Pertama, mari kita perhatikan kasus fungsi dua variabel. Ekstrem bersyarat dari suatu fungsi $z=f(x,y)$ di titik $M_0(x_0;y_0)$ adalah ekstrem dari fungsi ini, dicapai dengan syarat bahwa variabel $x$ dan $y$ di sekitar titik ini memenuhi persamaan koneksi $\ varphi (x,y)=0$.

Nama ekstrem “bersyarat” disebabkan oleh fakta bahwa kondisi tambahan $\varphi(x,y)=0$ dikenakan pada variabel. Jika suatu variabel dapat dinyatakan dari persamaan hubungan melalui persamaan lain, maka masalah menentukan ekstrem bersyarat direduksi menjadi masalah menentukan ekstrem biasa suatu fungsi suatu variabel. Misalnya, jika persamaan koneksi menyiratkan $y=\psi(x)$, lalu mensubstitusi $y=\psi(x)$ menjadi $z=f(x,y)$, kita memperoleh fungsi dari satu variabel $z =f\kiri (x,\psi(x)\kanan)$. Namun dalam kasus umum, metode ini tidak banyak berguna, sehingga diperlukan pengenalan algoritma baru.

Metode pengali Lagrange untuk fungsi dua variabel.

Metode pengali Lagrange terdiri dari pembuatan fungsi Lagrange untuk mencari ekstrem bersyarat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda$ disebut pengali Lagrange). Kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem ditentukan oleh sistem persamaan yang menentukan titik stasioner:

$$ \kiri \( \begin(sejajar) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.

Kondisi cukup yang dapat digunakan untuk menentukan sifat ekstrem adalah tanda $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jika pada titik stasioner $d^2F > 0$, maka fungsi $z=f(x,y)$ mempunyai minimum bersyarat pada titik ini, tetapi jika $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ada cara lain untuk menentukan sifat ekstrem. Dari persamaan kopling kita memperoleh: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, oleh karena itu pada titik stasioner mana pun kita mempunyai:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\kiri(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\kanan)+ F_(yy)^("")\kiri(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\kanan)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \kanan)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \kanan)$$

Faktor kedua (terletak di dalam tanda kurung) dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Elemen determinan $\left|. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$, yang merupakan Hessian dari fungsi Lagrange. Jika $H > 0$, maka $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, yaitu kita memiliki minimum bersyarat dari fungsi $z=f(x,y)$.

Catatan tentang notasi determinan $H$. tampilkan\sembunyikan

$$ H=-\kiri|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ akhir(array) \kanan| $$

Dalam situasi ini, aturan yang dirumuskan di atas akan berubah sebagai berikut: jika $H > 0$, maka fungsi tersebut mempunyai minimum bersyarat, dan jika $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritma untuk mempelajari fungsi dua variabel untuk ekstrem bersyarat

Buatlah fungsi Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Selesaikan sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0.\end(sejajar) \kanan.$
Tentukan sifat ekstrem pada setiap titik stasioner yang terdapat pada paragraf sebelumnya. Untuk melakukannya, gunakan salah satu metode berikut:
- Tuliskan determinan $H$ dan cari tahu tandanya
- Dengan mempertimbangkan persamaan kopling, hitung tanda $d^2F$

Metode pengali Lagrange untuk fungsi n variabel

Katakanlah kita memiliki fungsi variabel $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan persamaan kopling $m$ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ltitik,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Dengan menyatakan pengali Lagrange sebagai $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, kita membuat fungsi Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem bersyarat diberikan oleh sistem persamaan dari mana koordinat titik stasioner dan nilai pengali Lagrange ditemukan:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(sejajar) \kanan.$$

Anda dapat mengetahui apakah suatu fungsi mempunyai minimum bersyarat atau maksimum bersyarat pada titik yang ditemukan, seperti sebelumnya, dengan menggunakan tanda $d^2F$. Jika pada titik ditemukan $d^2F > 0$, maka fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, tetapi jika $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Penentu matriks $\kiri| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ltitik & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ltitik & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, disorot dengan warna merah dalam matriks $L$, adalah fungsi Hessian dari Lagrange. Kami menggunakan aturan berikut:

Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriks $L$ berimpit dengan tanda $(-1)^m$, maka titik stasioner yang diteliti adalah titik minimum bersyarat dari fungsi $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ltitik,x_n)$.
Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ bergantian, dan tanda minor $H_(2m+1)$ berimpit dengan tanda bilangan $(-1)^(m+1 )$, maka titik stasionernya adalah titik maksimum bersyarat dari fungsi $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Contoh No.1

Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi $z(x,y)=x+3y$ dengan kondisi $x^2+y^2=10$.

Interpretasi geometri dari soal ini adalah sebagai berikut: dicari nilai terbesar dan terkecil dari penerapan bidang $z=x+3y$ untuk titik potongnya dengan silinder $x^2+y ^2=10$.

Agak sulit untuk menyatakan satu variabel melalui variabel lain dari persamaan kopling dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi $z(x,y)=x+3y$, jadi kita akan menggunakan metode Lagrange.

Menyatakan $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, kita membuat fungsi Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Mari kita tuliskan sistem persamaan untuk menentukan titik stasioner dari fungsi Lagrange:

$$ \kiri \( \begin(rata) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (sejajar)\kanan.$$

Jika kita berasumsi $\lambda=0$, maka persamaan pertama menjadi: $1=0$. Kontradiksi yang dihasilkan menunjukkan bahwa $\lambda\neq 0$. Dengan kondisi $\lambda\neq 0$, dari persamaan pertama dan kedua kita mendapatkan: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga, kita mendapatkan:

$$ \kiri(-\frac(1)(2\lambda) \kanan)^2+\kiri(-\frac(3)(2\lambda) \kanan)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \kiri[ \begin(rata) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(sejajar) \kanan.\\ \begin(sejajar) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(sejajar) $$

Jadi, sistem memiliki dua solusi: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dan $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Mari kita cari tahu sifat ekstrem pada setiap titik stasioner: $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$. Untuk melakukan ini, kami menghitung determinan $H$ di setiap titik.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \kanan|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \kanan| $$

Pada titik $M_1(1;3)$ kita mendapatkan: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, jadi pada titik Fungsi $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Demikian pula, pada titik $M_2(-1,-3)$ kita menemukan: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \kanan|=-40$. Sejak $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Saya perhatikan bahwa daripada menghitung nilai determinan $H$ di setiap titik, akan lebih mudah untuk memperluasnya dalam bentuk umum. Agar tidak mengacaukan teks dengan detail, saya akan menyembunyikan metode ini di bawah catatan.

Menuliskan determinan $H$ dalam bentuk umum. tampilkan\sembunyikan

$$ H=8\cdot\kiri|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\kanan| =8\cdot\kiri(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\kanan) =-8\lambda\cdot\kiri(y^2+x^2\kanan). $$

Pada prinsipnya sudah jelas tanda apa yang dimiliki $H$. Karena tidak ada titik $M_1$ atau $M_2$ yang berimpit dengan titik asal, maka $y^2+x^2>0$. Oleh karena itu, tanda $H$ berlawanan dengan tanda $\lambda$. Anda dapat menyelesaikan perhitungan:

$$ \begin(rata) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\kiri((-3)^2+(-1)^2\kanan)=-40. \end(sejajar) $$

Pertanyaan tentang sifat ekstrem pada titik stasioner $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$ dapat diselesaikan tanpa menggunakan determinan $H$. Mari kita cari tanda $d^2F$ pada setiap titik stasioner:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \kiri( dx^2+dy^2\kanan) $$

Izinkan saya mencatat bahwa notasi $dx^2$ berarti $dx$ yang dipangkatkan kedua, yaitu. $\kiri(dx \kanan)^2$. Oleh karena itu kita memiliki: $dx^2+dy^2>0$, oleh karena itu, dengan $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ kita mendapatkan $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Menjawab: pada titik $(-1;-3)$ fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, $z_(\min)=-10$. Pada titik $(1;3)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=10$

Contoh No.2

Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dengan kondisi $x+y=0$.

Metode pertama (metode pengali Lagrange)

Menyatakan $\varphi(x,y)=x+y$, kita membuat fungsi Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \kiri \( \begin(sejajar) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.

Setelah menyelesaikan sistem, kita mendapatkan: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dan $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Kita mempunyai dua titik stasioner: $M_1(0;0)$ dan $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Mari kita cari tahu sifat ekstrem pada setiap titik stasioner menggunakan determinan $H$.

$$H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \kan|=-10-18y $$

Pada titik $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, oleh karena itu pada titik ini fungsinya memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Kami menyelidiki sifat ekstrem di setiap titik menggunakan metode berbeda, berdasarkan tanda $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Dari persamaan koneksi $x+y=0$ kita mendapatkan: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Karena $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, maka $M_1(0;0)$ adalah titik minimum bersyarat dari fungsi $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Demikian pula, $d^2F \Lebih Besar|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Cara kedua

Dari persamaan koneksi $x+y=0$ kita mendapatkan: $y=-x$. Mengganti $y=-x$ ke dalam fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, kita memperoleh beberapa fungsi dari variabel $x$. Mari kita nyatakan fungsi ini sebagai $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Jadi, kami mereduksi masalah mencari ekstrem bersyarat dari suatu fungsi dua variabel menjadi masalah menentukan ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Kami memperoleh poin $M_1(0;0)$ dan $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Penelitian selanjutnya diketahui dari mata kuliah kalkulus diferensial fungsi satu variabel. Dengan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$ pada setiap titik stasioner atau memeriksa perubahan tanda $u_(x)^(")$ pada titik-titik yang ditemukan, kita memperoleh kesimpulan yang sama seperti ketika menyelesaikan metode pertama. Misalnya, kita akan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Karena $u_(xx)^("")(M_1)>0$, maka $M_1$ adalah titik minimum dari fungsi $u(x)$, dan $u_(\min)=u(0)=0 $. Sejak $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Nilai fungsi $u(x)$ untuk kondisi koneksi tertentu bertepatan dengan nilai fungsi $z(x,y)$, yaitu. ekstrem yang ditemukan dari fungsi $u(x)$ adalah ekstrema kondisional yang dicari dari fungsi $z(x,y)$.

Menjawab: pada titik $(0;0)$ fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, $z_(\min)=0$. Pada titik $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ fungsi tersebut memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Mari kita perhatikan contoh lain di mana kita akan memperjelas sifat ekstrem dengan menentukan tanda $d^2F$.

Contoh No.3

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=5xy-4$ jika variabel $x$ dan $y$ positif dan memenuhi persamaan koneksi $\frac(x^2)(8)+\frac( kamu^2)(2) -1=0$.

Mari kita buat fungsi Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Mari kita cari titik stasioner dari fungsi Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kiri \( \begin(rata) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(rata) \kanan.

Semua transformasi lebih lanjut dilakukan dengan memperhitungkan $x > 0; \; y > 0$ (ini ditentukan dalam pernyataan masalah). Dari persamaan kedua kita nyatakan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dan substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Mengganti $x=2y$ ke persamaan ketiga, kita mendapatkan: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Karena $y=1$, maka $x=2$, $\lambda=-10$. Kita menentukan sifat ekstrem di titik $(2;1)$ berdasarkan tanda $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Karena $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, maka:

$$ d\kiri(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\kanan)=0; \; d\kiri(\frac(x^2)(8) \kanan)+d\kiri(\frac(y^2)(2) \kanan)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Pada prinsipnya, di sini Anda dapat langsung mengganti koordinat titik stasioner $x=2$, $y=1$ dan parameter $\lambda=-10$, sehingga diperoleh:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \kiri(-\frac(dx)(2) \kanan)-10\cdot \kiri(-\frac(dx) (2) \kanan)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Namun, dalam soal lain pada ekstrem bersyarat mungkin terdapat beberapa titik stasioner. Dalam kasus seperti itu, lebih baik untuk mewakili $d^2F$ dalam bentuk umum, dan kemudian mengganti koordinat masing-masing titik stasioner yang ditemukan ke dalam ekspresi yang dihasilkan:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \kiri(-\frac(xdx)(4y) \kanan)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \kanan)\cdot dx^2 $$

Mengganti $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, kita mendapatkan:

$$ d^2 F=\kiri(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \kanan)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Karena $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Menjawab: pada titik $(2;1)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=6$.

Pada bagian selanjutnya kita akan membahas penerapan metode Lagrange untuk fungsi dengan jumlah variabel yang lebih besar.

Ekstrem bersyarat.

Ekstrem suatu fungsi beberapa variabel

Metode kuadrat terkecil.

Ekstrem lokal FNP

Biarkan fungsinya diberikan Dan= F(P), РÎDÌR N dan biarkan titik P 0 ( A 1 , A 2 , ..., sebuah hal) –intern titik himpunan D.

Definisi 9.4.

1) Titik P 0 disebut titik maksimum fungsi Dan= F(P), jika terdapat lingkungan di titik ini U(P 0) М D sedemikian rupa sehingga untuk sembarang titik P( X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , kondisi terpenuhi F(P)£ F(P 0) . Arti F(P 0) fungsi pada titik maksimum disebut maksimal dari fungsinya dan ditunjuk F(P0) = maks F(P) .

2) Titik P 0 disebut poin minimum fungsi Dan= F(P), jika terdapat lingkungan di titik ini U(P 0)Ì D sehingga untuk sembarang titik P( X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , kondisi terpenuhi F(P)³ F(P 0) . Arti F(P 0) fungsi pada titik minimum disebut fungsi minimal dan ditunjuk F(P 0) = menit F(P).

Titik minimum dan maksimum suatu fungsi disebut titik ekstrem, nilai fungsi pada titik ekstrem disebut ekstrem dari fungsi tersebut.

Berikut definisinya, yaitu ketidaksetaraan F(P)£ F(P 0) , F(P)³ F(P 0) harus dipenuhi hanya di lingkungan tertentu dari titik P 0, dan tidak di seluruh domain definisi fungsi, yang berarti bahwa fungsi tersebut dapat memiliki beberapa ekstrem yang bertipe sama (beberapa minimum, beberapa maksimum) . Oleh karena itu, ekstrem yang didefinisikan di atas disebut lokal(lokal) ekstrem.

Teorema 9.1 (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem FNP)

Jika fungsinya Dan= F(X 1 , X 2 , ..., xn) mempunyai titik ekstrem di titik P 0 , maka turunan parsial orde pertamanya di titik ini sama dengan nol atau tidak ada.

Bukti. Misalkan pada titik P 0 ( A 1 , A 2 , ..., sebuah hal) fungsi Dan= F(P) mempunyai titik ekstrim, misalnya maksimum. Mari kita perbaiki argumennya X 2 , ..., xn, menempatkan X 2 =A 2 ,..., xn = sebuah hal. Kemudian Dan= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., sebuah hal) adalah fungsi dari satu variabel X 1. Karena fungsi ini memiliki X 1 = A 1 ekstrem (maksimum), lalu F 1 ¢=0atau tidak ada kapan X 1 =A 1 (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan fungsi ekstrem dari satu variabel). Tapi, itu berarti ada atau tidaknya titik P 0 – titik ekstrim. Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan turunan parsial terhadap variabel lain. CTD.

Titik-titik dalam domain suatu fungsi yang turunan parsial orde pertama sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis fungsi ini.

Sebagai berikut dari Teorema 9.1, titik ekstrem FNP harus dicari di antara titik kritis fungsi tersebut. Namun, untuk fungsi satu variabel, tidak semua titik kritis merupakan titik ekstrem.

Teorema 9.2 (kondisi cukup untuk ekstrem FNP)

Misalkan P 0 menjadi titik kritis fungsi tersebut Dan= F(P) dan adalah diferensial orde kedua dari fungsi ini. Kemudian

a) jika D 2 kamu(P 0) > 0 pada , maka P 0 adalah suatu titik minimum fungsi Dan= F(P);

b) jika D 2 kamu(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum fungsi Dan= F(P);

c) jika D 2 kamu(P 0) tidak ditentukan tandanya, maka P 0 bukan merupakan titik ekstrem;

Kami akan mempertimbangkan teorema ini tanpa bukti.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak mempertimbangkan kasus kapan D 2 kamu(P 0) = 0 atau tidak ada. Artinya pertanyaan tentang keberadaan ekstrem pada titik P 0 dalam kondisi seperti itu tetap terbuka - diperlukan penelitian tambahan, misalnya studi tentang kenaikan fungsi pada titik ini.

Pada mata kuliah matematika lebih detail terbukti, khususnya untuk fungsi z = f(X,kamu) dari dua variabel, diferensial orde kedua adalah jumlah dari bentuk

studi tentang keberadaan ekstrem pada titik kritis P 0 dapat disederhanakan.

Mari kita nyatakan , , . Mari kita buat determinannya

Ternyata:

D 2 z> 0 di titik P 0, mis. P 0 – titik minimum, jika A(P 0) > 0 dan D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

jika D(P 0)< 0, то D 2 z di sekitar titik P 0 berubah tanda dan tidak ada titik ekstrem di titik P 0;

jika D(Р 0) = 0, maka diperlukan studi tambahan tentang fungsi di sekitar titik kritis Р 0.

Jadi, untuk fungsinya z = f(X,kamu) dari dua variabel kita memiliki algoritma berikut (sebut saja “algoritma D”) untuk mencari ekstrem:

1) Temukan domain definisi D( F) fungsi.

2) Temukan titik kritis, mis. poin dari D( F), yang dan sama dengan nol atau tidak ada.

3) Pada setiap titik kritis P 0, periksa kondisi ekstrem yang cukup. Untuk melakukan ini, temukan , dimana , , dan hitung D(P 0) dan A(P 0).Kemudian:

jika D(P 0) >0, maka di titik P 0 terdapat titik ekstrem, dan jika A(P 0) > 0 – maka ini adalah minimum, dan jika A(P 0)< 0 – максимум;

jika D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;

Jika D(P 0) = 0, maka diperlukan penelitian tambahan.

4) Pada titik ekstrem yang ditemukan, hitung nilai fungsinya.

Contoh 1.

Temukan ekstrem dari fungsinya z = X 3 + 8kamu 3 – 3xy .

Larutan. Daerah definisi fungsi ini adalah seluruh bidang koordinat. Mari kita temukan titik kritisnya.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Mari kita periksa apakah kondisi cukup untuk ekstrem terpenuhi. Kami akan menemukannya

6X, = -3, = 48pada Dan = 288xy – 9.

Maka D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(P 1) = 36-9>0 – di titik P 1 ada titik ekstrem, dan karena A(P 1) = 3 >0, maka titik ekstrem ini adalah minimum. Jadi min z=z(P 1) = .

Contoh 2.

Temukan ekstrem dari fungsinya .

Solusi: D( F) =R 2 . Poin penting: ; tidak ada kapan pada= 0, artinya P 0 (0,0) merupakan titik kritis fungsi ini.

2, = 0, = , = , tetapi D(P 0) tidak terdefinisi, sehingga mempelajari tandanya tidak mungkin.

Untuk alasan yang sama, tidak mungkin menerapkan Teorema 9.2 secara langsung - D 2 z tidak ada pada saat ini.

Mari kita pertimbangkan kenaikan fungsinya F(X, kamu) di titik P 0 . Jika D F =F(P) - F(P 0)>0" P, maka P 0 adalah titik minimum, tetapi jika D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Dalam kasus kami, kami punya

D F = F(X, kamu) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D kamu) – F(0, 0) = .

Di D X= 0,1 dan D kamu= -0,008 kita mendapat D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 dan D kamu= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, mis. di sekitar titik P 0 kondisi D tidak terpenuhi F <0 (т.е. F(X, kamu) < F(0, 0) dan oleh karena itu P 0 bukan titik maksimum), begitu pula kondisi D F>0 (yaitu F(X, kamu) > F(0, 0) dan kemudian P 0 bukan titik minimum). Artinya, menurut definisi ekstrem, fungsi ini tidak memiliki ekstrem.

Ekstrem bersyarat.

Fungsi ekstrem yang dianggap disebut tak bersyarat, karena tidak ada batasan (kondisi) yang dikenakan pada argumen fungsi.

Definisi 9.2. Fungsi ekstrem Dan = F(X 1 , X 2 , ... , xn), ditemukan dengan syarat argumennya X 1 , X 2 , ... , xn memenuhi persamaan j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …,j T(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, dimana P ( X 1 , X 2 , ... , xn) О D( F), ditelepon ekstrem bersyarat .

Persamaan j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., M, dipanggil persamaan koneksi.

Mari kita lihat fungsinya z = f(X,kamu) dua variabel. Jika persamaan koneksinya satu, mis. , maka mencari ekstrem bersyarat berarti ekstrem tersebut dicari bukan di seluruh domain definisi fungsi, tetapi pada beberapa kurva yang terletak di D( F) (artinya, bukan titik tertinggi atau terendah dari permukaan yang dicari z = f(X,kamu), dan titik tertinggi atau terendah di antara titik potong permukaan ini dengan silinder, Gambar 5).

Ekstrem bersyarat suatu fungsi z = f(X,kamu) dari dua variabel dapat dicari dengan cara berikut( metode eliminasi). Dari persamaan tersebut, nyatakan salah satu variabel sebagai fungsi dari variabel lain (misalnya, tulis ) dan, substitusikan nilai variabel ini ke dalam fungsi, tuliskan variabel terakhir sebagai fungsi dari satu variabel (dalam kasus yang dipertimbangkan ). Temukan ekstrem dari fungsi yang dihasilkan dari satu variabel.

Kondisi perlu dan cukup untuk fungsi ekstrem dua variabel. Suatu titik disebut titik minimum (maksimum) suatu fungsi jika di lingkungan tertentu dari titik tersebut fungsi tersebut terdefinisi dan memenuhi pertidaksamaan (masing-masing, titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrem dari fungsi tersebut.

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem. Jika pada titik ekstrem suatu fungsi mempunyai turunan parsial pertama, maka turunan tersebut hilang pada titik tersebut. Oleh karena itu, untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi, seseorang harus menyelesaikan sistem persamaan. Titik yang koordinatnya memenuhi sistem ini disebut titik kritis fungsi tersebut. Diantaranya mungkin ada titik maksimum, titik minimum, dan juga titik yang bukan titik ekstrem.

Kondisi ekstrem yang cukup digunakan untuk mengidentifikasi titik ekstrem dari serangkaian titik kritis dan tercantum di bawah ini.

Misalkan fungsi tersebut mempunyai turunan parsial kedua kontinu pada titik kritisnya. Jika saat ini memang benar adanya

kondisi maka titik tersebut merupakan titik minimum di dan titik maksimum di. Jika pada titik kritis maka titik tersebut bukan merupakan titik ekstrem. Dalam hal ini, diperlukan studi yang lebih halus tentang sifat titik kritis, yang dalam hal ini mungkin merupakan titik ekstrem atau bukan.

Ekstrem fungsi tiga variabel. Dalam kasus fungsi tiga variabel, definisi titik ekstrem mengulangi definisi yang sesuai untuk fungsi dua variabel. Kami membatasi diri pada menyajikan prosedur untuk mempelajari suatu fungsi ekstrem. Saat menyelesaikan sistem persamaan, seseorang harus mencari titik kritis dari fungsi tersebut, dan kemudian menghitung nilainya pada setiap titik kritis tersebut.

Jika ketiga besaran tersebut positif, maka titik kritis yang dimaksud adalah titik minimum; jika maka titik kritis ini merupakan titik maksimum.

Ekstrem bersyarat dari fungsi dua variabel. Suatu titik disebut titik minimum (maksimum) bersyarat dari suatu fungsi, asalkan terdapat lingkungan titik di mana fungsi tersebut terdefinisi dan di mana (masing-masing) untuk semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan.

Untuk mencari titik ekstrem bersyarat, gunakan fungsi Lagrange

dimana bilangan tersebut disebut pengali Lagrange. Memecahkan sistem tiga persamaan

temukan titik kritis fungsi Lagrange (serta nilai faktor bantu A). Pada titik-titik kritis ini mungkin terdapat ekstrem bersyarat. Sistem di atas hanya menyediakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup: sistem ini dapat dipenuhi dengan koordinat titik-titik yang bukan merupakan titik ekstrem bersyarat. Namun, berdasarkan esensi masalahnya, sifat titik kritis seringkali dapat ditentukan.

Ekstrem bersyarat dari suatu fungsi beberapa variabel. Mari kita perhatikan fungsi variabel asalkan variabel tersebut dihubungkan dengan persamaan

Contoh

Temukan ekstrem dari fungsi yang disediakan X Dan pada dihubungkan oleh relasi: .
Secara geometris, masalahnya berarti sebagai berikut: pada elips
.

pesawat
Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut: dari persamaan
X:

kami menemukan
asalkan
.

, direduksi menjadi masalah mencari titik ekstrem suatu fungsi dari satu variabel pada interval Secara geometris, masalahnya berarti sebagai berikut: pada elips
Secara geometris, masalahnya berarti sebagai berikut: pada elips
, diperoleh dengan melintasi silinder , Anda perlu mencari nilai maksimum atau minimum dari aplikasi tersebut
Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut: dari persamaan
(Gbr.9). Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut: dari persamaan X:

. Mengganti nilai y yang ditemukan ke dalam persamaan bidang, kita memperoleh fungsi satu variabel
kami menemukan
Jadi, masalah menemukan ekstrem dari fungsi tersebut

, direduksi menjadi masalah mencari ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel pada suatu interval. Jadi, masalah menemukan ekstrem bersyarat
– ini adalah masalah menemukan titik ekstrem dari fungsi tujuan X, asalkan variabelnya pada Dan
tunduk pada pembatasan , ditelepon

persamaan koneksi. Katakanlah itu
dot , memenuhi persamaan kopling, adalah titik maksimum bersyarat lokal (minimum
), jika ada lingkungan
sedemikian rupa sehingga untuk poin apa pun

, yang koordinatnya memenuhi persamaan koneksi, maka pertidaksamaan terpenuhi. pada Jika dari persamaan kopling dapat dicari ekspresi untuknya , kemudian dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam fungsi aslinya, kita mengubah fungsi aslinya menjadi fungsi kompleks dari satu variabel

X. Metode umum untuk menyelesaikan masalah ekstrem bersyarat adalah. Mari kita buat fungsi bantu, dimana ─ suatu nomor. Fungsi ini disebut Fungsi lagrange, A ─ Pengganda Lagrange. Dengan demikian, tugas menemukan ekstrem bersyarat telah direduksi menjadi menemukan titik ekstrem lokal untuk fungsi Lagrange. Untuk menemukan kemungkinan titik ekstrem, Anda perlu menyelesaikan sistem 3 persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui x, kamu Dan.

Maka Anda harus menggunakan kondisi cukup berikut ini secara ekstrem.

DALIL. Biarkan titik tersebut menjadi titik ekstrem yang mungkin untuk fungsi Lagrange. Mari kita asumsikan bahwa di sekitar titik tersebut
ada turunan parsial kontinu orde kedua dari fungsi tersebut Dan . Mari kita tunjukkan

Lalu jika
, Itu
─ titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut
dengan persamaan kopling
dalam hal ini, jika
, Itu
─ titik minimum bersyarat, jika
, Itu
─ titik maksimum bersyarat.

§8. Turunan gradien dan terarah

Biarkan fungsinya
didefinisikan di beberapa wilayah (terbuka). Pertimbangkan hal apa pun
luas ini dan setiap garis lurus berarah (sumbu) , melewati titik ini (Gbr. 1). Membiarkan
- beberapa titik lain pada sumbu ini,
– panjang ruas antara
Dan
, diambil dengan tanda plus, jika arahnya
bertepatan dengan arah sumbu , dan dengan tanda minus jika arahnya berlawanan.

Membiarkan
mendekat tanpa batas waktu
. Membatasi

ditelepon turunan suatu fungsi
ke arah (atau sepanjang sumbu ) dan dilambangkan sebagai berikut:

Turunan ini mencirikan “laju perubahan” fungsi pada suatu titik
ke arah . Khususnya, turunan parsial biasa ,juga dapat dianggap sebagai turunan "sehubungan dengan arah".

Sekarang mari kita asumsikan fungsinya
memiliki turunan parsial kontinu di wilayah yang dipertimbangkan. Biarkan porosnya membentuk sudut dengan sumbu koordinat
Dan . Berdasarkan asumsi yang dibuat, turunan terarah ada dan dinyatakan dengan rumus

Jika vektor
diberikan oleh koordinatnya
, maka turunan dari fungsi tersebut
dalam arah vektor
dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Vektor dengan koordinat
ditelepon vektor gradien fungsi
pada intinya
. Vektor gradien menunjukkan arah kenaikan fungsi tercepat pada suatu titik tertentu.