut bertulisan yang bertumpu pada satu tali busur adalah sama besar atau jumlahnya sama dengan 180^ (\circ) .

\sudut ADB + \sudut AKB = 180^ (\circ)

\sudut ADB = \sudut AEB = \sudut AFB

Pada lingkaran yang sama terdapat titik sudut segitiga yang sudutnya sama dan alasnya tertentu.

Sudut yang titik sudutnya berada di dalam lingkaran dan terletak di antara dua tali busur sama dengan setengah jumlah nilai sudut busur lingkaran yang terdapat dalam sudut tertentu dan vertikal.

\sudut DMC = \sudut ADM + \sudut DAM = \frac(1)(2) \kiri (\cup DmC + \cup AlB \kanan)

Suatu sudut yang titik sudutnya di luar lingkaran dan terletak di antara dua garis potong sama dengan setengah selisih nilai sudut busur lingkaran yang terdapat di dalam sudut tersebut.

\sudut M = \sudut CBD - \sudut ACB = \frac(1)(2) \kiri (\cup DmC - \cup AlB \kanan)

Lingkaran tertulis

Lingkaran tertulis adalah lingkaran yang bersinggungan dengan sisi-sisi poligon.

Pada titik perpotongan garis-garis bagi sudut-sudut poligon, terletak pusatnya.

Sebuah lingkaran tidak boleh tertulis di setiap poligon.

Luas poligon dengan lingkaran bertulisan ditemukan dengan rumus:

S = pr,

p adalah setengah keliling poligon,

r adalah jari-jari lingkaran yang tertulis.

Oleh karena itu, jari-jari lingkaran yang tertulis adalah:

r = \frac(S)(p)

Jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan akan sama jika lingkaran berada pada segi empat cembung. Dan sebaliknya: sebuah lingkaran masuk ke dalam segiempat cembung jika jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan sama.

AB + DC = IKLAN + SM

Dimungkinkan untuk menuliskan lingkaran di salah satu segitiga. Hanya satu saja. Pada titik perpotongan garis-bagi sudut dalam gambar, pusat lingkaran bertulisan ini akan terletak.

Jari-jari lingkaran bertulisan dihitung dengan rumus:

r = \frac(S)(p) ,

dimana p = \frac(a + b + c)(2)

Lingkaran

Jika sebuah lingkaran melewati setiap titik sudut suatu poligon, maka lingkaran seperti itu biasanya disebut dijelaskan tentang poligon.

Pada titik potong garis-bagi yang tegak lurus pada sisi-sisi gambar ini akan menjadi pusat lingkaran luar.

Jari-jari dapat dicari dengan menghitungnya sebagai jari-jari lingkaran yang dibatasi oleh segitiga yang dibatasi oleh 3 titik sudut poligon.

Ada syarat berikut: sebuah lingkaran dapat digambarkan mengelilingi segiempat hanya jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan sama dengan 180^( \circ) .

\sudut A + \sudut C = \sudut B + \sudut D = 180^ (\circ)

Di sekitar segitiga mana pun Anda dapat menggambarkan sebuah lingkaran, dan hanya satu. Pusat lingkaran tersebut akan terletak di titik perpotongan garis-bagi tegak lurus sisi-sisi segitiga.