Dari ketimpangan muncullah ketimpangan. Kalkulator daring

Membandingkan besaran dan besaran ketika memecahkan masalah praktis telah diperlukan sejak zaman kuno. Pada saat yang sama, muncul kata-kata seperti lebih dan lebih kecil, lebih tinggi dan lebih rendah, lebih ringan dan lebih berat, lebih tenang dan lebih keras, lebih murah dan lebih mahal, dll., yang menunjukkan hasil perbandingan jumlah yang homogen.

Konsep lebih dan kurang muncul sehubungan dengan menghitung benda, mengukur dan membandingkan besaran. Misalnya, ahli matematika Yunani Kuno mengetahui bahwa sisi suatu segitiga lebih kecil dari jumlah kedua sisi lainnya dan bahwa sisi yang lebih besar terletak berhadapan dengan sudut yang lebih besar dalam sebuah segitiga. Archimedes, ketika menghitung keliling, menetapkan bahwa keliling suatu lingkaran sama dengan tiga kali diameternya dengan kelebihan yang kurang dari sepertujuh diameternya, tetapi lebih dari sepuluh tujuh puluh kali diameternya.

Tuliskan secara simbolis hubungan bilangan dan besaran dengan menggunakan tanda > dan b. Catatan dimana dua angka dihubungkan dengan salah satu tanda: > (lebih besar dari), Anda juga menemukan ketidaksetaraan numerik di kelas yang lebih rendah. Anda tahu bahwa kesenjangan bisa saja benar, bisa juga salah. Misalnya, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) adalah pertidaksamaan numerik benar, 0,23 > 0,235 adalah pertidaksamaan numerik salah.

Ketimpangan yang melibatkan hal yang tidak diketahui mungkin benar untuk beberapa nilai yang tidak diketahui dan salah untuk nilai lainnya. Misalnya, pertidaksamaan 2x+1>5 benar untuk x = 3, tetapi salah untuk x = -3. Untuk pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui, Anda dapat menetapkan tugas: menyelesaikan pertidaksamaan tersebut. Dalam praktiknya, masalah penyelesaian pertidaksamaan diajukan dan diselesaikan tidak kalah seringnya dengan masalah penyelesaian persamaan. Misalnya, banyak masalah ekonomi yang bermuara pada studi dan pemecahan sistem kesenjangan linier. Di banyak cabang matematika, pertidaksamaan lebih umum terjadi dibandingkan persamaan.

Beberapa pertidaksamaan berfungsi sebagai satu-satunya alat bantu untuk membuktikan atau menyangkal keberadaan suatu objek tertentu, misalnya akar persamaan.

Ketimpangan numerik

Anda dapat membandingkan bilangan bulat dan pecahan desimal. Mengetahui aturan membandingkan pecahan biasa yang penyebutnya sama tetapi pembilangnya berbeda; dengan pembilang yang sama tetapi penyebutnya berbeda. Di sini Anda akan belajar cara membandingkan dua bilangan dengan mencari tanda selisihnya.

Membandingkan angka banyak digunakan dalam praktik. Misalnya, seorang ekonom membandingkan indikator yang direncanakan dengan indikator aktual, seorang dokter membandingkan suhu pasien dengan suhu normal, seorang tukang bubut membandingkan dimensi bagian mesin dengan standar. Dalam semua kasus tersebut, beberapa angka dibandingkan. Akibat perbandingan angka, timbul ketidaksetaraan numerik.

Definisi. Bilangan a lebih besar dari bilangan b jika selisih a-b positif. Bilangan a lebih kecil dari bilangan b jika selisih a-b negatif.

Jika a lebih besar dari b, maka ditulis: a > b; jika a lebih kecil dari b, maka ditulis: a Jadi, pertidaksamaan a > b berarti selisih a - b positif, yaitu. a - b > 0. Pertidaksamaan a Untuk dua bilangan a dan b dari tiga relasi berikut a > b, a = b, a Membandingkan bilangan a dan b berarti mencari tanda yang mana >, = atau Dalil. Jika a > b dan b > c, maka a > c.

Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.
Konsekuensi. Suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.

Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut tidak akan berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi sebaliknya.
Konsekuensi. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi sebaliknya.

Anda tahu bahwa persamaan numerik dapat dijumlahkan dan dikalikan suku demi suku. Selanjutnya, Anda akan mempelajari cara melakukan tindakan serupa dengan ketidaksetaraan. Kemampuan menjumlahkan dan mengalikan pertidaksamaan suku demi suku sering digunakan dalam praktik. Tindakan ini membantu memecahkan masalah dalam mengevaluasi dan membandingkan makna ekspresi.

Saat menyelesaikan berbagai masalah, sering kali kita perlu menjumlahkan atau mengalikan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan suku demi suku. Pada saat yang sama, kadang-kadang dikatakan bahwa kesenjangan bertambah atau berlipat ganda. Misalnya, jika seorang turis berjalan lebih dari 20 km pada hari pertama, dan lebih dari 25 km pada hari kedua, maka kita dapat mengatakan bahwa dalam dua hari ia berjalan lebih dari 45 km. Demikian pula jika panjang suatu persegi panjang kurang dari 13 cm dan lebarnya kurang dari 5 cm, maka luas persegi panjang tersebut dapat dikatakan kurang dari 65 cm2.

Saat mempertimbangkan contoh-contoh ini, berikut ini digunakan: teorema penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan:

Dalil. Bila pertidaksamaan bertanda sama dijumlahkan, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

Dalil. Apabila pertidaksamaan bertanda sama dikalikan, yang sisi kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b, c > d dan a, b, c, d bilangan positif, maka ac > bd.

Pertidaksamaan yang bertanda > (lebih besar dari) dan 1/2, 3/4 b, c disertai tanda pertidaksamaan tegas > dan Dengan cara yang sama, pertidaksamaan \(a \geq b \) berarti bilangan a adalah lebih besar dari atau sama dengan b, yaitu .dan tidak kurang b.

Pertidaksamaan yang mengandung tanda \(\geq \) atau tanda \(\leq \) disebut tidak ketat. Misalnya, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) bukanlah pertidaksamaan tegas.

Semua sifat pertidaksamaan tegas juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas. Apalagi jika untuk pertidaksamaan tegas tanda > dianggap berlawanan dan diketahui bahwa untuk menyelesaikan sejumlah permasalahan terapan harus dibuat model matematika berupa persamaan atau sistem persamaan. Selanjutnya, Anda akan mempelajari bahwa model matematika untuk menyelesaikan banyak masalah adalah pertidaksamaan dengan hal yang tidak diketahui. Kami akan memperkenalkan konsep penyelesaian pertidaksamaan dan menunjukkan cara menguji apakah suatu bilangan merupakan solusi pertidaksamaan tertentu.

Ketimpangan bentuk
\(ax > b, \quad ax yang a dan b diberi bilangan, dan x adalah bilangan yang tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan satu hal yang tidak diketahui.

Definisi. Penyelesaian pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui adalah nilai dari pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada penyelesaian sama sekali.

Anda menyelesaikan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan paling sederhana. Demikian pula, ketika menyelesaikan pertidaksamaan, seseorang mencoba mereduksinya menggunakan sifat-sifat menjadi bentuk pertidaksamaan sederhana.

Menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel

Ketimpangan bentuk
\(ax^2+bx+c >0 \) dan \(ax^2+bx+c dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan dan \(a \neq 0 \), disebut pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel.

Solusi terhadap ketimpangan
\(ax^2+bx+c >0 \) atau \(ax^2+bx+c \) dapat dianggap sebagai interval pencarian di mana fungsi \(y= ax^2+bx+c \) bernilai positif atau negatif nilai Untuk melakukan ini, cukup menganalisis bagaimana grafik fungsi \(y= ax^2+bx+c\) terletak pada bidang koordinat: ke mana cabang-cabang parabola diarahkan - ke atas atau ke bawah, apakah parabola memotong sumbu x dan jika iya, maka di titik berapa.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel:
1) carilah diskriminan trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dan cari tahu apakah trinomial tersebut mempunyai akar;
2) jika trinomial mempunyai akar, maka tandai pada sumbu x dan melalui titik-titik yang ditandai gambarlah parabola skema, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas untuk a > 0 atau ke bawah untuk a 0 atau ke bawah untuk a 3) tentukan interval pada sumbu x yang titik-titik parabolanya terletak di atas sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan \(ax^2+bx+c >0\)) atau di bawah sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan ketidaksamaan
\(ax^2+bx+c Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval

Pertimbangkan fungsinya
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domain dari fungsi ini adalah himpunan semua bilangan. Angka nol dari fungsi tersebut adalah angka -2, 3, 5. Angka tersebut membagi domain definisi fungsi menjadi interval \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) dan \( (5; +\infty)\)

Mari kita cari tahu apa saja tanda-tanda fungsi ini pada setiap interval yang ditunjukkan.

Ekspresi (x + 2)(x - 3)(x - 5) adalah hasil kali tiga faktor. Tanda masing-masing faktor dalam interval yang dipertimbangkan ditunjukkan dalam tabel:

Secara umum, biarkan fungsinya diberikan oleh rumus
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
dimana x adalah variabel, dan x 1, x 2, ..., x n adalah bilangan-bilangan yang tidak sama. Bilangan x 1 , x 2 , ..., x n adalah nol dari fungsi tersebut. Dalam setiap interval di mana domain definisi dibagi dengan nol dari suatu fungsi, tanda dari fungsi tersebut dipertahankan, dan ketika melewati nol, tandanya berubah.

Properti ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dimana x 1, x 2, ..., x n adalah bilangan-bilangan yang tidak sama

Metode yang dipertimbangkan menyelesaikan pertidaksamaan disebut metode interval.

Mari kita berikan contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan metode interval.

Selesaikan ketimpangan:

Kami memplot angka nol dari fungsi tersebut pada sumbu bilangan dan menghitung tanda pada setiap interval:

Kami memilih interval di mana fungsinya kurang dari atau sama dengan nol dan menuliskan jawabannya.

Menjawab:
\(x \di \kiri(-\infty; \; 1 \kanan) \cangkir \kiri[ 4; \; +\infty \kanan) \)

Misalnya, pertidaksamaan adalah ekspresi \(x>5\).

Jenis-jenis ketidaksetaraan:

Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan atau , maka disebut pertidaksamaan numerik. Ini sebenarnya hanya membandingkan dua angka. Ketimpangan tersebut terbagi menjadi setia Dan tidak setia.

Misalnya:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) adalah pertidaksamaan numerik yang salah, karena \(17+3=20\), dan \(20\) kurang dari \(115\) (dan tidak lebih besar atau sama dengan) .

Jika \(a\) dan \(b\) adalah ekspresi yang mengandung variabel, maka kita punya ketimpangan dengan variabel. Ketimpangan tersebut dibagi menjadi beberapa jenis tergantung pada isinya:

Apa solusi untuk mengatasi ketimpangan?

Jika suatu bilangan disubstitusikan ke dalam suatu pertidaksamaan, bukan suatu variabel, maka bilangan tersebut akan berubah menjadi suatu bilangan.

Jika nilai x tertentu mengubah pertidaksamaan awal menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya, maka pertidaksamaan tersebut disebut solusi atas ketimpangan. Jika tidak, maka nilai tersebut bukanlah solusi. Dan begitulah menyelesaikan ketimpangan– Anda perlu menemukan semua solusinya (atau menunjukkan bahwa tidak ada solusi sama sekali).

Misalnya, jika kita mensubstitusi bilangan \(7\) ke dalam pertidaksamaan linier \(x+6>10\), kita mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar: \(13>10\). Dan jika kita substitusikan \(2\), akan terdapat pertidaksamaan numerik yang salah \(8>10\). Artinya, \(7\) merupakan solusi terhadap pertidaksamaan awal, namun \(2\) bukan.

Namun, pertidaksamaan \(x+6>10\) mempunyai solusi lain. Memang, kita akan mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar saat mensubstitusi \(5\), dan \(12\), dan \(138\)... Dan bagaimana kita bisa menemukan semua solusi yang mungkin? Untuk ini mereka menggunakan Untuk kasus kami, kami memiliki:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Artinya, angka apa pun yang lebih besar dari empat akan cocok untuk kita. Sekarang Anda perlu menuliskan jawabannya. Penyelesaian pertidaksamaan biasanya ditulis secara numerik dan juga ditandai pada sumbu bilangan dengan arsiran. Untuk kasus kami, kami memiliki:

Menjawab: \(x\in(4;+\infty)\)

Kapan tanda pertidaksamaan berubah?

Ada satu jebakan besar dalam kesenjangan yang sangat “disukai” oleh siswa:

Saat mengalikan (atau membagi) suatu pertidaksamaan dengan bilangan negatif, pertidaksamaan tersebut dibalik (“lebih” dengan “kurang”, “lebih atau sama dengan” dengan “kurang dari atau sama dengan”, dan seterusnya)

Mengapa ini terjadi? Untuk memahaminya, mari kita lihat transformasi pertidaksamaan numerik \(3>1\). Benar sekali, tiga memang lebih besar dari satu. Pertama, mari kita coba kalikan dengan bilangan positif apa pun, misalnya dua:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Seperti yang bisa kita lihat, setelah perkalian, pertidaksamaan tersebut tetap benar. Dan berapapun bilangan positif yang kita kalikan, kita akan selalu mendapatkan pertidaksamaan yang benar. Sekarang mari kita coba mengalikannya dengan bilangan negatif, misalnya dikurangi tiga:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Hasilnya adalah pertidaksamaan yang salah, karena minus sembilan lebih kecil dari minus tiga! Artinya, agar pertidaksamaan menjadi benar (dan oleh karena itu, transformasi perkalian dengan negatif adalah “sah”), Anda perlu membalik tanda perbandingannya, seperti ini: \(−9<− 3\).
Dengan pembagian, hasilnya akan sama, Anda dapat memeriksanya sendiri.

Aturan yang tertulis di atas berlaku untuk semua jenis pertidaksamaan, tidak hanya pertidaksamaan numerik.

Menjawab: \(x\in(-1;\infty)\)

Ketimpangan dan disabilitas

Pertidaksamaan, seperti halnya persamaan, dapat mempunyai batasan pada , yaitu pada nilai x. Oleh karena itu, nilai-nilai yang tidak dapat diterima menurut DZ harus dikeluarkan dari kisaran solusi.

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(\sqrt(x+1)<3\)

Larutan: Jelas bahwa agar ruas kiri lebih kecil dari \(3\), ekspresi akarnya harus lebih kecil dari \(9\) (lagipula, dari \(9\) hanya \(3\)). Kami mendapatkan:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Semua? Adakah nilai x yang lebih kecil dari \(8\) yang cocok untuk kita? TIDAK! Karena jika kita mengambil, misalnya, nilai \(-5\) yang tampaknya memenuhi syarat, maka nilai tersebut tidak akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan awal, karena akan mengarahkan kita pada penghitungan akar suatu bilangan negatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Oleh karena itu, kita juga harus memperhitungkan batasan nilai X - tidak boleh ada bilangan negatif di bawah akar. Jadi, kita memiliki persyaratan kedua untuk x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Dan agar x menjadi solusi akhir, ia harus memenuhi kedua persyaratan sekaligus: x harus lebih kecil dari \(8\) (untuk menjadi solusi) dan lebih besar dari \(-1\) (secara prinsip dapat diterima). Merencanakannya pada garis bilangan, kita mendapatkan jawaban akhir:

Menjawab: \(\kiri[-1;8\kanan)\)

Bidang bilangan real mempunyai sifat pengurutan (Bagian 6, hal. 35): untuk sembarang bilangan a, b, satu dan hanya satu dari tiga relasi yang berlaku: atau . Dalam hal ini, entri a > b berarti selisihnya positif, dan selisih entrinya negatif. Berbeda dengan bidang bilangan real, bidang bilangan kompleks tidak diurutkan: untuk bilangan kompleks konsep “lebih” dan “kurang” tidak didefinisikan; Oleh karena itu, bab ini hanya membahas bilangan real.

Relasi kita sebut pertidaksamaan, bilangan a dan b merupakan suku (atau bagian) pertidaksamaan, tanda > (lebih besar dari) dan Pertidaksamaan a > b dan c > d disebut pertidaksamaan yang maknanya sama (atau sama); pertidaksamaan a > b dan c Dari definisi pertidaksamaan dapat disimpulkan bahwa

1) bilangan positif apa pun yang lebih besar dari nol;

2) setiap bilangan negatif kurang dari nol;

3) setiap bilangan positif lebih besar dari bilangan negatif;

4) dari dua bilangan negatif, bilangan yang nilai mutlaknya lebih kecil maka lebih besar.

Semua pernyataan ini mengakui interpretasi geometris yang sederhana. Biarkan arah positif sumbu bilangan mengarah ke kanan titik awal; kemudian, apapun tanda bilangan tersebut, bilangan yang lebih besar diwakili oleh sebuah titik yang terletak di sebelah kanan titik yang melambangkan bilangan yang lebih kecil.

Ketimpangan mempunyai ciri-ciri dasar sebagai berikut.

1. Asimetri (ireversibilitas): jika , maka , dan sebaliknya.

Memang benar, jika selisihnya positif, maka selisihnya negatif. Mereka mengatakan bahwa ketika menata ulang suku-suku suatu pertidaksamaan, maka makna pertidaksamaan tersebut harus diubah menjadi sebaliknya.

2. Transitivitas: jika , maka . Memang benar bahwa dari sisi positif perbedaannya

Selain tanda pertidaksamaan, tanda pertidaksamaan juga digunakan. Tanda-tanda tersebut didefinisikan sebagai berikut: entri berarti salah satu atau Oleh karena itu, misalnya, Anda dapat menulis, dan juga. Biasanya pertidaksamaan yang ditulis dengan tanda disebut pertidaksamaan tegas, dan pertidaksamaan yang ditulis dengan tanda disebut pertidaksamaan tidak tegas. Oleh karena itu, tanda-tanda itu sendiri disebut tanda-tanda ketimpangan tegas atau tidak tegas. Sifat 1 dan 2 yang dibahas di atas juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas.

Sekarang mari kita pertimbangkan tindakan yang dapat dilakukan pada satu atau lebih ketidaksetaraan.

3. Menambah bilangan yang sama pada suku-suku suatu pertidaksamaan tidak mengubah arti pertidaksamaan tersebut.

Bukti. Biarkan pertidaksamaan dan bilangan sembarang diberikan. Secara definisi, perbedaannya adalah positif. Mari kita tambahkan dua bilangan berlawanan ke bilangan ini, yang tidak akan mengubahnya, yaitu.

Kesetaraan ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Oleh karena itu, selisihnya positif, yaitu

dan inilah yang harus dibuktikan.

Hal ini menjadi dasar kemungkinan terjadinya distorsi anggota pertidaksamaan dari satu bagian ke bagian lain yang bertanda berlawanan. Misalnya dari ketimpangan

itu mengikuti itu

4. Apabila suku-suku suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, arti pertidaksamaan tersebut tidak berubah; Jika suku-suku suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka arti pertidaksamaan tersebut berubah menjadi kebalikannya.

Bukti. Misalkan maka Jika maka karena hasil kali bilangan positif adalah positif. Membuka tanda kurung di sisi kiri pertidaksamaan terakhir, kita memperoleh , yaitu . Kasus ini dipertimbangkan dengan cara yang sama.

Kesimpulan yang persis sama dapat ditarik mengenai pembagian bagian-bagian pertidaksamaan dengan bilangan apa pun selain nol, karena pembagian dengan suatu bilangan sama dengan perkalian dengan suatu bilangan dan bilangan-bilangan tersebut mempunyai tanda yang sama.

5. Misalkan suku-suku pertidaksamaannya positif. Kemudian, jika suku-sukunya dipangkatkan positif, arti dari ketimpangan tersebut tidak berubah.

Bukti. Misalkan dalam hal ini, berdasarkan sifat transitivitas, dan . Kemudian, karena kenaikan fungsi pangkat dan positif yang monoton, kita akan mendapatkan

Khususnya, jika di mana bilangan asli, maka kita peroleh

Artinya, jika akar dari kedua ruas pertidaksamaan diekstraksi dengan suku positif, maka arti pertidaksamaan tersebut tidak berubah.

Biarkan suku-suku pertidaksamaannya menjadi negatif. Maka tidak sulit untuk membuktikan bahwa bila suku-sukunya dipangkatkan ganjil maka arti pertidaksamaannya tidak berubah, tetapi jika dipangkatkan genap maka makna pertidaksamaannya berubah menjadi sebaliknya. Dari pertidaksamaan dengan suku-suku negatif, akar pangkat ganjil juga dapat diekstraksi.

Selanjutnya, suku-suku pertidaksamaan mempunyai tanda yang berbeda-beda. Kemudian, jika dipangkatkan ke pangkat ganjil, arti dari pertidaksamaan tersebut tidak berubah, tetapi jika dipangkatkan ke pangkat genap, pada umumnya tidak ada yang dapat dikatakan secara pasti tentang arti dari pertidaksamaan yang dihasilkan. Faktanya, jika suatu bilangan dipangkatkan ganjil, tanda bilangan tersebut tetap dipertahankan sehingga arti pertidaksamaan tidak berubah. Apabila suatu pertidaksamaan dipangkatkan maka akan terbentuk pertidaksamaan yang suku-suku positifnya, dan maknanya akan bergantung pada nilai mutlak suku-suku pertidaksamaan asal, suatu pertidaksamaan yang mempunyai arti yang sama dengan pertidaksamaan semula, suatu pertidaksamaan dari arti yang berlawanan, dan bahkan kesetaraan dapat diperoleh!

Penting untuk memeriksa semua yang telah dikatakan tentang peningkatan kesenjangan kekuasaan dengan menggunakan contoh berikut.

Contoh 1. Naikkan pertidaksamaan berikut ke pangkat yang ditunjukkan, ubah tanda pertidaksamaan menjadi kebalikan atau tanda sama dengan, jika perlu.

a) 3 > 2 pangkat 4; b) sampai derajat 3;

c) sampai derajat 3; d) sampai derajat 2;

e) pangkat 5; e) sampai derajat 4;

g) 2 > -3 pangkat 2; h) pangkat 2,

6. Dari pertidaksamaan kita dapat melanjutkan ke pertidaksamaan antara, jika suku-suku pertidaksamaan tersebut positif atau keduanya negatif, maka di antara kebalikannya terdapat pertidaksamaan yang maknanya berlawanan:

Bukti. Jika a dan b bertanda sama, maka hasil kali keduanya positif. Bagilah dengan ketidaksetaraan

yaitu, apa yang diperlukan untuk diperoleh.

Jika suku-suku suatu pertidaksamaan mempunyai tanda-tanda yang berlawanan, maka pertidaksamaan antara kebalikan-kebalikannya mempunyai arti yang sama, karena tanda-tanda kebalikannya sama dengan tanda-tanda besaran itu sendiri.

Contoh 2. Periksa properti terakhir 6 menggunakan pertidaksamaan berikut:

7. Logaritma pertidaksamaan hanya dapat dibuat jika suku-suku pertidaksamaannya positif (tidak ada bilangan negatif dan logaritma nol).

Membiarkan . Maka akan ada

dan kapan akan ada

Kebenaran pernyataan ini didasarkan pada monotonisitas fungsi logaritma, yang meningkat jika basis dan menurun dengan

Jadi, ketika logaritma dari suatu pertidaksamaan yang terdiri dari suku-suku positif ke basis yang lebih besar dari satu, maka akan terbentuk pertidaksamaan yang mempunyai arti yang sama dengan pertidaksamaan tersebut, dan ketika membawa logaritma ke basis positif yang kurang dari satu, maka pertidaksamaan tersebut akan terbentuk. makna yang berlawanan terbentuk.

8. Jika, maka jika, tetapi, maka.

Hal ini langsung mengikuti sifat monotonisitas fungsi eksponensial (Bagian 42), yang meningkat dalam kasus ini dan menurun jika

Ketika menjumlahkan pertidaksamaan suku-suku yang mempunyai arti yang sama, maka akan terbentuk suatu pertidaksamaan yang mempunyai arti yang sama dengan datanya.

Bukti. Mari kita buktikan pernyataan ini untuk dua pertidaksamaan, meskipun pernyataan ini benar untuk sejumlah pertidaksamaan yang ditambahkan. Biarkan ketidaksetaraan diberikan

Menurut definisinya, angkanya akan positif; maka jumlah mereka juga menjadi positif, yaitu.

Mengelompokkan istilah-istilah secara berbeda, kita dapatkan

dan karena itu

dan inilah yang harus dibuktikan.

Tidak mungkin mengatakan sesuatu yang pasti dalam kasus umum tentang makna suatu pertidaksamaan yang diperoleh dengan menjumlahkan dua atau lebih pertidaksamaan yang maknanya berbeda.

10. Jika dari suatu pertidaksamaan kita mengurangi suku demi suku pertidaksamaan lain yang berlawanan makna, maka akan terbentuk pertidaksamaan yang maknanya sama dengan pertidaksamaan pertama.

Bukti. Biarkan dua ketidaksetaraan dengan arti berbeda diberikan. Yang kedua, menurut sifat ireversibilitasnya, dapat ditulis ulang sebagai berikut: d > c. Sekarang mari kita tambahkan dua pertidaksamaan yang memiliki arti yang sama dan dapatkan pertidaksamaannya

arti yang sama. Dari yang terakhir kita temukan

dan inilah yang harus dibuktikan.

Tidak mungkin untuk mengatakan sesuatu yang pasti dalam kasus umum tentang arti dari suatu pertidaksamaan yang diperoleh dengan mengurangkan satu pertidaksamaan dari pertidaksamaan lain yang mempunyai arti yang sama.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Ketimpangan disebut linier ruas kiri dan kanannya merupakan fungsi linier terhadap besaran yang tidak diketahui. Hal ini misalnya mencakup kesenjangan:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Ketimpangan yang ketat: kapak +b>0 atau kapak+b<0

2) Ketimpangan yang tidak ketat: kapak +b≤0 atau kapak+b≫ 0

Mari kita menganalisis tugas ini. Salah satu sisi jajar genjang adalah 7 cm. Berapa panjang sisi yang lain agar keliling jajar genjang lebih besar dari 44 cm?

Biarkan sisi yang diperlukan menjadi X cm. Dalam hal ini, keliling jajar genjang akan diwakili oleh (14 + 2x) cm. Pertidaksamaan 14 + 2x > 44 adalah model matematika dari soal keliling jajar genjang. Jika kita mengganti variabel dalam pertidaksamaan ini X misalnya pada bilangan 16, maka diperoleh pertidaksamaan numerik yang benar 14 + 32 > 44. Dalam hal ini dikatakan bahwa bilangan 16 merupakan penyelesaian pertidaksamaan 14 + 2x > 44.

Memecahkan ketimpangan sebutkan nilai suatu variabel yang mengubahnya menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya.

Jadi, masing-masing bilangan tersebut adalah 15,1; 20;73 merupakan penyelesaian pertidaksamaan 14 + 2x > 44, tetapi bilangan 10, misalnya, bukan penyelesaiannya.

Selesaikan ketimpangan berarti menetapkan semua solusinya atau membuktikan bahwa tidak ada solusi.

Rumusan penyelesaian pertidaksamaan serupa dengan rumusan akar persamaan. Namun bukanlah hal yang lazim untuk menyebut “akar ketimpangan”.

Sifat-sifat persamaan numerik membantu kita memecahkan persamaan. Demikian pula, sifat-sifat pertidaksamaan numerik akan membantu menyelesaikan pertidaksamaan.

Saat menyelesaikan suatu persamaan, kita menggantinya dengan persamaan lain yang lebih sederhana, tetapi setara dengan persamaan yang diberikan. Jawaban terhadap kesenjangan ditemukan dengan cara yang sama. Saat mengubah suatu persamaan menjadi persamaan ekuivalen, mereka menggunakan teorema tentang memindahkan suku-suku dari satu sisi persamaan ke sisi yang berlawanan dan tentang mengalikan kedua sisi persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama. Saat menyelesaikan suatu pertidaksamaan, terdapat perbedaan yang signifikan antara pertidaksamaan tersebut dan suatu persamaan, yang terletak pada kenyataan bahwa setiap penyelesaian suatu persamaan dapat diverifikasi hanya dengan substitusi ke dalam persamaan aslinya. Dalam pertidaksamaan, metode ini tidak ada karena tidak mungkin untuk mensubstitusi solusi yang tak terhitung jumlahnya ke dalam pertidaksamaan awal. Oleh karena itu, ada konsep penting yaitu anak panah tersebut<=>adalah tanda transformasi yang setara, atau setara. Transformasi tersebut disebut setara, atau setara, jika mereka tidak mengubah rangkaian solusi.

Aturan serupa untuk menyelesaikan kesenjangan.

Jika kita memindahkan suatu suku dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya, mengganti tandanya dengan tanda yang berlawanan, kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan (dibagi) dengan bilangan positif yang sama, kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan bilangan tersebut.

Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan (dibagi) dengan bilangan negatif yang sama, dan mengganti tanda pertidaksamaan dengan tanda pertidaksamaan yang berlawanan, kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

Menggunakan ini aturan Mari kita hitung pertidaksamaan berikut.

1) Mari kita analisis ketimpangan tersebut 2x - 5 > 9.

Ini ketimpangan linier, kita akan mencari solusinya dan membahas konsep dasarnya.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda berlawanan), lalu kita bagi semuanya dengan 2 dan kita punya x > 7. Mari kita plot himpunan solusi pada sumbu X

Kami telah memperoleh sinar yang diarahkan secara positif. Kami mencatat himpunan solusi baik dalam bentuk pertidaksamaan x > 7, atau dalam bentuk interval x(7; ∞). Apa solusi khusus untuk mengatasi kesenjangan ini? Misalnya, x = 10 adalah solusi khusus untuk ketimpangan ini, x = 12- ini juga merupakan solusi khusus untuk ketimpangan ini.

Ada banyak solusi parsial, namun tugas kita adalah menemukan semua solusi. Dan biasanya ada banyak sekali solusi.

Mari kita selesaikan contoh 2:

2) Mengatasi ketimpangan 4a - 11 > a+13.

Mari kita selesaikan: A pindahkan ke satu sisi 11 pindahkan ke sisi lain, kita mendapatkan 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ketidaksetaraan memiliki bentuk A<8 .

4a - 11 > a+13<=>3a< 24 <=>A< 8 .

Kami juga akan menampilkan setnya A< 8 , tapi sudah di poros A.

Jawabannya bisa kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan a< 8, либо A(-∞;8), 8 tidak menyala.