Hari ini dalam pelajaran kita akan belajar menemukan bersyarat atau, sebagaimana mereka juga disebut, relatif ekstrem fungsi beberapa variabel, dan, pertama-tama, kita akan berbicara, tentu saja, tentang ekstrem bersyarat fungsi dua Dan tiga variabel, yang ditemukan di sebagian besar masalah tematik.
Apa yang perlu Anda ketahui dan dapat lakukan saat ini? Terlepas dari kenyataan bahwa artikel ini berada “di pinggiran” topiknya, tidak banyak yang diperlukan untuk berhasil menguasai materi. Pada titik ini Anda harus mengetahui dasar-dasarnya permukaan ruang, dapat menemukan turunan parsial (setidaknya pada tingkat rata-rata) dan, seperti yang ditentukan oleh logika tanpa ampun, untuk memahami ekstrem tanpa syarat. Tetapi bahkan jika Anda memiliki tingkat persiapan yang rendah, jangan terburu-buru untuk pergi - semua pengetahuan/keterampilan yang hilang benar-benar dapat “diambil di sepanjang jalan”, dan tanpa siksaan selama berjam-jam.
Pertama, mari kita menganalisis konsep itu sendiri dan pada saat yang sama melakukan pengulangan singkat terhadap konsep yang paling umum permukaan. Jadi, apa yang dimaksud dengan ekstrem bersyarat? ...Logika di sini tidak kalah kejamnya =) Ekstrem bersyarat suatu fungsi adalah ekstrem dalam arti kata biasa, yang dicapai ketika kondisi (atau kondisi) tertentu terpenuhi.
Bayangkan sebuah "miring" yang sewenang-wenang pesawat V sistem kartesius. Tidak ada ekstrem tidak ada jejaknya di sini. Tapi ini untuk saat ini. Mari kita pertimbangkan silinder elips, untuk kesederhanaan - "pipa" bundar tak berujung yang sejajar dengan sumbu. Jelasnya, “pipa” ini akan “terputus” dari pesawat kita elips, akibatnya akan ada maksimum pada titik atasnya, dan minimum pada titik bawahnya. Dengan kata lain, fungsi yang mendefinisikan bidang mencapai titik ekstrem mengingat bahwa bahwa ia dilintasi oleh sebuah silinder sirkular tertentu. Benar-benar “disediakan”! Silinder elips lain yang memotong bidang ini hampir pasti akan menghasilkan nilai minimum dan maksimum yang berbeda.
Jika kurang jelas, maka situasinya dapat disimulasikan secara realistis (meskipun dalam urutan terbalik): ambil kapak, keluar dan tebang... tidak, Greenpeace tidak akan memaafkanmu nanti - lebih baik memotong pipa pembuangan dengan penggiling =). Minimum bersyarat dan maksimum bersyarat akan bergantung pada ketinggian berapa dan di bawah apa (non-horizontal) potongannya dibuat miring.
Waktunya telah tiba untuk mengenakan perhitungan dalam pakaian matematika. Mari kita pertimbangkan paraboloid elips, yang memiliki minimum mutlak pada titik. Sekarang mari kita cari titik ekstremnya mengingat bahwa. Ini pesawat sejajar dengan sumbu, yang berarti “memotong” paraboloid parabola. Bagian atas parabola ini akan menjadi minimum bersyarat. Selain itu, bidang tidak melewati titik asal koordinat, sehingga titik tersebut tetap tidak relevan. Tidak memberikan gambar? Yuk segera ikuti tautannya! Ini akan memakan waktu berkali-kali lipat.
Pertanyaan: bagaimana menemukan ekstrem bersyarat ini? Cara paling sederhana untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan persamaan (yang disebut - kondisi atau persamaan koneksi) nyatakan, misalnya: – dan substitusikan ke dalam fungsi: 
Hasilnya adalah fungsi dari satu variabel yang mendefinisikan parabola, yang titik puncaknya “dihitung” dengan mata tertutup. Ayo temukan poin kritis:
– titik kritis.
Hal termudah berikutnya untuk digunakan adalah kondisi cukup kedua untuk ekstrem:
Khususnya: ini berarti fungsi tersebut mencapai minimum pada titik . Bisa langsung dihitung: , tapi kita akan mengambil jalur yang lebih akademis. Mari kita cari koordinat “permainannya”:
,
tuliskan titik minimum bersyarat, pastikan benar-benar terletak pada bidang (memenuhi persamaan kopling):
dan hitung minimum bersyarat dari fungsi tersebut:
mengingat bahwa (“aditif” diperlukan!!!).
Metode yang dipertimbangkan dapat digunakan dalam praktik tanpa keraguan, namun memiliki sejumlah kelemahan. Pertama, geometri soal tidak selalu jelas, dan kedua, seringkali tidak menguntungkan untuk menyatakan “x” atau “y” dari persamaan koneksi. (jika mungkin untuk mengungkapkan sesuatu). Dan sekarang kita akan mempertimbangkan metode universal untuk menemukan ekstrem bersyarat, yang disebut Metode pengali Lagrange:
Contoh 1
Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi dengan persamaan koneksi yang ditentukan ke argumen.
Apakah Anda mengenali permukaannya? ;-) ...Aku senang melihat wajah bahagiamu =)
Ngomong-ngomong, dari rumusan masalah ini menjadi jelas mengapa disebut kondisi tersebut persamaan koneksi– argumen fungsi terhubung syarat tambahan, yaitu titik ekstrem yang ditemukan harus termasuk dalam silinder sirkular.
Larutan: pada langkah pertama Anda perlu menyajikan persamaan koneksi dalam bentuk dan menyusunnya Fungsi lagrange:
, di mana disebut pengganda Lagrange.
Dalam kasus kami dan:
Algoritme untuk menemukan ekstrem bersyarat sangat mirip dengan skema untuk menemukan ekstrem yang “biasa”. ekstrem. Ayo temukan turunan parsial Fungsi Lagrange, sedangkan "lambda" harus diperlakukan sebagai konstanta:
Mari kita buat dan selesaikan sistem berikut: 
Kusutnya terurai sebagai standar:
dari persamaan pertama kita nyatakan 
;
dari persamaan kedua kita nyatakan 
.
Mari kita substitusikan koneksi ke dalam persamaan dan lakukan penyederhanaan: 
Hasilnya, kita memperoleh dua titik stasioner. Jika , maka: 
jika , maka: 
Sangat mudah untuk melihat bahwa koordinat kedua titik memenuhi persamaan 
. Orang yang teliti juga dapat melakukan pemeriksaan penuh: untuk ini Anda perlu melakukan penggantian 
ke dalam persamaan pertama dan kedua sistem, lalu lakukan hal yang sama dengan himpunan tersebut 
. Semuanya harus “bersatu”.
Mari kita periksa pemenuhan kondisi ekstrem yang cukup untuk titik-titik stasioner yang ditemukan. Saya akan membahas tiga pendekatan untuk memecahkan masalah ini:
1) Metode pertama adalah justifikasi geometris.
Mari kita hitung nilai fungsi pada titik stasioner:
Selanjutnya, kita tuliskan sebuah frasa yang kira-kira isinya sebagai berikut: bagian bidang oleh silinder melingkar adalah elips, pada titik atas yang mencapai maksimum, dan pada titik bawah minimum. Jadi, nilai yang lebih besar adalah maksimum bersyarat, dan nilai yang lebih kecil adalah minimum bersyarat.
Jika memungkinkan, lebih baik menggunakan metode ini - sederhana, dan keputusan ini diperhitungkan oleh guru (nilai tambah yang besar adalah Anda menunjukkan pemahaman tentang arti geometris dari soal). Namun, sebagaimana telah disebutkan, tidak selalu jelas apa yang bersinggungan dengan apa dan di mana, dan verifikasi analitis dapat membantu:
2) Metode kedua didasarkan pada penggunaan tanda diferensial orde kedua. Jika ternyata pada suatu titik stasioner, maka fungsi tersebut mencapai maksimum di sana, tetapi jika ya, maka mencapai minimum.
Ayo temukan turunan parsial orde kedua:
dan buat diferensial ini:
Kapan , ini berarti fungsi tersebut mencapai maksimum pada titik ;
di , yang berarti fungsi tersebut mencapai titik minimum 
.
Metode yang dipertimbangkan sangat baik, tetapi memiliki kelemahan yaitu dalam beberapa kasus hampir tidak mungkin untuk menentukan tanda diferensial ke-2 (biasanya ini terjadi jika dan/atau tandanya berbeda). Dan kemudian “artileri berat” datang untuk menyelamatkan:
3) Mari kita bedakan persamaan koneksi dengan “X” dan “Y”: 
dan buatlah yang berikut ini simetris matriks:
Jika berada pada suatu titik stasioner, maka fungsinya sampai pada titik tersebut ( Perhatian!) minimum, jika – maka maksimum.
Mari kita tuliskan matriks untuk nilai dan titik yang bersesuaian: 
Mari kita hitung penentu:
, dengan demikian, fungsi tersebut mempunyai maksimum pada titik .
Begitu juga untuk nilai dan poin: 
Jadi, fungsi tersebut mempunyai nilai minimum di titik .
Menjawab: mengingat bahwa :
Setelah menganalisis materi secara menyeluruh, saya tidak bisa tidak menawarkan kepada Anda beberapa tugas khas untuk tes mandiri:
Contoh 2
Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut jika argumennya dihubungkan dengan persamaan
Contoh 3
Temukan ekstrem dari fungsi yang diberi kondisi
Dan sekali lagi, saya sangat menyarankan untuk memahami esensi geometris dari tugas, terutama pada contoh terakhir, di mana verifikasi analitis dari kondisi yang cukup bukanlah sebuah hadiah. Ingat apa baris pesanan ke-2 menetapkan persamaan, dan apa permukaan garis ini dihasilkan di luar angkasa. Analisislah sepanjang kurva manakah silinder akan memotong bidang tersebut dan pada kurva manakah titik minimumnya dan di mana titik maksimumnya.
Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.
Masalah yang sedang dipertimbangkan banyak digunakan di berbagai bidang, khususnya - kita tidak akan membahasnya jauh-jauh - dalam geometri. Mari selesaikan masalah favorit semua orang tentang botol setengah liter (lihat Contoh 7 artikelTantangan Ekstrim ) cara kedua:
Contoh 4
Berapakah ukuran kaleng yang berbentuk silinder agar bahan yang digunakan untuk membuat kaleng tersebut paling sedikit, jika volume kaleng tersebut sama dengan
Larutan: pertimbangkan jari-jari alas yang berubah-ubah, tinggi yang berubah-ubah, dan buatlah fungsi dari luas permukaan total kaleng: 
(luas dua penutup + luas permukaan samping)
Metode pengali Lagrange.
Metode pengali Lagrange merupakan salah satu metode yang dapat menyelesaikan permasalahan pemrograman nonlinier.
Pemrograman nonlinier adalah cabang pemrograman matematika yang mempelajari metode penyelesaian masalah ekstrem dengan fungsi tujuan nonlinier dan wilayah solusi layak yang ditentukan oleh batasan nonlinier. Dalam ilmu ekonomi, hal ini sesuai dengan fakta bahwa hasil (efisiensi) meningkat atau menurun secara tidak proporsional terhadap perubahan skala penggunaan sumber daya (atau, yang sama, skala produksi): misalnya, karena pembagian biaya produksi menjadi perusahaan menjadi variabel dan semi-tetap; karena kejenuhan permintaan barang, ketika setiap unit berikutnya lebih sulit dijual dibandingkan unit sebelumnya, dan seterusnya.
Masalah pemrograman nonlinier diajukan sebagai masalah mencari titik optimum suatu fungsi tujuan tertentu
F(x 1 ,…xn), F (X) → maks
ketika kondisi terpenuhi
g j (x 1 ,…x n)≥0, G (X) ≤ B , X ≥ 0
Di mana X-vektor dari variabel yang diperlukan;
F (X) -fungsi tujuan;
G (X) - fungsi kendala (dapat diturunkan secara terus menerus);
B - vektor konstanta kendala.
Solusi untuk masalah pemrograman nonlinier (maksimum atau minimum global) dapat termasuk dalam batas atau bagian dalam himpunan yang diizinkan.
Berbeda dengan permasalahan program linier, dalam permasalahan pemrograman nonlinier, titik optimum tidak selalu terletak pada batas wilayah yang ditentukan oleh batasan. Dengan kata lain, tugasnya adalah memilih nilai variabel non-negatif, yang tunduk pada sistem pembatasan dalam bentuk pertidaksamaan, di mana maksimum (atau minimum) dari fungsi tertentu tercapai. Dalam hal ini, bentuk fungsi tujuan maupun pertidaksamaannya tidak ditentukan. Mungkin ada beberapa kasus yang berbeda: fungsi tujuan adalah nonlinier, namun kendalanya linier; fungsi tujuan adalah linier, dan batasannya (setidaknya salah satunya) adalah nonlinier; baik fungsi tujuan maupun kendalanya bersifat nonlinier.
Masalah pemrograman nonlinier ditemukan dalam ilmu alam, teknik, ekonomi, matematika, hubungan bisnis, dan pemerintahan.
Pemrograman nonlinier, misalnya, berkaitan dengan masalah ekonomi dasar. Jadi, dalam masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas, baik efisiensi atau, jika konsumen sedang dipelajari, konsumsi dimaksimalkan dengan adanya pembatasan yang menyatakan kondisi kelangkaan sumber daya. Dalam rumusan umum seperti itu, rumusan masalah secara matematis mungkin tidak mungkin dilakukan, tetapi dalam penerapan khusus bentuk kuantitatif semua fungsi dapat ditentukan secara langsung. Misalnya suatu perusahaan industri memproduksi produk plastik. Efisiensi produksi di sini diukur dengan keuntungan, dan kendala diartikan sebagai tenaga kerja yang tersedia, ruang produksi, produktivitas peralatan, dll.
Metode efektivitas biaya juga cocok dengan skema pemrograman nonlinier. Metode ini dikembangkan untuk digunakan dalam pengambilan keputusan di pemerintahan. Fungsi umum dari efisiensi adalah kesejahteraan. Di sini muncul dua masalah pemrograman nonlinier: yang pertama adalah memaksimalkan efek dengan biaya terbatas, yang kedua adalah meminimalkan biaya dengan syarat efeknya berada di atas tingkat minimum tertentu. Masalah ini biasanya dimodelkan dengan baik menggunakan pemrograman nonlinier.
Hasil penyelesaian masalah pemrograman nonlinier sangat membantu dalam pengambilan keputusan pemerintah. Solusi yang dihasilkan tentu saja direkomendasikan, sehingga perlu dilakukan pengujian asumsi dan keakuratan masalah pemrograman nonlinier sebelum mengambil keputusan akhir.
Masalah nonlinier itu rumit; sering kali disederhanakan dengan mengarah ke masalah linier. Untuk melakukan hal ini, secara konvensional diasumsikan bahwa di area tertentu fungsi tujuan meningkat atau menurun sebanding dengan perubahan variabel independen. Pendekatan ini disebut metode pendekatan linier sepotong-sepotong; namun pendekatan ini hanya dapat diterapkan pada jenis permasalahan nonlinier tertentu.
Masalah nonlinier dalam kondisi tertentu diselesaikan dengan menggunakan fungsi Lagrange: dengan menemukan titik pelana, solusi dari masalah tersebut ditemukan. Di antara algoritma komputasi untuk penelitian ilmiah, metode gradien menempati tempat yang luas. Tidak ada metode universal untuk masalah nonlinier dan, tampaknya, mungkin tidak ada, karena metode tersebut sangat beragam. Masalah multiekstremal sangat sulit dipecahkan.
Salah satu metode yang memungkinkan Anda mereduksi masalah pemrograman nonlinier menjadi penyelesaian sistem persamaan adalah metode pengali tak tentu Lagrange.
Dengan menggunakan metode pengali Lagrange, kondisi yang diperlukan pada dasarnya ditetapkan untuk memungkinkan identifikasi titik optimal dalam masalah optimasi dengan batasan kesetaraan. Dalam hal ini, masalah yang dibatasi diubah menjadi masalah optimasi tak bersyarat yang setara, yang melibatkan beberapa parameter yang tidak diketahui yang disebut pengali Lagrange.
Metode pengali Lagrange terdiri dari mereduksi permasalahan pada ekstrem bersyarat menjadi permasalahan pada ekstrem tak bersyarat dari fungsi bantu - yang disebut. Fungsi Lagrange.
Untuk masalah ekstrem suatu fungsi F(x 1, x 2,..., xn) dalam kondisi (persamaan kendala) φ Saya(x 1 , x 2 , ..., xn) = 0, Saya= 1, 2,..., M, fungsi Lagrange memiliki bentuk
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Pengganda λ 1 , λ 2 , ..., λm ditelepon Pengganda Lagrange.
Jika nilainya x 1 , x 2 , ..., xn , λ 1 , λ 2 , ..., λm inti penyelesaian persamaan yang menentukan titik stasioner fungsi Lagrange yaitu untuk fungsi terdiferensiasi merupakan penyelesaian sistem persamaan
kemudian, berdasarkan asumsi yang cukup umum, x 1 , x 2 , ..., x n memberikan ekstrem dari fungsi f.
Pertimbangkan masalah meminimalkan fungsi dari n variabel yang tunduk pada satu batasan dalam bentuk persamaan:
Minimalkan f(x 1, x 2… x n) (1)
dalam batasan h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
Menurut metode pengali Lagrange, permasalahan ini diubah menjadi permasalahan optimasi tak terbatas berikut:
minimalkan L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
dimana Fungsi L(x;λ) disebut fungsi Lagrange,
λ adalah konstanta yang tidak diketahui, yang disebut pengali Lagrange. Tidak ada persyaratan untuk tanda λ.
Misalkan, untuk nilai tertentu λ=λ 0, fungsi minimum tanpa syarat L(x,λ) terhadap x dicapai di titik x=x 0 dan x 0 memenuhi persamaan h 1 (x 0)=0 . Kemudian, seperti yang mudah dilihat, x 0 diminimalkan (1) dengan memperhitungkan (2), karena untuk semua nilai x yang memenuhi (2), h 1 (x)=0 dan L(x,λ)=min f(x).
Tentu saja, perlu untuk memilih nilai λ=λ 0 sehingga koordinat titik minimum tanpa syarat x 0 memenuhi persamaan (2). Hal ini dapat dilakukan jika, dengan mempertimbangkan λ sebagai variabel, carilah fungsi minimum tanpa syarat (3) dalam bentuk fungsi λ, lalu pilih nilai λ yang memenuhi persamaan (2). Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh spesifik.
Minimalkan f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
di bawah batasan h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
Masalah optimasi tak terbatas yang terkait ditulis sebagai berikut:
minimalkan L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Larutan. Menyamakan dua komponen gradien L dengan nol, kita peroleh
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Untuk memeriksa apakah titik stasioner x° sesuai dengan titik minimum, kita menghitung elemen matriks Hessian dari fungsi L(x;u), yang dianggap sebagai fungsi dari x,
yang ternyata positif pasti.
Artinya L(x,u) merupakan fungsi cembung dari x. Akibatnya, koordinat x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 menentukan titik minimum global. Nilai optimal λ dicari dengan mensubstitusi nilai x 1 0 dan x 2 0 ke dalam persamaan 2x 1 + x 2 =2, yang menghasilkan 2λ+λ/2=2 atau λ 0 =4/5. Jadi, minimum bersyarat dicapai pada x 1 0 =4/5 dan x 2 0 =2/5 dan sama dengan min f(x) = 4/5.
Saat menyelesaikan soal dari contoh, kami menganggap L(x;λ) sebagai fungsi dari dua variabel x 1 dan x 2 dan, sebagai tambahan, mengasumsikan bahwa nilai parameter λ dipilih sehingga batasannya terpenuhi. Jika solusi dari sistem
J=1,2,3,…,n
λ tidak dapat diperoleh dalam bentuk fungsi eksplisit, maka nilai x dan λ dicari dengan menyelesaikan sistem berikut yang terdiri dari n+1 persamaan dengan n+1 yang tidak diketahui:
J=1,2,3,…,n., jam 1 (x)=0
Untuk menemukan semua solusi yang mungkin untuk sistem tertentu, Anda dapat menggunakan metode pencarian numerik (misalnya metode Newton). Untuk setiap penyelesaian (), kita harus menghitung elemen matriks Hessian dari fungsi L, yang dianggap sebagai fungsi x, dan mencari tahu apakah matriks tersebut pasti positif (minimum lokal) atau pasti negatif (maksimum lokal). ).
Metode pengali Lagrange dapat diperluas pada kasus dimana permasalahan mempunyai beberapa kendala berupa persamaan. Pertimbangkan masalah umum yang memerlukan
Minimalkan f(x)
dalam batasan h k =0, k=1, 2, ..., K.
Fungsi Lagrange mengambil bentuk berikut:
Di Sini λ 1 , λ 2 , ..., λk-Pengganda Lagrange, mis. parameter yang tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Menyamakan turunan parsial L terhadap x dengan nol, kita memperoleh sistem n persamaan berikut dengan n yang tidak diketahui:
Jika sulit mencari penyelesaian sistem di atas dalam bentuk fungsi vektor λ, maka sistem tersebut dapat diperluas dengan memasukkan batasan berupa persamaan
Penyelesaian sistem yang diperluas, yang terdiri dari n + K persamaan dengan n + K yang tidak diketahui, menentukan titik stasioner dari fungsi L. Kemudian dilakukan prosedur pengecekan minimum atau maksimum, yang dilakukan berdasarkan perhitungan elemen matriks Hessian dari fungsi L, dianggap sebagai fungsi dari x, serupa dengan yang dilakukan pada kasus permasalahan dengan satu batasan. Untuk beberapa permasalahan, sistem persamaan n+K yang diperluas dengan n+K yang tidak diketahui mungkin tidak memiliki solusi, dan metode pengali Lagrange ternyata tidak dapat diterapkan. Namun perlu dicatat bahwa tugas seperti itu jarang terjadi dalam praktiknya.
Mari kita perhatikan kasus khusus dari masalah umum pemrograman nonlinier, dengan asumsi bahwa sistem batasan hanya berisi persamaan, tidak ada kondisi untuk variabel non-negatif dan dan merupakan fungsi kontinu beserta turunan parsialnya. Oleh karena itu, dengan menyelesaikan sistem persamaan (7), kita memperoleh semua titik di mana fungsi (6) dapat mempunyai nilai ekstrem.
Algoritma untuk metode pengali Lagrange
1. Buatlah fungsi Lagrange.
2. Temukan turunan parsial fungsi Lagrange terhadap variabel x J ,λ i dan samakan dengan nol.
3. Kita selesaikan sistem persamaan (7), carilah titik-titik di mana fungsi tujuan dari soal tersebut dapat mempunyai titik ekstrem.
4. Di antara titik-titik yang mencurigakan bagi suatu ekstrem, kita temukan titik-titik yang titik ekstremnya tercapai, dan hitung nilai fungsi (6) pada titik-titik tersebut.
Contoh.
Data awal: Sesuai rencana produksi, perseroan perlu memproduksi 180 produk. Produk-produk ini dapat diproduksi dengan dua cara teknologi. Saat memproduksi produk x 1 dengan metode ke-1, biayanya adalah 4x 1 +x 1 2 rubel, dan saat memproduksi produk x 2 dengan metode ke-2, biayanya adalah 8x 2 +x 2 2 rubel. Tentukan berapa banyak produk yang harus diproduksi dengan menggunakan masing-masing metode agar biaya produksi minimal.
Fungsi tujuan dari permasalahan yang dinyatakan mempunyai bentuk
® menit dalam kondisi x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Buatlah fungsi Lagrange
.
2.
Kami menghitung turunan parsial terhadap x 1, x 2, λ dan menyamakannya dengan nol: 
3.
Memecahkan sistem persamaan yang dihasilkan, kita menemukan x 1 =91,x 2 =89
4. Setelah melakukan substitusi pada fungsi tujuan x 2 =180-x 1, diperoleh fungsi salah satu variabel yaitu f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
Kita hitung atau 4x 1 -364=0 ,
dari mana kita memiliki x 1 * =91, x 2 * =89.
Jawaban: Banyaknya produk yang diproduksi dengan cara pertama adalah x 1 =91, dengan cara kedua x 2 =89, sedangkan nilai fungsi tujuan sama dengan 17.278 rubel.
Deskripsi metode
Di mana . Alasan
Pembenaran berikut untuk metode pengali Lagrange bukanlah bukti yang kuat. Ini berisi alasan heuristik yang membantu untuk memahami makna geometris dari metode ini.
Kasus dua dimensi
Garis level dan kurva.
Misalkan diperlukan untuk mencari ekstrem suatu fungsi dari dua variabel pada kondisi yang ditentukan oleh persamaan 
. Kita asumsikan bahwa semua fungsi dapat terdiferensiasi secara kontinyu, dan persamaan ini mendefinisikan kurva mulus S di pesawat. Kemudian masalahnya direduksi menjadi mencari titik ekstrem dari fungsi tersebut F pada kurva S. Kami juga akan berasumsi demikian S tidak melewati titik-titik yang gradiennya F berubah menjadi 0.
Mari menggambar garis level fungsi pada bidang F(yaitu, kurva). Dari pertimbangan geometri jelas bahwa fungsi tersebut ekstrem F pada kurva S hanya ada titik-titik yang bersinggungan dengan S dan garis level yang sesuai bertepatan. Memang kalau kurva S melintasi garis datar F pada suatu titik secara transversal (yaitu, pada suatu sudut bukan nol), kemudian bergerak sepanjang kurva S dari suatu titik kita bisa sampai ke garis level yang sesuai dengan nilai yang lebih besar F, dan lebih sedikit. Oleh karena itu, titik seperti itu tidak bisa menjadi titik ekstrem.
Jadi, kondisi yang diperlukan untuk titik ekstrem dalam kasus kita adalah kebetulan garis singgungnya. Untuk menuliskannya dalam bentuk analitis, perhatikan bahwa ini setara dengan paralelisme gradien fungsi F dan ψ pada suatu titik tertentu, karena vektor gradien tegak lurus terhadap garis singgung garis datar. Kondisi ini dinyatakan dalam bentuk berikut:
dimana λ adalah bilangan bukan nol yang merupakan pengali Lagrange.
Sekarang mari kita pertimbangkan Fungsi lagrange, tergantung pada dan λ:
Kondisi yang diperlukan untuk ekstremnya adalah gradiennya sama dengan nol. Sesuai dengan kaidah pembedaan, dituliskan dalam bentuk
Kami memperoleh sistem, dua persamaan pertama setara dengan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem lokal (1), dan persamaan ketiga setara dengan persamaan . Anda dapat menemukannya dari sana. Selain itu, karena gradien fungsinya sebaliknya F menghilang pada intinya 
, yang bertentangan dengan asumsi kami. Perlu dicatat bahwa titik-titik yang ditemukan dengan cara ini mungkin bukan titik-titik yang diinginkan dari ekstrem bersyarat - kondisi yang dipertimbangkan perlu, tetapi tidak cukup. Menemukan ekstrem bersyarat menggunakan fungsi bantu L dan menjadi dasar metode pengali Lagrange, yang diterapkan di sini untuk kasus dua variabel yang paling sederhana. Ternyata alasan di atas dapat digeneralisasikan pada kasus sejumlah variabel dan persamaan yang menentukan kondisi.
Berdasarkan metode pengali Lagrange, beberapa kondisi cukup untuk ekstrem bersyarat dapat dibuktikan, yang memerlukan analisis turunan kedua fungsi Lagrange.
Aplikasi
- Metode pengganda Lagrange digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman nonlinier yang muncul di banyak bidang (misalnya di bidang ekonomi).
- Metode utama untuk memecahkan masalah mengoptimalkan kualitas pengkodean data audio dan video pada bitrate rata-rata tertentu (optimasi distorsi - Bahasa Inggris. Optimasi Tingkat-Distorsi).
Lihat juga
Tautan
- Zorich V.A. Analisis matematis. Bagian 1. - ed. ke-2, putaran. dan tambahan - M.: FAZIS, 1997.
Yayasan Wikimedia.
2010.
Lihat apa itu “Pengganda Lagrange” di kamus lain: Pengganda Lagrange - faktor tambahan yang mengubah fungsi tujuan dari masalah ekstrim pemrograman cembung (khususnya pemrograman linier) ketika menyelesaikannya menggunakan salah satu metode klasik menggunakan metode penyelesaian pengganda... ...
Kamus ekonomi-matematika Pengganda Lagrange - Faktor tambahan yang mentransformasikan fungsi tujuan suatu masalah pemrograman cembung ekstrim (khususnya pemrograman linier) ketika menyelesaikannya dengan menggunakan salah satu metode klasik, yaitu metode penyelesaian pengganda (metode Lagrange)... ...
Panduan Penerjemah Teknis Mekanika. 1) Persamaan Lagrange jenis 1, persamaan diferensial gerak mekanik. sistem, yang diberikan dalam proyeksi ke sumbu koordinat persegi panjang dan berisi apa yang disebut. Pengganda Lagrange. Diperoleh oleh J. Lagrange pada tahun 1788. Untuk sistem holonomi, ... ...
Ensiklopedia fisik Mekanika persamaan diferensial biasa orde 2, menggambarkan gerak mekanik. sistem di bawah pengaruh kekuatan yang diterapkan padanya. Lu. ditetapkan oleh J. Lag rentang dalam dua bentuk: L. u. Jenis pertama, atau persamaan dalam koordinat kartesius dengan... ...
1) dalam hidromekanik, persamaan gerak fluida (gas) dalam variabel Lagrange yang merupakan koordinat medium. Menerima bahasa Prancis ilmuwan J. Lagrange (sekitar 1780). Dari L.u. hukum gerak medium ditentukan dalam bentuk ketergantungan... ... Mekanika. 1) Persamaan Lagrange jenis 1, persamaan diferensial gerak mekanik. sistem, yang diberikan dalam proyeksi ke sumbu koordinat persegi panjang dan berisi apa yang disebut. Pengganda Lagrange. Diperoleh oleh J. Lagrange pada tahun 1788. Untuk sistem holonomi, ... ...
Metode pengali Lagrange, suatu metode untuk mencari ekstrem bersyarat dari fungsi f(x), di mana, relatif terhadap batasan m, i bervariasi dari satu hingga m. Isi 1 Deskripsi metode... Wikipedia
Fungsi yang digunakan dalam menyelesaikan masalah pada ekstrem bersyarat dari fungsi banyak variabel dan fungsi. Dengan bantuan L.f. kondisi yang diperlukan untuk optimalitas dalam masalah pada ekstrem bersyarat dituliskan. Dalam hal ini, tidak perlu hanya menyatakan variabel... Mekanika persamaan diferensial biasa orde 2, menggambarkan gerak mekanik. sistem di bawah pengaruh kekuatan yang diterapkan padanya. Lu. ditetapkan oleh J. Lag rentang dalam dua bentuk: L. u. Jenis pertama, atau persamaan dalam koordinat kartesius dengan... ...
Metode penyelesaian masalah pada ekstrem bersyarat; L.M.M. terdiri dari mereduksi permasalahan ini menjadi permasalahan pada fungsi bantu ekstrem tanpa syarat, yang disebut. Fungsi Lagrange. Untuk soal ekstrem fungsi f (x1, x2,..., xn) untuk... ...
Variabel yang dengannya fungsi Lagrange dibangun ketika mempelajari masalah pada ekstrem bersyarat. Penggunaan metode linier dan fungsi Lagrange memungkinkan kita memperoleh kondisi optimalitas yang diperlukan dalam masalah yang melibatkan ekstrem bersyarat dengan cara yang seragam... Mekanika persamaan diferensial biasa orde 2, menggambarkan gerak mekanik. sistem di bawah pengaruh kekuatan yang diterapkan padanya. Lu. ditetapkan oleh J. Lag rentang dalam dua bentuk: L. u. Jenis pertama, atau persamaan dalam koordinat kartesius dengan... ...
1) dalam hidromekanik, persamaan gerak suatu medium fluida, ditulis dalam variabel Lagrange, yang merupakan koordinat partikel-partikel medium tersebut. Dari L.u. hukum gerak partikel medium ditentukan dalam bentuk ketergantungan koordinat terhadap waktu, dan pada mereka... ... Ensiklopedia Besar Soviet
|
Metode Lagrange─ adalah metode untuk memecahkan masalah optimasi terbatas dimana batasan, yang ditulis sebagai fungsi implisit, digabungkan dengan fungsi tujuan dalam bentuk persamaan baru yang disebut Lagrangian.
Mari kita pertimbangkan kasus khusus dari masalah pemrograman nonlinier umum:
Diberikan sistem persamaan nonlinier (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Temukan nilai terkecil (atau terbesar) dari fungsi (2)
(2) f (x1,x2,…,xn),
jika tidak ada syarat agar variabelnya non-negatif dan f(x1,x2,…,xn) dan gi(x1,x2,…,xn) merupakan fungsi kontinu beserta turunan parsialnya.
Untuk mencari solusi permasalahan tersebut dapat dilakukan cara sebagai berikut: 1. Masukkan himpunan variabel λ1, λ2,..., λm yang disebut pengali Lagrange, buatlah fungsi Lagrange (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Temukan turunan parsial fungsi Lagrange terhadap variabel xi dan λi dan samakan dengan nol.
3. Dengan menyelesaikan suatu sistem persamaan, mereka menemukan titik-titik di mana fungsi tujuan dari masalah tersebut mungkin mempunyai titik ekstrem.
4. Di antara titik-titik yang mencurigakan bukan titik ekstrem, temukan titik-titik yang titik ekstremnya tercapai, dan hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut .
4. Bandingkan nilai fungsi f yang diperoleh dan pilih yang terbaik.
Sesuai rencana produksi, perseroan perlu memproduksi 180 produk. Produk-produk ini dapat diproduksi dengan dua cara teknologi. Saat memproduksi produk x1 menggunakan metode I, biayanya adalah 4*x1+x1^2 rubel, dan saat memproduksi produk x2 menggunakan metode II, biayanya adalah 8*x2+x2^2 rubel. Tentukan berapa banyak produk yang harus diproduksi dengan menggunakan masing-masing metode sehingga total biaya produksi minimal.
Penyelesaian: Rumusan masalah matematis terdiri dari menentukan nilai terkecil suatu fungsi dua variabel:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, asalkan x1 +x2 = 180.
Mari kita buat fungsi Lagrange:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Mari kita hitung turunan parsialnya terhadap x1, x2, λ dan samakan dengan 0:
Mari kita pindahkan λ ke ruas kanan dari dua persamaan pertama dan menyamakan ruas kirinya, kita mendapatkan 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, atau x1 − x2 = 2.
Menyelesaikan persamaan terakhir bersama-sama dengan persamaan x1 + x2 = 180, kita mendapatkan x1 = 91, x2 = 89, artinya kita memperoleh solusi yang memenuhi syarat:
Mari kita cari nilai fungsi tujuan f untuk nilai variabel berikut:
F(x1, x2) = 17278
Poin ini mencurigakan untuk titik ekstrim. Dengan menggunakan turunan parsial kedua, kita dapat menunjukkan bahwa pada titik (91,89) fungsi f mempunyai minimum.
METODE LAGRANGE
Metode untuk mereduksi bentuk kuadrat menjadi jumlah kuadrat, ditunjukkan pada tahun 1759 oleh J. Lagrange. Biarkan itu diberikan
dari variabel x 0 , X 1 ,...,x hal.
dengan koefisien dari lapangan k karakteristik Bentuk ini diperlukan untuk membawa ke bentuk kanonik. pikiran
menggunakan transformasi variabel linier non-degenerasi. L.m. terdiri dari berikut ini. Kita dapat berasumsi bahwa tidak semua koefisien bentuk (1) sama dengan nol.
Oleh karena itu, ada dua kasus yang mungkin terjadi. 1) Bagi sebagian orang G,
diagonal Lalu dimana bentuk f 1 (x) tidak mengandung variabel xg. 
2) Jika semuanya
Tetapi
Itu dimana bentuk f 2 (x) tidak memuat dua variabel xg Dan x jam .
Bentuk-bentuk di bawah tanda persegi pada (4) bebas linier. Dengan menerapkan transformasi bentuk (3) dan (4), bentuk (1) setelah sejumlah langkah berhingga direduksi menjadi jumlah kuadrat dari bentuk-bentuk linier bebas linier. Dengan menggunakan turunan parsial, rumus (3) dan (4) dapat dituliskan dalam bentuk menyala. : G a n t m a k h e r F. R., Teori matriks, edisi ke-2, M., 1966; K u r o sh A.G., Mata Kuliah Aljabar Tinggi, edisi ke-11, M., 1975; Alexandrov P.S., Kuliah tentang geometri analitik..., M., 1968.
I.V.Proskuryakov. Ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet
.
I.M.Vinogradov.- Metode Lagrange adalah metode untuk menyelesaikan sejumlah kelas masalah pemrograman matematika dengan mencari titik pelana (x*, λ*) dari fungsi Lagrange, yang dicapai dengan menyamakan turunan parsial fungsi ini dengan nol terhadap ... ... - faktor tambahan yang mengubah fungsi tujuan dari masalah ekstrim pemrograman cembung (khususnya pemrograman linier) ketika menyelesaikannya menggunakan salah satu metode klasik menggunakan metode penyelesaian pengganda... ...
I.M.Vinogradov.- Metode untuk menyelesaikan sejumlah kelas masalah pemrograman matematika dengan mencari titik pelana (x*, ?*) dari fungsi Lagrange, yang dicapai dengan menyamakan turunan parsial fungsi ini terhadap xi dan?i ke nol . Lihat Lagrangian. )
