Artikel ini mengungkap turunan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang yang terletak pada suatu bidang. Mari kita turunkan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang. Kami akan dengan jelas menunjukkan dan memecahkan beberapa contoh terkait materi yang dibahas.
Yandex.RTB RA-339285-1
Sebelum memperoleh persamaan garis yang melalui dua titik tertentu, perlu memperhatikan beberapa fakta. Ada aksioma yang mengatakan bahwa melalui dua titik berbeda pada suatu bidang dapat ditarik garis lurus dan hanya satu saja. Dengan kata lain, dua titik tertentu pada suatu bidang ditentukan oleh garis lurus yang melalui titik-titik tersebut.
Jika bidang didefinisikan oleh sistem koordinat persegi panjang Oxy, maka setiap garis lurus yang digambarkan di dalamnya akan sesuai dengan persamaan garis lurus pada bidang tersebut. Ada juga hubungannya dengan vektor pengarah garis lurus. Data ini cukup untuk menyusun persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.
Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah serupa. Perlu dibuat persamaan garis a yang melalui dua titik divergen M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2), yang terletak pada sistem koordinat Kartesius.
Dalam persamaan kanonik suatu garis pada suatu bidang yang berbentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y, sistem koordinat persegi panjang O x y ditentukan dengan garis yang berpotongan dengannya di suatu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dengan vektor pemandu a → = (ax , a y) .
Perlu dibuat persamaan kanonik garis lurus a yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2).
Lurus a mempunyai vektor arah M 1 M 2 → dengan koordinat (x 2 - x 1, y 2 - y 1), karena memotong titik M 1 dan M 2. Kami telah memperoleh data yang diperlukan untuk mengubah persamaan kanonik dengan koordinat vektor arah M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dan koordinat titik M 1 yang terletak di atasnya (x 1, kamu 1) dan M 2 (x 2 , kamu 2) . Kita peroleh persamaan berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 atau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Perhatikan gambar di bawah ini.
Berikut perhitungannya, kita tuliskan persamaan parametrik garis pada bidang yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2). Kita peroleh persamaan berbentuk x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ atau x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ kamu = kamu 2 + (kamu 2 - kamu 1) · λ .
Mari kita lihat lebih dekat penyelesaian beberapa contoh.
Contoh 1
Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui 2 titik tertentu dengan koordinat M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Larutan
Persamaan kanonik garis yang berpotongan di dua titik dengan koordinat x 1, y 1 dan x 2, y 2 berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Berdasarkan kondisi soal, kita mendapatkan x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Nilai numerik tersebut perlu disubstitusikan ke dalam persamaan x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Dari sini kita peroleh persamaan kanoniknya berbentuk x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Jawaban: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dengan jenis persamaan yang berbeda, pertama-tama Anda dapat beralih ke persamaan kanonik, karena lebih mudah untuk beralih dari persamaan tersebut ke persamaan lainnya.
Contoh 2
Tulislah persamaan umum garis lurus yang melalui titik-titik dengan koordinat M 1 (1, 1) dan M 2 (4, 2) pada sistem koordinat O xy.
Larutan
Pertama, Anda perlu menuliskan persamaan kanonik suatu garis yang melalui dua titik tertentu. Kita memperoleh persamaan berbentuk x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Mari kita bawa persamaan kanonik ke bentuk yang diinginkan, lalu kita dapatkan:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Menjawab: x - 3 tahun + 2 = 0 .
Contoh tugas-tugas tersebut dibahas dalam buku pelajaran sekolah selama pelajaran aljabar. Soal sekolah berbeda karena diketahui persamaan garis lurus dengan koefisien sudut berbentuk y = k x + b. Jika Anda perlu mencari nilai kemiringan k dan bilangan b, persamaan y = k x + b mendefinisikan garis pada sistem O x y yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) , dimana x 1 ≠ x 2. Ketika x 1 = x 2 , maka koefisien sudutnya bernilai tak terhingga, dan garis lurus M 1 M 2 ditentukan oleh persamaan umum tidak lengkap berbentuk x - x 1 = 0 .
Karena poinnya M 1 Dan M 2 berada pada suatu garis lurus, maka koordinatnya memenuhi persamaan y 1 = k x 1 + b dan y 2 = k x 2 + b. Sistem persamaan y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b untuk k dan b harus diselesaikan.
Untuk melakukan ini, kita cari k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 atau k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = kamu 2 - kamu 2 - kamu 1 x 2 - x 1 x 2 .
Dengan nilai k dan b tersebut, persamaan garis yang melalui dua titik tertentu menjadi y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 atau y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Tidak mungkin menghafal rumus sebanyak itu sekaligus. Untuk melakukan hal ini, perlu untuk meningkatkan jumlah pengulangan dalam menyelesaikan masalah.
Contoh 3
Tuliskan persamaan garis lurus dengan koefisien sudut yang melalui titik-titik dengan koordinat M 2 (2, 1) dan y = k x + b.
Larutan
Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita menggunakan rumus kemiringan yang berbentuk y = k x + b. Koefisien k dan b harus mengambil nilai sedemikian rupa sehingga persamaan ini sesuai dengan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (- 7, - 5) dan M 2 (2, 1).
Poin M 1 Dan M 2 terletak pada suatu garis lurus, maka koordinatnya harus menjadikan persamaan y = k x + b menjadi persamaan yang benar. Dari sini kita peroleh bahwa - 5 = k · (- 7) + b dan 1 = k · 2 + b. Mari kita gabungkan persamaan tersebut ke dalam sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dan selesaikan.
Setelah substitusi kita mendapatkan itu
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Sekarang nilai k = 2 3 dan b = - 1 3 disubstitusikan ke dalam persamaan y = k x + b. Kami menemukan bahwa persamaan yang diperlukan melalui titik-titik tertentu akan menjadi persamaan berbentuk y = 2 3 x - 1 3 .
Metode penyelesaian ini menentukan pemborosan banyak waktu. Ada cara untuk menyelesaikan tugas secara harfiah dalam dua langkah.
Mari kita tuliskan persamaan kanonik garis yang melalui M 2 (2, 1) dan M 1 (- 7, - 5), berbentuk x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Sekarang mari kita beralih ke persamaan kemiringan. Kita peroleh: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Jawaban: y = 2 3 x - 1 3 .
Jika dalam ruang tiga dimensi terdapat sistem koordinat persegi panjang O x y z dengan dua titik tertentu yang tidak berimpit dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka garis lurus M melewatinya 1 M 2 , maka perlu diperoleh persamaan garis tersebut.
Kita mempunyai persamaan kanonik berbentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z dan persamaan parametrik berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ mampu mendefinisikan suatu garis pada sistem koordinat O x y z yang melalui titik-titik yang mempunyai koordinat (x 1, y 1, z 1) dengan vektor arah a → = (ax, a y, a z).
Lurus M 1 M 2 mempunyai vektor arah berbentuk M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), dimana garis lurus melalui titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2 , y 2 , z 2), maka persamaan kanoniknya dapat berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 atau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, selanjutnya parametrik x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ atau x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - kamu 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Perhatikan gambar yang menunjukkan 2 titik tertentu dalam ruang dan persamaan garis lurus.
Contoh 4
Tuliskan persamaan garis yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang O x y z ruang tiga dimensi, melalui dua titik tertentu dengan koordinat M 1 (2, - 3, 0) dan M 2 (1, - 3, - 5).
Larutan
Penting untuk menemukan persamaan kanonik. Karena kita berbicara tentang ruang tiga dimensi, artinya ketika sebuah garis melewati titik-titik tertentu, persamaan kanonik yang diinginkan akan berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Dengan syarat x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Oleh karena itu persamaan yang diperlukan akan ditulis sebagai berikut:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Jawaban: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.
Garis lurus yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik melalui suatu titik.
Melalui dua titik yang tidak berhimpitan dapat ditarik sebuah garis lurus.
Dua garis divergen pada suatu bidang berpotongan di satu titik atau berpotongan
paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).
Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga pilihan posisi relatif dua garis:
- garis berpotongan;
- garis sejajar;
- garis lurus berpotongan.
Lurus garis— kurva aljabar orde pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesian
diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).
Persamaan umum garis lurus.
Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama
Kapak + Wu + C = 0,
dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum
persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B Dan DENGAN Kasus-kasus khusus berikut mungkin terjadi:
. C = 0, SEBUAH ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui titik asal
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Kapak + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh
. B = C = 0, SEBUAH ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh
. SEBUAH = C = 0, B ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh
Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada bentuk yang diberikan
kondisi awal.
Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal.
Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius, vektor dengan komponen (A, B)
tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan
Kapak + Wu + C = 0.
Contoh. Temukan persamaan garis yang melalui suatu titik SEBUAH(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).
Larutan. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Mencari koefisien C
Mari kita substitusikan koordinat titik A ke dalam ekspresi yang dihasilkan. Kita mendapatkan: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x - y - 1 = 0.
Persamaan garis yang melalui dua titik.
Biarkan dua titik diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) Dan M2 (x 2, kamu 2, z 2), Kemudian persamaan suatu garis,
melewati titik-titik ini:
Jika salah satu penyebutnya nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol. Pada
bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:
Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .
Pecahan = k ditelepon lereng langsung.
Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).
Larutan. Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:
Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kemiringan.
Jika persamaan umum garis Kapak + Wu + C = 0 menuju ke:
dan menunjuk 
, maka persamaan yang dihasilkan disebut
persamaan garis lurus dengan kemiringan k.
Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah.
Dengan analogi titik dengan mempertimbangkan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas
garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah suatu garis lurus.
Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi kondisi tersebut
Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor pengarah suatu garis lurus.
Kapak + Wu + C = 0.
Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).
Larutan. Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan dalam bentuk: Kapak + Oleh + C = 0. Menurut definisinya,
koefisien harus memenuhi ketentuan berikut:
1 * A + (-1) * B = 0, mis. SEBUAH = B.
Maka persamaan garis lurusnya berbentuk: Kapak + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.
pada x = 1, kamu = 2 kita dapatkan C/A = -3, yaitu. persamaan yang diperlukan:
x + kamu - 3 = 0
Persamaan garis lurus dalam segmen.
Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan -С diperoleh:
atau di mana
Arti geometri dari koefisien adalah koefisien a merupakan koordinat titik potong
lurus dengan sumbu Oh, A B- koordinat titik potong garis dengan sumbu Oh.
Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - kamu + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Persamaan garis normal.
Jika kedua sisi persamaan Kapak + Wu + C = 0 bagi dengan nomor 
yang disebut
faktor normalisasi, lalu kita dapatkan
xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan garis normal.
Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sedemikian rupa μ*C< 0.
R- panjang garis tegak lurus turun dari titik asal ke garis lurus,
A φ - sudut yang dibentuk tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.
Contoh. Persamaan umum garis diberikan 12x - 5 tahun - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan
garis lurus ini.
Persamaan garis ini dalam segmen:
Persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi dengan 5)
Persamaan suatu garis:
karena φ = 12/13; dosa φ= -5/13; hal = 5.
Perlu diperhatikan bahwa tidak semua garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus,
sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.
Sudut antara garis lurus pada suatu bidang.
Definisi. Jika dua baris diberikan kamu = k 1 x + b 1 , kamu = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut
akan didefinisikan sebagai
Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus
Jika k 1 = -1/ k 2 .
Dalil.
Langsung Kapak + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel ketika koefisiennya proporsional
A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garis-garisnya berhimpitan. Koordinat titik potong dua garis
ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis tersebut.
Persamaan garis yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.
Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, kamu 1) dan tegak lurus terhadap garis kamu = kx + b
diwakili oleh persamaan:
Jarak suatu titik ke suatu garis.
Dalil. Jika suatu poin diberikan M(x 0, kamu 0), maka jarak ke garis lurus Kapak + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:
Bukti. Biarkan intinya M 1 (x 1, kamu 1)- alas tegak lurus dijatuhkan dari suatu titik M untuk suatu hal
langsung. Kemudian jarak antar titik M Dan M 1:
(1)
Koordinat x 1 Dan di 1 dapat dicari solusi sistem persamaannya:
Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu M 0 secara tegak lurus
diberi garis lurus. Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,
kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:
Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:
Teorema tersebut telah terbukti.
Pelajaran dari seri “Algoritma Geometris”
Halo pembaca yang budiman!
Hari ini kita akan mulai mempelajari algoritma yang berhubungan dengan geometri. Faktanya, banyak sekali soal-soal olimpiade ilmu komputer yang berkaitan dengan geometri komputasi, dan penyelesaian soal-soal tersebut seringkali menimbulkan kesulitan.
Selama beberapa pelajaran, kita akan mempertimbangkan sejumlah subtugas dasar yang menjadi dasar solusi sebagian besar masalah geometri komputasi.
Dalam pelajaran ini kita akan membuat program untuk mencari persamaan garis, melewati yang diberikan dua poin. Untuk menyelesaikan masalah geometri, kita memerlukan pengetahuan tentang geometri komputasi. Kami akan mencurahkan sebagian pelajaran untuk mengenal mereka.
Wawasan dari Geometri Komputasi
Geometri komputasi adalah cabang ilmu komputer yang mempelajari algoritma untuk memecahkan masalah geometri.
Data awal untuk soal-soal tersebut dapat berupa himpunan titik-titik pada suatu bidang, himpunan segmen, poligon (ditentukan, misalnya, dengan daftar simpul-simpulnya dalam urutan searah jarum jam), dll.
Hasilnya dapat berupa jawaban atas beberapa pertanyaan (seperti apakah suatu titik termasuk dalam suatu segmen, apakah dua segmen berpotongan, ...), atau suatu objek geometris (misalnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan titik-titik tertentu, luasnya poligon, dll.).
Kami akan mempertimbangkan masalah geometri komputasi hanya pada bidang dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.
Vektor dan koordinat
Untuk menerapkan metode geometri komputasi, perlu menerjemahkan gambar geometris ke dalam bahasa angka. Kita asumsikan bahwa bidang tersebut diberi sistem koordinat kartesius, yang arah putarannya berlawanan arah jarum jam disebut positif.
Sekarang objek geometris menerima ekspresi analitis. Jadi, untuk menentukan suatu titik, cukup dengan menunjukkan koordinatnya: sepasang angka (x; y). Suatu segmen dapat ditentukan dengan menunjukkan koordinat ujung-ujungnya; garis lurus dapat ditentukan dengan menunjukkan koordinat sepasang titiknya.
Namun alat utama kita untuk memecahkan masalah adalah vektor. Oleh karena itu izinkan saya mengingat beberapa informasi tentang mereka.
Segmen AB, yang ada benarnya A dianggap sebagai awal (titik penerapan), dan titik DI DALAM– akhir, disebut vektor AB dan dilambangkan dengan salah satu atau dengan huruf kecil tebal, misalnya A .
Untuk menyatakan panjang suatu vektor (yaitu, panjang segmen yang bersesuaian), kita akan menggunakan simbol modulus (misalnya, ).
Vektor sembarang akan memiliki koordinat yang sama dengan selisih antara koordinat akhir dan awal yang bersesuaian:
,
inilah poinnya A Dan B
memiliki koordinat 
masing-masing.
Untuk perhitungannya kita akan menggunakan konsep sudut berorientasi, yaitu sudut yang memperhitungkan posisi relatif vektor.
Sudut berorientasi antar vektor A Dan B positif jika putarannya dari vektor A ke vektor B dilakukan dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam) dan negatif dalam kasus lain. Lihat Gambar.1a, Gambar.1b. Dikatakan juga sepasang vektor A Dan B berorientasi positif (negatif).
Jadi, nilai sudut orientasi bergantung pada urutan pencatatan vektor dan dapat mengambil nilai dalam interval.
Banyak permasalahan dalam geometri komputasi yang menggunakan konsep perkalian vektor (skew atau pseudoscalar) dari vektor.
Hasil kali vektor dari vektor a dan b adalah hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan sinus sudut di antara keduanya:
.
Perkalian silang vektor-vektor dalam koordinat:
Ekspresi di sebelah kanan adalah determinan orde kedua:
Berbeda dengan definisi yang diberikan dalam geometri analitik, ini adalah skalar.
Tanda perkalian vektor menentukan posisi vektor-vektor relatif satu sama lain:
A Dan B berorientasi positif.
Jika nilainya , maka sepasang vektor A Dan B berorientasi negatif.
Perkalian silang vektor-vektor tak nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut segaris ( 
). Artinya keduanya terletak pada satu garis atau sejajar.
Mari kita lihat beberapa masalah sederhana yang diperlukan saat menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.
Mari kita tentukan persamaan garis lurus dari koordinat dua titik.
Persamaan garis yang melalui dua titik berbeda ditentukan oleh koordinatnya.
Misalkan terdapat dua titik yang tidak berhimpitan pada suatu garis lurus: dengan koordinat (x1; y1) dan dengan koordinat (x2; y2). Dengan demikian, vektor yang berawal di suatu titik dan berakhir di suatu titik mempunyai koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P(x, y) adalah titik sembarang pada garis kita, maka koordinat vektornya adalah (x-x1, y – y1).
Dengan menggunakan hasil kali vektor, syarat kolinearitas vektor dapat dituliskan sebagai berikut:
Itu. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
Kami menulis ulang persamaan terakhir sebagai berikut:
kapak + kali + c = 0, (1)
c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
Jadi, garis lurus dapat ditentukan dengan persamaan bentuk (1).
Soal 1. Koordinat dua titik diberikan. Tentukan representasinya dalam bentuk ax + by + c = 0.
Dalam pelajaran ini kita mempelajari beberapa informasi tentang geometri komputasi. Kami memecahkan masalah menemukan persamaan garis dari koordinat dua titik.
Pada pelajaran selanjutnya kita akan membuat program untuk mencari titik potong dua garis yang diberikan oleh persamaan kita.
Pada artikel ini kita akan membahas persamaan umum garis lurus pada bidang. Mari kita berikan contoh pembuatan persamaan umum suatu garis jika dua titik pada garis tersebut diketahui atau jika satu titik dan vektor normal garis tersebut diketahui. Mari kita sajikan metode untuk mengubah persamaan dalam bentuk umum menjadi bentuk kanonik dan parametrik.
Biarkan sistem koordinat persegi panjang kartesius sembarang diberikan Oks. Pertimbangkan persamaan derajat atau linier pertama:
| Kapak+Oleh+C=0, | (1) |
Di mana A, B, C− beberapa konstanta, dan setidaknya salah satu elemen A Dan B berbeda dari nol.
Kita akan menunjukkan bahwa persamaan linier pada bidang mendefinisikan garis lurus. Mari kita buktikan teorema berikut.
Teorema 1. Dalam sistem koordinat persegi panjang Kartesius sembarang pada suatu bidang, setiap garis lurus dapat ditentukan dengan persamaan linier. Sebaliknya, setiap persamaan linier (1) dalam sistem koordinat persegi panjang Kartesius sembarang pada suatu bidang mendefinisikan suatu garis lurus.
Bukti. Cukuplah membuktikan garis lurus itu L ditentukan oleh persamaan linier untuk setiap sistem koordinat persegi panjang Cartesian, sejak itu akan ditentukan oleh persamaan linier untuk setiap pilihan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.
Biarkan garis lurus diberikan pada bidang tersebut L. Mari kita pilih sistem koordinat sehingga menjadi sumbu Sapi bertepatan dengan garis lurus L, dan sumbu Oi tegak lurus terhadapnya. Maka persamaan garisnya L akan mengambil bentuk berikut:
| kamu=0. | (2) |
Semua titik dalam satu garis L akan memenuhi persamaan linier (2), dan semua titik di luar garis ini tidak akan memenuhi persamaan (2). Teorema bagian pertama telah terbukti.
Misalkan diberikan sistem koordinat persegi panjang kartesius dan diberikan persamaan linier (1), yang paling sedikit salah satu elemennya A Dan B berbeda dari nol. Mari kita cari kedudukan geometri titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (1). Karena setidaknya salah satu koefisien A Dan B berbeda dari nol, maka persamaan (1) mempunyai paling sedikit satu solusi M(X 0 ,kamu 0). (Misalnya, kapan A≠0, titik M 0 (−C/A, 0) termasuk dalam lokus titik geometri tertentu). Mengganti koordinat ini ke (1) kita memperoleh identitas
| Kapak 0 +Oleh 0 +C=0. | (3) |
Mari kita kurangi identitas (3) dari (1):
| A(X−X 0)+B(kamu−kamu 0)=0. | (4) |
Jelasnya, persamaan (4) ekuivalen dengan persamaan (1). Oleh karena itu, cukup dibuktikan bahwa (4) mendefinisikan suatu garis tertentu.
Karena kita mempertimbangkan sistem koordinat persegi panjang Kartesius, maka dari persamaan (4) dapat disimpulkan bahwa vektor dengan komponen ( x−x 0 , kamu−kamu 0 ) ortogonal terhadap vektor N dengan koordinat ( A,B}.
Mari kita pertimbangkan beberapa garis lurus L, melewati titik tersebut M 0 (X 0 , kamu 0) dan tegak lurus terhadap vektor N(Gbr.1). Biarkan intinya M(X,y) termasuk dalam garis L. Kemudian vektor dengan koordinat x−x 0 , kamu−kamu 0 tegak lurus N dan persamaan (4) terpenuhi (produk skalar vektor N dan sama dengan nol). Sebaliknya jika poin M(X,y) tidak terletak pada suatu garis L, lalu vektor dengan koordinat x−x 0 , kamu−kamu 0 tidak ortogonal terhadap vektor N dan persamaan (4) tidak terpenuhi. Teorema tersebut telah terbukti.
Bukti. Karena garis (5) dan (6) mendefinisikan garis yang sama, maka vektor-vektor normal N 1 ={A 1 ,B 1) dan N 2 ={A 2 ,B 2) kolinear. Sejak vektor N 1 ≠0, N 2 ≠0, maka ada bilangan tersebut λ , Apa N 2 =N 1 λ . Dari sini kita memiliki: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Mari kita buktikan itu C 2 =C 1 λ . Jelas sekali, garis-garis yang berhimpitan mempunyai satu titik yang sama M 0 (X 0 , kamu 0). Mengalikan persamaan (5) dengan λ dan mengurangkan persamaan (6) darinya kita mendapatkan:
Karena dua persamaan pertama dari ekspresi (7) terpenuhi, maka C 1 λ −C 2 =0. Itu. C 2 =C 1 λ . Ucapan itu terbukti.
Perhatikan bahwa persamaan (4) mendefinisikan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik M 0 (X 0 , kamu 0) dan mempunyai vektor normal N={A,B). Oleh karena itu, jika vektor normal suatu garis dan titik yang termasuk dalam garis tersebut diketahui, maka persamaan umum garis tersebut dapat dibuat dengan menggunakan persamaan (4).
Contoh 1. Sebuah garis lurus melalui suatu titik M=(4,−1) dan mempunyai vektor normal N=(3, 5). Buatlah persamaan umum sebuah garis.
Larutan. Kami memiliki: X 0 =4, kamu 0 =−1, A=3, B=5. Untuk menyusun persamaan umum garis lurus, kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan (4):
Menjawab:
Vektor sejajar dengan garis L dan, oleh karena itu, tegak lurus terhadap vektor normal garis tersebut L. Mari kita buat vektor garis normal L, dengan mempertimbangkan produk skalar vektor N dan sama dengan nol. Kita dapat menulis, misalnya, N={1,−3}.
Untuk membuat persamaan umum garis lurus, kita menggunakan rumus (4). Mari kita substitusikan koordinat titik tersebut ke dalam (4) M 1 (kita juga bisa mengambil koordinat titiknya M 2) dan vektor normal N:
Mengganti koordinat titik-titik tersebut M 1 dan M 2 dalam (9) kita dapat memastikan bahwa garis lurus yang diberikan oleh persamaan (9) melewati titik-titik tersebut.
Menjawab:
Kurangi (10) dari (1):
Kami telah memperoleh persamaan garis kanonik. Vektor Q={−B, A) adalah vektor arah garis (12).
Lihat konversi terbalik.
Contoh 3. Garis lurus pada suatu bidang dinyatakan dengan persamaan umum berikut:
Mari kita pindahkan suku kedua ke kanan dan membagi kedua ruas persamaan dengan 2·5.
Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.
Garis lurus yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik melalui suatu titik.
Melalui dua titik yang tidak berhimpitan dapat ditarik sebuah garis lurus.
Dua garis divergen pada suatu bidang berpotongan di satu titik atau berpotongan
paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).
Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga pilihan posisi relatif dua garis:
- garis berpotongan;
- garis sejajar;
- garis lurus berpotongan.
Lurus garis— kurva aljabar orde pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesian
diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).
Persamaan umum garis lurus.
Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama
Kapak + Wu + C = 0,
dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum
persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B Dan DENGAN Kasus-kasus khusus berikut mungkin terjadi:
. C = 0, SEBUAH ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui titik asal
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Kapak + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh
. B = C = 0, SEBUAH ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh
. SEBUAH = C = 0, B ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh
Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada bentuk yang diberikan
kondisi awal.
Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal.
Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius, vektor dengan komponen (A, B)
tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan
Kapak + Wu + C = 0.
Contoh. Temukan persamaan garis yang melalui suatu titik SEBUAH(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).
Larutan. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Mencari koefisien C
Mari kita substitusikan koordinat titik A ke dalam ekspresi yang dihasilkan. Kita mendapatkan: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x - y - 1 = 0.
Persamaan garis yang melalui dua titik.
Biarkan dua titik diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) Dan M2 (x 2, kamu 2, z 2), Kemudian persamaan suatu garis,
melewati titik-titik ini:
Jika salah satu penyebutnya nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol. Pada
bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:
Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .
Pecahan = k ditelepon lereng langsung.
Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).
Larutan. Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:
Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kemiringan.
Jika persamaan umum garis Kapak + Wu + C = 0 menuju ke:
dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut
persamaan garis lurus dengan kemiringan k.
Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah.
Dengan analogi titik dengan mempertimbangkan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas
garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah suatu garis lurus.
Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi kondisi tersebut
Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor pengarah suatu garis lurus.
Kapak + Wu + C = 0.
Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).
Larutan. Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan dalam bentuk: Kapak + Oleh + C = 0. Menurut definisinya,
koefisien harus memenuhi ketentuan berikut:
1 * A + (-1) * B = 0, mis. SEBUAH = B.
Maka persamaan garis lurusnya berbentuk: Kapak + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.
pada x = 1, kamu = 2 kita dapatkan C/A = -3, yaitu. persamaan yang diperlukan:
x + kamu - 3 = 0
Persamaan garis lurus dalam segmen.
Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan -С diperoleh:
atau di mana
Arti geometri dari koefisien adalah koefisien a merupakan koordinat titik potong
lurus dengan sumbu Oh, A B- koordinat titik potong garis dengan sumbu Oh.
Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - kamu + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Persamaan garis normal.
Jika kedua sisi persamaan Kapak + Wu + C = 0 bagi dengan nomor yang disebut
faktor normalisasi, lalu kita dapatkan
xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan garis normal.
Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sedemikian rupa μ*C< 0.
R- panjang garis tegak lurus turun dari titik asal ke garis lurus,
A φ - sudut yang dibentuk tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.
Contoh. Persamaan umum garis diberikan 12x - 5 tahun - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan
garis lurus ini.
Persamaan garis ini dalam segmen:
Persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi dengan 5)
Persamaan suatu garis:
karena φ = 12/13; dosa φ= -5/13; hal = 5.
Perlu diperhatikan bahwa tidak semua garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus,
sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.
Sudut antara garis lurus pada suatu bidang.
Definisi. Jika dua baris diberikan kamu = k 1 x + b 1 , kamu = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut
akan didefinisikan sebagai
Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus
Jika k 1 = -1/ k 2 .
Dalil.
Langsung Kapak + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel ketika koefisiennya proporsional
A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garis-garisnya berhimpitan. Koordinat titik potong dua garis
ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis tersebut.
Persamaan garis yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.
Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, kamu 1) dan tegak lurus terhadap garis kamu = kx + b
diwakili oleh persamaan:
Jarak suatu titik ke suatu garis.
Dalil. Jika suatu poin diberikan M(x 0, kamu 0), maka jarak ke garis lurus Kapak + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:
Bukti. Biarkan intinya M 1 (x 1, kamu 1)- alas tegak lurus dijatuhkan dari suatu titik M untuk suatu hal
langsung. Kemudian jarak antar titik M Dan M 1:
(1)
Koordinat x 1 Dan di 1 dapat dicari solusi sistem persamaannya:
Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu M 0 secara tegak lurus
diberi garis lurus. Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,
kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:
Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:
Teorema tersebut telah terbukti.
