Kasus ketika jumlah persamaan M lebih banyak variabel N, dengan secara berurutan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui dari persamaan yang mengarah ke kasus M= N atau M N.
Kasus pertama telah dibahas sebelumnya. M N Dalam kasus kedua, ketika jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah persamaan yang tidak diketahui M dan persamaannya independen, menonjol variabel utama N- M)Dan ( variabel non-inti . Variabel utama adalah variabel yang memenuhi syarat: determinan yang terdiri dari koefisien-koefisien variabel-variabel tersebut tidak sama dengan nol. Yang utama dapat berupa kelompok variabel yang berbeda. Jumlah total kelompok tersebut N N sama dengan banyaknya kombinasi M:
elemen oleh Jika suatu sistem memiliki setidaknya satu kelompok variabel dasar, maka sistem ini adalah tidak pasti
, artinya, ia memiliki banyak solusi. Jika sistem tidak memiliki satu kelompok variabel dasar, maka sistem tersebut memiliki non-bersama
, artinya, tidak ada solusi tunggal.
Jika suatu sistem mempunyai banyak solusi, maka solusi dasar akan dibedakan di antara solusi-solusi tersebut.
Solusi dasar 
adalah solusi yang variabel minornya sama dengan nol. Sistem ini tidak memiliki lebih dari
solusi dasar. Solusi sistem dibagi menjadi dapat diterima Dan .
tidak dapat diterima Dapat diterima
Ini adalah solusi yang nilai semua variabelnya non-negatif. Jika setidaknya salah satu nilai variabelnya negatif, maka penyelesaiannya disebut .
tidak dapat diterima
Contoh 4.5
Temukan solusi dasar sistem persamaan
.
Mari kita cari banyak solusi dasar Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu X Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 1 dan
.
2. Mari kita periksa determinannya dari koefisiennya Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 1 ,Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu Karena determinan ini tidak sama dengan nol, maka variabelnya
2 adalah yang utama. Sekarang mari kita asumsikan itu X
3 =0. Kemudian kita memperoleh sistem dalam bentuk
,
.
Mari kita selesaikan menggunakan rumus Cramer:
Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 1 =1,Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 2 =0,Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 3 =0 .
Jadi, solusi dasar pertama mempunyai bentuk Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu X Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 3 .
.
Sekarang mari kita periksa apakah variabel-variabel tersebut termasuk dalam variabel utama Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu X Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu Kami mengerti Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 3 - kelompok variabel utama kedua. Ayo taruh
,
.
2 =0 dan selesaikan sistemnya
Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 1 =1,Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 2 =0,Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 3 =0.
Solusi dasar kedua mempunyai bentuk Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu Sekarang mari kita periksa apakah variabel-variabel tersebut termasuk dalam variabel utama Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu 3 .
2 dan Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu Sekarang mari kita periksa apakah variabel-variabel tersebut termasuk dalam variabel utama Jadi, di antara sekian banyak solusi sistem, tidak lebih dari tiga solusi dasar. Mari kita soroti dua variabel utama di antara ketiganya. Anggap saja begitu yaitu variabel
Kondisi kesesuaian sistem persamaan linier m dengan n variabel diberikan dengan menggunakan konsep rank matriks.
Peringkat matriks – ini adalah angka yang sama dengan urutan tertinggi dari minor selain nol.
Untuk matriks A
kecil k urutan -th berfungsi sebagai determinan yang terdiri dari unsur-unsur apa pun k garis dan k kolom.
Misalnya,
Contoh 2
Temukan pangkat suatu matriks
Mari kita hitung determinan matriksnya
Caranya, kalikan baris pertama dengan (-4) dan tambahkan dengan baris kedua, lalu kalikan baris pertama dengan (-7) dan tambahkan dengan baris ketiga, sehingga kita mendapatkan determinannya.
Karena maka baris determinan yang dihasilkan adalah proporsional 
.
Dari sini kita dapat melihat bahwa minor orde ke-3 sama dengan 0, dan minor orde ke-2 tidak sama dengan 0.
Jadi, rank matriks tersebut adalah r=2.
Matriks yang Diperluas sistem memiliki bentuk
Teorema Kronecker-Capelli
Agar sistem linier konsisten, pangkat matriks yang diperluas harus sama dengan pangkat matriks utama. 
.
Jika 
,
maka sistemnya tidak konsisten.
Untuk sistem persamaan linear simultan, ada tiga kasus yang mungkin terjadi:
1)Jika 
, maka sistem LU memiliki (m-r) persamaan bergantung linier, persamaan tersebut dapat dikeluarkan dari sistem;
2) Jika 
, maka sistem LU mempunyai solusi unik;
3) Jika 
, maka sistem LU mempunyai banyak solusi
SEBUAH 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ sebuah 2pxp= B 2 ,
........................................
A S 1 x 1 + sebuah S 2 x 2 +...+ a s p x p= b s.
Kami akan melakukan transformasi dasar padanya. Untuk melakukan ini, kita menulis matriks koefisien untuk sistem yang tidak diketahui (1) dengan penambahan kolom suku bebas, dengan kata lain matriks diperluas Ā untuk sistem (1):
Mari kita asumsikan bahwa dengan bantuan transformasi seperti itu dimungkinkan untuk mereduksi matriks Ā ke formulir:
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n =c 2,......................................
b rr x r +...+b rn x n =c r ,
yang diperoleh dari sistem (1) dengan menggunakan sejumlah transformasi dasar dan oleh karena itu ekuivalen dengan sistem (1). Jika dalam sistem (4) r=n, lalu dari persamaan terakhir yang berbentuk b nn x n =c n(Di mana b nn≠ 0), kami menemukan satu-satunya nilai xn, dari persamaan kedua dari belakang – nilai xn-1(sejak xn sudah diketahui), dst., terakhir, dari persamaan pertama - nilainya X 1. Jadi, kalau-kalau) r=n sistem memiliki solusi unik. Jika R
X 1 =sebuah 1, R+1x R+1 +...+a 1 N X N+b 1,
|
|
............................................
X R=a R, R+1x R+1 +...+a tidak X N+b R.
yang pada dasarnya keputusan umum sistem (1).
Yang tidak diketahui x r+1, ..., x n disebut bebas. Dari sistem (5) dapat dicari nilai x1,..., x r.
Pengurangan matriks Ā untuk membentuk (3) hanya mungkin jika sistem persamaan awal (1) konsisten. Jika sistem (1) tidak konsisten, maka pengurangan seperti itu tidak mungkin dilakukan. Keadaan ini dinyatakan dalam kenyataan bahwa dalam proses transformasi matriks Ā sebuah garis muncul di dalamnya di mana semua elemen sama dengan nol, kecuali yang terakhir. Garis ini sesuai dengan persamaan bentuk:
0*x 1 +0*x 2 +...+0*x N=B,
yang tidak dipenuhi oleh nilai apa pun yang tidak diketahui, karena B≠0. Dalam hal ini sistemnya tidak konsisten.
Dalam proses mereduksi sistem (1) ke bentuk bertahap, dapat diperoleh persamaan bentuk 0=0. Mereka dapat dibuang karena ini mengarah pada sistem persamaan yang setara dengan yang sebelumnya.
Saat menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode Gaussian, akan lebih mudah untuk mereduksi bukan sistem persamaan itu sendiri, tetapi matriks yang diperluas dari sistem ini menjadi bentuk bertahap, dengan melakukan semua transformasi pada baris-barisnya. Matriks barisan yang diperoleh selama transformasi biasanya dihubungkan dengan tanda ekuivalen.
Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut dengan 4 yang tidak diketahui:
2x 1 +5x 2 +4x 3 +x 4 =20,
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 =11,
2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 =40,
3x 1 +8x 2 +9x 3 +2x 4 =37.
Mari kita tuliskan matriks koefisien yang diperluas untuk yang tidak diketahui dengan penambahan kolom suku bebas.
Mari kita menganalisis baris-baris matriks yang diperluas:
Pada elemen baris ke-2 kita tambahkan elemen baris ke-1, dibagi (-2);
Dari baris ke-3, kurangi baris ke-1;
Ke baris ke-4 kita tambahkan baris ke-1, dikalikan dengan (-3/2).
Sebagai alat komputasi, kita akan menggunakan alat program Unggul-97.
1. Nyalakan komputer Anda.
2. Tunggu hingga sistem operasi melakukan booting jendela, setelah itu membuka jendela Microsoft Excel.
3. Isi selnya tabel dengan nilai matriks yang diperluas (Gbr. 11.1)
Beras. 11.1 Gambar. 11.2
4. Untuk menjalankan algoritma verbal yang dipilih, lakukan tindakan berikut.
· Aktifkan sel A5 dan dari keyboard masukkan rumus berbentuk =A2+A1/(-2), setelah itu pelengkapan otomatis masukkan hasil numerik di sel B5¸E5;
· Di sel A6 kita akan menempatkan hasil pengurangan baris ke-1 dari baris ke-3, dan sekali lagi, menggunakan pelengkapan otomatis, isi sel B6¸E6;
· di sel A7 kita menulis rumus berbentuk =A4+A1*(-3/2) dan pelengkapan otomatis Mari masukkan hasil numerik di sel B7¸E7.
5. Mari kita analisis kembali baris-baris hasil transformasi dasar matriks untuk menjadikannya bentuk segitiga.
·Pada baris ke-6 tambahkan baris ke-5, dikalikan dengan angka (-10);
· kurangi baris ke-5 dari baris ke-7.
Kami menerapkan algoritma yang direkam di sel A8, A9, setelah itu ayo bersembunyi 6 dan 7 – garis (lihat Gambar 11.3).
Beras. 11.3 Gambar. 11.4
6. Dan hal terakhir yang perlu dilakukan untuk mengubah matriks menjadi segitiga adalah dengan menjumlahkan baris ke-8 ke baris ke-9, dikalikan (-3/5), setelah itu bersembunyi Baris ke-9 (Gbr. 11.4).
Seperti yang Anda lihat, elemen-elemen matriks yang dihasilkan berada pada baris 1, 5, 8 dan 10, dan pangkat dari matriks yang dihasilkan adalah r = 4, oleh karena itu, sistem persamaan ini mempunyai solusi unik. Mari kita tuliskan sistem yang dihasilkan:
2x 1 +5x 2 +4x 3 + x 4 =20,
0,5x 2 + 0,5x 4 =1,
5x 3 +x 4 =10,
Dari persamaan terakhir kita dengan mudah menemukan x 4 =0; dari persamaan ke-3 kita temukan x 3 =2; dari tanggal 2 – x 2 =2 dan dari tanggal 1 – x 1 =1, masing-masing.
Tugas untuk pekerjaan mandiri.
Dengan menggunakan metode Gauss, selesaikan sistem persamaan:
Pekerjaan Laboratorium No. 15. Mencari akar-akar persamaan f(x)=0
Metode penyelesaian persamaan linier dan kuadrat diketahui orang Yunani kuno. Penyelesaian persamaan derajat ketiga dan keempat diperoleh melalui upaya matematikawan Italia S. Ferro, N. Tartaglia, G. Cartano, L. Ferrari pada masa Renaisans. Kemudian tiba saatnya mencari rumus untuk mencari akar-akar persamaan derajat kelima ke atas. Upaya yang gigih namun sia-sia berlanjut selama sekitar 300 tahun dan berakhir pada tahun 20-an abad ke-21 berkat karya ahli matematika Norwegia N. Abel. Dia membuktikan bahwa persamaan umum kekuatan kelima dan lebih tinggi tidak dapat dipecahkan oleh kaum radikal. Penyelesaian persamaan umum derajat ke-n
a 0 x n +a 1 x n -1 +…+an -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)
ketika n³5 tidak dapat dinyatakan melalui koefisien menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar.
Untuk persamaan non-aljabar seperti
x–cos(x)=0 (2)
tugasnya menjadi lebih sulit. Dalam hal ini, jarang sekali ditemukan ekspresi eksplisit untuk akarnya.
Dalam kondisi ketika rumus “tidak berfungsi”, ketika rumus hanya dapat diandalkan dalam kasus yang paling sederhana, algoritma komputasi universal menjadi sangat penting. Ada sejumlah algoritma yang dikenal yang memungkinkan pemecahan masalah yang sedang dipertimbangkan.
Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Persamaan dengan empat hal yang tidak diketahui dapat mempunyai banyak kemungkinan penyelesaian. Dalam matematika sering kita jumpai persamaan jenis ini. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut dengan benar, perlu menggunakan semua fitur persamaan untuk menyederhanakan dan mempersingkat penyelesaiannya.
Mari kita lihat solusinya pada contoh berikut:
Dengan menjumlahkan persamaan pertama dan kedua per bagian, Anda bisa mendapatkan persamaan yang sangat sederhana:
\ atau \
Mari kita lakukan tindakan serupa dengan persamaan 2 dan 3:
\ atau \
Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan \ dan \
Kita mendapatkan \ dan \
Kami mengganti angka-angka yang dihasilkan ke dalam persamaan 1 dan 3:
\ atau \
\ atau \
Mengganti angka-angka ini dengan persamaan kedua dan keempat akan menghasilkan persamaan yang persis sama.
Namun bukan itu saja, karena masih ada 2 persamaan yang harus diselesaikan dengan 2 persamaan yang belum diketahui. Anda dapat melihat solusi persamaan jenis ini di artikel di sini.
Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan dengan empat hal yang tidak diketahui secara online?
Anda dapat menyelesaikan persamaan dengan yang tidak diketahui secara online di https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.
