Penentuan garis dan bidang yang tegak lurus dalam ruang. Garis dan bidang tegak lurus, tanda dan syarat tegak lurus garis dan bidang

Garis Besar Pelajaran Geometri Kelas 10 dengan Topik “Tegak Lurus Garis dan Bidang”

Tujuan pelajaran:

mendidik

pengenalan tanda tegak lurus suatu garis dan bidang;

membentuk gagasan siswa tentang tegak lurus garis lurus dan bidang, sifat-sifatnya;

untuk mengembangkan kemampuan siswa dalam memecahkan masalah-masalah khas pada suatu topik, kemampuan membuktikan pernyataan;

berkembang

mengembangkan kemandirian dan aktivitas kognitif;

mengembangkan kemampuan menganalisis, menarik kesimpulan, mensistematisasikan informasi yang diterima,

mengembangkan pemikiran logis;

mengembangkan imajinasi spasial.

mendidik

membina budaya bicara dan ketekunan siswa;

menanamkan minat siswa terhadap mata pelajaran tersebut.

Jenis pelajaran: Pelajaran belajar dan konsolidasi utama pengetahuan.

Bentuk karya siswa: survei depan.

Peralatan: komputer, proyektor, layar.

Literatur:"Geometri 10-11", Buku Ajar. Atanasyan L.S. dll.

(2009, 255 hal.)

Rencana pelajaran:

Momen organisasi (1 menit);

Update ilmu (5 menit);

Mempelajari materi baru (15 menit);

Konsolidasi utama materi yang dipelajari (20 menit);

Kesimpulannya (2 menit);

Pekerjaan rumah (2 menit).

Kemajuan pelajaran.

Momen organisasi (1 menit)

Salam siswa. Pengecekan kesiapan siswa dalam mengikuti pembelajaran: pengecekan ketersediaan buku catatan dan buku pelajaran. Mengecek ketidakhadiran di kelas.

Memperbarui pengetahuan (5 menit)

Guru. Garis manakah yang disebut tegak lurus bidang?

Murid. Garis yang tegak lurus terhadap garis mana pun yang terletak pada bidang tertentu disebut garis yang tegak lurus bidang tersebut.

Guru. Apa lemma dua garis sejajar yang tegak lurus garis ketiga?

Murid. Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus terhadap garis ketiga, maka garis lainnya tegak lurus terhadap garis tersebut.

Guru. Teorema tegak lurus dua garis sejajar pada suatu bidang.

Murid. Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus terhadap suatu bidang, maka garis kedua tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Guru. Seperti apa kebalikan dari teorema ini?

Murid. Jika dua garis tegak lurus pada bidang yang sama, maka kedua garis tersebut sejajar.

Memeriksa pekerjaan rumah

Pekerjaan rumah diperiksa jika siswa mengalami kesulitan dalam menyelesaikannya.

Mempelajari materi baru (15 menit)

Guru. Anda dan saya tahu bahwa jika sebuah garis tegak lurus terhadap suatu bidang, maka garis tersebut akan tegak lurus terhadap garis mana pun yang terletak pada bidang tersebut, tetapi dalam definisi tersebut, tegak lurus suatu garis terhadap suatu bidang diberikan sebagai fakta. Dalam prakteknya, seringkali perlu untuk menentukan apakah suatu garis lurus akan tegak lurus terhadap bidang atau tidak. Contoh-contoh seperti itu dapat diberikan dari kehidupan: selama konstruksi bangunan, tiang pancang dipancang tegak lurus dengan permukaan bumi, jika tidak, strukturnya dapat runtuh. Dalam hal ini, tidak mungkin menggunakan definisi bidang lurus yang tegak lurus. Mengapa? Berapa banyak garis lurus yang dapat ditarik pada sebuah bidang?

Murid. Garis lurus yang jumlahnya tak terhingga dapat digambarkan dalam sebuah bidang.

Guru. Benar. Dan tidak mungkin untuk memeriksa tegak lurus suatu garis lurus pada setiap bidang, karena ini akan memakan waktu yang sangat lama. Untuk memahami apakah suatu garis tegak lurus terhadap suatu bidang, kita kenalkan tanda tegak lurus suatu garis dan suatu bidang. Tuliskan di buku catatan Anda. Jika suatu garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Menulis di buku catatan. Jika suatu garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Guru. Jadi, kita tidak perlu memeriksa tegak lurus suatu garis untuk setiap bidang lurus; cukup memeriksa tegak lurus dua garis pada bidang tersebut saja.

Guru. Mari kita buktikan tanda ini.

Diberikan: P Dan Q- lurus, P ∩ Q = HAI, A⊥ P, A⊥ Q, P ϵ α, Q ϵ α.

Membuktikan: A⊥ α.

Guru. Padahal untuk membuktikannya kita akan menggunakan definisi garis lurus yang tegak lurus bidang, bagaimana bunyinya?

Murid. Jika suatu garis tegak lurus terhadap suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap garis mana pun yang terletak pada bidang tersebut.

Guru. Benar. Mari kita menggambar garis lurus m pada bidang α. Mari kita tarik garis lurus l ║ m melalui titik O. Pada garis a, tandai titik A dan B sehingga titik O berada di titik tengah ruas AB. Mari kita menggambar garis lurus z sedemikian rupa sehingga memotong garis p, q, l; titik potong garis-garis tersebut berturut-turut dilambangkan dengan P, Q, L. Mari kita hubungkan ujung-ujung ruas AB dengan titik P,Q dan L.

Guru. Apa yang dapat kita katakan tentang segitiga ∆APQ dan ∆BPQ?

Murid. Segitiga-segitiga ini akan sama besar (sesuai dengan tanda ke-3 persamaan segitiga).

Guru. Mengapa?

Murid. Karena garis p dan q merupakan garis bagi tegak lurus, maka AP = BP, AQ = BQ, dan sisi PQ bersekutu.

Guru. Benar. Apa yang dapat kita katakan tentang segitiga ∆APL dan ∆BPL?

Murid. Segitiga-segitiga ini juga akan sama besar (sesuai dengan 1 tanda persamaan segitiga).

Guru. Mengapa?

Murid. AP = BP, hal.– sisi umum, APL =  BPL(dari persamaan ∆ APQ dan ∆ B.P.Q.)

Guru. Benar. Artinya AL = BL. Jadi apa yang akan menjadi ∆ALB?

Murid. Artinya ∆ALB adalah persamaan kaki.

Guru. LO adalah median dalam ∆ALB, jadi berapakah luas segitiga tersebut?

Murid. Artinya LO juga akan menjadi tingginya.

Guru. Oleh karena itu lurusakuakan tegak lurus terhadap garisA. Dan karena itu lurusakuadalah setiap garis lurus yang termasuk dalam bidang α, maka menurut definisinya adalah garis lurusA⊥ α. Q.E.D.

Dibuktikan dengan presentasi

Guru. Apa yang dilakukan jika garis a tidak memotong titik O, tetapi tetap tegak lurus terhadap garis p dan q? Bagaimana jika garis lurus a memotong titik lain pada bidang tertentu?

Murid. Anda dapat membuat garis lurus 1 , yang sejajar dengan garis a, akan memotong titik O, dan dengan menggunakan lemma tentang dua garis sejajar yang tegak lurus garis ketiga, dapat dibuktikan bahwaA 1 ⊥ P, A 1 ⊥ Q.

Guru. Benar.

Konsolidasi utama materi yang dipelajari (20 menit)

Guru. Untuk memantapkan materi yang telah kita pelajari, kita akan menyelesaikan nomor 126. Bacalah tugas.

Murid. Garis lurus MB tegak lurus sisi AB dan BC segitiga ABC. Tentukan jenis segitiga МВD, dimana D adalah titik sembarang pada garis AC.

Menggambar.

Diberikan: ∆ ABC, MB⊥ B.A., MB⊥ SM, D ϵ AC.

Temukan: ∆ MBD.

Larutan.

Guru. Apakah mungkin menggambar sebuah bidang melalui titik sudut suatu segitiga?

Murid. Ya, kamu bisa. Pesawat dapat ditarik sepanjang tiga titik.

Guru. Bagaimana letak garis lurus BA dan NE relatif terhadap bidang ini?

Murid. Garis-garis ini akan terletak pada bidang ini.

Guru. Ternyata kita mempunyai sebuah bidang, dan di dalamnya terdapat dua garis yang berpotongan. Bagaimana hubungan MV langsung dengan jalur langsung ini?

Murid. MV langsung⊥ VA, MV ⊥ VS.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. Karena MV⊥ VA, MV ⊥ VS

Guru. Jika suatu garis tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, apakah garis tersebut berhubungan dengan bidang tersebut?

Murid. Garis lurus MV akan tegak lurus terhadap bidang ABC.

⊥ ABC.

Guru. Titik D merupakan titik sembarang pada ruas AC, lalu bagaimana hubungan garis lurus BD dengan bidang ABC?

Murid. Artinya BD termasuk dalam bidang ABC.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. Karena BD ϵ ABC

Guru. Berapakah hubungan MV dan BD langsung satu sama lain?

Murid. Garis-garis ini akan tegak lurus menurut definisi garis yang tegak lurus terhadap bidang.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. ↔MV⊥ BD

Guru. Jika MB tegak lurus BD, maka segitiga MBD adalah?

Murid. Segitiga MBD akan berbentuk persegi panjang.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. ↔ ∆MBD – persegi panjang.

Guru. Benar. Ayo selesaikan nomor 127. Baca tugasnya.

Murid. Dalam segitigaABC jumlah sudut A Dan Bsama dengan 90°. LurusBDtegak lurus terhadap bidangABC. Buktikan itu CD⊥ AC.

Siswa pergi ke papan tulis. Menggambar sebuah gambar.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan Anda.

Diberikan: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

Membuktikan: CD⊥ AC.

Bukti:

Guru. Berapa jumlah sudut suatu segitiga?

Murid. Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180°.

Guru. Berapakah sudut C pada segitiga ABC?

Murid. Sudut C pada segitiga ABC sama dengan 90°.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. C = 180° - A- B= 90°

Guru. Jika sudut C 90°, bagaimana letak garis lurus AC dan BC relatif satu sama lain?

Murid. Jadi AC⊥ Matahari.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. ↔ AC⊥ Matahari

Guru. Garis BD tegak lurus bidang ABC. Apa yang berikut ini?

Murid. Jadi BD tegak lurus terhadap garis manapun dari ABC.

BD⊥ ABC ↔ BDtegak lurus terhadap garis lurus apa punABC(menurut definisi)

Guru. Dengan mengingat hal ini, bagaimana hubungan BD dan AC langsung?

Murid. Artinya garis-garis tersebut akan tegak lurus.

BD⊥ AC

Guru. AC tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada bidang DBC, tetapi AC tidak melalui titik potong tersebut. Bagaimana cara memperbaikinya?

Murid. Melalui titik B kita tarik garis a yang sejajar AC. Karena AC tegak lurus BC dan BD, maka a tegak lurus BC dan BD dengan lemma.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. Melalui titik B kita tarik garis lurus a ║AC ↔ a⊥ SM, dan ⊥ BD

Guru. Jika garis lurus a tegak lurus BC dan BD, lalu bagaimana kedudukan relatif garis lurus a dan bidang BDC?

Murid. Artinya garis lurus a akan tegak lurus terhadap bidang BDC, sehingga garis lurus AC akan tegak lurus terhadap BDC.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. ↔ sebuah⊥ BDC↔ AC ⊥ BDC.

Guru. Jika AC tegak lurus BDC, bagaimana letak garis AC dan DC relatif satu sama lain?

Murid. AC dan DC akan tegak lurus menurut definisi garis yang tegak lurus bidang.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. Karena AC⊥ BDC↔ AC ⊥ DC

Guru. Bagus sekali. Mari kita selesaikan nomor 129. Baca tugasnya.

Murid. LurusPAGI.tegak lurus terhadap bidang persegiABCD, yang diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O. Buktikan bahwa: a) garis lurusBDtegak lurus terhadap bidangAMO; B)MO.⊥ BD.

Seorang siswa datang ke papan tulis. Menggambar sebuah gambar.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan Anda.

Diberikan:ABCD- persegi,PAGI.⊥ ABCD, AC ∩ BD = HAI

Membuktikan:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Bukti:

Guru. Kita perlu membuktikan garis lurus ituBD⊥ AMO. Kondisi apa yang harus dipenuhi agar hal ini terjadi?

Murid. Itu harus lurus BD tegak lurus terhadap paling sedikit dua garis lurus yang berpotongan dari bidang tersebut AMO.

Guru. Kondisinya mengatakan demikian BD tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan AMO?

Murid. TIDAK.

Guru. Tapi kita tahu itu PAGI. tegak lurus ABCD . Kesimpulan apa yang dapat diambil dari hal ini?

Murid. Artinya PAGI. tegak lurus terhadap garis lurus apa pun dari bidang ini, yaitu PAGI. tegak lurus B.D.

PAGI.⊥ ABCD ↔ PAGI.⊥ BD(menurut definisi).

Guru. Satu garis tegak lurus BD Ada. Perhatikan persegi, bagaimana garis lurus akan ditempatkan relatif satu sama lain AC dan BD?

Murid. AC akan tegak lurus BD berdasarkan sifat diagonal persegi.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan Anda. KarenaABCD- persegi, kalau begituAC⊥ BD(berdasarkan sifat diagonal persegi)

Guru. Kami menemukan dua garis berpotongan terletak di pesawat AMO tegak lurus terhadap garis lurus BD . Apa yang berikut ini?

Murid. Artinya BD tegak lurus terhadap bidang AMO.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. KarenaAC⊥ BDDanPAGI.⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(berdasarkan atribut)

Guru. Garis manakah yang disebut garis tegak lurus bidang?

Murid. Suatu garis disebut tegak lurus suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap garis mana pun dari bidang tersebut.

Guru. Artinya bagaimana garis-garis tersebut saling berhubungan BD dan OM?

Murid. Jadi BD tegak lurus OM . Q.E.D.

Tulislah di papan tulis dan di buku catatan. ↔BD⊥ MO.(menurut definisi). Q.E.D.

Kesimpulannya (2 menit)

Guru. Hari ini kita mempelajari tanda tegak lurus suatu garis dan bidang. Seperti apa bunyinya?

Murid. Jika suatu garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Guru. Benar. Kami belajar menggunakan fitur ini saat memecahkan masalah. Selamat bagi mereka yang menjawab di papan dan membantu dari titik itu.

Pekerjaan rumah (2 menit)

Guru. Paragraf 1, paragraf 15-17, mengajarkan: lemma, definisi dan semua teorema. Nomor 130, 131.

Pada artikel kali ini kita akan membahas tentang tegak lurus garis dan bidang. Pertama, diberikan definisi garis yang tegak lurus terhadap suatu bidang, diberikan ilustrasi grafis dan contohnya, dan ditunjukkan pula sebutan garis yang tegak lurus terhadap suatu bidang. Setelah itu dirumuskan tanda tegak lurus garis lurus dan bidang. Selanjutnya diperoleh kondisi yang memungkinkan pembuktian tegak lurus suatu garis lurus dan bidang, bila garis lurus dan bidang tersebut ditentukan oleh persamaan tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi. Sebagai kesimpulan, solusi rinci untuk contoh dan masalah umum ditampilkan.

Navigasi halaman.

Garis lurus dan bidang tegak lurus - informasi dasar.

Sebaiknya Anda mengulang dulu definisi garis tegak lurus, karena definisi garis tegak lurus bidang diberikan melalui tegak lurus garis.

Definisi.

Mereka mengatakan itu garis tegak lurus terhadap bidang, jika garis tersebut tegak lurus terhadap suatu garis yang terletak pada bidang tersebut.

Dapat juga dikatakan bahwa suatu bidang tegak lurus terhadap suatu garis, atau suatu garis dan suatu bidang tegak lurus.

Untuk menunjukkan tegak lurus, gunakan ikon seperti “”. Artinya, jika garis lurus c tegak lurus bidang, maka dapat ditulis secara singkat .

Contoh garis yang tegak lurus terhadap suatu bidang adalah garis yang memotong dua dinding suatu ruangan yang berdekatan. Garis ini tegak lurus terhadap bidang dan bidang langit-langit. Tali di gym juga dapat dianggap sebagai ruas garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang lantai.

Sebagai penutup paragraf artikel ini, kita perhatikan bahwa jika suatu garis lurus tegak lurus terhadap suatu bidang, maka sudut antara garis lurus dan bidang tersebut dianggap sama dengan sembilan puluh derajat.

Tegak lurus garis lurus dan bidang merupakan tanda dan syarat tegak lurus.

Dalam praktiknya, sering muncul pertanyaan: “Apakah garis lurus dan bidang tertentu tegak lurus?” Untuk menjawabnya ada syarat cukup untuk tegak lurus suatu garis dan bidang, yaitu suatu kondisi yang pemenuhannya menjamin tegak lurus garis lurus dan bidang. Kondisi cukup ini disebut tanda tegak lurus suatu garis dan bidang. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema.

Dalil.

Agar suatu garis dan bidang tertentu tegak lurus, cukuplah garis tersebut tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang tersebut.

Pembuktian tanda tegak lurus garis dan bidang dapat kamu lihat pada buku teks geometri kelas 10-11.

Dalam menyelesaikan soal tegak lurus suatu garis dan bidang, teorema berikut juga sering digunakan.

Dalil.

Jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus terhadap suatu bidang, maka garis kedua juga tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Di sekolah, banyak masalah yang dipertimbangkan, untuk penyelesaiannya digunakan tanda tegak lurus garis dan bidang, serta teorema terakhir. Kami tidak akan membahasnya di sini. Pada bagian artikel ini kita akan fokus pada penerapan kondisi perlu dan cukup berikut untuk tegak lurus garis dan bidang.

Kondisi ini dapat ditulis ulang dalam bentuk berikut.

Membiarkan adalah vektor arah garis a, dan adalah vektor normal bidang tersebut. Agar garis lurus a dan bidang tegak lurus maka perlu dan cukup Dan : , dimana t adalah bilangan real.

Pembuktian syarat perlu dan cukup tegak lurus suatu garis dan bidang didasarkan pada definisi vektor arah suatu garis dan vektor normal suatu bidang.

Jelasnya, kondisi ini mudah digunakan untuk membuktikan tegak lurus suatu garis dan bidang, ketika koordinat vektor pengarah garis dan koordinat vektor normal bidang dalam ruang tiga dimensi tetap dapat dengan mudah ditemukan. . Hal ini berlaku untuk kasus-kasus ketika koordinat titik-titik yang dilalui bidang dan garis diberikan, serta untuk kasus-kasus ketika garis ditentukan oleh beberapa persamaan garis dalam ruang, dan bidang diberikan oleh persamaan sebuah pesawat dari beberapa jenis.

Mari kita lihat solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Buktikan tegak lurus garis tersebut dan pesawat.

Larutan.

Kita tahu bahwa bilangan-bilangan penyebut persamaan kanonik suatu garis dalam ruang adalah koordinat yang bersesuaian dengan vektor arah garis tersebut. Dengan demikian, - vektor langsung .

Koefisien variabel x, y dan z pada persamaan umum suatu bidang adalah koordinat vektor normal bidang tersebut, yaitu adalah vektor normal bidang tersebut.

Mari kita periksa terpenuhinya syarat perlu dan syarat cukup untuk tegak lurus suatu garis dan bidang.

Karena , maka vektor-vektornya dan dihubungkan dengan relasi , artinya, keduanya segaris. Oleh karena itu, lurus tegak lurus terhadap bidang.

Contoh.

Apakah garis-garisnya tegak lurus? dan pesawat.

Larutan.

Mari kita cari vektor arah suatu garis lurus tertentu dan vektor normal bidang untuk memeriksa apakah syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus garis dan bidang terpenuhi.

Vektor pengarahnya lurus adalah

Agar suatu garis lurus dalam ruang menjadi bidang, maka pada diagram itu proyeksi mendatar garis itu perlu dan cukup merupakan proyeksi mendatar dari bidang mendatar, dan proyeksi frontal adalah proyeksi frontal dari bagian depannya. pesawat.

Menentukan jarak suatu titik ke suatu bidang(Gbr. 19)

1. Dari suatu titik, turunkan garis tegak lurus ke bidang (untuk melakukan ini pada bidang

tahan h,f);

2. Temukan titik potong garis lurus dengan bidang (lihat Gambar 18);

3. Temukan n.v. segmen tegak lurus (lihat Gambar 7).

Bagian kedua Metode penggantian bidang proyeksi

(untuk tugas 5, 6,7)

Sosok geometris ini dibiarkan tidak bergerak dalam sistem bidang proyeksi. Bidang proyeksi baru dipasang sehingga proyeksi yang diperoleh memberikan solusi rasional terhadap masalah yang sedang dipertimbangkan. Dalam hal ini, setiap sistem bidang proyeksi baru harus merupakan sistem ortogonal. Setelah benda diproyeksikan ke dalam bidang, benda-benda tersebut digabungkan menjadi satu dengan cara memutarnya mengelilingi garis lurus yang sama (sumbu proyeksi) dari setiap pasang bidang yang saling tegak lurus.

Misalnya, titik A ditentukan dalam sistem dua bidang P 1 dan P 2. Mari kita lengkapi sistem tersebut dengan bidang lain P 4 (Gbr. 20), P 1 P 4. Ia mempunyai garis persekutuan X 14 dengan bidang P 1. Kami membangun proyeksi A 4 ke P 4.

AA 1 =SEBUAH 2 SEBUAH 12 =SEBUAH 4 SEBUAH 14.

Pada Gambar. 21, dimana bidang P 1, P 2 dan P 4 sejajar, fakta ini ditentukan oleh hasil A 1 A 4 X 14, dan A 14 A 4 A 2 A 12.

Jarak proyeksi titik baru ke sumbu proyeksi baru (A 4 A 14) sama dengan jarak proyeksi titik pengganti ke sumbu pengganti (A 2 A 12).

Sejumlah besar masalah metrik geometri deskriptif diselesaikan berdasarkan empat masalah berikut:

1. Transformasi garis lurus posisi umum menjadi garis lurus datar (Gbr. 22):

a) hal 4 || AB (sumbu X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14 ;

c) SEBUAH 4 SEBUAH 14 = SEBUAH 12 SEBUAH 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - n.v.

2. Mengubah garis umum menjadi garis proyeksi (Gbr. 23):

a) hal 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14 ;

SEBUAH 14 SEBUAH 4 = SEBUAH 12 SEBUAH 2;

V 14 V 4 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - sekarang;

b) P 5 AB (X 45 A 4 B 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

SEBUAH 45 SEBUAH 5 =B 45 V 5 =SEBUAH 14 SEBUAH 1 =B 14 V 1;

3. Mengubah bidang posisi umum menjadi posisi proyeksi (Gbr. 24):

Pesawat dapat dibawa ke posisi memproyeksikan jika salah satu garis lurus bidang tersebut dibuat menonjol. Pada bidang ABC kita menggambar garis horizontal (h 2 ,h 1), yang dapat dibuat proyeksi dalam satu transformasi. Mari kita menggambar bidang P 4 tegak lurus terhadap horizontal; pada bidang ini akan diproyeksikan sebagai sebuah titik, dan bidang segitiga sebagai garis lurus.

4. Transformasi bidang posisi umum menjadi bidang datar (Gbr. 25).

Jadikan bidang tersebut sebagai bidang datar menggunakan dua transformasi. Pertama, bidang harus dibuat menonjol (lihat Gambar 25), lalu gambar P 5 || A 4 B 4 C 4, kita mendapatkan A 5 B 5 C 5 - n.v.

Masalah #5

Tentukan jarak titik C ke garis lurus pada posisi umum (Gbr. 26).

Solusinya turun ke masalah utama ke-2. Maka jarak pada diagram didefinisikan sebagai jarak antara dua titik

A 5 B 5 D 5 dan C 5.

Proyeksi C 4 D 4 || X 45.

Masalah #6

Tentukan jarak dari ()D ke bidang yang ditentukan oleh titik A, B, C (Gbr. 27).

Masalahnya diselesaikan dengan menggunakan masalah utama ke-2. Jarak (E 4 D 4), dari ()D 4 ke garis lurus A 4 C 4 B 4 yang ke dalamnya bidang ABC diproyeksikan, adalah nilai natural ruas ED.

Proyeksi D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Bangun sendiri D 1 E 1.

Bangun sendiri D 2 E 2.

Soal No.7

Tentukan ukuran sebenarnya segitiga ABC (lihat penyelesaian soal utama ke-4) (Gbr. 25)

. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa garis lurus tegak lurus terhadap bidang
Konstruksi A garis lurus yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu dari suatu titik yang diambil di luar bidang tersebut. A Membiarkan A- bidang, A – titik dari mana garis tegak lurus harus diturunkan. Mari kita menggambar garis lurus pada bidang tersebut B. Melalui titik A dan garis lurus B ayo menggambar pesawat A(garis lurus dan titik mendefinisikan sebuah bidang, dan hanya satu). Di pesawat A Mari kita kembalikan garis tegak lurus dan tentukan garis lurus di mana garis tegak lurus tersebut berada Dengan. Melalui ruas AB dan garis lurus Dengan- bidang, A – titik dari mana garis tegak lurus harus diturunkan. Mari kita menggambar garis lurus pada bidang tersebut G(dua garis berpotongan mendefinisikan sebuah bidang, dan hanya satu). Di pesawat G dari titik A kita turun ke garis lurus Dengan tegak lurus AC. Mari kita buktikan bahwa ruas AC tegak lurus bidang B. Bukti. Lurus A tegak lurus terhadap garis lurus Dengan dan AB (menurut konstruksi), artinya tegak lurus terhadap bidang itu sendiri G, di mana letak dua garis yang berpotongan ini (berdasarkan tegak lurus garis dan bidang). Dan karena tegak lurus terhadap bidang tersebut, maka tegak lurus terhadap sembarang garis lurus pada bidang tersebut, yang berarti merupakan garis lurus A tegak lurus AC. Garis AC tegak lurus terhadap dua garis yang terletak pada bidang α: Dengan(menurut konstruksi) dan A(sesuai yang sudah dibuktikan) artinya tegak lurus bidang α (berdasarkan tegak lurus garis dan bidang)

Teorema 1 . Jika dua garis yang berpotongan sejajar dengan dua garis yang tegak lurus, maka kedua garis tersebut juga tegak lurus.
Bukti. Membiarkan A Dan B- garis tegak lurus, A 1 dan B 1 - garis berpotongan sejajar dengannya. Mari kita buktikan bahwa garis lurus A 1 dan B 1 tegak lurus.
Jika lurus A, B, A 1 dan B 1 terletak pada bidang yang sama, maka keduanya mempunyai sifat-sifat yang ditentukan dalam teorema, sebagaimana diketahui dari planimetri.
Sekarang mari kita asumsikan bahwa garis kita tidak terletak pada bidang yang sama. Lalu lurus A Dan B terletak pada suatu bidang α, dan garis lurus A 1 dan B 1 - di beberapa bidang β. Berdasarkan kesejajaran bidang, bidang α dan β sejajar. Misalkan C adalah titik potong garis tersebut A Dan B, dan C 1 - perpotongan garis A 1 dan B 1. Mari kita menggambar pada bidang garis sejajar A Dan A A Dan A 1 di titik A dan A 1. Pada bidang garis sejajar B Dan B 1 garis sejajar garis lurus CC 1. Dia akan melewati batas B Dan B 1 di titik B dan B 1.
Segi empat CAA 1 C 1 dan SVV 1 C 1 merupakan jajar genjang karena sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Segi empat ABC 1 A 1 juga merupakan jajar genjang. Sisi-sisinya AA 1 dan BB 1 sejajar, karena masing-masing sejajar dengan garis CC 1. Jadi, segiempat tersebut terletak pada bidang yang melalui garis sejajar AA 1 dan BB 1. Dan memotong bidang sejajar α dan β sepanjang garis lurus sejajar AB dan A 1 B 1.
Karena sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang sama besar, maka AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Berdasarkan tanda persamaan ketiga, segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah sama besar. Jadi sudut A 1 C 1 B 1 sama dengan sudut ACB adalah lurus yaitu. lurus A 1 dan B 1 tegak lurus. Dll.

Properti tegak lurus terhadap garis lurus dan bidang.
Teorema 2 . Jika sebuah bidang tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka bidang tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya.
Bukti. Membiarkan A 1 dan A 2 - dua garis sejajar dan α - bidang yang tegak lurus terhadap garis A 1. Mari kita buktikan bahwa bidang ini tegak lurus terhadap garis lurus A 2 .
Mari kita menggambar 2 perpotongan garis yang melalui titik A A 2 dengan bidang α garis lurus sembarang Dengan 2 pada bidang α. Mari kita menggambar pada bidang α melalui titik A 1 perpotongan garis A 1 dengan bidang α lurus Dengan 1 sejajar dengan garis Dengan 2. Karena itu lurus A 1 tegak lurus bidang α, lalu garis lurus A 1 dan Dengan 1 tegak lurus. Dan menurut Teorema 1, garis-garis yang berpotongan sejajar dengannya A 2 dan Dengan 2 juga tegak lurus. Jadi, lurus A 2 tegak lurus terhadap garis mana pun Dengan 2 pada bidang α. Artinya lurus A 2 tegak lurus terhadap bidang α. Teorema tersebut telah terbukti.

Teorema 3 . Dua garis yang tegak lurus pada bidang yang sama adalah sejajar satu sama lain.
Kita mempunyai bidang α dan dua garis yang tegak lurus terhadap bidang tersebut A Dan B. Mari kita buktikan itu A || B.
Melalui titik potong garis lurus pada bidang tersebut, tariklah sebuah garis lurus Dengan. Berdasarkan ciri-ciri yang kita peroleh A ^ C Dan B ^ C. Melalui garis lurus A Dan B Mari kita menggambar sebuah bidang (dua garis sejajar mendefinisikan sebuah bidang, dan hanya satu). Pada bidang ini kita mempunyai dua garis sejajar A Dan B dan garis potong Dengan. Jika jumlah sudut dalam satu sisi adalah 180°, maka garis-garis tersebut sejajar. Kami memiliki kasus seperti itu - dua sudut siku-siku. Itu sebabnya A || B.

Konstruksi garis dan bidang yang saling tegak lurus merupakan operasi grafis yang penting dalam menyelesaikan masalah metrik.

Konstruksi tegak lurus suatu garis atau bidang didasarkan pada sifat-sifat sudut siku-siku, yang dirumuskan sebagai berikut: jika salah satu sisi sudut siku-siku sejajar dengan bidang proyeksi dan sisi lainnya tidak tegak lurus, maka kemudian sudutnya diproyeksikan dalam ukuran penuh ke bidang ini.

Gambar 28

Sisi BC sudut siku-siku ABC, ditunjukkan pada Gambar 28, sejajar dengan bidang P 1. Oleh karena itu, proyeksi sudut ABC pada bidang ini akan mewakili sudut siku-siku A 1 B 1 C 1 =90.

Suatu garis dikatakan tegak lurus terhadap suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang tersebut. Saat membuat garis tegak lurus dari sekumpulan garis lurus milik bidang, pilih garis lurus yang rata - horizontal dan frontal. Dalam hal ini, proyeksi horizontal tegak lurus dilakukan tegak lurus terhadap horizontal, dan proyeksi frontal tegak lurus ke depan. Contoh yang ditunjukkan pada Gambar 29 menunjukkan konstruksi tegak lurus bidang yang dibatasi oleh segitiga ABC dari titik K. Untuk melakukannya, pertama-tama gambarlah garis horizontal dan garis depan pada bidang tersebut. Kemudian, dari proyeksi frontal titik K kita menggambar garis tegak lurus terhadap proyeksi frontal frontal, dan dari proyeksi horizontal titik tersebut - tegak lurus terhadap proyeksi horizontal horizontal. Kemudian kita buat titik potong tegak lurus tersebut dengan bidang menggunakan bidang potong bantu Σ. Titik yang diperlukan adalah F. Jadi, ruas KF yang dihasilkan tegak lurus bidang ABC.

Gambar 29

Gambar 29 menunjukkan konstruksi KF yang tegak lurus terhadap bidang ABC.

Dua bidang dikatakan tegak lurus jika sebuah garis yang terletak pada suatu bidang tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang lainnya. Konstruksi bidang yang tegak lurus bidang ABC ditunjukkan pada Gambar 30. Sebuah garis lurus MN ditarik melalui titik M, tegak lurus bidang ABC. Proyeksi horizontal garis ini tegak lurus AC, karena AC horizontal, dan proyeksi frontal tegak lurus AB, karena AB frontal. Kemudian ditarik garis lurus sembarang EF melalui titik M. Jadi, bidang tersebut tegak lurus ABC dan dibatasi oleh dua garis berpotongan EF dan MN.

Gambar 30

Metode ini digunakan untuk menentukan nilai alami segmen pada posisi umum, serta sudut kemiringannya terhadap bidang proyeksi. Untuk menentukan ukuran alami suatu ruas dengan menggunakan metode ini, perlu dibuat segitiga siku-siku pada salah satu proyeksi ruas tersebut. Kaki lainnya adalah perbedaan ketinggian atau kedalaman titik akhir segmen, dan sisi miring adalah nilai alaminya.

Mari kita perhatikan sebuah contoh: Gambar 31 menunjukkan segmen AB pada posisi umum. Diperlukan untuk menentukan ukuran alaminya dan sudut kemiringannya terhadap bidang proyeksi frontal dan horizontal.

Kami menggambar garis tegak lurus ke salah satu ujung segmen pada bidang horizontal. Kami memplot perbedaan ketinggian (ZA-ZB) dari ujung-ujung ruas di atasnya dan menyelesaikan konstruksi segitiga siku-siku. Sisi miringnya adalah nilai natural segmen tersebut, dan sudut antara nilai natural dan proyeksi segmen adalah nilai natural sudut kemiringan segmen terhadap bidang P 1. Urutan konstruksi pada bidang frontal adalah sama. Sepanjang garis tegak lurus kita memplot perbedaan kedalaman ujung-ujung ruas (YA-YB). Sudut yang dihasilkan antara ukuran alami ruas dan proyeksi depannya adalah sudut kemiringan ruas terhadap bidang P 2.

Gambar 31

1. Nyatakan teorema tentang sifat-sifat sudut siku-siku.

2. Dalam hal apa garis lurus tegak lurus bidang?

3. Berapa banyak garis lurus dan berapa banyak bidang yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu yang dapat ditarik melalui suatu titik dalam ruang?

4. Untuk apa metode segitiga siku-siku digunakan?

5. Bagaimana cara menggunakan metode ini untuk menentukan sudut kemiringan suatu segmen pada posisi umum terhadap bidang proyeksi horizontal?