Bagaimana menyederhanakan radikal yang kompleks. Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Sepintas, prosedur pemfaktoran akar kuadrat tampak rumit dan tidak dapat diakses. Tapi itu tidak benar. Dalam artikel ini, kami akan menunjukkan cara mendekati akar kuadrat dan faktornya, serta menyelesaikan akar kuadrat dengan mudah menggunakan dua metode yang telah terbukti.

Yandex.RTB RA-339285-1

Memfaktorkan akar

Pertama, mari kita tentukan tujuan dari prosedur faktorisasi akar kuadrat. Target- sederhanakan akar kuadrat dan tuliskan dalam bentuk yang nyaman untuk perhitungan.

Definisi 1

Memfaktorkan akar kuadrat adalah mencari dua bilangan atau lebih yang jika dikalikan satu sama lain akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan aslinya. Contoh: 4x4 = 16.

Jika Anda dapat menemukan faktor-faktornya, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan ekspresi akar kuadrat atau menghilangkannya sama sekali:

Contoh 1

Bagilah bilangan radikal dengan 2 jika bilangan genap.

Bilangan radikal harus selalu dibagi dengan bilangan prima, karena nilai bilangan prima apa pun dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Kalau bilanganmu ganjil, coba bagi dengan 3. Tidak habis dibagi 3? Lanjutkan membagi dengan 5, 7, 9, dst.

Tuliskan persamaan tersebut sebagai akar hasil kali dua bilangan.

Misalnya, kamu bisa menyederhanakan 98 dengan cara berikut: = 98 2 = 49. Maka 2 × 49 = 98, maka kita dapat menulis ulang soal tersebut sebagai berikut: 98 = (2 × 49).

Lanjutkan penguraian bilangan-bilangan tersebut hingga hasil perkalian dua bilangan identik dan bilangan-bilangan lainnya tetap berada di bawah akar.

Mari kita ambil contoh kita (2 × 49):

Karena 2 sudah disederhanakan secara maksimal, maka 49 perlu disederhanakan. Kita mencari bilangan prima yang habis dibagi 49. Jelas, baik 3 maupun 5 tidak cocok. Tinggal 7: 49 7 = 7, jadi 7 × 7 = 49.

Kita tuliskan contohnya dalam bentuk berikut: (2×49) = (2×7×7) .

Sederhanakan ekspresi akar kuadrat.

Karena dalam tanda kurung kita mempunyai hasil kali 2 dan dua bilangan identik (7), kita dapat mengeluarkan bilangan 7 dari tanda akarnya.

Contoh 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

Jika ada dua bilangan identik di bawah akar, berhentilah memfaktorkan bilangan-bilangan tersebut. Tentunya jika Anda sudah memanfaatkan semua kemungkinan dengan maksimal.

Ingat: ada akar-akar yang bisa disederhanakan berkali-kali.

Dalam hal ini, angka-angka yang kita keluarkan dari bawah akar dan angka-angka yang ada di depannya dikalikan.

Contoh 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

tetapi 45 dapat difaktorkan dan akarnya disederhanakan lagi.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Jika tidak mungkin mendapatkan dua bilangan identik di bawah tanda akar, ini berarti akar tersebut tidak dapat disederhanakan.

Jika, setelah menguraikan ekspresi akar menjadi hasil kali bilangan prima, Anda tidak dapat memperoleh dua bilangan yang identik, maka akar tersebut tidak dapat disederhanakan.

Contoh 4

70 = 35×2, jadi 70 = (35×2)

35 = 7 × 5, jadi (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Seperti yang Anda lihat, ketiga faktor tersebut merupakan bilangan prima yang tidak dapat difaktorkan. Tidak ada angka yang sama di antara angka-angka tersebut, sehingga tidak mungkin untuk menghapus bilangan bulat dari bawah akar. Menyederhanakan 70 itu dilarang.

Kotak penuh

Hafalkan beberapa kuadrat bilangan prima.

Kuadrat suatu bilangan diperoleh dengan mengalikannya dengan bilangan itu sendiri, yaitu. saat mengkuadratkan. Jika Anda mengingat sepuluh kuadrat bilangan prima, maka ini akan sangat menyederhanakan hidup Anda dalam menyederhanakan akar-akarnya.

Contoh 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Jika ada kuadrat lengkap di bawah tanda akar dari akar kuadrat, maka ada baiknya menghilangkan tanda akar dan menuliskan akar kuadrat dari kuadrat lengkap tersebut.

Sulit? TIDAK:

Contoh 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Cobalah menguraikan bilangan di bawah tanda akar menjadi hasil kali kuadrat sempurna dan bilangan lainnya.

Jika Anda melihat bahwa ekspresi radikal didekomposisi menjadi produk kuadrat sempurna dan suatu bilangan, maka dengan mengingat beberapa contoh, Anda akan menghemat waktu dan tenaga secara signifikan:

Contoh 7

50 = (25 × 2) = 5 2. Jika bilangan radikal berakhiran 25, 50, atau 75, Anda selalu dapat memfaktorkannya ke dalam hasil kali 25 dan suatu bilangan.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Jika bilangan radikal berakhiran 00, Anda selalu dapat memfaktorkannya ke dalam hasil kali 100 dan suatu bilangan.

72 = (9 × 8) = 3 8. Jika jumlah digit suatu bilangan radikal adalah 9, Anda selalu dapat memfaktorkannya ke dalam hasil kali 9 dan suatu bilangan.

Cobalah menguraikan bilangan radikal menjadi hasil kali beberapa kuadrat lengkap: keluarkan dari bawah tanda akar dan kalikan.

Contoh 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Rumus akar. Sifat-sifat akar kuadrat.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Pada pelajaran sebelumnya kita telah mengetahui apa itu akar kuadrat. Saatnya mencari tahu mana yang ada rumus untuk akar apa yang sifat-sifat akar, dan apa yang bisa dilakukan dengan semua ini.

Rumus akar, sifat-sifat akar, dan aturan bekerja dengan akar- ini pada dasarnya adalah hal yang sama. Ternyata hanya ada sedikit rumus untuk akar kuadrat. Yang tentu saja membuatku bahagia! Atau lebih tepatnya, Anda dapat menulis banyak rumus berbeda, tetapi untuk pekerjaan yang praktis dan percaya diri dengan akar, hanya tiga rumus yang cukup. Segala sesuatu yang lain mengalir dari ketiganya. Meski banyak orang yang bingung dengan ketiga rumus akar tersebut, ya...

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Ini dia:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Ekspresi radikal adalah ekspresi aljabar yang berada di bawah tanda akar (kuadrat, kubik, atau orde lebih tinggi). Terkadang arti dari ekspresi yang berbeda bisa sama, misalnya 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Penyederhanaan ekspresi radikal dimaksudkan untuk membawanya ke beberapa bentuk notasi kanonik. Jika dua ekspresi yang ditulis dalam bentuk kanonik masih berbeda, maka nilainya tidak sama. Dalam matematika, diyakini bahwa bentuk kanonik penulisan ekspresi radikal (serta ekspresi dengan akar) sesuai dengan aturan berikut:

• Jika memungkinkan, hilangkan pecahan di bawah tanda akar
• Singkirkan ekspresi dengan eksponen pecahan
• Jika memungkinkan, hilangkan akar-akar penyebutnya
• Singkirkan operasi perkalian akar demi akar
• Di bawah tanda akar, Anda hanya perlu menyisakan suku-suku yang tidak mungkin mengekstrak akar bilangan bulat

Aturan-aturan ini dapat diterapkan untuk tugas-tugas pengujian. Misalnya, jika Anda menyelesaikan suatu soal, tetapi hasilnya tidak sesuai dengan jawaban yang diberikan, tulislah hasilnya dalam bentuk kanonik. Perlu diingat bahwa jawaban tugas tes diberikan dalam bentuk kanonik, sehingga jika Anda menuliskan hasilnya dalam bentuk yang sama, Anda dapat dengan mudah menentukan jawaban yang benar. Jika suatu soal memerlukan “penyederhanaan jawaban” atau “penyederhanaan ekspresi radikal”, hasilnya perlu ditulis dalam bentuk kanonik. Selain itu, bentuk kanonik membuat penyelesaian persamaan menjadi lebih mudah, meskipun beberapa persamaan lebih mudah diselesaikan jika Anda melupakan notasi kanonik untuk sementara waktu.

Tangga

Menyingkirkan kotak penuh dan kubus penuh

Menyingkirkan ekspresi dengan eksponen pecahan

Ubah ekspresi dengan eksponen pecahan menjadi ekspresi radikal. Atau, jika perlu, ubah ekspresi radikal menjadi ekspresi pecahan, namun jangan pernah mencampurkan ekspresi tersebut ke dalam persamaan yang sama, misalnya seperti ini: √5 + 5^(3/2). Katakanlah Anda memutuskan untuk bekerja dengan akarnya; Kita akan menyatakan akar kuadrat dari n sebagai √n, dan akar pangkat tiga dari n sebagai pangkat tiga√n.

Menyingkirkan pecahan di bawah tanda akar

Menurut bentuk notasi kanonik, akar pecahan harus direpresentasikan sebagai pembagian akar bilangan bulat.

Lihatlah ekspresi radikalnya. Jika pecahan, lanjutkan ke langkah berikutnya.

Gantikan akar pecahan dengan perbandingan kedua akarnya sesuai dengan identitas berikut:√(a/b) = √a/√b.

• Jangan gunakan identitas ini jika penyebutnya negatif atau mengandung variabel yang mungkin negatif. Dalam hal ini, sederhanakan pecahannya terlebih dahulu.

1. Sederhanakan kuadrat sempurna (jika Anda memilikinya). Misalnya, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Menghilangkan operasi perbanyakan akar

Menyingkirkan faktor-faktor yang merupakan kuadrat sempurna

Faktorkan bilangan radikalnya. Faktor adalah beberapa bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Misalnya, 5 dan 4 adalah dua faktor dari bilangan 20. Jika akar bilangan bulat tidak dapat diekstraksi dari suatu bilangan radikal, faktorkan bilangan tersebut ke dalam faktor-faktornya yang mungkin dan carilah kuadrat sempurna di antara keduanya.

• Misalnya, tuliskan semua faktor dari 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 adalah faktor dari 45 (9 x 5 = 45) dan kuadrat sempurna (9 = 3^2).

1. Ambil pengali, yang merupakan kuadrat sempurna, di luar tanda akar. 9 adalah kuadrat sempurna karena 3 x 3 = 9. Hilangkan angka 9 di bawah tanda akar dan tuliskan angka 3 sebelum tanda akar; di bawah tanda akar akan ada 5. Jika di bawah tanda akar ditaruh angka 3 maka akan dikalikan dengan dirinya sendiri dan dengan angka 5, yaitu 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Jadi, 3 √ 5 merupakan bentuk sederhana dari notasi √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Temukan kuadrat sempurna dalam ekspresi radikal dengan variabel. Ingat: √(a^2) = |a|. Ekspresi seperti itu dapat disederhanakan menjadi "a", tetapi hanya jika variabelnya bernilai positif. √(a^3) dapat diuraikan menjadi √a * √(a^2), karena ketika mengalikan variabel yang identik, eksponennya akan bertambah (a * a^2 = a^3).

   • Jadi, dalam ekspresi a^3, kuadrat sempurna adalah a^2.

3. Keluarkan variabel yang berbentuk kuadrat sempurna di luar tanda akar. Hilangkan a^2 di bawah tanda akar dan tuliskan "a" sebelum tanda akar. Jadi, √(a^3) = a√a.

   Berikan istilah serupa dan sederhanakan ekspresi rasional apa pun.

Menghilangkan akar-akar penyebut (rasionalisasi penyebut)

1. Menurut bentuk kanonik, penyebutnya, jika memungkinkan, hanya boleh menyertakan bilangan bulat (atau polinomial jika ada variabel).

   • Jika penyebutnya adalah monomial radikal, misalnya [pembilang]/√5, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan akar tersebut: ([pembilang] * √5)/(√5 * √5) = ([pembilang] * √5 )/5.
     • Untuk akar pangkat tiga atau akar yang lebih besar, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan akar yang mempunyai akar pangkat yang sesuai untuk merasionalkan penyebutnya. Misalnya, jika penyebutnya adalah pangkat tiga √5, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tiga √(5^2).
   • Jika penyebutnya merupakan penjumlahan atau selisih akar-akar kuadrat, misalnya √2 + √6, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugasinya, yaitu persamaan yang suku-sukunya bertanda berlawanan. Contoh: [pembilang]/(√2 + √6) = ([pembilang] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Kemudian gunakan rumus selisih kuadrat ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) untuk merasionalkan penyebutnya: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • Rumus selisih kuadrat juga dapat diterapkan pada ekspresi bentuk 5 + √3 karena bilangan bulat apa pun adalah akar kuadrat dari bilangan bulat lainnya. Misalnya: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Cara ini bisa diterapkan pada penjumlahan akar kuadrat seperti √5 - √6 + √7. Jika Anda mengelompokkan ekspresi ini dalam bentuk (√5 - √6) + √7 dan mengalikannya dengan (√5 - √6) - √7, Anda tidak akan menghilangkan akar-akarnya, tetapi akan mendapatkan ekspresi dalam bentuk a + b * √30, dengan " a" dan "b" adalah monomial tanpa akar. Kemudian ekspresi yang dihasilkan dapat dikalikan dengan konjugasinya: (a + b * √30)(a - b * √30) untuk menghilangkan akar-akarnya. Artinya, jika ekspresi konjugasi dapat digunakan satu kali untuk menghilangkan sejumlah akar, maka ekspresi tersebut dapat digunakan sebanyak yang diperlukan untuk menghilangkan semua akar.
     • Cara ini juga berlaku untuk akar-akar yang derajatnya lebih tinggi, seperti ungkapan "akar ke-4 dari 3 ditambah akar ke-7 dari 9". Dalam hal ini, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan ekspresi konjugasi penyebutnya. Namun di sini ekspresi konjugasinya akan sedikit berbeda dibandingkan dengan yang dijelaskan di atas. Anda dapat membaca tentang kasus ini di buku teks aljabar.
2. Metode yang dijelaskan tidak dapat diterapkan pada beberapa masalah sederhana. Untuk beberapa permasalahan kompleks, metode ini perlu diterapkan lebih dari satu kali. Sederhanakan ekspresi yang dihasilkan selangkah demi selangkah, lalu periksa apakah jawaban akhir ditulis dalam bentuk kanonik, yang kriterianya diberikan di awal artikel ini. Jika jawabannya disajikan dalam bentuk kanonik, maka masalahnya terpecahkan; jika tidak, gunakan kembali salah satu metode yang dijelaskan.
3. Biasanya, bentuk notasi kanonik juga berlaku untuk bilangan kompleks (i = √(-1)). Bahkan jika bilangan kompleks ditulis sebagai i dan bukan sebagai akar, lebih baik menghilangkan i pada penyebutnya.
4. Beberapa metode yang dijelaskan di sini melibatkan pengerjaan dengan akar kuadrat. Prinsip umumnya sama untuk akar pangkat tiga atau akar yang lebih tinggi, namun beberapa metode (khususnya, metode rasionalisasi penyebut) bisa jadi cukup sulit untuk diterapkan pada akar tersebut. Selain itu, tanyakan kepada gurumu tentang notasi akar yang benar (kubus√4 atau kubus√(2^2)).
5. Di beberapa bagian artikel ini konsep "bentuk kanonik" digunakan secara tidak benar; apa yang seharusnya kita bicarakan adalah "bentuk standar" notasi. Perbedaannya adalah bentuk kanonik memerlukan penulisan 1 + √2 atau √2 +1; bentuk standar menyiratkan bahwa kedua ekspresi (1 + √2 dan √2 +1) tidak diragukan lagi sama, meskipun ditulis berbeda. Di sini, “pasti” berarti aritmatika (penjumlahan bersifat komutatif) daripada sifat aljabar (√2 ​​adalah akar non-negatif dari x^2-2).
6. Jika metode yang dijelaskan tampak ambigu atau bertentangan satu sama lain, lakukan operasi matematika yang konsisten dan tidak ambigu, dan tuliskan jawabannya seperti yang diminta oleh guru atau seperti yang ditentukan dalam buku teks.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Tujuan menyederhanakan akar kuadrat adalah untuk menuliskannya kembali ke dalam bentuk yang lebih mudah digunakan dalam perhitungan.

Memfaktorkan suatu bilangan adalah mencari dua bilangan atau lebih yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya, misalnya 3 x 3 = 9. Dengan mencari faktornya, Anda dapat menyederhanakan akar kuadrat atau menghilangkannya sama sekali. Misalnya, √9 = √(3x3) = 3. Jika bilangan radikalnya genap, bagilah dengan 2.

Jika bilangan radikalnya ganjil, coba bagi dengan 3 (jika bilangan tersebut tidak habis dibagi 3, bagilah dengan 5, 7, dan seterusnya hingga daftar bilangan prima). Bagilah bilangan radikal secara eksklusif menjadi bilangan prima, karena bilangan apa pun dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Misalnya, Anda tidak perlu membagi radikal dengan 4 karena 4 habis dibagi 2 dan Anda sudah membagi radikal dengan 2. Tulis ulang soal sebagai akar hasil kali dua bilangan.