Mirip dengan kebalikan di banyak properti.

Sifat-sifat matriks invers

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Di mana det (\displaystyle \\det ) menunjukkan determinannya.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) untuk dua matriks persegi yang dapat dibalik A (\gaya tampilan A) Dan B (\gaya tampilan B).
• (AT) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Di mana (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) menunjukkan matriks yang ditransposisikan.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) untuk koefisien apa pun k ≠ 0 (\displaystyle k\tidak =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Jika perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, (b adalah vektor bukan nol) di mana x (\gaya tampilan x) adalah vektor yang diinginkan, dan jika A − 1 (\gaya tampilan A^(-1)) ada, kalau begitu x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Jika tidak, maka dimensi ruang solusi lebih besar dari nol, atau tidak ada solusi sama sekali.

Video tentang topik tersebut

Metode untuk mencari matriks invers

Jika matriksnya dapat dibalik, maka untuk mencari matriks inversnya dapat menggunakan salah satu cara berikut:

Metode eksak (langsung).

Metode Jordan-Gauss

Mari kita ambil dua matriks: the A dan lajang E. Mari kita sajikan matriksnya A ke matriks identitas menggunakan metode Gauss-Jordan, menerapkan transformasi sepanjang baris (Anda juga dapat menerapkan transformasi sepanjang kolom). Setelah menerapkan setiap operasi pada matriks pertama, terapkan operasi yang sama pada matriks kedua. Ketika reduksi matriks pertama menjadi bentuk satuan selesai, matriks kedua akan sama dengan SEBUAH−1.

Bila menggunakan metode Gaussian, matriks pertama akan dikalikan di sebelah kiri dengan salah satu matriks elementer Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(matriks transveksi atau diagonal dengan matriks pada diagonal utama, kecuali satu posisi):

Matriks kedua setelah menerapkan semua operasi akan sama dengan Λ (\displaystyle \Lambda), yaitu, itu akan menjadi yang diinginkan. Kompleksitas algoritma - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Menggunakan matriks komplemen aljabar

Matriks kebalikan dari matriks A (\gaya tampilan A), dapat direpresentasikan dalam bentuk

Di mana adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matriks adjoint (matriks yang terdiri dari penjumlahan aljabar untuk elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks yang ditransposisikan).

Kompleksitas algoritma bergantung pada kompleksitas algoritma untuk menghitung determinan O det dan sama dengan O(n²)·O det.

Menggunakan Dekomposisi LU/LUP

Persamaan matriks A X = Saya n (\displaystyle AX=I_(n)) untuk matriks invers X (\gaya tampilan X) dapat dianggap sebagai koleksi n (\gaya tampilan n) sistem formulir A x = b (\displaystyle Kapak=b). Mari kita tunjukkan saya (\gaya tampilan i) kolom matriks X (\gaya tampilan X) melalui X saya (\gaya tampilan X_(i)); Kemudian A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ltitik ,n),Karena saya (\gaya tampilan i) kolom matriks Saya n (\displaystyle I_(n)) adalah vektor satuan e i (\displaystyle e_(i)). dengan kata lain, mencari matriks invers berarti menyelesaikan n persamaan dengan matriks yang sama dan ruas kanan yang berbeda. Setelah melakukan dekomposisi LUP (waktu O(n³), menyelesaikan masing-masing n persamaan membutuhkan waktu O(n²), sehingga bagian pekerjaan ini juga memerlukan waktu O(n³).

Jika matriks A nonsingular, maka dekomposisi LUP dapat dihitung PA = LU (\displaystyle PA=LU). Membiarkan PA = B (\gaya tampilan PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Kemudian dari sifat-sifat matriks invers kita dapat menulis: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jika Anda mengalikan persamaan ini dengan U dan L, Anda akan mendapatkan dua persamaan bentuk UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Dan D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Persamaan pertama adalah sistem persamaan linier n² untuk n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) yang sisi kanannya diketahui (dari sifat-sifat matriks segitiga). Yang kedua juga mewakili sistem persamaan linear n² untuk n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) yang diketahui sisi kanannya (juga dari sifat-sifat matriks segitiga). Bersama-sama mereka mewakili sistem persamaan n². Dengan menggunakan persamaan tersebut, kita dapat menentukan secara rekursif seluruh n² elemen matriks D. Kemudian dari persamaan (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. kita memperoleh persamaan tersebut A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

Dalam hal menggunakan dekomposisi LU, permutasi kolom matriks D tidak diperlukan, tetapi solusinya mungkin berbeda meskipun matriks A non-singular.

Kompleksitas algoritmanya adalah O(n³).

Metode berulang

metode Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\jumlah _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(kasus)))

Perkiraan kesalahan

Memilih Pendekatan Awal

Masalah pemilihan perkiraan awal dalam proses inversi matriks berulang yang dipertimbangkan di sini tidak memungkinkan kita untuk memperlakukannya sebagai metode universal independen yang bersaing dengan metode inversi langsung, misalnya, berdasarkan dekomposisi matriks LU. Ada beberapa rekomendasi untuk memilih kamu 0 (\gaya tampilan U_(0)), memastikan terpenuhinya kondisi ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (jari-jari spektral matriks kurang dari satu), yang diperlukan dan cukup untuk konvergensi proses. Namun dalam hal ini, pertama-tama perlu diketahui dari atas estimasi spektrum matriks A atau matriks yang dapat dibalik. AT (\displaystyle AA^(T))(yaitu, jika A adalah matriks definit positif simetris dan ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), lalu kamu bisa mengambilnya kamu 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Di mana ; jika A adalah matriks non-tunggal sembarang dan ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), lalu mereka percaya U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), dimana juga α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \di \kiri(0,(\frac (2)(\beta ))\kanan)); Anda tentu saja dapat menyederhanakan situasi dan memanfaatkan fakta tersebut ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), meletakkan U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Kedua, ketika menentukan matriks awal dengan cara ini, tidak ada jaminan bahwa ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) akan menjadi kecil (bahkan mungkin akan menjadi kecil ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), dan tingkat konvergensi tingkat tinggi tidak akan segera terungkap.

Matriks adalah suatu objek matematika yang ditulis dalam bentuk tabel bilangan persegi panjang dan memungkinkan dilakukannya operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dll) antara matriks tersebut dan objek sejenis lainnya. Aturan untuk melakukan operasi pada matriks dibuat sebagai berikut:

untuk memudahkan penulisan sistem persamaan linear. Biasanya matriks dilambangkan dengan huruf kapital abjad latin dan dipisahkan dengan tanda kurung “(...)” (juga ditemukan

ditandai dengan tanda kurung siku “[…]”, garis lurus ganda “||…||”) Dan bilangan-bilangan penyusun matriks (elemen matriks) dilambangkan dengan huruf yang sama dengan matriks itu sendiri, tetapi kecil. setiap elemen matriks memiliki 2 subskrip (a ij) - yang pertama menunjukkan "i".

nomor baris tempat elemen berada, dan "j" kedua adalah nomor kolom.

Operasi pada matriks

Mengalikan matriks A dengan suatu bilangan

B yang unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan setiap unsur matriks A dengan bilangan tersebut, yaitu setiap unsur matriks B sama dengan

b ij= λ a ij

Penjumlahan matriks A

elemen matriks C sama dengan

c ij= a ij+ b ij

Pengurangan matriks A

c ij= a ij- b ij

SEBUAH + Θ =SEBUAH

Perkalian matriks(sebutan: AB, lebih jarang dengan tanda perkalian) - adalah operasi penghitungan matriks C, yang elemen-elemennya sama dengan jumlah produk elemen-elemen pada baris yang sesuai dari faktor pertama dan kolom dari Kedua.

c ij= ∑ a ikb kj

Faktor pertama harus mempunyai jumlah kolom yang sama dengan jumlah baris pada faktor kedua. Jika matriks A berdimensi B -, maka dimensi hasil kali matriks A adalah AB = C

Ada . Perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Hal ini terlihat dari fakta bahwa jika matriksnya tidak persegi, maka yang dapat dilakukan hanya mengalikan satu dengan matriks lainnya, tetapi tidak sebaliknya. Untuk

matriks persegi, hasil perkaliannya bergantung pada orde faktornya.

Hanya matriks persegi yang dapat dipangkatkan.

Matriks identitas

Untuk matriks persegi ada matriks identitas E sedemikian rupa sehingga perkalian apa pun

matriks di atasnya tidak mempengaruhi hasil yaitu

EA = AE = A

Untuk matriks identitas, satuannya hanya sama dengan

diagonal, elemen lainnya adalah nol

Untuk beberapa matriks persegi, kita dapat menemukan apa yang disebutmatriks terbalik.

Invers matriks A - 1 sedemikian rupa sehingga jika matriks tersebut dikalikan dengan matriks tersebut, diperoleh matriks identitas

AA − 1 = E

Matriks invers tidak selalu ada. Matriks yang mempunyai invers disebut

tidak merosot, dan bagi mereka yang tidak merosot. Suatu matriks dikatakan non-tunggal jika semua baris (kolom)-nya bebas linier sebagai vektor. Jumlah maksimum baris bebas linier

(kolom) disebut rank matriks. Penentu suatu matriks adalah fungsi linier simetris miring yang ternormalisasi pada baris-baris matriks. Matriks

merosot jika dan hanya jika determinannya nol.

Sifat-sifat matriks

1. SEBUAH + (B +C) = (A +B) +C

2. SEBUAH + B= B+ SEBUAH

3. SEBUAH (BC) = (AB)C

4. SEBUAH(B+ C) = AB+ AC

5. (B+ C) SEBUAH= BA+ CA

9. Matriks simetris A pasti positif (A > 0) jika semua minor sudut utamanya bernilai A k > 0

10. Matriks simetris A pasti negatif (A< 0), если матрица (−A )

adalah pasti positif, yaitu jika untuk sembarang k minor utama orde ke-k A k mempunyai tanda (− 1)k

Sistem persamaan linear

Sistem persamaan m dengan n yang tidak diketahui

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

saya x1 + saya x2 +…+saya xn =bm

dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks

dan kemudian keseluruhan sistem dapat ditulis seperti ini: AX = B

Operasi pada matriks

Misalkan a ij adalah elemen matriks A, dan b ij adalah elemen matriks B.

Mengalikan matriks A dengan suatu bilanganλ (simbol: λA) terdiri dari pembuatan matriks

B yang unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan setiap unsur matriks A dengan bilangan tersebut, yaitu setiap unsur matriks B sama dengan b ij = λa ij

Mari kita tulis matriks A

Kalikan elemen pertama matriks A dengan 2

Penjumlahan matriks A+ B adalah operasi mencari matriks C, yang semua elemennya sama dengan jumlah berpasangan semua elemen yang bersesuaian dari matriks A dan B, yaitu masing-masing

elemen matriks C sama dengan

c ij= a ij+ b ij

A+B Mari kita tuliskan matriks A dan B

Mari kita lakukan penjumlahan elemen pertama matriks

Mari kita rentangkan nilainya, pertama secara horizontal dan kemudian secara vertikal (atau sebaliknya)

Pengurangan matriks A− B didefinisikan mirip dengan penjumlahan, ini adalah operasi mencari matriks C yang elemennya

c ij= a ij- b ij

Penjumlahan dan pengurangan hanya diperbolehkan untuk matriks yang berukuran sama.

Ada matriks nol Θ sehingga menambahkannya ke matriks lain A tidak mengubah A, yaitu

SEBUAH + Θ =SEBUAH

Semua elemen matriks nol sama dengan nol.

Jadi, layanan penyelesaian matriks online:

Layanan untuk bekerja dengan matriks memungkinkan Anda melakukan transformasi dasar matriks.
Jika Anda mempunyai tugas untuk melakukan transformasi yang lebih kompleks, maka layanan ini harus digunakan sebagai konstruktor.

Contoh. Diberikan matriks A Dan B, perlu menemukan C = A -1 * B + B T,

1. Anda harus menemukannya terlebih dahulu matriks terbalikA1 = A-1, menggunakan layanan untuk mencari matriks invers;
2. Selanjutnya setelah kita menemukan matriksnya A1 ayo kita lakukan perkalian matriksA2 = A1 * B dengan menggunakan layanan perkalian matriks;
3. Mari kita lakukan transpos matriksA3 = B T (layanan untuk menemukan matriks yang dialihkan);
4. Dan terakhir, mari kita cari jumlah matriksnya DENGAN = A2 + A3(layanan untuk menghitung jumlah matriks) - dan kami mendapatkan jawaban dengan solusi paling detail!;

Produk matriks

Ini adalah layanan online di dua langkah:

• Masukkan matriks faktor pertama A
• Masukkan matriks faktor kedua atau vektor kolom B

Mengalikan matriks dengan vektor

Perkalian matriks dengan vektor dapat ditemukan menggunakan layanan ini Perkalian matriks
(Faktor pertama adalah matriks ini, faktor kedua adalah kolom yang terdiri dari elemen-elemen vektor ini)

Ini adalah layanan online di dua langkah:

• Masukkan matriks A, yang mana kita perlu mencari matriks inversnya
• Dapatkan jawaban dengan solusi terperinci untuk mencari matriks invers

Penentu matriks

Ini adalah layanan online di satu langkah:

• Masukkan matriks A, untuk itu kita perlu mencari determinan matriksnya

Transpos Matriks

Di sini Anda dapat mengikuti algoritme transposisi matriks dan mempelajari sendiri cara menyelesaikan masalah serupa.
Ini adalah layanan online di satu langkah:

• Masukkan matriks A, yang harus dialihkan

Peringkat matriks

Ini adalah layanan online di satu langkah:

• Masukkan matriks A, untuk itu Anda perlu mencari peringkatnya

Nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks

Ini adalah layanan online di satu langkah:

• Masukkan matriks A, untuk itu Anda perlu mencari vektor eigen dan nilai eigen (nilai eigen)

Eksponensial matriks

Ini adalah layanan online di dua langkah:

• Masukkan matriks A, yang akan Anda naikkan ke kekuasaan
• Masukkan bilangan bulat Q- derajat

instruksi. Untuk menyelesaikannya secara online, Anda perlu memilih jenis persamaan dan mengatur dimensi matriks yang sesuai.

Contoh No.1. Latihan. Temukan solusi persamaan matriks
Larutan. Mari kita nyatakan:
Maka persamaan matriksnya akan ditulis dalam bentuk: A·X·B = C.
Penentu matriks A sama dengan detA=-1
Karena A adalah matriks nonsingular, maka terdapat invers matriks A -1 . Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan A -1: Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri ini dengan A -1 dan di sebelah kanan dengan B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Karena A A -1 = B B -1 = E dan E X = X E = X, maka X = A -1 C B -1

Matriks terbalik A -1:
Mari kita cari matriks invers B -1.
Matriks yang dialihkan B T:
Matriks terbalik B -1:
Kita mencari matriks X dengan rumus: X = A -1 ·C·B -1

Menjawab:

Contoh No.2. Latihan. Selesaikan persamaan matriks
Larutan. Mari kita nyatakan:
Maka persamaan matriksnya akan ditulis dalam bentuk: A·X = B.
Penentu matriks A adalah detA=0
Karena A adalah matriks singular (determinannya 0), maka persamaan tersebut tidak mempunyai solusi.

Contoh No.3. Latihan. Temukan solusi persamaan matriks
Larutan. Mari kita nyatakan:
Maka persamaan matriksnya akan ditulis dalam bentuk: X A = B.
Penentu matriks A adalah detA=-60
Karena A adalah matriks nonsingular, maka terdapat invers matriks A -1 . Mari kita kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kanan dengan A -1: X A A -1 = B A -1, dari situ kita mengetahui bahwa X = B A -1
Mari kita cari matriks invers A -1 .
Matriks yang dialihkan A T:
Matriks terbalik A -1:
Kita mencari matriks X dengan rumus: X = B A -1


Jawaban: >

Matriks terbalik- seperti matriks A −1 , jika dikalikan dengan yang mana, matriks aslinya A menghasilkan matriks identitas E:

Matriks persegi bersifat reversibel jika dan hanya jika tidak mengalami degenerasi, yaitu penentu tidak sama dengan nol. Untuk matriks non-persegi dan matriks tunggal tidak ada matriks invers. Namun, konsep ini dapat digeneralisasi dan diperkenalkan matriks pseudoinvers, mirip dengan kebalikan di banyak properti.

Memecahkan persamaan matriks

Persamaan matriks dapat terlihat seperti:

KAPAK = B, HA = B, AXB = C,

dimana A, B, C adalah matriks yang ditentukan, X adalah matriks yang diinginkan.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mengalikan persamaan tersebut dengan matriks invers.

Misalnya, untuk mencari matriks dari persamaan, Anda perlu mengalikan persamaan ini dengan persamaan di sebelah kiri.

Oleh karena itu, untuk mencari solusi persamaan tersebut, Anda perlu mencari matriks invers dan mengalikannya dengan matriks di sisi kanan persamaan.

Persamaan lainnya diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Larutan: Karena invers matriksnya sama dengan (lihat contoh 1)

Ruang linier

Definisi ruang linier

Membiarkan V- himpunan tak kosong (kita akan menyebut elemennya vektor dan menyatakan ...), yang aturannya ditetapkan:

1) dua elemen mana pun berhubungan dengan elemen ketiga yang disebut jumlah elemen (operasi internal);

2) masing-masing dan setiap orang berhubungan dengan elemen tertentu (operasi eksternal).

Banyak V disebut ruang linier nyata (vektor) jika aksioma terpenuhi:

SAYA.

AKU AKU AKU. (elemen nol sedemikian rupa sehingga ).

IV. (elemen berlawanan dengan elemen ), sedemikian rupa sehingga

V.

VIII. Ruang linier kompleks didefinisikan dengan cara yang sama (bukan R C).

sedang dipertimbangkan

Subruang dari ruang linier V Himpunan tersebut disebut subruang dari ruang linier

1)

, Jika: Sistem vektor ruang linier L formulir dasar Sistem vektor ruang linier V Sistem vektor ruang linier jika sistem vektor ini terurut, bebas linier dan sembarang vektor dari

dinyatakan secara linear dalam bentuk vektor sistem. Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier 1 , ..., Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier e N Sistem vektor ruang linier membentuk dasar di jika ada vektor X Sistem vektor ruang linier dari

jika ada vektor dapat disajikan dalam bentuk Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier= C 1 · 1 +C 2·e e · Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier e .

2 + ...+С

Dasarnya dapat didefinisikan secara berbeda. Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier 1 , ..., Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier e Setiap sistem bebas linier terurut vektor N- Sistem vektor ruang linier e ruang linier berdimensi

membentuk dasar ruang ini. e Sejak Sistem vektor ruang linier e , dimensi ruang jika ada vektor,Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier 1 , ..., Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier e adalah jumlah maksimum vektor ruang yang bebas linier, maka sistem vektornya jika ada vektor bergantung linier dan, oleh karena itu, vektor Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier 1 , ..., Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier e :

jika ada vektor = jika ada vektor dinyatakan secara linear dalam bentuk vektor Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier 1 + jika ada vektor 2 1 +C 2 2 + ...+ jika ada vektor e · Dengan kata lain, sistem vektor terurut bebas linier e .

1 · Penguraian vektor dalam hal basis.

hanya Teorema 1. (Tentang jumlah vektor dalam sistem vektor bebas linier dan sistem pembangkitan vektor.) Jumlah vektor dalam sistem vektor bebas linier tidak melebihi jumlah vektor dalam sistem pembangkitan vektor-vektor yang sama vektor

ruang angkasa.

Bukti. Biarkan sistem vektor bebas linier sembarang menjadi sistem pembangkit sembarang. Mari kita berasumsi bahwa. Karena sistem pembangkit, maka ia mewakili sembarang vektor ruang, termasuk vektor . Mari kita sambungkan ke sistem ini. Kami memperoleh sistem vektor yang bergantung linier dan menghasilkan:

. Lalu ada sebuah vektor dari sistem ini, yang dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor sebelumnya dari sistem ini dan, berdasarkan lemma, vektor tersebut dapat dikeluarkan dari sistem, dan vektor-vektor yang tersisa dari sistem akan tetap dihasilkan. Mari kita beri nomor ulang pada sistem vektor yang tersisa:

Kemudian semuanya terulang kembali. Ada sebuah vektor dalam sistem ini yang dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor sebelumnya, dan ini tidak dapat berupa vektor, karena sistem aslinya bebas linier dan vektornya tidak dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor. Artinya ini hanya dapat menjadi salah satu vektor. Menghapusnya dari sistem, kita memperoleh, setelah memberi nomor ulang, sistem, yang akan menjadi sistem pembangkit. Melanjutkan proses ini, melalui langkah-langkah kita memperoleh sistem pembangkitan vektor: , dimana , karena menurut dugaan kami. Artinya sistem ini sebagai generator juga merepresentasikan vektor, yang bertentangan dengan kondisi independensi linier sistem.

Teorema 1 terbukti.

Teorema 2. (Tentang jumlah vektor dalam basis.) Dalam setiap basis vektor ruang angkasa mengandung jumlah vektor yang sama.

Bukti. Misalkan dan menjadi dua basis sembarang dari suatu ruang vektor. Basis apa pun adalah sistem vektor yang bebas linier dan menghasilkan.

Karena sistem pertama bebas linier, dan sistem kedua menghasilkan, maka menurut Teorema 1, .

Demikian pula, sistem kedua bebas linier, dan sistem pertama menghasilkan, kemudian . Oleh karena itu, dll.

Teorema 2 terbukti.

Ini dalil memungkinkan Anda memasukkan definisi berikut.

Definisi. Dimensi ruang vektor V pada bidang K adalah banyaknya vektor pada basisnya.

Penunjukan: atau .

Koordinat vektor— koefisien satu-satunya yang mungkin kombinasi linier dasar vektor di yang dipilih sistem koordinat, sama dengan vektor ini.